L Univers et les puissances de dix

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1 Chapitre 1 L Univers et les puissances de dix 1.1 Manipulation des puissances de dix Exercice type n o 1 La masse d un grain de sable est : 0,02 mg. Un camion transporte une masse m = 10 tonnes de sable pour construire une plage artificielle. Combien transporte-t-il de grains de sable? Lycée Pierre Corneille, Rouen Ce chapitre aborde la manipulation des très grands et très petits nombres, convenablement exprimés sous forme d une puissance de dix. Nous aborderons en parallèle la présentation de systèmes très grands (échelle astronomique) et très petits (échelle microscopique) Présentation des puissances de dix Écrire mathématiquement un nombre aussi grand par exemple que six mille milliards ( ) est particulièrement pénible (et potentiellement source d erreur) si on ne trouve pas un moyen de condenser la notation. Une façon commode d exprimer ce nombre consiste à le décomposer de la manière suivante : = = où (lire «dix exposant douze» ou «dix à la puissance douze») correspond au produit de 10 douze fois par lui-même : = {{ facteurs De manière pratique, le nombre 10 n s écrit comme le chiffre 1 suivi de n zéros. Ainsi : 3

2 4 Physique 10 2 = = = = = etc. Exemple : Écrivons le nombre en utilisant les puissances de dix. On peut écrire : = = Ce n est pas la décomposition que l on utilise habituellement, bien qu elle soit correcte. Le nombre est encore un «très grand nombre». On préfère donc utiliser la décomposition suivante : = 3, = 3, Notons au passage deux puissances de dix particulières : 10 1 = 10 et 10 0 = 1 Les puissances de dix peuvent également permettre de manipuler des très petits nombres. Ainsi : 10 2 = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, etc. De manière pratique, le nombre 10 n s écrit comme n zéros suivis du chiffre 1 (bien évidemment, le premier zéro est suivi d une virgule). Exemple : Écrivons le nombre 0, en utilisant les puissances de dix. On peut écrire : 0, = 3,41 0,001 = 3, Savoir manipuler les puissances de dix avec une calculatrice scientifique Supposons que l on veuille entrer le nombre 5, dans la calculatrice. Sur la plupart des modèles, la calculatrice est munie d une touche EE ou EXP. Cette touche signifie«... multiplié par dix à la puissance...». Ainsi, dans notre exemple, qui se lit «cinq virgule six multiplié par dix à la puissance neuf», il faut entrer la séquence : 5 6 EXP 9 Attention à une erreur trop fréquente! Pour entrer le nombre 10 12, il ne faut pas entrer la séquence : 1 0 EXP 1 2 Entrez cette séquence et enfoncez la touche =. La calculatrice répond Le nombre que vous venez d entrer est et non 10 12! C est logique : vous avez donné à la calculatrice : = = 10 13

3 Chapitre 1 L Univers et les puissances de dix 5 Le nombre que vous voulez entrer est simplement , donc la séquence correcte est : 1 EXP 1 2 Vous pouvez vérifier en enfonçant la touche = que la calculatrice a bien compris Règles de calculs sur les puissances de dix À retenir Le produit de deux puissances de dix est la puissance somme : 10 a 10 b = 10 a+b Illustrons cette égalité en supposant a > 0etb > 0. Alors : 10 a = {{ a facteurs et donc : d où l on déduit : À retenir 10 b = {{ b facteurs 10 a 10 b = {{ a facteurs {{ b facteurs {{ donc a + b facteurs au total 10 a 10 b = 10 a+b Le quotient de deux puissances de dix est la puissance différence : 10 a 10 b = 10a b L inverse d une puissance de dix est la puissance opposée : 1 10 a = 10 a Exemple : Effectuons les calculs suivants : = = = = 10 0 = = = =

4 6 Physique Les calculatrices scientifiques savent bien entendu manipuler les puissances de dix. Toutefois, il est bon de savoir s en servir correctement. Une erreur particulièrement désastreuse en devoir consiste à oublier la partie 10..., et à vouloir condenser l écriture de la manière suivante : = 5 6. C est bien évidemment faux : le premier nombre vaut : {{ facteurs alors que le deuxième vaut : {{ facteurs Solution de l exercice type n o 1 La masse totale de sable m est donnée par : m = Nm g où N est le nombre de grains de sable (c est l inconnue) et m g la masse d un grain de sable. On a donc : N = m m g Pour un résultat correct, il faut évidemment exprimer m et m g dans la même unité, par exemple le kilogramme. On a : m = = 10 4 kg et : m g = 0, = g = kg donc : N = 104 = Présentation de l Univers Exercice type n o 2 La sonde spatiale la plus rapide jamais construite par l homme est animée d une vitesse d environ 100 km s 1. Combien de temps lui faudrait-il pour arriver à l étoile la plus proche? Pour traverser notre galaxie selon son diamètre? Lycée Jean Moulin, Lyon Le monde de l «infiniment» grand L astre le plus proche de la Terre est la Lune. Elle décrit autour de la Terre une orbite à peu près circulaire de rayon km, avec une période d un peu plus de 27 jours. Le diamètre de la Lune est environ un quart de celui de la Terre. Le système Terre-Lune décrit à son tour une orbite (également à peu près circulaire) autour du Soleil, de rayon 1, km (cent cinquante millions de kilomètres). Le Soleil est accompagné de huit autres planètes qui décrivent autour de lui des orbites de rayons différents (figure

