Plusieurs variables numériques (Prédire une des variables numériques selon les autres)

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1 FAMILY-SES.doc Plusieurs variables numériques (Prédire une des variables numériques selon les autres) 1 Problématique et méthodologie Problématique Méthodologie de l analyse 2 2 Un exemple : Le dossier FAMILY Présentation Les données Structure des données Question Source 3 3 Ouverture du fichier et sélection des variables Ouverture du fichier Sélection des variables à analyser 3 4 Analyser les liaisons entre VI Nuages bivariés entre VI Corrélations (simples) entre VI 4 5 Analyser les liaisons entre VI et VD Nuages bivariés entre VI(s) et VD Corrélations entre VI et VD Corrélations semi-partielles entre VI et VD Corrélations partielles entre VI et VD 6 6 Prédictions Équation de régression sur variables brutes Observés, prédits et résidus Prédiction individuelle 7 7 Analyser les poids de chaque VI Existence de liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD Inférence sur l existence de liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD Sens des liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD Inférence sur le sens des liaisons (partielles) entre VI et VD Ampleur des liaisons (partielles) entre VI et VD Inférence sur l ampleur des liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD 10 8 Comparer le poids des VI Coefficients B Coefficients Beta Variables centrées-réduites (scores Z) 12 9 Évaluer la qualité de la prédiction Voir les résidus Moyenne (quadratique) des résidus Coefficient de détermination, R² Inférence (intervalle de confiance) sur le coefficient de détermination R² Coefficient de corrélation multiple, R Décomposition des sommes de carrés (SC) et des variances 14

2 FAMILY-SES.doc PROBLÉMATIQUE ET MÉTHODOLOGIE 1.1 Problématique Soit une situation où l on cherche à prédire, pour un ensemble d individus, les valeurs d une variable numérique (variable à prédire ou VD) en fonction des valeurs de plusieurs autres variables numériques (variables prédictrices ou VI). La méthode appropriée est la régression multiple. Il existe de nombreuses variantes de cette méthode. Nous présentons ici la méthode la plus classique, la régression linéaire multiple. Elle consiste à rechercher une relation de type linéaire entre la VD et les VI, puis à évaluer si les données sont bien ajustées par une relation de ce type. 1.2 Méthodologie de l analyse Les analyses univariées d abord Avant de mettre en relation les variables, commencer par analyser chacune des variables, indépendamment des autres. On ne rapporte pas ces analyses ici. On se reportera à l exemple présenté par ailleurs (dossier NOTEBAC - Une variable numérique - Analyse de la distribution des valeurs) La description avant l inférence Commencer par l analyse descriptive (de l échantillon observé) avant de procéder à l analyse inférentielle (sur la population parente, inconnue). Les données sont recueillies sur un échantillon d individus (personnes, visages, voitures, familles, etc.). En général on cherche, à travers ce groupe, à savoir ce qu il en est de l ensemble des individus dont il est extrait, alors même qu il nous est impossible d observer tous les individus (pour des raisons de coût, temps, etc.). On parle d échantillon pour l ensemble observé et de population ou population parente pour l ensemble plus vaste des individus d où provient l échantillon. 2 UN EXEMPLE : LE DOSSIER FAMILY 2.1 Présentation Lors d'une étude réalisée au USA, 35 familles ayant une fille aînée (ou fille unique) en "ninth grade" (= classe de Troisième) ont été choisies au hasard. - Le père a répondu à un questionnaire sur ses intérêts pour le sport (échelle numérique de 0 à 50) : PERE. - La mère a répondu au même questionnaire : MERE. - Le professeur d'éducation physique de chacune des filles a noté (de 0 à 20) ses performances sportives : NOTE. - La fille a également répondu au même questionnaire que son père et sa mère : FILLE. 2.2 Les données PERE MERE NOTE FILLE i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

