TRAVAUX DIRIGÉS DE S 3

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1 TRAVAUX DIRIGÉS DE S 3 Eercice 1 : Superposition de deu ondes On considère sur une corde les deu ondes progressives représentées ci-contre. 1. Tracer l allure de la corde à différents instants, notamment quand les deu ondes se superposent A B C. Que dire de l aspect de la corde quand les ondes se superposent? quelle différence avec une corde au repose? 3. Représenter l altitude de A en fonction du temps sur une courbe. Faites de même pour B et C. 1. Dans l ordre : rouge, bleu cyan, magenta,. orsque les ondes se superposent, la corde est plate, mais la vitesse des points de la corde n est pas nulle : c est donc l inertie du milieu qui permet à l onde de continuer à se propager 3. B reste tout le temps à, les autres courbes ont la même forme que la forme de la corde Eercice : Ondes progressives 1. On étudie une onde d équation s(z, t) = 75 sin ( πt 5 πz ) 1 où s s eprime en cm, t en s et z en m. (a) Donner l amplitude, la période, la fréquence, la pulsation, le vecteur d onde (norme direction et sens), et la longueur d onde de l onde. (b) Dans quelle direction et dans quel sens se propage-t-elle? Quelle est sa célérité?. Une onde sinusoïdale se propage dans la direction des positifs avec la célérité c. En =, on a s(,t) = S cos πt T Donner l epression de s(,t) et tracer l allure du signal temporel perçu en = Une onde sinusoïdale se propage dans la direction des négatifs avec la célérité c. À t =, on a s(,) = S sin π Donner l epression de s(,t) et tracer l allure des variations spatiales du signal à t = T 4. 1

2 1. On reconnait l équation d une onde sinusoïdale progressive qu on peut aussi écrire sous la forme s(z, t) = s(,t z [ ( c ) = S m cos ω t z ) ] ( πt + ϕ = S m cos(ωt kz + ϕ) = 75 sin c 5 πz ) 1 avec ω = πf = π, k = π et la phase à l origine ϕ = π car cos(α π ) = sin α. T (a) Par identification, on en déduit l amplitude S m = 75 cm, la pulsation ω = π 5 6,3.1 rad.s 1, la fréquence f telle que ω = πf = π 5 f = 1 Hz, la période T telle que ω = π = π T = 1 = 1 s, T 5 f le vecteur d onde a pour norme k = π,31 1 m 1, directionoz, sens + u z et la longueur d onde telle que k = π = π 1 = π k = m. (b) Comme l onde est une fonction de la variable t z, elle se propage dans le sens des z c croissants à la célérité c = =, T 1 m.s 1.. Si l onde est sinusoïdale et se propage dans la direction des croissants avec la célérité c, on peut l écrire sous la forme s(,t) = S m cos(ωt k + ϕ) = S m cos( πt T π + ϕ) Comme en =, on a s(,t) = S cos πt T S m cos ( πt T π ) + ϕ s(,t) = S cos on en déduit = S cos πt T S m = S et ϕ = ( πt T π ) En =, en reportant dans l epression précédente, 4 s ( = ( πt 4,t) = S cos T π ) ( πt = S cos 4 T π ) = S sin πt T S s ( = 4,t) T T t S 3. De la même façon, si l onde est sinusoïdale et se propage dans la direction des négatifs avec la célérité c, on peut l écrire sous la forme s(,t) = S m cos(ωt + k + ϕ) = S m cos( πt T + π + ϕ)

