GE3-GCE3 - DS1 de Physique 06-07

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1 Vibrations et Ondes DS - /9 GE3-GCE3 - DS de Physique ère partie (sans document). QCM ET COMMENTAIRES A) On considère un oscillateur mécanique amorti en régime forcé. A t0, on applique à cet oscillateur une force d excitation qui varie suivant l expression f (t) F e cos ft ( ). a- Au début du mouvement résultant, on observe une amplitude des oscillations qui varie dans le temps. VRAI Commentaire : Le début de l oscillation est la superposition du régime libre (dont l amplitude varie dans le temps et du régime permanent dont l amplitude est fixe. a- L amplitude des oscillations finit par se stabiliser à une valeur constante. VRAI Commentaire : En régime permanent l amplitude ne dépend que la pulsation de la ddp d excitation a3- L oscillateur oscille sur sa fréquence propre f 0. FAUX Commentaire : L oscillation en régime forcé se fait à la fréquence de l excitation. a4 Il existe un régime permanent d oscillation pour lequel l énergie stockée dans l oscillateur est constante. VRAI Commentaire : En régime permanent l amplitude ne varie plus et l énergie stockée qui est proportionnelle au carré de l amplitude est constante a5- La réponse de l oscillateur (sa position par rapport à sa position d équilibre) est toujours en phase avec la force d excitation FAUX Commentaire : Il y a un déphasage entre la réponse et l excitation, sauf lorsque la pulsation d excitation coïncide avec la pulsation propre (résonance) a6- Dans certaines conditions, l oscillateur échange de l énergie avec l excitateur extérieur. VRAI Commentaire : L échange d énergie a lieu lorsque la pulsation extérieure ne coïncide pas avec la pulsation de résonance.

2 Vibrations et Ondes DS - /9 B) Oscillateur dans un cas général. On considère un système physique qui peut se comporter en oscillateur. On désigne par s(t) l écart par rapport à sa position d équilibre. En appliquant les lois physiques fondamentales on trouve une équation différentielle de la forme suivante pour s(t) : a. d s + b. ds + c. s 0. a, b et c sont des constantes qui s expriment en fonction des grandeurs physiques caractérisant le système. b type d oscillateur : Oscillateur amorti en régime libre A l instant t 0, on impose une valeur S 0 >0 à la grandeur s. b l énergie du système à l instant initial ; L oscillateur mécanique du type K/m est décrit par l équation différentielle d s + K' m. ds Par analogie : K' m b a L énergie initiale : + K m. s 0 et cs 0 K m c a (par analogie avec l énergie potentielle KA de l oscillateur mécanique) b3 condition pour que l oscillateur retourne vers la position d équilibre avec un temps minimum : crit K' crit m 0 K m soit ici K' m b a K 0 m c a soit b a c a ou b ac b4 condition pour qu à partir de la position s(à t0) S 0 le système passe plusieurs fois par la position d équilibre

3 Le régime d oscillation est obtenu pour < 0 ou ici Soit b < ac Vibrations et Ondes DS - 3/9 K' m b < a 0 K m c a b5 temps qui s écoule entre passages (dans le même sens) par la position d équilibre ( période) ; Pulsation d oscillation : p 0 Soit ici pour la période : T p c a b 4a K m K' 4m 4a 4c b b6 temps t mis par l oscillateur pour consommer 87 % de l énergie présente à l instant initial : st () S 0 e t cos ( p t) t soit en énergie U(t) U 0 e Une décroissance de 87% est obtenue pour t tel que : U(t) 0,3 e soit t U 0 Donc t a b C) Oscillateur à plusieurs degrés de liberté. c le nombre maximum de degrés de liberté (mécanique) : N masses ponctuelles : N, N ou 3N max degrés de liberté c nombre maximum de degrés de liberté ( électriques) : N c3 mode de vibration : une configuration de vibration en régime libre pour lequel - tous les oscillateurs oscillent à la même fréquence - tous les oscillateurs passent simultanément par la position d équilibre (en phase ou en opposition de phase) - il n y a pas d échange d énergie entre les oscillateurs (la répartition d amplitudes est constante et caractérise le mode)

4 Vibrations et Ondes DS - 4/9 c4 autant de modes propres de vibration que de degrés de liberté : OUI - Commentaires : certains modes propres peuvent avoir des amplitudes nulles ou être fortement atténués ; c est le cas pour les modes de fréquences élevées des systèmes mécanques pour les quels l amortissement est grand. c5 à chaque mode de vibration, correspond une fréquence particulière : OUI c6 Dans le cas où N et que le système présente une résonance pour deux fréquences particulières f et f, écrire l expression générale des paramètres s (t) et s (t) dans le régime d oscillations propres et en réponse à des conditions initiales quelconques. s (t) S cos( f pr t + ) + S cos( f pr t + ) et s (t) S cos( f pr t + ) + S cos( f pr t + )