3 FAMILY-SES.doc Structure des données i i i i i i i i i Les quatre variables sont numériques mais ne sont pas toutes sur la même échelle (échelle de 0 à 50 pour trois d entre elles et note sur 20 pour l autre). 2.4 Question On se demande dans quelle mesure les trois variables (PERE, MERE et NOTE) permettent de prédire l intérêt de la fille pour le sport (FILLE). Si oui, quels sont les poids respectifs de chacune de ces variables. La question peut se noter formellement ainsi : PERE & MERE & NOTE FILLE 2.5 Source Hays, W.L. (1994) - Statistics, Fort Worth: Harcourt Brace College Publishers (5ème édition), p OUVERTURE DU FICHIER ET SÉLECTION DES VARIABLES 3.1 Ouverture du fichier - Lancer SES-Analyse - Menu Fichier Ouvrir un dossier SES (*.SES) - Sélectionner le dossier FAMILY.SES 3.2 Sélection des variables à analyser Menu Données à analyser - Définir un sous-ensemble de données à analyser N.B. La logique voudrait que les variables prédictrices, PERE, MERE et NOTE, soient sélectionnées comme VI et la variable à prédire, FILLE, comme VD. Toutefois, dans la version actuelle de SES-Pegase, c est l ordre de sélection des variables qui permet d indiquer au logiciel leurs statuts respectifs. Sélectionner d abord la variable FILLE comme VD, puis les variables PERE, MERE, NOTE, également comme VD. Valider en cliquant sur OK. Utiliser le Menu Analyse - Prédire la première variable pour procéder aux analyses qui suivent. Les titres et sous-titres qui suivent (cf. sommaire en fin de document) correspondent aux titres des sous-menus de «Prédire la première variable» et aux titres des options proposées dans les boîtes de dialogue. Les résultats présentés ici (tableaux, graphiques, copies d écrans) ont été obtenus avec la version de SES- Pegase.

4 FAMILY-SES.doc ANALYSER LES LIAISONS ENTRE VI A chaque fois que l on analyse la liaison entre deux variables numériques, on commence par visualiser le nuage bivarié (graphique de corrélation). Cela permet de voir si la liaison est de type linéaire, s il existe des valeurs atypiques, s il existe des groupes d individus, etc. Si les liaisons entre VI sont de type linéaire, on pourra alors calculer les corrélations de Bravais-Pearson. Analyse - Prédire la première variable Analyser les liaisons entre VI 4.1 Nuages bivariés entre VI Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les liaisons entre VI Nuages bivariés entre VI MERE (Intérêt de la mère pour le sport (0 à 50)) f f09 f28 f19 f01 f03 f22 f33 f08 f14 f05 f21 f06 f16 f02 f35 f24f10 f04 f23 f26 f32 f30 f12 f13 f18 f17 f29 f07 f11 f31 f27 f PERE (Intérêt du père pour le sport (0 à 50)) f34 f NOTE (Performances sportives de la fille (note sur 20)) f f09 f21 f03f22 f10 f31 f23 f16 f02 f17 f13 f12f11 f19 f06 f14 f04 f05 f30 f01 f07 f29 f35 f24 f32 f33 f26 f28 f08 f18 f27 f PERE (Intérêt du père pour le sport (0 à 50)) f34 f Pour visualiser les différents graphiques, utiliser la boite de dialogue, à droite du graphique. Il apparaît sur ces deux graphiques que la corrélation entre PERE et MERE (intérêt du père et de la mère pour le sport) est plus forte que celle entre intérêt du père pour le sport (PERE) et les performances physiques de la fille (NOTE). 4.2 Corrélations (simples) entre VI Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les liaisons entre VI Corrélations entre VI. Les valeurs indiquées dans le tableau sont celles du coefficient de corrélation linéaire de Bravais-Pearson, souvent noté r. Ce tableau confirme à ce qui était visible sur les nuages bivariés : - toutes les corrélations entre VI sont positives, - la corrélation entre PERE et MERE (r = +.77) est la plus forte, - les deux autres corrélations sont toutefois également fortes (supérieures à.40) ou modérées (comprises entre.20 et.40).

