Chapitre n 2 : DYNAMIQUE ET LOIS DE CONSERVATION

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1 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Chapitre n : DYNAMIQUE ET LOIS DE CONSERVATION La dynamique (classique) étudie les relations qui existent entre les causes qui ont provoqué le mouvement (les forces) et la nature du mouvement (rectiligne uniforme, rectiligne uniformément varié, à accélération constante ). Dans cette leçon, nous allons montrer, d'autre part, que parmi les grandeurs physiques attachées à un système, certaines prennent une importance particulière car elles se conservent au cours de l'évolution du système. I) Les principes de la mécanique : 1) Première loi de Newton : principe d'inertie : a) Définitions : Un système est dit isolé lorsqu'aucune force extérieure ne lui est appliquée. Un système est dit pseudo-isolé lorsque la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle : ΣF = 0 Remarque : En toute rigueur, il n'existe pas de système isolé puisque, en particulière, les forces de gravitation ont une portée infinie. Remarque : Un objet parallélépipédique immobile sur un plan incliné est en équilibre sous l'action de deux forces : sont poids et la réaction du plan (le contact entre l'objet et le plan a lieu avec frottements). On peut considérer l'objet comme étant pseudo-isolé. Remarque : Un mobile autoporteur en fonctionnement, immobile sur la table à coussin d'air horizontale est en équilibre sous l'action de deux forces : son poids et la réaction de la table (le contact, entre le mobile et la table, a lieu sans frottement grâce au coussin d'air). b) Expérience : On étudie le mouvement d'un mobile autoporteur sur la table à coussin d'air horizontale. L'intérêt de la table à coussin d'air est que le mobile reste pseudo-isolé même s'il est en mouvement (à condition que la table soit horizontale). L'expérience montre que les positions successives occupées par le point G (projection sur le plan de la table du centre d'inertie G 0 ), et enregistrées à intervalles de temps réguliers, sont alignée est équidistantes : Le mouvement du centre d'inertie G 0 du mobile autoporteur sur la table à air horizontale (solide pseudo-isolé) est rectiligne et uniforme. c) Enoncé : Le centre d'inertie d'un système isolé ou pseudo-isolé est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme ou demeure immobile, dans à un référentiel galiléen : ΣF = 0 te v C = c Ecole Européenne de Francfort Page 5

2 d) Référentiel galiléen : Dynamique et lois de conservation En dynamique on postule l'existence de référentiels particuliers, les référentiels galiléens (première loi de la mécanique). Un référentiel est considéré comme galiléen si, le principe d'inertie y est vérifié. Deux référentiels galiléens sont en mouvement de translation rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre. Quelques référentiels galiléens utilisés en Physique : - référentiel universel, centré sur la Galaxie et dont les axes visent trois galaxies très éloignées. C'est le référentiel le plus galiléen. Utilisé parfois en astrophysique. - référentiel héliocentrique, centré sur le Soleil et dont les axes visent trois étoiles très éloignées. Il est utilisé pour l'étude du mouvement des planètes des astéroïdes ou des sondes interplanétaires. On peut déterminer l'écart à la "galiléennité" du référentiel héliocentrique par rapport au référentiel universel car le Soleil tourne autour du centre de la Galaxie : v S = 500 km.s 1 ; R G = a-l; a = 5, m.s. - référentiel géocentrique, dont l'origine est le centre de la Terre et dont les axes visent trois étoiles très éloignées. Il est utilisé pour l'étude du mouvement des satellites terrestre, station orbitale ou navettes spatiales. Il est en translation circulaire par rapport au référentiel héliocentrique : v translation = 30 km.s 1 ; D S-T = 1, m; a = 6, m.s. - référentiel du laboratoire (ou référentiel terrestre) peut être considéré comme galiléen pour des expériences de faible étendue et de courte durée. Ce référentiel est en rotation par rapport au référentiel géocentrique : v équateur = 463 m.s 1 ; R T = 6, m ; écart à la "galiléennité" : a = 3,3.10 m.s. ) Deuxième loi de Newton : loi fondamentale de la dynamique : a) Expérience : On considère l'enregistrement du mouvement d'un mobile autoporteur relié à un point fixe C par l'intermédiaire d'un fil tendu, et lancé sur la table à coussin d'air horizontale (T.P.). En appliquant la technique graphique étudiée dans la leçon précédente, on construit le vecteur accélération a i en un point M i à partir des vecteurs vitesses v i 1 et vecteur intermédiaire v i = v i+1 -- v i 1 on obtient : i+1 v et du Les vecteurs accélération a 3 et a 7 sont dirigés vers le point fixe C. On vérifie sur l'enregistrement que δv a même direction et même sens que T tension du fil. On peut donc dire que durant un bref intervalle de temps la tension T du fil (dont la direction radiale est matérialisée par le fil lui-même) modifie de δv le vecteur vitesse du palet autoporteur, avec T parallèle à δv Page 6 Christian BOUVIER

