Probabilités conditionnelles

Transcription

1 s s rbres s et s s Terminale S Lycée Jacquard 2014/2015

2 Capacités exigibles s s rbres s et Construire un arbre en lien avec une situation donnée. Exploiter la lecture d un arbre pour déterminer des probabilité. Calculer la probabilité d un événement connaissant ses s relatives à une partition de l univers. Démontrer que si deux événements et B sont indépendants alors il en est de même pour les événements et B.

3 Rappel du plan s s rbres s et 1 2 rbres s et 3 événements Deux événements indépendants et événements contraires

4 Définition de p (B) s s rbres s et Dans ce chapitre Ω est l ensemble des issues d une expérience aléatoire. Définition n o 1 Soient et B deux événements de Ω, étant de probabilité non nulle c est à dire p() 0. La probabilité (probabilité que l événement B soit réalisé sachant que l événement est réalisé) est le nombre noté p (B) défini par : p (B)= p(b ) p()

5 p (B) a toutes les propriétés d une probabilité s s rbres s et Remarque n o 1 Il s agit d une nouvelle probabilité, dite probabilité, définie sur l univers Ω. Elle a toutes les propriétés d une probabilité. Propriété n o 1 Soient et B deux événements tels que p() 0. 0 p (B) 1 p (B)+p (B ) = 1 Dans une situation d équiprobabilité : p (B)= nombre d éléments de B nombre d éléments de

6 d une intersection s s rbres s et Propriété n o 2 p( B) peut se calculer façons : p( B)=p() p (B) avec p() 0 p( B)=p(B) p B () avec p(b) 0

7 s s et s s Un tableau à double entrée permet de déterminer des probabilité s. rbres s et ( ) Total B p( B) p B ( ) ( ) p(b) ( ) B p B p B ( ) p B Total p() p 1 p (B) est alors le quotient de p( B) par p() : p (B)= p( B) p()

8 Exemples s s rbres s et Exemple n o 1 Soient ( ) et B deux événements tels que p( B) = 0, 18, p B = 0,42 et p (B)=0,25 ( ) 1 Calculer p B. 2 Compléter le tableau ci-dessous : Total B 0,18 B 0,42 Total 1 3 Calculer à l aide du tableau p (B)

9 Exercice n o 1 s s rbres s et Dans une population donnée, 84% des personnes possèdent un téléphone portable et 75% des personnes possèdent un ordinateur. De plus, 60% des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre par hasard une personne de cette population. On considère les événements : T «la personne rencontrée possède un téléphone portable» O «la personne rencontrée possède un ordinateur» 1 Déterminer la probabilité de l événement O sachant que T est réalisé. 2 Déterminer la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu elle a un ordinateur.

10 Exercice n o 2 s s rbres s et Lors d une enquête menée auprès d une population, on a constaté que 85% des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62% travaillent à temps partiel. On choisit une de ces personnes au hasard et on considère les événements : F «la personne choisie est une femme» T «la personne choisie travaille à temps partielle» 1 Traduire en termes de les données numériques de l énoncé. 2 Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme travaillant à temps partiel.

11 Exercice n o 3 s s rbres s et La répartition des voitures garées dans un parking est donnée dans le tableau ci-dessous : Diesel Essence Total Marque française 0,43 0,12 0,55 Marque étrangère 0,34 0,11 0,45 Total 0,77 0,23 1 On choisit au hasard un véhicule stationné dans ce parking. Sachant qu il est de marque française, quelle est la probabilité que ce soit un diesel?

12 Rappel du plan s s rbres s et 1 2 rbres s et 3 événements Deux événements indépendants et événements contraires

13 rbre s s rbres s et 1 er niveau 2 me niveau Événement p() ( ) p p (B) ) p (B p (B) ) p (B B B p( B)=p() p (B) ( ( ) B B p B )=p() p B ( ) ( ) B B p B = p p (B) ( ) ( ( ) B B p B = p ) p B

14 Lecture de l arbre s s rbres s et Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante : la probabilité de la branche reliant à B est p (B) Un chemin est une suite de branches ; il représente l intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d un chemin est la probabilité de l intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Une feuille est située en bout de chemin. Un nœud est le point de départ d une ou de plusieurs branches.