5 FAMILY-SES.doc ANALYSER LES LIAISONS ENTRE VI ET VD Avant de mettre en œuvre la régression il est utile d analyser les liaisons entre chaque VI et la VD. Une première manière de procéder est de regarder les graphes de corrélation pour analyser la nature de la liaison (de type linéaire ou autre). Du point de vue des indicateurs numériques, le plus simple est de calculer les coefficients de corrélations de Bravais-Pearson entre chaque VI et la VD. Mais dans ce contexte de la régression multiple, on s intéressera plutôt aux corrélations semi-partielles. En effet la corrélation entre une VD et une VI dépend des corrélations entre les VI. Les corrélations semi-partielles indiquent, pour chaque VI, la corrélation entre la VD et la part de la VI indépendante des autres VI (une fois enlevé ses liens avec les autres VI). Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les liaisons entre VI et VD 5.1 Nuages bivariés entre VI(s) et VD Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Nuages bivariés entre VI et VD. FILLE (Intérêt de la fille pour le sport (0 à 50)) f20 f09 f28 f22 f17 f07 f29 f19 f03 f01 f08 f18 f33 f13 f14 f24 f16f06f02 f35 f21 f10 f23 f05 f12 f04 f26 f30 f32 f15 f27 f31 f11 f34 f25 FILLE (Intérêt de la fille pour le sport (0 à 50)) f08 f18 f28 f33 f32 f24 f26 f20 f35 f21 f10 f11 f05 f12 f13 f23 f31 f09 f14 f34 f25 f17 f04 f06 f07 f29 f19 f01 f30 f02 f16 f22 f03 f15 f PERE (Intérêt du père pour le sport (0 à 50)) NOTE (Performances sportives de la fille (note sur 20)) 20 Utiliser la boite de dialogue, à droite des graphiques, pour sélectionner la VI à mettre en relation avec la VD. Comme pour l analyse des relations entre VI, pour analyser les relations entre VI(s) et VD, on commence par visualiser les nuages bivariés (graphiques de corrélations). Cela permet de voir si les liaisons sont de type linéaire, s il existe des valeurs atypiques, s il existe des groupes d individus, etc. Concernant la liaison entre PERE et FILLE, la liaison apparaît globalement positive. Toutefois, il semble qu il y ait : - un point relativement atypique. Il s agit de la famille f09 où le PERE a un faible intérêt pour le sport (environ 20) alors que la fille a un intérêt plus élevé pour le sport (environ 38), - de même deux points atypiques (f25 et f34) où le père a un intérêt très élevé pour le sport (environ 48) alors que la fille présente un intérêt plus faible (environ 35). - deux groupes hétérogènes (cf. le groupe composé de f08, f18, f28 f30)

6 FAMILY-SES.doc Corrélations entre VI et VD Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Corrélations entre VI et VD r_bp PERE MERE NOTE FILLE Il apparaît que, dans cet échantillon, il existe de fortes liaisons linéaires (>.40) entre chacune des VI (PERE, MERE, NOTE) et la VD (FILLE). Remarque: Chaque corrélation entre la VD et une VI n'est pas indépendante du lien existant entre cette VI et les autres VI. C est la raison pour laquelle on analysera également les corrélations partielles et semi-partielles. 5.3 Corrélations semi-partielles entre VI et VD Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Corrélations semipartielles entre VI et VD r_bp PERE MERE NOTE FILLE Chaque corrélation semi-partielle indique l'ampleur de la liaison entre la VD et la part de la VI indépendante des autres VI. Lorsqu on enlève de chaque VI ce qu elle a de commun avec les autres VI : - seule la liaison entre NOTE et FILLE reste forte (>.40). - la liaison entre PERE et FILLE n est plus que modérée (comprise entre.20 et.40), - la liaison entre MERE et FILLE apparaît alors faible (<.20). On analysera également les corrélations partielles. 5.4 Corrélations partielles entre VI et VD Chaque corrélation partielle indique le signe et l'ampleur de la liaison entre la VD et chaque VI, toutes deux «débarrassées» de ce qu elles ont en commun avec les autres VI. Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Corrélations partielles entre VI et VD r_bp PERE MERE NOTE FILLE Il apparaît alors que : - la VI la plus corrélée avec la VD (FILLE) est NOTE. La liaison est forte (>.40), - la liaison entre PERE et FILLE apparaît à nouveau forte (>.40), - seule la liaison entre MERE et FILLE est faible (<.20). cf. également les corrélations semi-partielles. 6 PRÉDICTIONS L objet central de la régression linéaire est l équation de régression. Cette équation permet de faire, pour chaque individu de l échantillon, des prédictions (estimations) sur les valeurs de la VD, connaissant les valeurs des VI. Sauf cas particulier, exceptionnel, ces prédictions ne correspondent pas aux valeurs effectivement observées. On peut alors calculer, pour chaque individu, l écart entre la valeur observée et la valeur prédite par l équation de régression. On parle d erreurs (de prédiction) ou encore de résidus pour nommer ces écarts. On peut enfin, pour un individu extérieur à l échantillon, utiliser l équation de régression pour estimer son score sur la VD, ne connaissant que ses scores sur les VI. Menu Analyse - Prédire la première variable - Prédictions