3 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne D'une façon générale, lorsqu'un mobile est soumis à une action de la part du milieu extérieur sa vitesse varie. Une force appliquée à un solide peut modifier son mouvement (table à air inclinée, chute libre d'une balle...). Nous allons ériger en principe cette correspondance et de plus : m. δv / étant homogène à des kg.m.s 1 /s = kg.m.s = N nous pouvons énoncer : b) Enoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son C.I.. ΣF = m. dvg = m. a G dt Nous admettrons que cette formulation n'est valable que si les vitesses misent en jeu (en particulier v G ) restent petites en mesure devant la vitesse de la lumière c : v G << c 3) Troisième loi de Newton : loi d'interaction : On considère deux solides en interaction. Soit F 1 la force qu'exerce le solide n 1 sur le solide n et F 1 la force qu'exerce le solide n sur le solide n 1 : L'expérience montre que F 1 et F 1 ont même direction et même support mais des sens opposés et sont telles que F 1 = F 1. Lorsqu'un système (S 1 ) exerce une force F 1 sur un système (S ), le système (S ) exerce au même instant une force F 1 sur le système (S 1 ). Ces deux forces ont même droite d'action et F 1 = F 1 Remarque : La Terre, de masse M T, exerce sur un objet de masse m, une force (le poids de l'objet) de même intensité que celle qu'exerce l'objet sur la Terre! Mais d'après la deuxième loi de Newton, comme M T >> m, les effets de cette force sont très différents sur l'objet (qui tombe vers la Terre) et sur la Terre (qui reste insensible à la présence de l'objet). II) Travail et puissance d'une force : 1) Travail élémentaire : On étudie un objet qui se déplace, un point M de cet objet sur lequel s'exerce une force F qui n'est pas forcément la cause du déplacement. Au cours du mouvement, on considère un tout petit déplacement δl du point d'application M de la force F. Durant ce petit déplacement, on peut considérer la force comme constante. Par définition le travail élémentaire de F au cours du petit déplacement δl est : δw = F. δl c'est un produit scalaire, F et δl ne sont pas toujours parallèles. On peut faire apparaître l'angle entre F et δl :δw = F. δl.cos( F, δl ) = F.δl.cos( F, δl ) Remarque : Le travail δw est un scalaire (produit scalaire). * Si la force est orthogonale au déplacement (cos( F, δl ) = 0) le travail est nul. * Si l'angle entre F et δl est inférieur à π/, δw est positif, le travail est dit moteur. * Si l'angle entre F et δl est supérieur à π/, δw est négatif, le travail est dit résistant. Ecole Européenne de Francfort Page 7

4 Dynamique et lois de conservation ) Travail d'une force lors d'un déplacement fini : Le travail effectué par la force F au cours du déplacement de son point d'application, de A en B, suivant un trajet C, est par définition égal à la somme des travaux élémentaires le long du trajet C : W (F) = Σ δw = Σ F. δl AB AB AB Si la force F varie au cours du déplacement et si le trajet de M est quelconque, cette somme est en général difficile à calculer. Nous allons considérer quelques cas particuliers. a) Force localisée et constante : Si la force F est constante on peut écrire : Géométriquement, on vérifie que D'où AB Σ AB δl = W (F) = AB AB Σ δw = AB Σ F. AB W (F) = F. AB = F. AB.cos( F, AB ) δl = F. Le travail d'une force localisée et constante ne dépend pas du trajet du point d'application de cette force mais uniquement des positions A et B de départ et d'arrivée. b) Forces localisée constamment orthogonale au déplacement : Si la force F varie au cours du déplacement mais reste constamment orthogonal au déplacement, on aura : δw = F. δl = 0 constamment Et W (F) = Σ δw = Σ F. δl = 0 AB AB AB Le travail d'une force localisée et constamment orthogonale au déplacement de son point d'application d'un point A à un point B est nul. c) Forces réparties : Si la force F est la somme de deux forces constantes F 1 et F, soit F = F 1 + F on a : W (F) = F. AB = ( F 1 + F ). AB = F 1. AB + F. AB = W (F1) + W (F) AB Remarque : Les actions qui s'exercent sur un mobile à l'échelle macroscopique sont souvent des actions réparties et dans le cas général, cet ensemble de forces n'est pas équivalent à une force unique. Dans certains cas l'ensemble de forces réparties est équivalent à une force unique : poids, poussée d'archimède... 3) Exemple du calcul du travail du poids : L'action de la pesanteur sur un solide est un ensemble de forces réparties équivalent à une force unique, le poids P appliqué au centre de gravité G du solide. On a P = m.g Nous verrons que dans un domaine limité de l'espace le poids P d'un objet peut être considéré comme une force constante. Soient A et B les positions départ et d'arrivée de G lors du déplacement du solide. Le travail du poids est donné par : W (P) = P. AB = P. AB.cos( P, AB ) or, on sait que AB.cos( P, AB ) = z A z B AB où z A et z B sont les altitudes des points A et B. AB AB Σ AB δl Page 8 Christian BOUVIER