15 rbres s : propriétés s s rbres s et La somme des des branches issues d un même nœud est égale à 1 La probabilité d un chemin est le produit des des branches composant ce chemin La probabilité d un événement est la somme des des chemins conduisant à cet événement

16 s s rbres s et Propriété n o 3 Soit un événement, réunion des événements 1, 2,..., n deux à deux incompatibles. Pour Pour tout événement B : p(b)=p( 1 B)+p( 2 B)+...p( n B) p(b)=p( 1 ) p 1 (B)+p( 2 ) p 2 (B)+...p( n ) p n (B) 1, 2,..., n étant des événements de probabilité non nulle

17 Exemple avec trois événements I s s rbres s et p 1 (B) 1 p( 1 ) p 2 (B) 2 B 1 B p( 1 B)=p( 1 ) p 1 (B) B p( 2 ) B 2 B p( 2 B)=p( 2 ) p 2 (B) B p 3 (B) 3 p( 3 ) B B 3 B p( 3 B)=p( 3 ) p 3 (B) p(b)=p( 1 B)+p( 2 B)+p( 3 B) ou encore p(b)=p( 1 ) p 1 (B)+p( 2 ) p 2 (B)+p( 3 ) p 3 (B)

18 : deux événements s s rbres s et Propriété n o 4 Soient et B deux événements, avec de probabilité non nulle (p() 0). ( ) ( ) p(b)=p( B)+p B = p() p (B)+p p (B)

19 Exercice n o 4 s s rbres s et On considère deux événements et B liés à une expérience aléatoire modélisé par l arbre ci-dessous : 0,8 0,7 0,5 B B B B 1 Indiquer la signification des nombres 0,8; 0,7 et 0,5. 2 Compléter l arbre précédent avec les manquantes. 3 Déterminer la probabilité de l événement B.

20 Exercice n o 5 s s rbres s et Trois candidats, B et C se présentent à une élection. Ils obtiennent respectivement la moitié, les trois dixièmes et le cinquième des suffrages. D autre part, on sait que 50% des électeurs de, 30% des électeurs de B et 40% des électeurs de C sont des hommes. On interroge une personne au hasard s étant prononcé pour l un des trois candidats. 1 Décrire l expérience aléatoire par un arbre. 2 En déduire la probabilité d interroger un homme ayant voté pour le candidat C. 3 On interroge au hasard une personne s étant prononcé pour l un des trois candidats. Déterminer la probabilité que ce soit une femme.

21 Rappel du plan s s rbres s et 1 2 rbres s et 3 événements Deux événements indépendants et événements contraires

22 Introduction s s rbres s et Dans l ensemble Ω des issues d une expérience aléatoire, on considère deux événements et B de non nulles. Si p (B)=p(B) alors la réalisation ou non de l événement ne modifie pas la probabilité de B, on dit que B est indépendant de. p (B)=p(B) p( B) =p(b) p( B)= p() p() p(b) De même : Si p B ()=p() alors la réalisation ou non de l événement B ne modifie pas la probabilité de, on dit que est indépendant de B. p B ()=p() p( B) p(b) =p() p( B)=p() p(b)

23 Définition événements indépendants s s rbres s et Définition n o 2 Deux événements et B de probabilité non nulle sont dits indépendants si, et seulement si, l une des deux égalités suivantes est vérifiée : p (B)=p(B) ou p B ()=p()

24 Propriétés d événements indépendants s s rbres s et Propriété n o 5 Deux événements et B de probabilité non nulle sont dits indépendants si, et seulement si : p( B)=p() p(b)

25 Exemple s s rbres s et Exemple n o 2 Soient et B deux événements liés à une expérience aléatoire : Total B 0,3 0,1 0,4 B 0,45 0,15 0,6 Total 0,75 0,25 1 Vérifier que et B sont indépendants

26 et événements contraires s s rbres s et Théorème n o 1 Si deux événements et B sont indépendants, alors il en est de même pour les événements et B, ainsi que pour les événements et B.

27 Démonstration s s rbres s et on sait que et B sont indépendants, montrons que et B sont ( indépendants ( ) p B )=p(b) p B ( ) p B ( )+p B ()=1 p B = 1 p B () ( ( ) D où p B )=p(b) p B = p(b) (1 p B ()) Comme et B( sont ) indépendants : p B ()=p() ( ) Conclusion : p B = p(b) (1 p B ())=p(b) p

28 Exemple s s rbres s et Exemple n o 3 Soient et B deux événements indépendants liés à une expérience( aléatoire ) tels que p() = 0, 3 et p(b) = 0, 4 Calculer p B

29 Exercice n o 6 s s rbres s et On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants : «la carte tirée est un carreau» B «la carte tirée est un roi» C «la carte tirée est rouge» 1 Les événements et B sont ils indépendants? 2 Les événements et C sont ils indépendants? 3 Les événements B et C sont ils indépendants?

30 Exercice n o 7 s s rbres s et Sur son trajet pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. La probabilité pour que le feu soit vert où il arrive à sa hauteur est de 0,4 pour le premier feu et de 0,45 pour le second. On note les événements : «le premier feu est vert» B «le second feu est vert» On fait l hypothèse que ces événements sont indépendants. 1 Quelle est la probabilité que l automobiliste fasse son trajet sans avoir à s arrêter? ( ) 2 Calculer p B. À quel événement correspond cette probabilité?