7 FAMILY-SES.doc Équation de régression sur variables brutes Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les prédictions Équation de régression sur variables brutes On obtient : FILLE_pred = +0,52xPERE -0,15xMERE +1,72xNOTE -0,52 Cette équation permet de prédire, pour chaque unité (ici chaque famille) l intérêt de la fille pour le sport (FILLE_pred) connaissant l intérêt du père pour le sport (PERE), l intérêt de la mère pour le sport (MERE) ainsi que ses performances physiques (NOTE). Ainsi pour la famille f1, cette équation permet de prédire un intérêt pour le sport égal à 22 (plus précisément 21.53) sur 50 pour la fille: FILLE_pred = +0,52x23-0,15x25 +1,72x8-0,52 = 21.5 (si on fait le calcul sur ces valeurs arrondies) N.B. : Il est également possible de calculer une équation de régression sur les variables centrées-réduites (scores z). On obtient alors des coefficients de régression nommés classiquement coefficients Beta. 6.2 Observés, prédits et résidus Menu Analyse - Prédire la première variable Prédictions Observés, Prédits et résidus Le tableau ainsi obtenu permet de voir, famille par famille, les écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la régression. Ainsi pour la famille f01, l intérêt de la fille pour le sport est de 24. L équation de régression lui prédit, compte tenu de l intérêt de son père pour le sport, de l intérêt de sa mère pour le sport, de sa note en sport, un intérêt pour le sport de L écart entre la valeur observée (24) et la valeur prédite (21.5) est de 2.5 (2.47 plus précisément). C est cette quantité (2.5) que l on désigne par résidu ou erreur (de prédiction). Remarque : placer le curseur de la souris sur une case du tableau pour afficher une valeur plus précise (par exemple, pour f01, pour la valeur prédite et pour le résidu). 6.3 Prédiction individuelle Il est possible de calculer, à partir de l équation de régression, une prédiction pour un individu extérieur à l échantillon. Menu Analyse - Prédire la première variable Prédictions Prédiction individuelle. Ainsi, supposons que l on ne connaisse pas, pour une fille, son intérêt pour le sport, mais que l on connaisse l intérêt de son père pour le sport (30), l intérêt de sa mère pour le sport (40) et enfin sa note en sport (15). Saisir ces trois valeurs dans les cases respectives puis cliquer sur le bouton Calcul. La prédiction (35) s affiche dans la case de droite («FILLE_pred»). On peut vérifier également sur une des filles de l échantillon, les valeurs prédites par l équation de régression (cf. tableau précédent). Ainsi pour f01 on a (cf. tableau de données) : PERE = 23 ; MERE = 25 ; NOTE = 8. Vérifier que l on retrouve bien FILLE_pred = Il est possible de calculer un intervalle de confiance sur la prévision (pas dans la version actuelle de SES-Pegase).