5 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne On a donc - Si z A > z B (descente) - Si z A < z B (montée) AB AB W (P) = -- m.g.(z B -- z A ) W (P) > 0 le travail du poids est "moteur" : W (P) < 0 le travail du poids est "résistant" : AB W (P) = m.g.h AB W (P) = -- m.g.h AB 4) Puissance d'une Force : On considère une force F agissant sur un objet en mouvement dans un référentiel galiléen. A un instant de date t, pour un petit déplacement δl du point d'application M de la force d'une durée (très petite), le travail élémentaire de la force est : δw = F. δl. La puissance instantanée de la force F, à la date t, est par définition : δw P(t) = = F (t). δl = F (t). v (t) IV) L'énergie en mécanique classique : 1) Configurations et états d un système : On considère un système (S) dont on étudie l'évolution dans un référentiel (R). La donnée des positions des différentes parties du système (S) par rapport à (R), constitue une "photo instantanée" du système, c'est une configuration du système. La seule donnée d'une configuration ne permet pas de prévoir l'évolution future du système. Si en plus des positions des différentes parties du système on se donne leurs vitesses, on définit un état du système. On distinguera donc une configuration et un état du système (S). ) Définitions : a) Energie potentielle : L'énergie potentielle E P est définie pour une configuration du système étudié. On doit choisir une configuration particulière pour définir l'origine des énergies potentielles, pour cette configuration, on posera donc E P = 0. L'énergie potentielle d'un système dans une configuration donnée, est égale au travail que devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon quasistatique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la configuration donnée. Remarque : L'énergie potentielle d'un système est la somme des différentes formes de l'énergie potentielle qui se calculent indépendamment (gravitation, électrique, élasticité, atomique, nucléaire ). Dans une étude, seules les formes de l'énergie potentielle susceptibles de varier doivent être exprimées! b) Energie Cinétique : L'énergie cinétique E C est définie dans un référentiel donné. En 6 ème année, nous verrons que l'expression de l'énergie cinétique est une conséquence de la loi fondamentale de la dynamique et de la définition générale de la puissance, en mécanique classique. Cette année nous donnons la définition : L'expression de l'énergie cinétique E C d'un objet de masse m, animé d'une vitesse v dans un référentiel (R) est : E C = 1.m.v Ecole Européenne de Francfort Page 9

6 Dynamique et lois de conservation 3) Exemples de calcul de l'énergie potentielle : a) Energie potentielle de pesanteur : Nous voulons déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E Pg (M) d'un objet de masse m dont le centre de gravité G est situé en un point M. Nous devons choisir "une configuration pour définir l'origine des énergies potentielles" : prenons, par exemple, (mais ce n'est pas une obligation) la configuration dans laquelle l'objet a son centre de gravité G situé en un point M 0 d'altitude z = 0, donc E Pg (0) = 0. Soit z l'altitude du point M. Pour déplacer, de façon quasi-statique, l'objet du point M 0 (configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles) au point M (configuration étudiée), un opérateur devrait exercer, à chaque instant une force F op telle que : F op + P = 0 ou Nous savons que W (P) = -- m.g (z M -- z M0 ) donc M0 M F op = -- P et (Fop M0 M (Fop M0 M W ) = -- W ) = m.g (z M -- z M0 ) W (P) L'expression de l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de masse m, dont le centre de gravité G coïncide avec un point M, situé à une altitude z par rapport à un plan horizontal pris comme référence de l'énergie potentielle, est : E Pg (M) = m.g.z Puisque z M = z et que z M0 = 0 b) Energie potentielle d'élasticité d'un ressort : Nous voulons déterminer l'expression de l'énergie potentielle d'élasticité E Pé d'un ressort de raideur k et de longueur (à vide) l 0, lorsque la variation de sa longueur est l = l l 0. l > 0 si le ressort est allongé, et l < 0 si le ressort est comprimé. Nous devons définir une configuration origine : prenons la configuration dans laquelle le ressort est au repos (ni allongé, ni comprimé), donc E Pé (l 0 ) = 0. Sur un axe Ox orienté parallèlement à l'axe du ressort, prenons comme origine de l'axe la position de l'extrémité du ressort à vide, donc E Pé (x = 0) = 0. Désignons par x l'abscisse de l'extrémité du ressort, donc x = l avec x > 0 si le ressort est allongé et x < 0 si le ressort est comprimé. On peut écrire vectoriellement : On sait que la force de rappel T (tension) exercée par le ressort est proportionnelle à son allongement : T = k.x. i Pour allonger le ressort, un opérateur doit donc exercer une force F op opposée à la tension du ressort : F op = + k.x. i - Lorsque l'opérateur étire le ressort de x à x + δx, la force qu'il exerce voit son point d'application se déplacer de δl = δx. i. Nous pouvons supposer que le déplacement δl est suffisamment petit pour qu'on puisse considérer la force F op comme constante. Le travail élémentaire fourni par l'opérateur est : δw = F op. δl = k.x. i.δx. i = k.x.δx.( i ) or ( i ) = 1 le travail élémentaire est donc : δw = k.x.δx - Lorsque l'opérateur étire le ressort depuis sa position de repos (x = 0) à x = x 0, il fournit un travail : W (Fop ) = Σ δw = Σ k.x.δx x = 0 x0 x = 0 x 0 x = 0 x 0 M0 M Page 30 Christian BOUVIER