5 Vibrations et Ondes DS - 5/9 DS de Physique GE3-GCE3.. OSCILLATEUR ELECTRIQUE COUPLE. On considère deux circuits L-C couplés par une inductance. On suppose que les résistances sont négligeables et on étudie le comportement du système, d abord en régime libre, puis en régime forcé. i 0 v i v L i C C 3 L Etude en régime libre..a - système d équations différentielles vérifiées par les tensions v (t) et v (t) : On écrit les équations de mailles Maille : L di ( + i 0 ) Maille : v + di 0 Maille 3 : v + L di ( 0 i ) + v 0 () + v 0 () 0 (3) Prenons en compte les relations entre les courants et les tensions : i dq C dv, i dq C dv. De () nous déduisons : di 0 v v En tenant compte de ces relations on peut réécrire () et (3) sous la forme : v + L ( v v ) + LC d v 0 v L ( v v ) + LC d / v 0.b - Ces équations peuvent écrites sous la forme :

6 Vibrations et Ondes DS - 6/9 LC d v + + L v L v 0 LC d v + + L v L v 0 ce qui correspond bien à la forme d v + a v bv 0 d v + a v bv 0 avec : a LC + L LC + C et b C.c Calcul des fréquences propres : Le système est symétrique. On le résoud en passant aux variables : D(t) v v et S(t) v + v. On obtient les équations différentielles suivantes : d D + D 0 et dont la solution est : S(t) S 0 cos t + avec a b d S + + S 0` ( ) et D(t) D 0 cos + t + + LC et + a + b et + sont les pulsations des modes propres. Les fréquences propres sont donc : f pr. AN : f 905 Hz f Hz ( ). LC et f pr. L d - On trouve les expressions dans le cas de conditions initiales quelconques en passant de { D(t), S(t) } à { v (t), v (t) } : v (t) S + D v (t) S D S 0 cos ( t + ) + D 0 cos ( +t + + ) S 0 cos ( t + ) D 0 cos ( +t + + ) / Les constantes de ces expressions ( S 0, D 0, + et - ) sont obtenues à partir des conditions initiales (à t0) choisies..e Le er mode propre ( f pr. ) correspond à la situation v (t) v (t) ce qui signifie

7 Vibrations et Ondes DS - 7/9 que les extrémités de l inductance de couplage restent au même potentiel ; il n y a pas de courant dans. L oscillation se produit comme si le couplage n exitait pas, on retrouve bien les pulsations propres des oscillateurs isolés. Le ème mode prore ( f pr. + ) correspond à la situation v (t) v (t). Le potentiel «0» se trouve donc au milieu de la bobine. Le système est équivalent aux systèmes indépendants suivants. L C / / C L Ces circuits se ramènent aux circuits suivants, en introduisant une inductance L. L 0 L équiv L + L L. équivalente aux inductances L et L0/ placés en parallèle. 0 L + C L équiv C L équiv Régime forcé..a En régime forcé, la réponse permanente s écrit : (ici, les résistances étant négligées, il n y a pas de réponse transitoire) v (t) V ( ) e jt et v (t) V ( ) e jt.b Avec la ddp e(t), l équation de la maille () est modifiée comme suit : L di ( + i 0) + v E exc e jt et Il en résulte le système suivant pour v (t) et v (t): LC d v + + L v L v E exc e jt LC d v + + L v L v 0

8 Vibrations et Ondes DS - 8/9 En remplaçant les solutions ci-dessus dans les équations différentielles, on obtient le séquation algébriques pour v (t) et v (t): LC d v + + L v L v E exc e jt LC d v + + L v L v 0 Pour trouver les amplitudes de v (t) et v (t), on remplace les solutions dans les équations ci-dessus : LC ++ L V L V E exc L V + LC ++ L V 0 La résolution par la méthode de Cramers donne les solutions suivantes : (remarque : V et V et sont réels, on peut donc écrire : V et V ) V () V + L LC + L LC ( ) L + L LC L E exc L E exc.c La pulsation d antirésonance est celle qui annule la tension v. Elle est obtenue pour : + L LC 0, soit f AR Hz LC + L..d Les pulsations de résonances correspondent aux valeurs de qui donnent des valeurs maximales à V et V, c est-à-dire qui annulent le dénominateur des expressions ci-dessus : + L LC soit L LC et 0 LC f rés. et f rés. AN : f 905 Hz f Hz L +. Ce sont les pulsations propres du régime d oscillations libres.

9 Vibrations et Ondes DS - 9/9.e Allure des amplitudes de tension en fonction de : V V AR AR 0 0 V est positif quelque soit la pulsation, ce qui signifie que cette ddp est toujous en phase avec la ddp appliquée.