PLAN DE COURS. Numéro du cours : Michel Ouellet Téléphone : 5964 Bureau : E-233 Session : Automne 2007 Date : 20 août 2007

Transcription

1 PLAN DE COURS Numéro du cours : 201 NYC PT Titre du cours : Algèbre linéaire et géométrie vectorielle Pondération : Programme : Sciences de la nature(profil pasc@l) Préalable : Maths : 536 Numéro des groupes : Professeurs : Michel Ouellet Téléphone : 5964 Bureau : E-233 Session : Automne 2007 Date : 20 août 2007 N.B. L emploi de termes génériques masculins a simplement pour but d alléger le texte.

2 THÉMATIQUE GÉNÉRALE DU COURS Ce cours traite de deux branches des mathématiques : l algèbre linéaire et la géométrie vectorielle. Ce sont des éléments de base, du langage mathématique, utilisés dans différents domaines de la connaissance. L algèbre linéaire joue un rôle important en mathématiques et ses applications sont variées. La géométrie vectorielle, quant à elle, constitue un champ d'applications privilégié de plusieurs concepts de l algèbre linéaire. On retrouvera dans ce cours les notions fondamentales constituant normalement le contenu d'un premier cours d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle. Les étudiants auront à résoudre des problèmes impliquant le calcul matriciel et le calcul vectoriel. Nous tenterons également de développer l'aptitude à faire des démonstrations. De façon plus générale, ce cours vise à : faire connaître l'algèbre matricielle et diverses méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires ; faire connaître le calcul vectoriel et la géométrie vectorielle du plan et de l'espace ; développer l'acuité de la perception spatiale ; développer la capacité de faire des démonstrations ; développer les capacités d'analyse et de synthèse ; développer la capacité d'abstraction en faisant ressortir qu'une même structure peut se - retrouver dans différents contextes ; développer la capacité de produire des solutions claires et rigoureuses notamment en soignant la présentation et le Français et en utilisant correctement le langage mathématique ; développer l'aptitude à résoudre des problèmes concrets, c'est-à-dire s'attarder à lire un énoncé, l'analyser, le comprendre, le transcrire mathématiquement, le solutionner et l'interpréter. Ainsi, ce cours contribue à poursuivre certains buts généraux du programme comme par exemple, «Appliquer la démarche scientifique», «Raisonner avec rigueur», De façon plus particulière, le cours donne des outils supplémentaires s appliquant à d autres cours du programme tel que les cours «Électricité et magnétisme» et «Activité d intégration». Enfin, ce cours ne requiert aucun préalable spécifique si ce n est ceux du niveau secondaire prévus pour l admission de l étudiant en sciences au collège. 2

3 OBJECTIFS Énoncé de la compétence: Appliquer les méthodes de l algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle à la résolution de problèmes Éléments de la compétence: 1. Traduire des problèmes concrets sous forme d équations linéaires. 2. Résoudre des systèmes d équations linéaires à l aide de méthodes matricielles. 3. Établir les liens entre la géométrie et l algèbre. 4. Établir l équation de lieux géométriques (droites et plans) et déterminer leurs intersections. 5. Calculer des angles, des longueurs, des aires et des volumes. 6. Démontrer des propositions. 7. Construire des représentations de lieux géométriques dans le plan et l espace. 3

