X - LOI DE COMPOSITION INTERNE INDUITE PAR UNE RELATION D ORDRE

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1 X - LOI DE COMPOSITION INTERNE INDUITE PAR UNE RELATION D ORDRE Proposition 1 Soit E un ensemble muni d une relation d ordre large notée, vérifiant la propriété (I) pour tout couple (x, y) de E E, l ensemble {x, y} possède une borne supérieure. Cet élément nécessairement unique est noté x y. On définit ainsi sur E une loi de composition interne, associative, commutative, vérifiant la propriété (i) pour tout élément x de E, x x = x. De plus, on a l équivalence (x y) (x y = y). La commutativité est évidente. Par définition de, et en utilisant la transitivité de la relation d ordre, on obtient z (x y) z x x y (x y) z y x y (x y) z (x y) z est un majorant de l ensemble {x, y, z}. Le même raisonnement, montre que x (y z) est aussi un majorant de cet ensemble. Soit u un majorant de {x,y,z}. Cet élément majore {x,y} et {y,z}, majore x y et y z. Alors il majore les ensembles {x y,z} et {x,y z}. Il s en suit que u majore à la fois (x y) z et x (y z). En prenant successivement pour u un de ces éléments, on obtient (x y) z x (y z) et x (y z) (x y) z d où l égalité La loi est bien associative. (x y) z = x (y z). Comme x est la borne supérieure de l ensemble {x}, on a bien x x = x. Enfin la relation x y, se traduit par le fait que y est la borne supérieure de l ensemble {x, y}, par l égalité x y = y.

2 X 2 Proposition 2 Soit E un ensemble muni d une loi de composition interne notée, commutative, associative et vérifiant (i). On définit sur E une relation binaire notée par (x y) (x y = y). Alors, la relation est une relation d ordre sur E et x y est la borne supérieure de l ensemble {x,y}. La réflexivité provient de (i). Si l on a à la fois x y et y x on obtient x y = y et y x = x, mais, en raison de la commutativité de, x = y x = x y = y. La relation est antisymétrique. Si l on a x y et y z alors x y = y et y z = z, x z = x (y z) = (x y) z = y z = z c est-à-dire x z et la relation est transitive. C est une relation d ordre. D autre part ce qui montre que et ce qui montre que x (x y) = (x x) y = x y x x y, y (x y) = y (y x) = (y y) x = y x = x y y x y.

3 X 3 Donc x y est un majorant de l ensemble {x,y}. Soit maintenant u un majorant de cet ensemble. Donc Alors et x u et y u, x u = u et y u = u. (x y) u = x (y u) = x u = u x y u ce qui montre que x y est le plus petit majorant de {x,y}. Une relation d ordre vérifiant les propriétés de la proposition 1 et une loi interne vérifiant celles de la proposition 2 sont liées canoniquement par l équivalence (x y) (x y = y). Proposition 3 La relation d ordre est compatible avec la loi, et, si pour tout z de E, on a alors x et y sont égaux. x z y z Si l on a x y c est-à-dire x y = y alors, pour tout z de E, (x z) (y z) = (x y) (z z) = y z x z y z, ce qui montre la compatibilité de la loi par rapport à la relation. Si pour tout z de E on a en prenant z = y, on obtient x z y z x x y y y = y x y.

4 X 4 Proposition 4 La relation d ordre est totale, si et seulement si, pour tout couple (x,y) de E E, l élément x y appartient à {x, y}. Dire que la relation d ordre est totale équivaut à dire que pour tout couple (x,y) de E E, on a, soit x y, soit y x, c est-à-dire, soit x y = y, soit y x = x. Cela revient bien à dire que x y appartient à {x, y}. Proposition 5 L ensemble E possède un plus petit élément pour la relation d ordre, si et seulement si E possède un élément neutre e pour la loi. Le plus petit élément de E est alors e. Dire que pour tout x de E on a e x revient à dire que, pour tout x de E, on a e x = x, c est-àdire que e est l élément neutre de E pour la loi. Exemples 1) Soit A un ensemble quelconque et E = P(A). (a b) (a b) 2) Soit E = N. 3) Soit E un intervalle non vide de R. A la relation d ordre totale définie par a b = a b. (a b) (a b) a b = a b. (a b) (a b) a b = PPCM(a,b). (a b) (b a) a b = PGCD(a,b). (a b) (a b) a b = max(a,b).

5 X 5 (a b) (a b) a b = min(a,b). Proposition 6 Soit E un anneau commutatif pour les lois notées + et, tel que, pour tout x de E on ait x 2 = x. Il existe une relation d ordre unique sur E telle que inf(x,y) = x y et sup(x,y) = x + y x y. Cette relation est compatible avec la multiplication. De plus inf E = 0 et, si E est unitaire supe = 1. Comme la relation 1 définie par est la seule relation d ordre définie sur E telle que x x = x x y = y sup(x,y) = x y. 1 cette relation est de plus compatible avec la loi, et puisque 1 est le neutre pour cette loi, on a inf 1 E = 1. Posons x y = x + y x y. La loi est une loi de composition interne commutative sur E. On a x (y z) = x + y + z x y x z y z + x y z = (x y) z, et la loi est associative. De plus, pour tout x de E, x x = x.

6 X 6 Il existe une relation d ordre 2 définie sur E telle que et et puisque 0 est le neutre pour cette loi, on a (x 2 y) (x y = y), sup(x,y) = x y, 2 inf 2 E = 0. Mais alors, puisque on a x y = y + (x y x), (x y = y) y x = x, x 2 y équivaut à y 1 x. Il suffit de prendre pour la relation 2 pour avoir le résultat annoncé. Exemple Si E est l ensemble des applications d un ensemble A dans Z/2Z avec la structure d anneau commutatif induite par celle de Z/2Z, la relation d ordre que l on obtient est la relation induite par celle définie sur Z/2Z de la manière suivante Si l on prend pour E l ensemble des parties d un ensemble A avec la structure d anneau commutatif donnée par les lois et, la relation d ordre est alors l inclusion. Dans ce cas est l élément neutre pour, et l on a U U =, U est son propres symétrique. Alors sup(u,v ) = U V (U V ) = U V. Ces deux exemples sont d ailleurs les mêmes à un isomorphisme près. On passe du second au premier par l application qui à une partie A associe sa fonction caractéristique. Cette application est un isomorphisme d anneaux et conserve la relation d ordre.