7 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Calcul de cette somme par une méthode graphique : On trace la droite représentant la mesure de la force exercée par l'opérateur F op en fonction de l'allongement x du ressort : F op = k.x. i F op = k.x Dans ce repère, k.x.δx, est la surface du petit rectangle ABCD de largeur δx et de hauteur k.x. Si on confond l'aire de ce rectangle avec celle du trapèze ABED, on commet une erreur d'autant plus petite que la largeur AB = δx est plus petite. Le travail W (Fop ) est l'aire S formée de la x = 0 x0 somme de tous les petits rectangles. Si la largeur δx des rectangles tend vers 0 (leur nombre tend vers l'infini!), l'aire S tend vers celle du triangle rectangle OM 0 M, de base OM 0 = x 0 et de hauteur M 0 M = k.x 0. On a donc : W (Fop ) = Σ δw = Σ k.x.δx = 1.k.x x = 0 x 0 x = 0 x 0 0 x = 0 x0 C'est la définition géométrique de la notion d'intégrale : (Fop ) x = 0 x0 W = 0 Ecole Européenne de Francfort Page 31 x k.x.dx = 1.k.x 0 0 L'expression de l'énergie potentielle d'élasticité d'un ressort de raideur k, dont la variation de longueur est x 0, lorsqu'on choisit l'allongement nul pour définir l'origine de l'énergie potentielle, est : E Pé (x 0 ) = 1.k.x 0 V) Loi de conservation de l'énergie : 1) Energie mécanique : Par définition, l'énergie mécanique d'un système dans un référentiel donné est égale à la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles. E M = E C + E P ) Système conservatif : Un système est conservatif lorsqu'il est mécaniquement isolé et n'est soumis qu'à des forces intérieures conservatives. Nous admettrons que seules les forces conservatives sont liées à une énergie potentielle. Exemple : La force de gravitation, le poids, la force électrique sont des forces conservatives. Remarque : Le frottement constitue un exemple de force non conservative. L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante au cours du temps. Si l'énergie mécanique d'un système conservatif est constante, nous pouvons écrire que la variation de cette énergie mécanique entre deux instants de date t 1 et de date t est nulle : E M = 0 = E M -- E M1 = E C + E P -- (E C1 + E P1 ) = E C -- E C1 + E P -- E P1 = E C + E P Nous en déduisons : E C = -- E P La variation d'énergie cinétique d'un système conservatif est égale à l'opposé de la variation de son énergie potentielle.

8 3) Système non conservatif : Dynamique et lois de conservation La variation d'énergie mécanique d'un système non conservatif est égale au travail des forces intérieures et extérieures non conservatives appliquées au système. Exemple : Le frottement de l'air sur un véhicule est une force extérieure non conservative. La force de freinage du véhicule est une force intérieure non conservative. La variation d'énergie mécanique d'un système non conservatif étant égale au seul travail des forces non conservatives, nous pouvons écrire qu'entre deux instants de date t 1 et de date t : E M = E C + E P = ΣW( F non conservative ) Nous en déduisons : E C = -- E P + ΣW( F non conservative ) 4) Théorème de l'énergie cinétique : Il est parfois plus commode de s'intéresser uniquement à la variation d'énergie cinétique d'un système. Nous avons vu que le calcul de l'expression d'une énergie potentielle faisait intervenir le travail "quasi-statique fictif" d'un opérateur. A chaque instant la force F op exercée par l'opérateur est l'opposée de la force conservative F conservative dont on calcul l'énergie potentielle puisque : F op + F conservative = 0 Entre deux instants de date t 1 et de date t, nous pouvons écrire : W( F op ) = -- W( F conservative ) = E P On a donc -- E P = W( F conservative ) Et, d'après le paragraphe précédent : E C = W( F conservative ) + ΣW( F non conservative ) D'où le théorème de l'énergie cinétique : La variation d'énergie cinétique d'un système entre deux instants de dates t 1 et t, dans un référentiel galiléen, est égale au travail de toutes les forces (conservatives ou non) appliquées au système entre ces deux instants : E C -- E C1 = = E C t1 t 5) Energie interne d'un système de particules : W [ Σ(F)] On considère un système formé de plusieurs particules. Comme l'énergie cinétique dépend de la vitesse, sa valeur dépend toujours du référentiel utilisé pour l'étude du système. On a donc intérêt à calculer l'énergie cinétique d'un système de particules, par rapport à un référentiel lié au centre d'inertie du système. L'énergie cinétique du système est alors appelée énergie cinétique interne E C,int. L'énergie potentielle interne du système E P,int ne dépend que de la distance entre les particules. On appelle énergie interne U d'un système de particules, la somme de son énergie cinétique interne et de son énergie potentielle interne : U = E C,int + E P,int Exemple : Dans le cas d'un gaz formé de molécules, U est composé de l'énergie cinétique de translation et de rotation des molécules et de l'énergie cinétique de vibration des atomes dans les molécules ainsi que de l'énergie potentielle d'élasticité des liaisons inter atomiques et éventuellement des liaisons intermoléculaires. t1t Page 3 Christian BOUVIER

9 VI) Quantité de mouvement : 1) Expérience : Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Considérons le cas de deux palets autoporteurs liés entre eux d'une façon rigide, de masses m 1 et m, de centres d'inerties G 1 et G, lancés sur la table à air horizontale. L'ensemble des deux palets se comportent comme un système pseudo isolé : le centre d'inertie G du système a donc un mouvement rectiligne et uniforme. Par définition, à chaque instant, la position du centre d'inertie G est donné par : m 1. GG 1 + m. GG = 0 Ou, en considérant un point fixe O, du laboratoire (galiléen) : m 1. GO + m 1. OG 1 + m. GO + m. OG = 0 Soit, à chaque instant : m 1. OG 1 + m. OG = (m 1 + m ). OG Au cours du mouvement les points G, G 1 et G se déplacent, mais la relation reste vraie à chaque instant. Sur une petite durée, les points se déplacent de δog 1, δog et δog. d'où : m 1.δOG 1 + m. δog = (m 1 + m ). δog Enregistrement du mouvement de G, G 1 et G sur la table à coussin d'air horizontale: Par unité de temps, on peut écrire : m 1. δog1 + m δog = (m 1 + m ). δog D'après la définition du vecteur vitesse : v 1 = δog1, v = δog et v G = δog D'après le principe d'inertie : m 1. v 1 + m. v = (m 1 + m ). v G = c te On voit donc que, d'après le principe d'inertie, c'est la grandeur (m 1 + m ). v G qui se conserve et non la vitesse v G. D'où l'intérêt de définir une nouvelle grandeur : Ecole Européenne de Francfort Page 33