4 CONTENUS, HABILETÉS ET ÉCHÉANCIER Étape 1 matrices, déterminants et systèmes d équations linéaires CONTENUS ET HABILETÉS À DÉVELOPPER Connaître la terminologie associée à la théorie matricielle (matrice, dimension, matrice ligne, matrice colonne, matrice nulle, opposé d une matrice, matrice carrée, ordre d une matrice carrée, diagonale principale, matrice unité et matrice triangulaire.) Énoncer la définition d'une matrice. Expliquer ce qu'est l'ordre d'une matrice. Énoncer la définition de l'égalité entre deux matrices. Additionner et multiplier des matrices. Multiplier une matrice par un scalaire. Transposer une matrice. Énoncer et utiliser les propriétés des opérations sur les matrices. Démontrer quelques-unes des propriétés des opérations sur les matrices. (la commutativité de l addition, l associativité de l addition, la distributivité de la multiplication par un scalaire sur l addition, la distributivité de la somme des scalaires sur la multiplication par une matrice). Reconnaître une matrice symétrique, antisymétrique, triangulaire, escalier, diagonale, scalaire ou identité. Énoncer la définition d'une matrice inverse. Vérifier que deux matrices sont l'inverse l'une de l'autre. Reconnaître qu'une matrice est la transposée d'une autre matrice. Représenter un système d'équations linéaires sous la forme matricielle. Énoncer et utiliser les propriétés des matrices transposées. Modéliser des situations concrètes à l'aide d'opérations matricielles. Énoncer la définition d'un déterminant. Trouver les cofacteurs des éléments d'une matrice carrée. Calculer un déterminant par la méthode des cofacteurs. Énoncer les propriétés des déterminants. Démontrer les propriétés des déterminants pour une matrice carrée d ordre 3. 4

5 Calculer un déterminant en utilisant les propriétés des déterminants. Trouver la matrice des cofacteurs d'une matrice carrée. Trouver la matrice adjointe d'une matrice carrée. Trouver la matrice inverse d'une matrice carrée par la méthode de la matrice adjointe. Énoncer la condition d'existence de la matrice inverse d'une matrice carrée. Énoncer et utiliser les propriétés de la matrice inverse. Démontrer quelques-unes des propriétés de la matrice inverse. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de la matrice inverse. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de Cramer. Effectuer des transformations élémentaires sur une matrice. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de la matrice escalier. Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de Gauss-Jordan. Trouver la matrice inverse d'une matrice carrée à l'aide de transformations élémentaires. Trouver le rang d'une matrice. Trouver le rang d'un système d'équations linéaires. Déterminer le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires sans le résoudre. Identifier un système d'équations linéaires consistant, un système d'équations linéaires inconsistant. Déterminer si un système consistant a une solution unique ou une infinité de solutions. Établir le lien entre le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires et son rang, notamment dans le cas d'un système homogène. Modéliser des situations concrètes à l'aide de systèmes d'équations linéaires. Étape 2 vecteurs et produits de vecteurs CONTENUS ET HABILETÉS À DÉVELOPPER Distinguer grandeur scalaire et grandeur vectorielle. (notamment en utilisant la notation appropriée) Énoncer les définitions suivantes : vecteur géométrique, vecteur algébrique, vecteurs équipollents, vecteurs opposés, vecteurs parallèles, vecteur nul, vecteur unitaire, angle entre deux vecteurs. Représenter graphiquement un vecteur géométrique et un vecteur algébrique. Additionner et multiplier par un scalaire des vecteurs géométriques et algébriques. Énoncer et utiliser les propriétés des opérations sur les vecteurs. 5