8 FAMILY-SES.doc ANALYSER LES POIDS DE CHAQUE VI Il s agit maintenant d analyser, pour chacune des VI, son poids dans la prédiction de la VD. Pour cela, on analyse les coefficients de régression partielles (coefficients B de la régression). On commencera par vérifier que le poids de chaque VI n est pas nul, puis analyser le sens de la liaison à partir des signes des coefficients B, puis l ampleur de la liaison à partir de la valeur absolue de ces coefficients. Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI La première question (existence de liaisons entre VI et VD) a un intérêt moindre que les deux autres (sens et ampleur des liaisons entre VI et VD). C est la raison pour laquelle la case correspondante n est pas cochée. Elle peut l être par l utilisateur. Elle permet alors d accéder au test F traditionnel. 7.1 Existence de liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Existence de liaisons (partielles) entre VI et VD. Comme indiqué dans la zone de commentaires de la fenêtre ci-dessus, toutes les VI (PERE, MERE, NOTE) ont un poids non nul (B différent de 0) dans la prédiction de la VD (FILLE=Intérêt de la fille pour le sport). 7.2 Inférence sur l existence de liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD La conclusion précédente ne concerne que l échantillon. Pour voir ce qu il en est au niveau de la population, cliquer sur le bouton Inférer (cf. ci-dessus). Le test F permet d évaluer si, dans la population, il existe au moins une VI qui prédit une part non nulle de la VD. L hypothèse nulle (H0) est : «Dans la population, toutes les VI ont un poids nul». On peut voir également ce test comme le test d une autre hypothèse nulle, équivalente à la précédente : «Dans la population, R² = 0». Comme indiqué dans la zone de commentaires, le fait que le test F soit significatif permet de conclure qu au moins une des VI a un poids dans la prédiction de FILLE. Ce constat n est qu une première étape de l analyse du poids des VI dans la prédiction. En effet, ce test n indique pas, lorsqu il est significatif comme ici, si toutes les VI ont un poids (et si oui quel est le sens de ce poids) et il ne permet pas de conclure à un poids important de ces VI. Il faut alors étudier, pour chaque VI, le sens et l ampleur de son poids dans la prédiction.

9 FAMILY-SES.doc Sens des liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Sens des liaisons (partielles) entre VI et VD Les coefficients de l équation de régression s affichent avec leur commentaire : Comme indiqué dans la zone de commentaires de la fenêtre ci-dessus : Dans cet échantillon : - en moyenne, les autres variables étant maintenues constantes, si PERE augmente, FILLE tend également à augmenter (B > 0), - en moyenne, les autres variables étant maintenues constantes, si MERE augmente, FILLE tend à diminuer (B < 0), - en moyenne, les autres variables étant maintenues constantes, si NOTE augmente, FILLE tend également à augmenter (B > 0). Pour voir ce qu il en est au niveau de la population, cliquer sur le bouton Inférer. 7.4 Inférence sur le sens des liaisons (partielles) entre VI et VD Lorsque la fenêtre précédente est affichée, cliquer sur le bouton Inférer pour obtenir les résultats suivants : Il semble que, dans la population, les autres variables étant maintenues constantes : - en moyenne, si PERE augmente, FILLE tend également à augmenter (t[31]=2,63, p=.013 <.05, Significatif). - on ne peut pas se prononcer sur le sens du lien entre MERE et FILLE (t[31]=-0,65, p=.5189 >.05, Non Significatif). - en moyenne, si NOTE augmente, FILLE tend également à augmenter (t[31]=6,29, p=<.0001 <.05, Significatif). Chaque test t permet de confirmer, lorsqu il est significatif, que le sens de l effet de la VI dans la population est le même que dans l échantillon. Si le test t est non significatif, on ne peut pas conclure à l existence d un effet de la VI dans la population, ni a fortiori de son sens. N.B. : Un test t significatif ne signifie pas que l effet de la VI est important. Les analyses qui suivent permettent de se prononcer sur l ampleur et l importance de l effet de chaque VI.