3 Comme à t =, on a s(,) = S sin π ( π S m cos T + π s(,t) = S cos + ϕ on en déduit ) = S sin π S m = S et ϕ = π ( πt T + π π ) ( πt = S sin T + π ) A t = T, en reportant dans l epression précédente, 4 s (,t = T ( ) πt = S sin 4 4T + π ) ( π = S sin 4 + π ) = S cos π s ( ),t = T 4 S S Eercice 3 : Ondes progressives sinusoïdales 1. Donner la période, la fréquence, la pulsation, la longueur d onde et le vecteur d onde de l onde : s(,t) = 5 sin(,4.1 3 πt 7,π +,7π) où et t sont eprimés respectivement en mètres et en secondes. Quel est le sens et la vitesse de propagation de cette onde?. Une onde sinusoïdale se propage dans la direction de l ae (O) dans le sens des croissants à la célérité c (a) epression du signal de l onde au point d abscisse 1 est s 1 ( 1,t) = A cos(ωt). En déduire l epression de s 1 (,t). Représenter s 1 (,) en fonction de. (b) On donne s (,t) = A sin(ωt). Déterminer l epression de s (,t). Représenter graphiquement s (,t) et s 4 (,t) en fonction de t. 1. On reconnait l équation d une onde sinusoïdale progressive qu on peut aussi écrire sous la forme [ ( s(, t) = S m cos ω t ) ] + ϕ = S m cos(ωt k + ϕ) = 5 sin(,4.1 3 πt 7,π +,7π) c Par identification, on en déduit la pulsation ω =,4.1 3 π 7,5.1 3 rad.s 1, la fréquence f = ω π = 1,.13 Hz et enfin la période T = 1 f 8,3.1 4 s. le nombre d onde k = 7,π m 1 et = π k,9 m. 3

4 Il s agit d une onde progressive dans le sens des croissants, sa célérité est c = T 348 m.s 1, il peut s agir d une onde sonore.. (a) onde est sinusoïdale et se propage dans la direction des croissants avec la célérité c, ainsi, s 1 (,t) = s 1 ( 1,t 1 ) = A cos(ωt k + k 1 ) avec k = ω c c On représente l allure de s 1 (,), la photographie à l instant initiale, en utilisant le fait que la courbe sinusoïdale doit passer par un maimum en = 1 à l instant initial t = puisque s( 1,t) = A. cos ωt. s 1 (,) A 1 A (b) onde est sinusoïdale et se propage dans la direction des croissants avec la célérité c donc s (,t) = s (,t π ) = A sin(ωt k) = A sin(ωt c ) On en déduit puis on trace s (,t) = A sin(ωt π ) = A cos ωt en quadrature avance 4 sur s (,t) et s (,t) = A sin(ωt π) = A sin ωt en opposition de phase sur s (,t). s (,t) s ( 4,t) t Eercice 4 : Ondes électromagnétiques es antennes qui émettent des ondes électromagnétiques dans l espace, ou qui les reçoivent, doivent avoir une longueur de l ordre de la longueur d onde des ondes émises. On choisit généralement un sous-multiple comme 4, Pour transmettre la radio, on pourrait envisager d émettre des signau électromagnétiques ayant les mêmes fréquences que les sons audibles (audiofréquences), entre Hz et khz. Calculer les longueurs d onde dans l air de telles ondes électromagnétiques. Conclure. On donne la célérité de la lumière dans le vide c = 3,.1 8 m.s 1 et on considèrera qu elle est identique dans l air.. On transforme alors ces signau par un procédé appelé modulation de fréquence (FM), qui leur donne des fréquences beaucoup plus élevées, entre 87 MHz et 18 MHz. Calculer les longueurs d onde dans l air des ondes de radio FM, et en déduire l ordre de grandeur de la taille des antennes nécessaires. 4

5 1. énoncé nous donne la célérité c des ondes électromagnétiques, les fréquences et on doit calculer la dimension des antennes quart-onde d 1 = et huitième-d onde d =. 8 8 Il nous suffit donc d appliquer la relation c =.f = c f d 1 4 On peut résumer les réponses dans ce tableau = c 4f et d 1 8 = c 8f fréquence (Hz) (m) d 1/4 (m) d 1/8 (m) , , , , Il faudrait des antenne dont les dimensions seraient de l ordre du km, voire de plusieurs milliers de km!! Il est donc impossible de transmette directement les sons audibles de cette manière.. On reprend les applications numériques précédentes : fréquence (Hz) (m) d 1/4 (cm) d 1/8 (cm) , , En utilisant la modulation de fréquence (FM) on diminue très largement la dimension des antennes pour se ramener à quelques dizaines de cm. Eercice 5 : Tuyau d orgue On modélise la partie d un tuyau d orgue qui se trouve au dessus du biseau par un tube ouvert à ses deu etrémités. es tranches de la colonne d air contenue dans le tube vibrent parallèlement à l ae du tube. Dans le modèle proposé, il y a toujours un noeud de pression à chaque etrémité du tube. 1. Représenter les variations de pression (onde stationnaire) dans le tube dans le mode fondamental.. Faire une représentation analogue à la figure précédente pour le deuième puis le troisième harmonique. 3. Donner la fréquence de ces deu harmoniques en fonction de la fréquence f 1 du mode fondamental. 4. Pour un tube de longueur = 13,8 cm, quelle est la fréquence du mode fondamental? 5. Comment la hauteur du son varie-t-elle avec la longueur du tube? 6. On bouche une etrémité du tube, calculer la nouvelle fréquence du fondamental. 1. Représentation de pression acoustique dans le tube dans le mode fondamental : =. p() à différents t. Pour l harmonique de rang tel que = =. 5

