Exercice 1 : En vue d étudier ses préférences alimentaires, le chien Motus a le choix chaque soir entre un et un seul des deux menus suivants : - des

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1 Exercice : En vue d étudier ses préférences alimentaires, le chien Motus a le choix chaque soir entre un et un seul des deux menus suivants : - des croquettes ; - une soupe avec de la viande et des pâtes aux légumes. Une étude réalisée sur un nombre élevé de jours permet de constater que Motus a préféré la soupe dans 70 % des cas et les croquettes dans 30 % des cas. On admet que le comportement du chien reste identique dans l avenir.. On considère un jour donné choisi au hasard, et on appelle C l événement «Motus a choisi les croquettes». Calculer les probabilités de C et de C. 2. On observe les choix du chien pendant trois jours consécutifs. On admet que ces choix sont indépendants d un jour à l autre. Construire un arbre pondéré pour décrire tous les choix possibles du chien. 3. Si Motus choisit les croquettes, il boit litre d eau après son repas, s il choisit la soupe il ne boit que ½ litre d eau. On note la quantité d eau bue par le chien après ses repas pendant 3 jours consécutifs, choisis au hasard. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de litres d eau bue par le chien. On suppose que les choix du chien sont indépendants d un jour à l autre pendant ces 3 jours. 3. a. Quelles sont les valeurs possibles de X? 3. b. Établir la loi de probabilité de X. 3. c. Calculer E(X) et interpréter cette valeur. Exercice 2 : Un jeu forain utilise une roue divisée en dix secteurs : sept sont verts, trois sont rouges. On fait tourner la roue, et lorsqu elle s arrête, un repère désigne un secteur, chaque secteur ayant la même probabilité d être obtenu. Jouer une partie est l expérience aléatoire consistant à faire tourner la roue trois fois de suite, de façon indépendante, en notant à chaque arrêt la couleur obtenue.. a. Représenter à l aide d un arbre cette expérience aléatoire et indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes.. b. Montrer que la probabilité d obtenir trois fois le vert est égale à 0,343.. c. Calculer la probabilité d obtenir au moins une fois le rouge.. d. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois le rouge. 2. Pour jouer une partie, un joueur doit miser une somme d argent : soit m le montant de sa mise. S il obtient trois fois le vert, il perd sa mise. S il obtient une ou deux fois le rouge, il récupère sa mise. S il obtient trois fois le rouge, il récupère sa mise et gagne une somme égale à dix fois sa mise. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur : les valeurs que peut prendre X sont m, 0 et 0m. 2. a. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. b. Exprimer l espérance de X en fonction de m. Expliquer pourquoi, quelle que soit la mise du joueur, la règle du jeu avantage le forain Exercice 3 : Sur la fête foraine, Gaston tient un stand de loterie.

2 La roue est constituée de trois secteurs de couleurs différentes : - un secteur bleu (B) recouvre de la roue ; 4 - un secteur rouge (R) et un secteur vert (V) de surfaces identiques couvrent le reste de la roue comme l'indique le schéma ci-dessous. B R V Le jeu consiste à lancer la roue et à lire, quand elle s'arrête, le secteur indiqué par la flèche, qui est alors gagnant (on suppose que la flèche ne peut pas se trouver à la frontière entre deux secteurs de couleurs différentes). Dans tout l'exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale avec 3 chiffres après la virgule.. On lance une fois la roue. Quelles sont les probabilités de sortie de chaque couleur de la roue? La règle du jeu au stand de loterie de Gaston est la suivante : - pour jouer une partie, une personne doit miser 0 francs ; - si la flèche indique le secteur bleu, la personne reçoit 5 F ; - s'il s'agit du secteur vert, la personne reçoit 6 F ; - si la flèche indique le secteur rouge, la personne doit relancer la roue une fois ; au deuxième essai les gains sont identiques à ceux du premier, mais si le joueur obtient une nouvelle fois le rouge, il est remboursé exactement de sa mise. Chaque essai est indépendant du précédent. 2.a. Dans quel cas le joueur est-il remboursé exactement de sa mise? 2.b. Quelle est la probabilité pour qu'un joueur soit remboursé exactement de sa mise? 2.c. Dans quel cas le joueur gagne-t-il exactement 5 F? 2.d. Quelle est la probabilité pour qu'un joueur gagne exactement 5 F? 3. Soit X la variable aléatoire associée au gain net du joueur après une partie. 3.a. Quelles sont les valeurs prises par X? 3.b. Déterminer la loi de probabilité de X. 3.c. Le jeu est-il équitable? (Comment interpréter ce résultat.) 4. Une personne joue trois parties de suite. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit remboursée exactement de sa mise au moins une fois? Exercice 4 :