10 ) Définition : Dynamique et lois de conservation Considérons un objet ponctuel de masse m, animé d'une vitesse référentiel (R). v, mesurée dans un La quantité de mouvement d'une particule de masse m, animée, à un instant donné, d'une vitesse v par rapport à un référentiel (R), est : p = m. v La quantité de mouvement d'un système de particules, définie dans un référentiel (R), est égale à la somme vectorielle des quantités de mouvement de chacune des particules dans ce référentiel. Exemple : On considère deux particules de masses m 1 et m, animées de vitesses v 1 et v par rapport à un référentiel (R), la quantité de mouvement du système dans (R) est : p = p 1 + p = m 1. v 1 + m. v 3) Loi de conservation de la quantité de mouvement : La loi de conservation de la quantité de mouvement est une autre expression du principe d'inertie. La quantité de mouvement d'un système isolé, ou pseudo isolé, reste constante au cours du temps, dans un référentiel galiléen. 4) Energie cinétique et quantité de mouvement : Il est possible d'exprimer l'énergie cinétique d'une particule en fonction de sa quantité de mouvement. Pour une particule de masse m, animée d'une vitesse v dans un référentiel (R), l'énergie cinétique est E C = 1.m.v et la quantité de mouvement est p = m. v Soit E C = p.m VII) Introduction des relations de la mécanique relativiste : 1) Energie de masse et relation d'einstein : Jusqu'à présent, nous avons considéré des objets macroscopiques ou des particules qui étaient toujours animées de vitesses petites devant la célérité c de la lumière. Dans ces conditions, une particule isolée, de masse m, animée d une vitesse de mesure v dans un référentiel galiléen (R), ne possède qu une seule forme d énergie mécanique susceptible de varier, son énergie cinétique E C = 1.m.v. En physique atomique ou en physique nucléaire nous verrons que même une particule au repos dans un référentiel galiléen (R) possède une forme d énergie susceptible de varier : son énergie de masse E 0 = m.c. D une façon générale, nous admettrons que lorsque l énergie d un système varie de E, sa masse varie proportionnellement de m suivant la formule très connue d'einstein : E = m.c C'est l'aspect énergétique de la mécanique relativiste. Dans ces conditions, une particule animée d une vitesse de mesure v non négligeable devant c, dans un référentiel galiléen (R), possède une énergie totale de la forme : E = m.c v c Page 34 Christian BOUVIER

11 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Son énergie de masse étant E 0 = m.c, l'expression de l'énergie cinétique de la particule dans le référentiel galiléen (R), en mécanique relativiste, est : E C = E -- E 0 D'où E C = m.c -- m.c = m.c.( ) v v c c On montre en mathématique que v + 3.v 4 + v.c 8.c 4 c Donc : E C = m.c.( ) = m.c.( v + 3.v 4 + ) v.c 8.c 4 c Si la vitesse v est petite devant c (v << c mécanique classique), alors v << 1 c En négligeant les termes du quatrième degrés et plus, on retrouve l'expression classique : E C m.c.( v ) =.c 1.m.v Exemple : Pour la Terre qui se déplace à la vitesse v = 30 km.s --1 = m.s --1 dans son périple autour du Soleil, on a : v /c = << 1 Remarque : Un véhicule animé, d'une vitesse v = 108 km.h --1 = 30 4 m.s --1, de masse m = 1000 kg et qui est brusquement arrêté, voit sont énergie cinétique varier de E C = 1.m.v = 4, J à zéro. Son énergie mécanique est transformée en énergie de déformation et en chaleur, mais sa masse a également variée : m = kg parfaitement négligeable! Les effets relativistes de l'énergie ne se manifestent que dans les phénomènes nucléaires. ) Quantité de mouvement en mécanique relativiste : En mécanique relativiste, la quantité de mouvement d'une particule de masse m animée d'une vitesse v dans un référentiel galiléen (R) est donnée par : p = m v et une mesure p = m.v v v c c 3) Relation entre énergie et quantité de mouvement : En prenant le carré des deux membres de l'égalité p = m v, on obtient : v c p = m.v d'où l'on tire : v p.c = [1] v m.c + p c En prenant le carré des deux membres de l'égalité E = m.c, on obtient : v c E = m.c 4 d'où l'on tire : v = E.c m.c 6 [] v E c p.c On élimine v entre les égalités [1] et [] : = E.c m.c 6 m.c + p E D'où E = m.c 4 + p.c Ou E = m.c 4 + p. c Ecole Européenne de Francfort Page 35