6 p() à différents t Et enfin l harmonique de rang 3 tel que = 3. p() à différents t 3. harmonique de rang n correspond à = n 1 f 3 = 3f 1. = nc f n f n = nc = nf 1 soit ici f = f 1 et 4. Pour = 13,8 cm et en prenant c = 343 m.s 1 la célérité du son dans l air on calcule f 1 = c = 343 1,9 khz., a relation f 1 = c implique que f 1 est inversement proportionnelle à. Ainsi lorsque diminue, f 1 augmente ce qui correspond à un son fondamental plus aigu. Inversement, si augmente le fondamental devient plus grave. 6. On peut supposer qu en bouchant une etrémité du tube, on créé un ventre de vibration à cet endroit. Dans le mode fondamental on obtiendra alors ce type de variation de pression acoustique dans le tube. p() à différents t On a alors = = c 4 4f 1 deu etrémités. f 1 = c = f 1 4 comme si on avait doublé la longueur du tube ouvert au Eercice 6 : Tube à ondes stationnaires Un haut-parleur est placé à l entrée d un tube à ondes stationnaire. Il est alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation ω. a célérité des ondes sonores est notée c. Haut parleur z 1. Quelle est la grandeur physique qui oscille?. Donner la forme de l onde p i (z,t) engendrée par le haut-parleur 3. Une surface réfléchissante placée en bout de tube (repérée par z = ) engendre une onde réfléchie. Donner la forme générale de cette onde réfléchie p r (z,t) sans epliciter les différentes inconnues pour l instant. 4. a surface réfléchissante en z = est telle qu elle correspond à un ventre de vibration. Epliciter les différentes inconnues dans la forme de l onde réfléchie grâce à cette condition au limites. (Remarque, si on se place au niveau d un ventre, cela correspond à un maimum de vibration et il eiste une dérivée nulle). 6

7 5. En déduire la forme de l onde totale p(z,t). Montrer que cela correspond effectivement à une onde stationnaire. Représenter la à différents instants. 6. Proposer une méthode pour mesurer la longueur d onde. 1. C est la pression (et la vitesse en fait).. onde progressive vers la droite (ou la gauche : l énoncé ne précise pas) : p i (z,t) = p cos(ωt kz) (convention prise : vers la droite) 3. onde qui va dans l autre sens : p r (z,t) = p cos(ωt + kz + ϕ) 4. la dérivée de la pression par rapport à z doit être nulle, donc dptot = ( kp dz sin(ωt k(z = ))) p k sin(ωt + k(z = ) + ϕ) = et ce pour tout t. Donc ϕ = et kp = kp. 5. On a donc p tot = p (cos(ωt kz) + cos(ωt + kz)) On utilise les formules de trigo : p tot = p (cos(ωt) + cos(kz)) on a donc bien une onde stationnaire Haut parleur z 6. On bouge un micro et on repère les nœuds (et les ventre). a distance entre deu nœuds est / Eercice 7 : Modes propres d un instrument de musique Un instrument de musique est modélisé par un tuyau de longueur = 3 cm, qui est le siège d une onde stationnaire de pression présentant un ventre au deu etrémités. Quelles sont les trois plus basses fréquences possibles? On prendra pour la vitesse de propagation du son dans l air : c = 3,4.1 m.s 1. Si l onde présente des ventres au deu etrémités, c est que le tuyau est fermé de part et d autre. On représente sur la figure ci-dessous les trois premiers modes possibles. = = = 3 On en déduit la relation = n = n avec n entier. a fréquence est liée à la célérité et la longueur d onde par la relation = cf. En combinant les relations on en déduit f = nc. application numérique de donne pour le fondamental et les harmoniques de rang et 3. n 1 3 f (Hz) Eercice 8 : Spectre d un laser On considère une cavité laser à gaz émettant dans le visible. a longueur de la cavité est de 5 cm. a vitesse des ondes lumineuses sera prise égale à celle dans le vide. 7