3 Dans un jeu télévisé, un joueur doit déterminer la valeur de quatre articles dont les prix sont distincts. On lui remet quatre étiquettes portant chacune un de ces prix ; pour répondre, il doit en poser une sur chacun des articles. S'il attribue le bon prix à un article, il le gagne. Ignorant totalement la valeur de ces objets, ce joueur répond au hasard..a. Déterminer le nombre de réponses possibles..b. Quel est le nombre de réponses permettant de gagner exactement deux articles? Dans la suite, on désigne par X la variable aléatoire indiquant le nombre d'articles gagnés. P X = 4 et justifier que P ( X = 3) = 0. 2.a. Déterminer ( ) 2.b. Démontrer que P ( X = 2) = etquep( X = ) =. 4 2.c. Quelle est la probabilité de gagner au moins un article? En déduire la probabilité de ne rien gagner. 3. Calculer l'espérance mathématique de X. Que représente ce résultat pour le joueur? 3 Exercice 5 : On considère la figure ci-dessous : O I J L K M A B Un jeu consiste à placer un jeton sur le point O et à le déplacer de point en point jusqu'à la ligne (AD) selon les règles suivantes : On lance un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces portent les numéros, 2, 3, 4, 5 ou 6. Si le joueur obtient un numéro multiple de 3, il déplace son jeton à gauche (de O en I pour le premier lancer) sinon il le déplace à droite (de O en J toujours pour le premier lancer). Puis il recommence à partir du point d'arrivée précédent selon les mêmes règles. Au bout de trois lancers son jeton sera en A, B, C ou D car on ne remonte jamais.. Déterminer la probabilité d'obtenir un numéro multiple de 3 en un lancer. 2. p(k) désigne la probabilité que le jeton soit au point K. 4 Montrer que la probabilité d'être en K en 2 lancers est p(k) = Montrer de même que la probabilité d'être en B en 3 lancers est p(b) = Si le joueur arrive en A, il gagne 0 F. C D

4 S'il arrive en B, il gagne F. S'il arrive en C, il ne gagne rien. S'il arrive en D, il perd 2 F. Soit X la variable aléatoire représentant le gain du joueur à l'issue d'une partie comportant 3 lancers du dé. 4.a. Établir la loi de probabilité de X. 4.b. Calculer l'espérance mathématique de X. Exercice 6 : Une salle de spectacle propose pour la saison des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles. Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante : - 43,5 % ont choisi l'abonnement 4 spectacles ; - 33 % ont choisi l'abonnement 5 spectacles ; - le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles. D'autre part, 65 % des abonnés sont des jeunes de moins de 25 ans, et dans cette population, la répartition est différente : - 40 % ont choisi l'abonnement 4 spectacles ; - 40 % ont choisi l'abonnement 5 spectacles ; - le reste a choisi l'abonnement 6 spectacles. On interroge un abonné au hasard. - On note A l'événement : "l'abonné interrogé a moins de 25 ans". Ainsi la probabilité p(a) de cet événement est 0,65. - On note B l'événement : "l'abonné interrogé a choisi 5 spectacles". - Pour tout événement V, on note V l'événement contraire de V..a. Quelle est la probabilité que l'abonné interrogé ait 25 ans ou plus?.b. Sachant que l'abonné interrogé a moins de 25 ans, quelle est la probabilité qu'il ait choisi 5 spectacles?.c. Décrire l'événement ( B), 2.a. Démontrer que la probabilité ( A B) A et démontrer que la probabilité ( A B) p est égale à 0,07. 2.b. En déduire la probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé. p est égale à 0, L'abonnement pour 4 spectacles coûte 50 euros, celui pour 5 spectacles coûte 60 euros, et celui pour 6 spectacles coûte 70 euros. On appelle X la variable aléatoire égale à la somme dépensée par l'abonné interrogé. 3.a. Donner la loi de probabilité de X en complétant : x i p( X = x i ) 3.b. Calculer l'espérance de X.

5 Exercice 7 : Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts l'inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 0 ; sinon, si tout va bien lors du premier saut, il réussit le deuxième dans 90 % des cas. On notera A l'événement contraire d'un événement A. Soit R l'événement : "le patineur réussit le premier saut". Soit R 2 l'événement : "le patineur réussit le deuxième saut".. Décrire cette situation à l aide d un arbre pondéré. 2. Déterminer la probabilité de l'événement : "le patineur réussit les deux sauts". 3.a. Calculer la probabilité de l'événement R 2. 3.b. Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut. Calculer la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut. 4. Manquer le premier saut fait perdre 0, point, manquer le deuxième saut fait perdre 0,2 point ; le règlement prévoit que les pénalités s'ajoutent. Soit X la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues par ce patineur lors de la compétition. 4.a. Déterminer la loi de probabilité de X. 4.b. Calculer l'espérance mathématique de X. Quelle interprétation peut-on en faire? Exercice 8 : Une association organise une randonnée en vélo tout terrain et propose aux participants deux parcours : la boucle A et la boucle B. Chaque participant doit choisir une et une seule des deux boucles et ne pourra la parcourir qu'une seule fois. On demande à chaque participant de remplir une fiche de renseignements. On apprend ainsi que : - parmi les participants : 4 sont des débutants, 5 sont entraînés ; 5 - parmi les débutants : 70 % choisissent la boucle A, 30 % choisissent la boucle B ; - parmi ceux qui sont entraînés : 40 % choisissent la boucle A, 60 % choisissent la boucle B. Toutes les fiches de renseignements sont rassemblées dans un fichier.. On extrait, au hasard, une fiche du fichier : On admet que tous les tirages d'une fiche sont équiprobables. On considère les événements suivants : A : "La fiche indique que le participant a choisi la boucle A".