12 I) Les principes de la mécanique : Dynamique et lois de conservation A RETENIR 1) Première loi de Newton : principe d'inertie : Définitions : Un système est dit isolé lorsqu'aucune force extérieure ne lui est appliquée. Un système est dit pseudo-isolé lorsque la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle : ΣF = 0 Enoncé : Le centre d'inertie d'un système isolé ou pseudo-isolé est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme ou demeure immobile, dans à un référentiel galiléen : ΣF = 0 te v C = c Référentiel galiléen : Un référentiel est considéré comme galiléen si, le principe d'inertie y est vérifié. Deux référentiels galiléens sont en mouvement de translation rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre. ) Deuxième loi de Newton : loi fondamentale de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son C.I.. ΣF = m. dvg = m. a G dt Nous admettrons que cette formulation n'est valable que si les vitesses misent en jeu (en particulier v G ) restent petites en mesure devant la vitesse de la lumière c : v G << c 3) Troisième loi de Newton : loi d'interaction : F 1 Lorsqu'un système (S 1 ) exerce une force sur un système (S ), le système (S ) exerce au même instant une force F 1 sur le système (S 1 ). Ces deux forces ont même droite d'action et F 1 = F 1 II) Travail et puissance d'une force : 1) Travail élémentaire : Le travail élémentaire de F au cours du petit déplacement δl est : δw = F. δl c'est un produit scalaire, F et δl ne sont pas toujours parallèles. On peut faire apparaître l'angle entre F et δl : δw = F. δl.cos( F, δl ) = F.δl.cos( F, δl ) * Si la force est orthogonale au déplacement (cos( F, δl ) = 0) le travail est nul. * Si l'angle entre F et δl est inférieur à π/, δw est positif, le travail est dit moteur. * Si l'angle entre F et δl est supérieur à π/, δw est négatif, le travail est dit résistant. Page 36 Christian BOUVIER

13 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne ) Travail d'une force lors d'un déplacement fini : Le travail effectué par la force F au cours du déplacement de son point d'application, de A en B, suivant un trajet C, est égal à la somme des travaux élémentaires le long du trajet C : W (F) = Σ δw = Σ F. δl AB AB AB Le travail d'une force localisée et constante ne dépend pas du trajet du point d'application de cette force mais uniquement des positions A et B de départ et d'arrivée. Le travail d'une force localisée et constamment orthogonale au déplacement de son point d'application d'un point A à un point B est nul. 3) Exemple du calcul du travail du poids : Soient A et B les positions départ et d'arrivée de G lors du déplacement du solide. Le travail du poids est donné par : W (P) = P. AB = P. AB.cos( P, AB ) = AB.cos( P, AB ) = z A z B AB où z A et z B sont les altitudes des points A et B. On a donc W (P) = -- m.g.(z B -- z A ) - Si z A > z B (descente) - Si z A < z B (montée) AB AB W (P) > 0 le travail du poids est "moteur" : W (P) < 0 le travail du poids est "résistant" : AB 4) Puissance d'une Force : La puissance instantanée de la force F, à la date t, est par définition : δw P(t) = = F (t). δl = F (t). v (t) IV) L'énergie en mécanique classique : 1) Configurations et états d un système : W (P) = m.g.h AB W (P) = -- m.g.h La donnée des positions des différentes parties du système (S) par rapport à (R), constitue une "photo instantanée" du système, c'est une configuration du système. Si en plus des positions des différentes parties du système on se donne leurs vitesses, on définit un état du système. ) Définitions : a) Energie potentielle : L'énergie potentielle d'un système dans une configuration donnée, est égale au travail que devrait fournir un opérateur extérieur pour faire passer le système, d'une façon quasistatique, de la configuration choisie pour définir l'origine des énergies potentielles à la configuration donnée. b) Energie Cinétique : L'expression de l'énergie cinétique E C d'un objet de masse m, animé d'une vitesse v dans un référentiel (R) est : E C = 1.m.v AB Ecole Européenne de Francfort Page 37

14 Dynamique et lois de conservation 3) Exemples de calcul de l'énergie potentielle : a) Energie potentielle de pesanteur : L'expression de l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de masse m, dont le centre de gravité G coïncide avec un point M, situé à une altitude z par rapport à un plan horizontal pris comme référence de l'énergie potentielle, est : E Pg (M) = m.g.z b) Energie potentielle d'élasticité d'un ressort : L'expression de l'énergie potentielle d'élasticité d'un ressort de raideur k, dont la variation de longueur est x 0, lorsqu'on choisit l'allongement nul pour définir l'origine de l'énergie potentielle, est : E Pé (x 0 ) = 1.k.x 0 V) Loi de conservation de l'énergie : 1) Energie mécanique : Par définition, l'énergie mécanique d'un système dans un référentiel donné est égale à la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles. E M = E C + E P ) Système conservatif : Un système est conservatif lorsqu'il est mécaniquement isolé et n'est soumis qu'à des forces intérieures conservatives. Seules les forces conservatives sont liées à une énergie potentielle. L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante au cours du temps. La variation d'énergie cinétique d'un système conservatif est égale à l'opposé de la variation de son énergie potentielle : E C = -- E P 3) Système non conservatif : La variation d'énergie mécanique d'un système non conservatif est égale au travail des forces intérieures et extérieures non conservatives appliquées au système. E M = E C + E P = ΣW( F non conservative ) Et E C = -- E P + ΣW( F non conservative ) 4) Théorème de l'énergie cinétique : La variation d'énergie cinétique d'un système entre deux instants de dates t 1 et t, dans un référentiel galiléen, est égale au travail de toutes les forces (conservatives ou non) appliquées au système entre ces deux instants : E C -- E C1 = = W [ Σ(F)] 5) Energie interne d'un système de particules : On appelle énergie interne U d'un système de particules, la somme de son énergie cinétique interne et de son énergie potentielle interne : U = E C,int + E P,int VI) Quantité de mouvement : 1) Définition : La quantité de mouvement d'une particule de masse m, animée, à un instant donné, d'une vitesse v par rapport à un référentiel (R), est : p = m. v E C t1 t t1t Page 38 Christian BOUVIER

15 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne 3) Loi de conservation de la quantité de mouvement : La quantité de mouvement d'un système isolé, ou pseudo isolé, reste constante au cours du temps, dans un référentiel galiléen. 4) Energie cinétique et quantité de mouvement : Pour une particule de masse m, animée d'une vitesse cinétique est : E C = p.m v dans un référentiel (R), l'énergie VII) Introduction des relations de la mécanique relativiste : 1) Energie de masse et relation d'einstein : Lorsque l énergie d un système varie de E, sa masse varie proportionnellement de m suivant la formule très connue de Einstein : E = m.c Une particule animée d une vitesse de mesure v non négligeable devant c, dans un référentiel galiléen (R), possède une énergie totale de la forme : E = m.c v c Si la vitesse v est petite devant c (v << c mécanique classique), on retrouve l'expression classique : E C m.c.( v ) =.c 1.m.v ) Quantité de mouvement en mécanique relativiste : La quantité de mouvement d'une particule de masse m animée d'une vitesse référentiel galiléen (R) est : p = m v et p = m.v v v c c v dans un 3) Relation entre énergie et quantité de mouvement : E = m +.c 4 p. c Ecole Européenne de Francfort Page 39

16 Dynamique et lois de conservation POUR S'ENTRAÎNER I) Force d'un joueur. Pour éprouver sa force, un joueur dispose d'une piste sur laquelle il propulse puis abandonne un palet de masse m. La piste située dans un plan vertical est formée d'une partie rectiligne et horizontale, raccordée tangentiellement à un arc de cercle, raccordé lui-même à une partie rectiligne inclinée. Le schéma représente la trajectoire suivie par le centre d'inertie G du palet. L'épreuve est réussie si G parvient en D, à une hauteur h au-dessus du plan horizontal qui contient AB. Les frottements sont négligés. Une force de propulsion F, constante, d'intensité F, est exercée sur le palet tout le long du trajet AA' de longueur AA' = l. Cette force cesse en A'. On prendra : intensité de la pesanteur de la pesanteur g = 10 m.s 1. a) v est la vitesse du C.I. G du palet en A'. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et : i. Exprimer la mesure v de la vitesse de G en A' en fonction de F, l et m. ii. Exprimer v en fonction de h pour que G atteigne D avec une vitesse nulle. b) Déduire des questions a) i. et a) ii. la mesure F de la force de propulsion qui permet à G d'arriver en D avec une vitesse nulle. On exprimera F en fonction de m, l et h, puis on calculera F pour h = 1,5 m; l = 0,5 m; m = 5 kg. II) Fusée. a) Une fusée ayant, au départ, la masse totale M = 60 t, quitte verticalement la terre. On néglige la résistance de l'air; on suppose que le champ de pesanteur terrestre garde la valeur constante g T = 9,8 m.s durant la première minute de vol, la masse de la fusée et la force de poussée exercée par les moteurs demeurent constantes au cours du mouvement. i. Quelle doit être la force de poussée des moteurs pour que l'accélération du mouvement de la fusée ait la valeur 0,7 g T? ii. Quelles sont la vitesse et l'altitude, par rapport à la Terre, atteintes par la fusée après 1 min. de fonctionnement? iii. Un cosmonaute, logé dans le compartiment habitable de la fusée a, équipement compris, la masse m = 100 kg. Quelle force, la fusée exerce-t-elle sur lui durant la première minute du mouvement? b) Le champ de pesanteur lunaire garde la valeur constante g L = 1,6 m.s. Le repère Lune est pratiquement galiléen. On se propose de poser un engin sur la Lune. Cet engin de masse M' = 3 t est à 50 km du sol lunaire et sa vitesse par rapport à la Lune, de valeur km.h 1, est dirigée vers le sol lunaire, suivant la verticale lunaire; on freine son mouvement de chute en allumant des rétrofusées. i. Quelle doit être la force de freinage supposée constante pour que l'engin arrive au sol lunaire avec une vitesse nulle? ii. Calculer la durée de fonctionnement des rétrofusées. Page 40 Christian BOUVIER