8 1. Quel est l intervalle de fréquence δν séparant différents modes propres?. e milieu amplificateur permet d eciter des modes sur une bande de fréquence de largeur 1 9 Hz, combien de mode compte cette cavité (et donc le rayonnement de ce laser)? 3. Comparer la largeur spectrale à celle d un doublet de sodium (on donne les deu longueurs d onde du doublet du sodium : 589, nm et 589,59 nm et c = m/s) 1. δν = c = 3 MHz. On peut en mettre 3 ou 4 : 3 ou 4 modes. Eemple pour en mettre 4 (en soustrayant la plus petite fréquence du milieu amplificateur) :,3,6,9. Eemple pour en mettre 3 : 5,55,85 3. ν = c/ donc δν = c(1/ 1 1/ ) = 5, Hz Attention au nombre de chiffres significatifs. C est donc beaucoup plus large que pour un laser ( 1 3 ). Eercice 9 : Effet Doppler idée de l eercice est de démontrer une formule pour l effet doppler. Il est donc bien entendu «interdit» d utiliser directement une formule vue en terminale! Un émetteur se déplace à une vitesse constante v et émet une onde sonore qui se déplace avec une célérité c. Un récepteur est immobile. 1. En imaginant que l émetteur émet un bib à intervalle régulier, quel est l intervalle entre deu bibs reçus par le récepteur immobile?. Si l on considère cette fois que le signal émis est un signal sinusoïdal à 44 Hz par un camion de pompier, quelle est la fréquence reçue lorsque le camion de déplace à 7 km/h? Ce résultat dépend-il du sens dans lequel le camion se déplace? (c = 34 m/s) 3. Que se passe-t il si v > c? 4. Justifier que si c est l émetteur qui est immobile et le récepteur qui se déplace, la situation est la même. En déduire que si un conducteur conduit suffisamment vite, il peut percevoir un feu vert alors que le feu est au rouge. Quelle vitesse est nécessaire en supposant que l on peut négliger les effets relativistes? 1. entre deu bibs espacés d un temps T pour l émetteur, le véhicule parcourt vt, pour le récepteur, le deuième bib va donc arriver avec un retard vt/c par rapport au cas où le véhicule est immobile : si on appelle T la période de réception, alors T = vt/c + T. On a T = T(1 + v c ) f = f (1+ v c ) A.N. si le camion s éloigne f = 416 Hz, s il se rapproche f = 467 Hz permet à l oreille de dire si un camion s approche ou s éloigne 3. Pas de problème pour l éloignement du camion, la fréquence continue de diminuer, mais par contre de l autre coté, on se déplace plus vite que la perturbation que l on émet : mur du son. 4. On peut échanger les rôles : correspond à un changement de référentiel. f = c/ : donc 3, Hz pour le rouge (8 nm) et environ 5, Hz pour le vert (55 nm). On a donc f /f = 1 (1+ v c ) d où v = (f/f 1)c m/s : grosse amende pour ecès de vitesse (les effets relativiste ne sont a priori pas négligeable) Eercice 1 : Étude énergétique 8