6 B : "La fiche indique que le participant a choisi la boucle B". D : "La fiche indique que le participant est un débutant". E : "La fiche indique que le participant est entraîné"..a. Calculer la probabilité de chacun des événements A DetA E. En déduire que la probabilité de l'événement A est 0,64..b. Calculer la probabilité de l'événement B..c. On précise de plus, que la boucle A est longue de 20 kilomètres et la boucle B de 35 kilomètres. On note X la variable aléatoire qui, à une fiche prise au hasard, associe le nombre de kilomètres que doit parcourir le participant. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable X. 2. On extrait, au hasard, successivement et avec remise, trois fiches du fichier. On admet que, lors de chacun de ces trois tirages, la probabilité de tirer une fiche indiquant le choix du parcours A est 0,64. Quelle est la probabilité pour que, parmi les trois fiches choisies, deux exactement indiquent le même parcours? Exercice 9 : Dans un sac se trouvent 6 jetons numérotés de à 6. Un jeu consiste à tirer au hasard l'un des jetons. Si le numéro obtenu est un multiple de 2, le joueur gagne franc ; s'il obtient "" ou "3", il gagne 2 francs ; s'il obtient "5" il garde le jeton tiré et il tire un second jeton parmi les cinq restants ; si le second numéro obtenu est un multiple de 2, il gagne 2 francs ; si le second numéro obtenu est "", il gagne 9 francs ; et si le second numéro est "3", il gagne k francs, où k est un nombre réel. Pour jouer à ce jeu, le joueur achète au préalable un ticket à 3 francs. On suppose à chaque fois que les tirages sont équiprobables. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur la différence entre le gain et le prix du ticket.. À l'aide d'un arbre, représenter les différentes issues possibles. 2.a. À l'aide de la question précédente, donner les valeurs x i que peut prendre la variable aléatoire X ; donner ensuite la loi de probabilité de X. k 40 2.b. Montrer que l'espérance mathématique de X est égale à c. Déterminer k pour que l'organisateur du jeu gagne 0,0 franc en moyenne par ticket vendu. 3. Dans cette question, on prend k = a. Un joueur joue une fois à ce jeu. Montrer que P ( X 0) =. 5 3.b. Ce joueur joue maintenant 3 parties indépendantes. Calculer la probabilité d'avoir un gain aux deux premières parties et une perte à la troisième (donner la valeur arrondie de 3 cette probabilité à 0 près).

7 Exercice 0: Une étude statistique a montré qu'un archer de très bon niveau, tirant dans une cible à onze zones numérotées 0,, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9 et 0, a atteint avec une flèche : - la zone 0 avec une fréquence de 0,3 ; - la zone 9 avec une fréquence de 0,6 ; - la zone 8 avec une fréquence de 0,. A chaque flèche tirée est associé un nombre de points égal au numéro de la zone atteinte. On admet que, pour cet archer se présentant à une compétition, les probabilités des événements : - " la flèche marque 0 ", - " la flèche marque 9 ", - " la flèche marque 8 ", sont respectivement égales aux fréquences observées et que les tirs sont indépendants les uns des autres. On appelle volée deux tirs successifs d'une flèche.. Cet archer tire une volée. On associe à une volée la variable aléatoire X, somme des points marqués à chacun des deux tirs de la volée. On appelle volée réussie toute volée telle que X 9..a. Quelles sont les valeurs prises par X? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 9.b. Vérifier que la probabilité de l'événement " X 9 " est. 20 Calculer la probabilité de l'événement " 7 X 9 "..c. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X. 2. Cet archer tire trois volées successives, que l'on suppose indépendantes. On considère la variable aléatoire Y, nombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des événements suivants : 2.a. " Y = 2 " ; 2.b. " Y ". 3. Cet archer tire n volées successives, que l'on suppose indépendantes. Quelle doit être la valeur minimale n 0 de n pour que la probabilité de l'événement " une volée au moins est réussie " soit supérieure ou égale à 0,999? Exercice : Un groupe important G d'étudiants est composé de 60 % de femmes et de 40 % d'hommes. 30 % de ces femmes et 25 % de ces hommes ne parlent pas l'allemand. a. On choisit au hasard une personne de G. Calculer la probabilité pour que cette personne ne parle pas l'allemand. b. Une personne choisie au hasard dans G parle l'allemand. Calculer la probabilité pour que cette personne soit une femme. c. On choisit au hasard 8 personnes de G. Calculer la probabilité pour que parmi ces 8 personnes il y ait exactement 4 hommes qui parlent l'allemand. Exercice 2: