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1 PLAN COURS 3 AGRÉGATION ORDINALE Master IAD DMDC PATRICE PERNY LIP6 Université Paris /29 NOTATIONS UTILISÉES I) O A : ordres complets sur A P A : Préordres sur A (complets ou partiels) PC A : Préordres complets sur A QT A : Relations quasitransitives sur A (part. asym trans) QTC A : Relations quasitransitives et complètes sur A 3/29 4/29

2 LE CADRE DU THÉORÈME DE GIBBARD-WEYMARK AXIOMES (1/2) Peut-on affaiblir de manière utile l exigence de transitivité du résultat dans le théorème d Arrow? L hypothèse de complétude des préférences sociales nous limite t-elle? Que se passe t-il si l on admet de considérer d autres votes que les ordres totaux? Elargissement du cadre du théorème d Arrow PROCÉDURE D AGRÉGATION : ψ : X n Y ( 1,..., n ) X = QTC A relations quasi-transitives et complètes sur A Y = QT A relations quasi-transitives AXIOME : UNIVERSALITÉ Tout profil π =( 1,..., n ) de relations quasi-transitives et complètes est admissible (X = QTC A ). La procédure doit retourner une relation = ψ(π) qui est une relation quasi-transitive (Y = QT A ) AXIOME : INDÉPENDANCE (a, b) A 2, π =( 1,..., n ) X n, π =( 1,..., n) X n, [ i N, a i b a i b] [a b a b] avec = ψ(π) et = ψ(π ) 5/29 6/29 AXIOMES (2/2) ENSEMBLES DÉCISIFS AXIOME : UNANIMITÉ (a, b) A 2, π =( 1,..., n ) X n, [ i N, a i b a b] DÉFINITION : PRESQUE-DÉCISIVITÉ J N est dit presque décisif pour (a, b) A 2 si π =( 1,..., n ) X n, [( i J, a i b) et ( i / J, b i a)] a b AXIOME : UNANIMITÉ FORTE (a, b) A 2, π =( 1,..., n ) X n, [ i N, a i b a b] Si de plus il existe k N : a k b alors a b DÉFINITION : DÉCISIVITÉ J N est dit décisif pour (a, b) A 2, si π =( 1,..., n ) X n, [( i J, a i b) a b] J N est dit décisif s il l est pour toute paire (a, b) 7/29 8/29

3 OLIGARCHIES LEMMES DÉFINITION : OLIGARCHIE J N est une oligarchie si 1 J est décisif 2 (a, b) A 2 π =( 1,..., n ) X n, [( j J, b j a) non(a b) (veto) LEMME (L1) Pour toute procédure d agrégation ψ vérifiant Universalité, Unanimité etindépendance, si J N est décisif pour une paire (c, d) A 2 alors il est décisif (pour toute paire). Preuve faite au tableau. α-oligarchies : ( j J, b j a) b a β-oligarchies : ( j J, b j a) non(a b) LEMME (L2) Une procédure d agrégation ψ vérifiant Universalité et Indépendance, admet au plus une oligarchie. Preuve faite au tableau. 9/29 10 / 29 LEMMES (SUITE) RÉSULTATS (1) LEMME (L3) Pour toute α-oligarchie J, pour tout profil admissible π tel que 2 membres de J ont des préférences strictes opposées concernant la paire (a, b) alors a b. THÉORÈME (GIBBARD, 1969 ; WEYMARK, 1983) Une procédure d agrégation ψ vérifiant Universalité, Unanimité et Indépendance admet une et une seule oligarchie dans N. LEMME (L4) Pour toute β-oligarchie J, pour tout profil admissible π tel que 2 membres de J ont des préférences strictes opposées concernant la paire (a, b) alors non(a b) et non(b a). Preuve faite au tableau : on travaille sur un ensemble décisif minimal pour l inclusion et on montre que c est une oligarchie Interprétation : cas J = {i} et cas J = N, autre? Cas particulier : Théorème d Arrow 11 / / 29

4 RÉSULTATS (2) RÉSULTATS (3) PROPOSITION (COROLLAIRE 1) Une procédure d agrégation ψ : QTC A QTC A vérifiant Universalité, Unanimité et Indépendance admet une et une seule α-oligarchie dans N. PROPOSITION (COROLLAIRE 3:THÉORÈME D ARROW) Une procédure d agrégation ψ : PC A QTC A vérifiant Universalité, Unanimité, Indépendance, Transitivité est dictatoriale. PROPOSITION (COROLLAIRE 2) Une procédure d agrégation ψ : PC A P A vérifiant Universalité, Unanimité et Indépendance admet une et une seule β-oligarchie dans N. PREUVE On sait qu elle est α-oligarchique (C1). Soit J l oligarchie. Supposons qu elle contienne au moins 2 élements {1, 2}. Soit π =(a 1 c 1 b, b 2 a 2 c,...) Ona:a b c mais a c ce qui contredit la transitivité. Donc J est un singleton. 13 / / 29 RÉSULTATS (4) RÉSULTATS (5) PROPOSITION (COROLLAIRE 4:THÉORÈME D ARROW) Une procédure d agrégation ψ : PC A P A vérifiant Universalité, Unanimité, Indépendance, Complétude est dictatoriale. PREUVE On sait qu elle est β-oligarchique (C2). Soit J l oligarchie. Supposons qu elle contienne au moins 2 élements {1, 2}. Soit π =(a 1 b, b 2 a,...) On a : non(a b) et non(b a) ce qui contredit la complétude. Donc J est un singleton. THÉORÈME Il existe une unique procédure d agrégation ψ : PC A P A vérifiant Universalité, Unanimité Forte, Indépendance, Anonymat, c est la règle de Pareto (unanimité). a b [ i N, a i b] PREUVE On sait qu elle est β-oligarchique (C2). Soit J l oligarchie, alors l anonymat impose que J = N 15 / / 29

5 NOTATIONS ET DÉFINITIONS II) Théorème de Gibbard-Sattethwaite NOTATIONS : Soit U A l ens. des fonctions d utilités {u : A R} injectives Soit u i U A la fonction d utilité de l agent i i N, u i (a) > u i (b) a i b Un profil est ici représenté par un vecteur u =(u 1,...,u n ) de (U A ) N On note (v i, u i ) un profil obtenu à partir de u =(u 1,...,u n ) en substituant la fonction d utilité v i à u i DÉFINITION : PROCÉDURE DE VOTE MONOVALUÉE Une procédure de vote monovaluée est une application C associant à tout profil u de (U A ) N, le nom du candidat élu C(u) A (le gagnant unique du vote). 17 / / 29 NON-MANIPULABILITÉ D UNE PROCÉDURE DE VOTE NON-MANIPULABILITÉ ETMONOTONIE DÉFINITION : PROCÉDURE DE VOTE NON-MANIPULABLE Une procédure de vote (monovaluée) est dite non-manipulable si et seulement si on a : REMARQUES : u (U A ) N, v i U A, u i (C(u)) u i (C(v i, u i )) 1 Si C est non-manipulable, pout tout votant i, ne pas voter sincèrement conduirait à élire un candidat qu il apprécie moins (le vote non sincère étant au mieux inutile ). Les votants ont intérêt à voter sincèrement. 2 Si A = 2 alors Non-manipulable Monotone. Qu en est-il si A 3? DÉFINITION : AMÉLIORATION Soient u, v U A et a A. On dit que v améliore a par rapport à u (noté v > a u)si: 1 b, c A \{a}, [u i (b) > u i (c) v i (b) > v i (c)] (u et v coincident sur A \{a}) 2 i N, b A \{a}, [u i (a) > u i (b) v i (a) > v i (b)] 3 v u (améloriation stricte de a pour au moins un agent) u = EXEMPLE : a 1 b 1 c 1 d b 2 d 2 c 2 a d 3 b 3 a 3 c a 1 b 1 c 1 d v = b 2 a 2 d 2 c d 3 b 3 a 3 c 19 / / 29

6 FORTE MONOTONIE RÉSULTATS (1) DÉFINITION : FORTE-MONOTONIE Un procédure de vote C est fortement monotone si, pour tous u, v U A, et toute alternative a A : v > a u [C(u) =C(v) ou C(v) ={a}] LEMME Une procédure de vote est fortement monotone si et seulement si, pour tous profils u, v U A et tout a A: { a = C(u) [a = C(v)] i, b a, [u i (a) > u i (b) v i (a) > v i (b)] REMARQUES : 1 améliorer a dans les données entraîne son élection ou confirme le candidat qui était élu 2 Cette notion de monotonie est plus forte que la monotonie classique : v > a u [C(u) ={a} C(v) ={a}] REMARQUE : Axiome contenant une forme d indépendance. Ex : a C(u) et u i (b) > u i (d) > u i (a) > u i (e) > u i (c) > u i (f ) a est élu pour tout modif de u i telle que : a et b occupent les 2 premières positions c, e, f occupent les 3 dernières positions 21 / / 29 RÉSULTATS (2) RÉSULTATS (3) LEMME (MULLER AND SATTERTHWAITE, 1977) Si A 3 une procédure de choix C est fortement monotone si et seulement si elle est dictatoriale. IDÉE DE LA PREUVE : : Une procédure dictatoriale est fortement monotone : Soit C une procédure fortement monotone. Une preuve dans le même esprit que celle d Arrow (révélation d un singleton décisif) permet de montrer que C dictatoriale. THÉORÈME (GIBBARD, 1973 ; SATTERTHWAITE, 1975) Si A 3 une procédure de choix C est non-manipulable si et seulement si elle est dictatoriale. PREUVE : : Une procédure dictatoriale est non-manipulable (trivial) : Soit C procédure non-manipulable. Montrons qu elle est fortement monotone. Soient u U A, a A, i N et v =(v i, u i ) tels que v a u.on doit montrer que C(v) =C(u) ou C(v) =a. 23 / / 29

7 DEUX CAS : Cas1:C(u) =b a Si C non fortement-monotone alors C(v) =c / {a, b}. On a alors 2 cas : I) u i (b) > u i (c) et v i (b) > v i (c) II) soit u i (b) < u i (c) et v i (b) < v i (c) On a donc : I) v i (C(u)) > v i (C(v)) = v i (C(v i, u i )) manip. en votant u i II) u i (C(u)) < u i (C(v)) = u i (C(v i, u i )) manip. en votant v i contradiction en I) comme en II) car C non-manipulable. Cas2:C(u) =a Si C non fortement-monotone alors C(v) =b a. Ona alors 2 cas : I) u i (b) > u i (a) II) soit u i (b) < u i (a) et donc v i (b) < v i (a) (on améliore a sur i) On a donc : I) u i (C(v i, u i )) > u i (C(u)) manip. en votant v i II) v i (C(v)) < v i (C(u i, u i )) manip. en votant u i contradiction en I) comme en II) car C non-manipulable. (cas1et2) C fortement monotone 25 / / 29 IMPACT EN DÉCISION COLLECTIVE 1 Généralement on refuse les procédures dictatoriales et la procédure utilisée est donc manipulable 2 Un moyen de contourner le problème:le vote probabiliste... LA PROCÉDURE DU DICTATEUR ALÉATOIRE : 1 chaque agent met dans l urne le nom d un candidat 2 on tire aléatoirement (loi uniforme) un bulletin dans l urne pour déterminer le gagnant AVANTAGE DU DICTATEUR ALÉATOIRE Procédure non-manipulable (indépendance vnm) neutre et anonyme! permet de réconcilier non-manipulabilité et un partage équitable du pouvoir décisif, mais... 50% 1 = u 1 (a) > u 1 (b)...>u 1 (z) =0 50% 1 = u 2 (z) > u 2 (b)...>u 2 (a) =0 u 1 (b) =u 2 (b) =0.9 EU 1 = 0.5u 1 (a)+0.5u 1 (z) =0.5 EU 2 = 0.5u 2 (a)+0.5u 2 (z) =0.5 Satisfaction espérée (0.5,...,0.5) dominé par b : (0.9...,0.9) 27 / / 29

8 LE CAS DE PRÉFÉRENCES SINGLE-PEAKED Hypothèse : Ordre naturel sur A : a 1 a 2...,a n u est single-peaked (SP) si : a A tel que : 1 a, b A, a b a u(a) < u(b) 2 a, b A, a a b u(a) > u(b) Abandon de l universalité pour SP N impair, il existe toujours un vainqueur de Condorcet (unique). De plus la relation majoritaire est transitive et satisfait l axiome d indépendance de Weymark. la méthode majoritaire devient admissible et non-dictatoriale (solution au pb d Arrow) élire un vainqueur de Condorcet est non-manipulable N pair, vainqueur faible de Condorcet 29 / 29

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