10 FAMILY-SES.doc Ampleur des liaisons (partielles) entre VI et VD Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser les poids de chaque VI Ampleur des liaisons entre VI et VD Comme indiqué dans la zone de commentaires de la fenêtre de résultats précédente : Dans cet échantillon, les autres variables étant maintenues constantes, en moyenne : - si PERE augmente de 1, FILLE tend à augmenter de 0,52 (cf. B), - si MERE augmente, FILLE tend à diminuer de -0,15 (cf. B), - si NOTE augmente de 1, FILLE tend à augmenter de 1,72 (cf. B). Si on considère, dans ce contexte particulier (cette échelle est notée de 0 à 50) qu un coefficient B est important lorsqu il est supérieur à 0.50, on conclut ici à un effet important de PERE et de NOTE. Pour savoir ce qu il en est dans la population, cliquer sur le bouton Inférer. 7.6 Inférence sur l ampleur des liaisons (partielles) entre chaque VI et la VD Lorsque la fenêtre précédente est affichée, cliquer sur le bouton Inférer pour obtenir les résultats suivants : La première ligne rappelle les valeurs des coefficients de régression partiels (B) observés dans l échantillon. Les deux dernières lignes de ce tableau indiquent, pour chaque VI, les limites inférieures et supérieures des intervalles de confiance (au seuil.05) sur la valeur de ces coefficients dans la population parente : Dans la zone de commentaire on trouve un commentaire se rapportant à chaque VI. Ainsi, pour PERE, IC(.05)=[0,12;0,92]. Dans la population, le coefficient de régression est compris entre 0,12 et 0,92 (au seuil p =.05). Cet intervalle confirme que le coefficient de régression est positif dans la population (l'intervalle ne comprend que des valeurs positives). Le test t nous avait déjà indiqué ce résultat. Selon le critère défini précédemment (poids fort de la VI si le coefficient de régression est supérieur à 0.50) : - on ne peut pas conclure à un effet important de PERE (l intervalle comprend des valeurs inférieures à 0.50) - on ne peut pas conclure à un effet important de MERE (l intervalle comprend des valeurs inférieures à 0.50) - on peut conclure à un effet important de NOTE (l intervalle ne comprend que des valeurs supérieures à 0.50)

11 FAMILY-SES.doc COMPARER LE POIDS DES VI On se demande quelle est, parmi l ensemble des variables prédictrices, celle qui est la meilleure prédictrice, une fois enlevé l effet des autres variables. Si les variables sont toutes sur la même échelle, on peut se prononcer en comparant les coefficients B. Dans le cas contraire (le plus courant), on comparera les coefficients Beta. Il s agit des coefficients de régression partiels obtenus en mettant en œuvre la régression sur les variables centrées-réduites (scores Z). Accessoirement, on pourra afficher ces variables centrées-réduites et l équation de régression obtenue sur ces variables. 8.1 Coefficients B Menu Analyse - Prédire la première variable Comparer le poids des VI Coefficients B On obtient le tableau des coefficients B (cf. équation de régression ci-dessus). Ici les variables ne sont pas sur la même échelle : on a des scores sur une échelle d intérêt pour le sport, de 0 à 50, et des performances physiques notées de 0 à 20. On ne peut pas comparer ces coefficients. En effet leur valeur dépend du codage choisi pour chaque variable. Ainsi, les coefficients auraient été différents si la performance physique de la fille avait été notée sur 10 ou sur 40 au lieu de Coefficients Beta Les coefficients Beta sont les coefficients de régression obtenus après avoir centré et réduit l ensemble des variables (VI et VD). Les variables étant alors toutes sur la même échelle (moyenne= 0 et écart-type= 1) les coefficients de régression peuvent être comparés. Menu Analyse - Prédire la première variable Comparer le poids des VI Coefficients Beta L équation de régression sur ces variables centrées et réduites (scores Z) est donc : FILLE_Zpred = +0,40xPERE_Z -0,10xMERE_Z +0,66xNOTE_Z Pour cet échantillon, c'est la variable NOTE qui a le poids le plus fort (Beta = 0,66).

12 FAMILY-SES.doc Variables centrées-réduites (scores Z) Le calcul des coefficients Beta n implique pas, pour l utilisateur, de calculer les variables centrées-réduites. Toutefois on peut souhaiter voir ces variables. Menu Analyse - Prédire la première variable Comparer le poids des VI Variables réduites Il est possible de sauvegarder ces variables dans la base de données (cf. icône ). 9 ÉVALUER LA QUALITÉ DE LA PRÉDICTION Un premier moyen d évaluer la qualité de la prédiction (qualité de l ajustement) de la VD par les VI est d analyser les résidus. Des résidus élevés traduisent une prédiction de mauvaise qualité ; des résidus faibles traduisent une prédiction de bonne qualité. D autres indices permettent d évaluer la qualité de la prédiction : le coefficient de détermination R² (ajusté ou non) et le coefficient de corrélation multiple. Ces indices s appuient sur la comparaison des variances de la variable prédite et de la variable résiduelle. Menu Analyse - Prédire la première variable Évaluer la qualité de la prédiction 9.1 Voir les résidus Menu Analyse - Prédire la première variable Évaluer la qualité de la prédiction Voir les résidus Rappelons que les résidus, ou erreurs, sont les écarts, individu par individu, entre la valeur observée de la VD et la valeur prédite par l équation de régression pour cette VD. FILLE_rés. = Écarts entre valeurs observées et valeurs prédites par la régression. L analyse de ces résidus (minimum, maximum, moyenne) donne une première indication de la qualité de la prédiction. Ces résidus peuvent être sauvegardés en tant que variable dans la base de données (cf. icône ).