17 Physique - 6 ème année - Ecole Européenne III) Marche d'un train. Une locomotive de masse M L = 8 tonnes, tire un wagon de masse M W = 000 kg sur une voie horizontale. - Le convoi démarre à la date t = 0 et effectue un mouvement rectiligne uniformément accéléré sur une distance d 1 = 80 m. - Ayant atteint la vitesse de mesure v = 0 m.s 1, il parcourt une distance d = 800 m avec un mouvement rectiligne uniforme. - La locomotive freine alors et le convoi s arrête après une durée t 3 = 5 s de freinage. a) i. Calculer les valeurs de l accélération au cours des 3 phases du mouvement. ii. Calculer la durée totale t du trajet. iii. Calculer la distance totale d parcourue. b) L ensemble du convoi est soumis à une force de frottement de mesure supposée constante f = 800 N. i. Calculer la mesure F 1 de la force motrice de la locomotive dans la première phase, puis celle F dans la seconde phase. ii. Calculer la mesure F 3 force de freinage se rajoutant à la force de frottement, dans la troisième phase, sachant qu il n y a plus de force motrice. c) Un ressort de raideur k = 0 N.m 1, au bout duquel est accrochée une masse de m = 00 g, est attaché au plafond du wagon. i. Dans quelle phase le ressort est-il vertical? Calculer son allongement l. ii. Expliquer ce qu il se passe dans la première phase. Calculer l angle θ dont s incline le ressort par rapport à la verticale, et son nouvel allongement l'. d) Le convoi aborde une pente inclinée d un angle α = 5 avec l'horizontale, avec une vitesse de masure v = 0 m.s 1 qui reste constante durant toute la montée. La force de frottement de mesure f = 800 N est toujours présente. i. Faire un schéma clair représentant les forces qui s'exercent sur le convoi ({locomotivewagon}). ii. Calculer l'intensité F de la force motrice. iii. A partir du système {locomotive} ou du système {wagon}, calculer la tension du crochet les reliant. On supposera que la force de frottement est également répartie, d'intensités f W = 400 N sur le wagon et f L = 400 N sur la locomotive. iv. Expliquer en vertu de quel principe on peut calculer cette tension à partir d un système ou de l autre. IV) Etude d'un mobile sur une glissière. Une glissière est formée de deux parties : AB est un plan incliné d'un angle α = 30 par rapport à l'horizontale, de longueur AB = l = 1 m. BC est une portion de cercle, de centre O, de rayon r = OB = m et θ 0 = ( OC, OB ) = 60. Dans tout le problème on prendra g = 10 m.s et on considérera les frottements comme négligeables. Un solide ponctuel, de masse m = 100 g, quitte A sans vitesse initiale. a) Exprimer la mesure v B de la vitesse du solide en B. b) Le solide aborde la partie circulaire de la glissière avec la vitesse v B. Exprimer, pour un point M du cercle tel que ( OC, OM) = θ, la mesure vm de la vitesse en fonction de v B, r, g et θ. Ecole Européenne de Francfort Page 41

18 Dynamique et lois de conservation c) Quelle est, au point M, la réaction R de la glissière sur l'objet? Exprimer R en fonction de v B, r, g, θ et m. d) Montrer que le solide quitte la piste circulaire en un point N et calculer θ 1 = ( OC, ON) Quelle est, à partir de N, la nature du mouvement du solide? V) Vélivoliste et vol à voile.. Un planeur et son pilote ont une masse m = 300 kg. a) Lorsque le centre de gravité du système {planeur-pilote) est situé à l altitude z 1 = 41 m, la vitesse de translation du planeur, dans le référentiel terrestre, est v 1 = 90 km.h 1. i. Donner l expression puis calculer, dans le référentiel terrestre, l énergie cinétique E C1 du système {planeur-pilote} et l énergie potentielle de pesanteur E P1 du système {Terreplaneur-pilote} en prenant pour référence le sol. ii. Donner l expression et calculer l énergie mécanique E M du système {Terre-planeur-pilote}. Dans la suite on considérera le système {Terre-planeur-pilote} comme conservatif. b) Le pilote désire atteindre une vitesse v = 110 km.h 1. i. De combien doit-il descendre ( z) au minimum pour atteindre cette vitesse. ii. Quelle serait son altitude finale z? iii. L hypothèse faite au ) a) est-elle conforme aux lois du vol à voile? Commenter. VI) Mouvement de rotation. Un mobile autoporteur a une masse m = 0,600 kg, déterminée à l'aide d'une balance. On désire retrouver cette valeur, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique. Le mobile est accroché à l'extrémité A d'un dynamomètre. Il peut tourner sans frottement sur la table à air horizontale, autour d'un point O de l'axe de rotation. On lance l'ensemble dynamomètre et mobile. On observe l'indication du dynamomètre durant un certain temps. Cette indication est constante, mais la lecture n'étant pas aisée, on lit environ 0,35 N. On réalise simultanément l'enregistrement de la projection du centre d'inertie G du mobile sur la table, à intervalles de temps réguliers t = 60 ms, à l'aide d'un dispositif à étincelles. On observe que toutes les traces sont sur un cercle de centre O', de rayon R = 0,150 m, et que 1 traces consécutives (0 intervalles!) déterminent un angle au centre de 135 (angle mesuré avec le rapporteur). a) Représenter les forces agissant sur le mobile en rotation. Quelle est la nature de son mouvement? b) Calculer la masse m du mobile, en précisant les limites entre lesquelles le résultat de la mesure peut être compris, sachant que la force lue au dynamomètre est comprise entre 0,34 N et 0,36 N, et que les traces ayant une épaisseur, le rayon est connu à 1 mm près et la lecture au rapporteur est faite à 1 près. Comparer avec la valeur m donnée par la balance. Page 4 Christian BOUVIER