5 Chapitre 1 L Univers et les puissances de dix 7 ci-après). L ensemble forme le Système solaire, dont le diamètre est environ km (dix milliards de kilomètres). Figure 1.1 Taille des orbites des planètes du Système Solaire. T. I. C. E. (Sur le Système solaire) On pourra trouver des informations supplémentaires aux adresses suivantes : Le Soleil, accompagné de son cortège de planètes, est une des cent milliards (10 11 ) étoiles de notre galaxie, un disque aplati en rotation composé essentiellement (à 90 %) d étoiles, le reste étant constitué de gaz et de poussière. Notre galaxie, appelée la Voie Lactée, a un diamètre d environ km. À ces échelles de distance, il est commode d utiliser une unité de distance astronomique appelée l année-lumière ou année de lumière. À retenir L année-lumière est la distance parcourue en une année par la lumière dans le vide La lumière voyageant à trois cent mille kilomètres par seconde km s 1,ils agit d une unité de distance extrêmement grande. Son calcul sera effectué en exercice. Nous verrons qu une année-lumière vaut 9, km. Ainsi, le diamètre de notre galaxie est d environ cent mille années de lumière (la lumière met cent mille ans à la traverser). L étoile la plus proche du Soleil dans notre galaxie est à une distance d environ 4,5a.l. (années-lumière) soit environ km. Notre galaxie n est pas le plus grand objet astronomique que l on peut envisager. L Univers observable en contient environ (soit mille milliards) analogues à la nôtre en taille et en nombre d étoiles. La galaxie 1 la plus proche de la nôtre est la galaxie d Andromède (M31) qui se trouve à un peu 1. Le mot galaxie en général prend un «g» minuscule ; on utilise un «G» majuscule pour désigner la nôtre.

6 8 Physique plus de deux millions d années-lumière (soit km). Enfin, on observe des galaxies jusqu aux confins de l Univers observable, qui sont supposés être à environ 15 milliards d années-lumière de la nôtre (avec une incertitude d un facteur deux). On résume les différentes distances sur l échelle ci-après. Figure 1.2 Échelle des distances dans l Univers. T. I. C. E. (Sur l astrophysique en général) On pourra trouver des informations supplémentaires sur les sites suivants (en anglais) : Les archives des images du télescopes spatial Hubble (souvent superbes) sont disponibles à l adresse suivante : Des informations sur la mission Galileo, vers Jupiter, sont regroupées à l adresse suivante : Le monde de l «infiniment» petit À petite échelle le même type de structure hiérarchique d organisation de la matière prévaut. Si nous commençons l exploration sur un être vivant, à l échelle du micromètre (de symbole µm ; 1 µm=10 6 m) nous voyons qu il est composé de cellules, qui sont l unité de base de la plupart des entités vivantes sur Terre. À plus petite échelle (autour de 10 9 m, appelé nanomètre, de symbole nm) la répartition de la matière en molécules commence à apparaître. Ces molécules, comme nous aurons l occasion de le revoir au cours du programme de Chimie, sont composées d atomes, dont la taille caractéristique est de l ordre de m (un dixième de nanomètre). Ces atomes sont eux-mêmes composés d un nuage électronique, qui leur confère leur taille, et d un noyau de beaucoup plus petites dimensions (un peu plus de m). On remarquera que la distribution de la matière, que ce soit à petite ou à grande échelle, est essentiellement lacunaire, c est-à-dire principalement vide. La matière est concentrée dans des entités très petites par rapport à la taille totale des systèmes qu elle occupe, aussi bien au niveau de l atome (la masse se trouve concentrée dans le noyau) qu au niveau du Système Solaire (la masse est concentrée dans le Soleil) ou de la Galaxie (nous reverrons cela en exercice).

7 Chapitre 1 L Univers et les puissances de dix Solution de l exercice type n o 2 Le temps mis par la sonde est simplement t = d v,oùd est la distance à parcourir et v la vitesse de la sonde. Pour arriver à l étoile la plus proche, elle va mettre un temps : t = = s 100 On obtient bien évidemment ce temps en secondes puisque la vitesse était donnée en kilomètres par seconde. Convertissons pour l obtenir en années : un année comporte 365,25 jours de 24 heures. Il y a 60 minutes par heure et 60 secondes par minute donc il y a au total : N = 365, , s dans une année. Le temps mis pour arriver à la plus proche étoile est donc : t = ans 3, La sonde la plus rapide jamais construite par l Homme mettrait treize mille ans pour atteindre l étoile la plus proche. Si on répète ce calcul avec le diamètre de la Galaxie, on obtient : t = s ans Cette même sonde mettrait trois cent millions d années à traverser la Galaxie (soit cent cinquante fois le temps qui s est écoulé depuis que l Homme est apparu sur terre!). On réalise grâce à cet exercice combien il est difficile pour l exploration spatiale de s extraire du Système Solaire. Toutes les sondes envoyées jusqu à présent ont exploré des planètes de notre système, et il n est donc aucun projet, même à long terme, d essayer d envoyer une sonde, ne serait-ce que vers l étoile la plus proche. L humanité est confinée au Système Solaire pour encore longtemps.