13 FAMILY-SES.doc Moyenne (quadratique) des résidus L écart-type (corrigé ou non) est un indice de la qualité de la prédiction. Ces indices doivent être lus comme des moyennes des résidus. Menu Analyse - Prédire la première variable Évaluer la qualité de la prédiction (quadratique) des résidus Moyenne Selon l indice considéré, on peut conclure que la moyenne (quadratique) des résidus est de 5,18 (Ety=5,18) ou de 5,50 (EtyC=5,50). C est le contexte qui peut seul permettre de décider si des résidus moyens de 5 points sur une échelle de 0 à 50 peuvent être considérés comme faibles ou importants. N.B. : l écart-type corrigé est également connu sous le nom d erreur type de l estimation. 9.3 Coefficient de détermination, R² Menu Analyse - Prédire la première variable Évaluer la qualité de la prédiction Coefficient de détermination R². On trouve R² = 72%. Les variables prédictrices rendent compte de 72% de la variance de FILLE (R²=72%). Cette valeur apparaît importante. cf. également Coefficient de détermination ajusté. Cet indice compense la tendance de R² à augmenter en fonction du nombre de variables prédictrices. 9.4 Inférence (intervalle de confiance) sur le coefficient de détermination R² Lorsque la fenêtre précédente (R²) est affichée, cliquer sur le bouton Inférer pour obtenir un intervalle de confiance sur R² dans la population. ATTENTION: Ce calcul est une bonne approximation seulement pour ddl > 60 (ici, ddl = 31). IC(.05) = [58% ; 86%]. Il semble que, dans la population, R² est compris entre 58% et 86% (au seuil.05) Référence : Cohen, Cohen, Weist, Aiken (2003), p.88. Sous la réserve précédente (ici n = 35 < 60) on peut conclure à un R² parent important (l'intervalle ne comprend que des valeurs supérieures à 16%).

14 FAMILY-SES.doc Coefficient de corrélation multiple, R Menu Analyse - Prédire la première variable Évaluer la qualité de la prédiction Coefficient de corrélation multiple R. On trouve R = 0,85. La corrélation (multiple) entre FILLE d une part et la combinaison des variables prédictrices (PERE, MERE et NOTE) d autre part, est de 0,85 (R=+0,85). Cette corrélation apparaît importante (>.40). 9.6 Décomposition des sommes de carrés (SC) et des variances Les deux tableaux suivants affichent les statistiques (sommes de carrés et variances) qui sont à la base du calcul du coefficient de détermination R² : Menu Analyse - Prédire la première variable Évaluer la qualité de la prédiction Décomposition des sommes de carrés (SC) On constate la propriété de décomposition des sommes de carrés : Somme des carrés totale=somme des carrés prédite par la régression+somme des carrés résiduelle (non prédite par la régression) Le coefficient de détermination R² permet d évaluer la part de SC_pred par rapport à la SC_totale. R² = SC_pred / SC_totale = 2443 / 3380 = 0.72 (72%). De la même manière qu avec les sommes de carrés, R² peut être calculé à partir des variances prédites et résiduelles : Menu Analyse - Prédire la première variable Analyser le poids global des VI Décomposition des variances On constate la propriété de décomposition des variances : Variance totale=variance prédite + Variance résiduelle Le coefficient de détermination R² permet d évaluer la part de V_pred par rapport à la V_totale. R² = V_pred / V_totale = 69.8 / 96.6 = 0.72 (72%).