6 Décomposer un vecteur en deux autres vecteurs selon des directions données. Utiliser la loi des cosinus et la loi des sinus pour trouver le module d'un vecteur et un angle entre deux vecteurs. Exprimer graphiquement et analytiquement un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs. Énoncer la définition de vecteurs linéairement dépendants ou indépendants. Démontrer la dépendance ou l'indépendance de vecteurs. Définir et identifier une base. Énoncer, utiliser et démontrer le théorème des points alignés. Résoudre des problèmes de géométrie en utilisant l'addition vectorielle, le produit par un scalaire, la notion de combinaison linéaire, la dépendance ou l'indépendance linéaire, le théorème des points alignés. Énoncer, sous la forme géométrique et algébrique, la définition du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte. Énoncer et utiliser les propriétés des produits de vecteurs. Démontrer quelques-unes des propriétés des produits de vecteurs. Calculer un produit scalaire, un produit vectoriel et un produit mixte. Justifier toutes les étapes des deux démonstrations qui établissent les formules de calcul des produits de vecteurs en base orthonormale. Calculer la longueur d'un vecteur. Calculer l'angle entre deux vecteurs. Trouver le module et les composantes d'un vecteur-projection. Résoudre des problèmes de géométrie en utilisant le produit scalaire. Trouver un vecteur perpendiculaire à deux autres vecteurs. Trouver un vecteur perpendiculaire à un plan. Calculer l'aire d'un triangle, d'un parallélogramme et d'un quadrilatère quelconque. Calculer le volume d'un parallélépipède et d'un tétraèdre. Déterminer si trois vecteurs sont coplanaires. Déterminer si quatre points sont coplanaires. Étape 3 droite dans le plan, plan dans l espace et droite dans l espace CONTENUS ET HABILETÉS À DÉVELOPPER Trouver les différentes formes de l'équation d'une droite dans le plan. 6

7 Représenter graphiquement une droite dans le plan. Déterminer les positions relatives de deux droites du plan. Énoncer, utiliser et démontrer le critère permettant de déterminer si un vecteur est parallèle à une droite du plan. Trouver un vecteur parallèle ou perpendiculaire à une droite du plan. Calculer, en utilisant la projection d'un vecteur sur un autre, la distance entre un point et une droite du plan. Calculer, en utilisant la projection d'un vecteur sur un autre, la distance entre deux droites parallèles du plan Calculer l'angle entre deux droites du plan. Trouver le point d'intersection de deux droites du plan. Trouver le point d'une droite du plan le plus rapproché d'un point donné. Trouver les différentes formes de l'équation d'un plan dans l'espace. Représenter graphiquement un plan parallèle aux plans de coordonnées. Énoncer, utiliser et démontrer le critère permettant de déterminer si un vecteur est parallèle à un plan. Trouver un vecteur parallèle ou perpendiculaire à un plan dans l'espace. Déterminer les positions relatives de deux ou trois plans dans l'espace. Calculer, en utilisant la projection d'un vecteur sur un autre, la distance entre un point et un plan. Calculer, en utilisant la projection d'un vecteur sur un autre, la distance entre deux plans parallèles. Calculer l'angle entre deux plans. Trouver les angles directeurs et les cosinus directeurs d'un plan. Trouver le point d'un plan le plus rapproché d'un point donné. Interpréter géométriquement la solution d un système d équations linéaires. Trouver les différentes formes de l'équation d'une droite dans l'espace. Représenter graphiquement une droite dans l'espace. Déterminer les positions relatives de deux droites dans l'espace, d'une droite et d'un plan dans l'espace. Calculer la distance, en utilisant la projection d'un vecteur sur un autre ou lorsque c est possible l aire d un parallélogramme, entre un point et une droite dans l'espace, entre deux droites parallèles de l'espace, entre deux droites gauches, entre une droite et un plan dans l'espace. Calculer l'angle entre deux droites de l'espace, entre une droite et un plan (angle de percée). Trouver le point d'intersection de deux droites de l'espace. Trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace (point de percée). Trouver le point d'une droite de l'espace le plus rapproché d'un point donné. 7