9 On considère une corde de masse linéique µ (c est-à-dire la masse par unité de longueur de corde), on note u(,t) l altitude de la corde en à l instant t. a corde est fiée en = et en =. On considère le mode propre n qui s eprime de la façon suivante : u(,t) = u sin ( nπ ) sin où u est l amplitude du mode et c la célérité des ondes. ( ) nπct 1. On note de c l énergie cinétique de la portion de corde comprise entre et + d (d étant une longueur infiniment faible). Donner l epression de de c. En déduire l énergie cinétique totale de la corde 3. Une étude approfondie montrerait que l énergie potentielle de la portion de corde comprise entre et + d est de la forme de p = 1 ( ) α dut () d d on dérive ici la fonction uniquement par rapport à et on pourra donc considérer que t est une constante. α est une constante, montrer qu elle a la dimension d une force 4. En déduire l énergie potentielle totale de la corde 5. En utilisant la conservation de l énergie de la corde, eprimer α en fonction de la vitesse de propagation et de la masse linéique. 6. Eprimer l énergie mécanique totale de la corde, comment dépend-telle du mode considéré? 7. Calculer de m l énergie mécanique d une portion de corde de longueur d, pourquoi cette énergie dépend du temps contrairement à celle de la corde? 1 1. dm v = 1µd ( nπc u sin ( nπ ) ( )) cos nπct. E c = de c E c = 1 ( ( )) µ nπc nπct ( ) nπ u cos sin d On reconnait 1 sin sur un nombre entier de période pour le sinus carré, c est donc la valeur moyenne donc ça vaut 1 d où E c = 1 n π c 4 µu cos ( ) nπct 3. a dérivée est sans dimension car u et sont tout les deu des longueurs. On en déduit [E p ]=[α].. Or une énergie est une force fois une longueur (d après l epression du travail) donc α a bien la dimension d une force. 4. On intégre comme avant et de même cos = 1 E p = αn π u 4 ( ) nπct sin 5. E m est de la forme A cos ωt + B sin ωt. Si A et B ne sont pas égau, alors l énergie n a pas la même valeur quand ωt = ou ωt = π donc (raisonnement par l absurde) nécessairement A = B. D où 1 n π c 4 µu = αn π u 4 donc α = µc 9

10 6. Dans ce cas, on a simplement E m = 1 4 µu n π c, qui croit comme le numéro du mode au carré 7. de m = 1 µn π c ( ( nπ d sin ) ( ) nπct cos ( ) nπ + cos ne se conserve pas car échange entre les différents morceau de corde. ( )) nπct sin Eercice 11 : Télémétrie Cet eercice nécessite un petit peu d autonomie pour introduire des grandeurs et éventuellement utiliser des ordres de grandeurs que vous connaissez. Un émetteur à ultrasons émet une onde sinusoïdale (signal 1), qui est envoyée sur un obstacle. Un capteur à ultrasons est positionné à coté de l émetteur et on visualise à l oscilloscope le signal reçu (signal ). Déterminer la distance entre l émetteur et l obstacle, sachant que les signau se sont retrouvés 5 fois en phase durant l éloignement de l obstacle qui était initialement positionné tout contre l émetteur. 5 fois en phase et là ils sont en oppposition de phase, donc 5,5 longueurs d onde parcourues par l onde. Or elle parcourt deu fois le chemin à cause de la réfleion donc d = 5,5 = 5,5 c = f 5,5 34 = 1 cm en supposant que la vitesse du son est 34 m/s. (la fréquence est donnée par l oscilloscope). Eercice 1 : Remplissage d une bouteille d eau orsque l on remplit lentement une bouteille d eau et que les gouttes d eau tombent une à une, on peut parfois entendre un son qui est de plus en plus aigu au cours du temps. Proposer une allure pour le signal ainsi qu une eplication à ce phénomène. orsque l on entend plus de son, quelle est la hauteur d air restant dans la bouteille? allure de la courbe est a priori un sinus dont la fréquence augmente au cours du temps t Ce phénomène est probablement lié à l apparition d onde stationnaire dans l air restant dans la bouteille. a hauteur d eau augmentant au cours du temps, la «taille de la cavité» diminue. De plus, les conditions au limites sont a priori asymétrique (ventre d un coté, nœud de l autre) puisqu on n est d un coté en contact avec de l air à pression imposée, de l autre avec de l eau (très peu compressible). e mode fondamental est donc tel que /4 = h avec h la hauteur d air restant. a fréquence correspondante vérifie (l air étant un milieu non dispersif pour le son) f = c/ = c. Cette relation peut 4h 1

11 s eprimer sous la forme h = c, donc lorsque la hauteur diminue, on a bien une augmentation 4f de fréquence. De plus, lorsque l on atteint les limites de l audible, f = 1 3 Hz. On en déduit le h correspondant : h = 3 1 mm. Si on se base sur cette méthode, l eau risque de déborder! (En fait, la sensibilité de l oreille diminue dans les aigu et il est possible que l on n entende plus le son à cause d une intensité trop faible par rapport à la sensibilité de l oreille avant de "sortir" de la zone audible. De plus, l eau chutant d une hauteur assez faible en général, le fait de ne plus tomber "au fond de la bouteille, mais en haut" change de façon notable l énergie cinétique lors du choc, et donc l intensité de l onde sonore.) 11