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1 Situation Comparaison d une distribution à une loi normale Edouard Dutrait a deux vaches (Paquerette et Noirette) qui produisent environ 50 litres de lait par jour. André Galax désire lui acheter sa meilleure laitière et lui demande de faire des statistiques sur la production laitière de ses vaches pendant un an. Voici les relevés d'edouard Dutrait : ces relevés indiquent pour chacune des vaches le nombre de jours de l'année correspondant à une même production de litres de lait. Nombre de jours Nombre de litres de lait par jour Paquerette Noirette André Galax veut savoir : laquelle de ces deux vaches produit le plus de lait par jour? laquelle des deux est la plus régulière? laquelle des deux est la plus sûre? CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p1/9

2 Plan de travail 1 - Laquelle des deux vaches produit le plus de lait par jour? On peut suggérer que celle qui produit le plus est celle qui a la moyenne la plus élevée sur l'année. 2 - Laquelle des deux vaches est la plus régulière? C'est celle dont la production fluctue le moins. On peut regarder : l'étendue (la plus régulière sera celle qui a l'étendue la plus faible) la variance autour de la moyenne (la plus régulière sera celle qui a la variance la plus faible). 3 - Laquelle des deux est la plus sûre? La plus sûre est celle qui a la répartition la plus homogène* Faire les histogrammes des deux productions en prenant des tranches de 1 litre (on suppose qu'un relevé de 43 litres correspond à des productions comprises entre 42,5 litres et 43,5 litres). Est-ce que les histogrammes ont l'allure d'une courbe en "cloche"? Faire les courbes des fréquences cumulées. Les moyennes sont-elles confondues avec les modes et les médianes? Retrouve-t-on sur les graphiques les seuils de confiance de la loi normale? * Quand une population est homogène, sa répartition suit une loi normale de probabilité. Loi normale CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p2/9

3 Corrigé 1 - Laquelle des deux vaches produit le plus de lait par jour? La moyenne arithmétique donnera le bon renseignement. P = P = 50,42 litres par jour N = N = 50 litres par jour Paquerette semble produire un peu plus. 2 - Laquelle des deux vaches est la plus régulière? On mesure l'étendue : Paquerette entre 43 et 57 étendue 14 litres / jour Noirette entre 45 et 55 étendue 10 litres / jour On calcule l'écart type : Paquerette : V p = 1886, = 5,17 σ p = 2,27 litres / jour Noirette : V n = = 373 σ n = 1,94 litres / jour Noirette semble plus régulière que Paquerette. CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p3/9

4 3 - Laquelle des deux vaches est la plus sûre? 3.1 Analyse des histogrammes : L'histogramme de Paquerette a l'allure d'une courbe en "cloche" symétrique par rapport à la classe modale [49,5-50,5[ L'histogramme de Noirette ne présente pas de symétrie par rapport à une valeur centrale, il n'a pas l'allure d'une courbe en "cloche". La répartition est bimodale. CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p4/9

5 3.2 Comparaison des mode, moyenne, médiane Tableau des effectifs et des fréquences cumulées Paquerette Nombre de litres et lait/jour inférieur à Effectifs Effectifs cumulés Noirette Fréquences cumulées Effectifs Effectifs cumulés 42, % 43, ,3 % 44, ,8 % 0 0 0% 45, ,9 % 2 2 0,5 % 46, ,4 % ,0 % 47, ,0 % ,7 % 48, ,7 % ,5 % 49, ,6 % ,6 % 50, ,5 % ,0 % 51, ,3 % ,2 % 52, ,1 % ,9 % 53, ,1 % ,4 % 54, ,0 % ,2 % 55, ,9 % ,0 % 56, ,5 % 57, % Fréquences cumulées CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p5/9

6 Courbe des fréquences cumulées Attention : Les effectifs (ou fréquences) cumulés sont croissants. Pour la construction de la courbe des effectifs (ou fréquences) cumulés il faudra pendre la borne supérieure de chaque classe : - Il y a eu 1 jour où la production de lait a été inférieure à 43,5 litres, - Il y a eu 3 jours où la production de lait a été inférieure à 44,5 litres, Il y a eu 365 jours où la production de lait a été inférieure à 57,5 litres. Paquerette Noirette 100% 100% fréquences 50% fréquences 50% 0% % litres de lait litres de lait CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p6/9

7 En résumé Paquerette : Moyenne = 50,42 Classe modale = [49,5-50,5[ Médiane = 50,4 (lue sur la courbe des fréquences cumulées) Le mode, la moyenne et la médiane sont confondus. Noirette : Moyenne = 50 2 classes modales = [48,5-49,5[ [51,5-52,5[ Médiane = 50,4 (lue sur la courbe des fréquences cumulées). La moyenne et la médiane sont confondues, mais il y a deux classes modales. CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p7/9

8 3.3 Lecture sur la courbe des fréquences cumulées des fréquences correspondant aux intervalles caractéristiques de la loi normale : Paquerette : x ± 1σ 50,42 ± 2,27 48,15 < P < 52,69 Ce qui correspond à 67 % des effectifs (82,5-15,5) x ± 2σ 50,42 ± 4,54 45,15 < P < 54,96 Ce qui correspond à 95 % des effectifs (98-3) La production laitière de Paquerette semble suivre une loi normale de distribution : L'histogramme est symétrique par rapport à la classe modale, le mode, la moyenne et la médiane sont confondus, on retrouve sur la courbe des fréquences cumulées les proportions correspondant aux intervalles caractéristiques de la loi normale. CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p8/9

9 Noirette : x ± 1σ 50 ± 1,94 48,15 < N < 52,69 Ce qui correspond à 67 % des effectifs x ± 2σ 50 ± 3,88 46,12 < N < 53,88 Ce qui correspond à 95,5 % des effectifs La production laitière de Noirette ne semble pas suivre une loi normale de distribution même si on retrouve sur la courbe des fréquences cumulées les proportions correspondant aux intervalles caractéristiques de la loi normale : l'histogramme n'est pas symétrique par rapport à une classe modale, le mode, la moyenne et la médiane ne sont pas confondus. Conclusion: Paquerette est plus sûre que Noirette. CUEEP Département Mathématiques E904 : Comparaison d une distribution à une loi normale p9/9