8 Trouver les deux points les plus rapprochés de deux droites gauches. MÉTHODES PÉDAGOGIQUES ET ÉVALUATION MÉTHODES PÉDAGOGIQUES Les professeurs du département de mathématique considèrent que la présence de leurs élèves à toutes les heures de cours est essentielle. Forme générale du cours En classe, le professeur fera un survol de la matière à étudier pour la semaine. Par la suite, il proposera des documents Powerpoint, des lectures et des exercices à faire seul ou par équipe de deux afin d approfondir ces notions. Le professeur utilisera certaines fonctionnalités de la plate-forme Léa ainsi qu un site Web. Par cet intermédiaire, l élève pourra utiliser la messagerie pour communiquer avec son professeur ou avec les autres élèves, connaître l échéancier hebdomadaire du travail à réaliser, remettre ou récupérer des documents, utiliser des liens internet de référence Travail des élèves Le format de ce cours suppose une grande autonomie de la part de l élève, le professeur jouant plutôt le rôle de personne ressource. L échéancier renseignera précisément l élève sur le rythme auquel doivent se réaliser ses apprentissages. Il est souhaitable que l élève fasse tous les exercices proposés en vue de bien assimiler les notions vues en classe. Ces exercices lui feront développer l habileté à utiliser les concepts vus et à écrire correctement une solution. C est à partir de ce travail que le professeur pourra guider l élève dans son apprentissage. Régulièrement, des devoirs à faire avec le logiciel Maple seront exigés. Pour les étudiants ayant besoin d explications supplémentaires, rien ne vaut une rencontre avec son professeur. J indiquerai dès que possible mes heures de disponibilité. Si ces heures ne vous conviennent pas, vous pouvez prendre rendezvous avec moi à un autre moment. Il n est pas nécessaire de prendre rendez-vous pour me rencontrer. Vous pouvez vous présenter à mon bureau en tout temps en dehors des périodes de cours, mais vous courez le risque que je sois absent ou dans l impossibilité de vous recevoir. 8

9 Vous pouvez également utiliser le site Web pour obtenir de l information et des documents ou me contacter par la messagerie de Léa. ACTIVITÉS D ÉVALUATION Il est à noter que la procédure de révision de note, l évaluation du français, la présentation des travaux, la présence aux cours, la remise des travaux et le plagiat ou la fraude sont régis par la PEA (Politique d Évaluation des Apprentissages) du Cégep, articles 6.1.5, 6.1.9, , , et a) Évaluations sommatives Instruments d évaluation Pondération de la note finale Dates approximatives Premier examen 25 % 5 e semaine Deuxième examen 30 % 10 e semaine Troisième examen 30 % 15 e semaine Devoirs sur Maple 5 % - Total : 90 % Évaluations formatives De 7 à 8 tests auront lieu au cours de la session. Seules les 5 meilleures notes seront retenues. Quelle que soit la raison invoquée, tout étudiant absent à un test se voit attribuée la note 0. Aucune reprise n est possible. Tests 10 % - Corrections et notes : Après chacun des deux premiers examens, le professeur remettra à l élève sa copie d examen corrigée et notée, dans les meilleurs délais. Lorsque le professeur remettra les copies en classe et après avoir pris connaissance de sa copie, l élève la remet à son professeur et lui signale toute erreur de correction. Si l élève souhaite que sa situation soit soumise au comité de révision de notes à la fin de la session, il devra en faire mention afin que le professeur l indique par écrit sur sa copie d examen. Dans tous les cas, l élève devra remettre sa copie au professeur avant la fin de la rencontre. Après le troisième examen, le professeur conserve la copie corrigée et notée et informe l élève de la note accordée par le biais du système Omnivox. Si l élève demande une révision de notes, il doit s adresser à la Direction des études et suivre la procédure prévue dans ce cas. 9

10 Répartition approximative des heures de cours : chapitres: examen 1 environ 25 heures chapitres: examen 2 environ 25 heures chapitres: examen 3 environ 25 heures MÉDIAGRAPHIE, RÈGLES INSTITUTIONNELLES ET RÈGLES DÉPARTEMENTALES MÉDIAGRAPHIE Volume obligatoire : (en vente à la Coop étudiante) OUELLET, Gilles. Algèbre linéaire, (2 ième édition), Les éditions Le Griffon d'argile, Volumes suggérés pour lecture complémentaire : AMYOTTE, Luc. Introduction à l algèbre linéaire et à ses applications (2e édition). ERPI, ANTON, H. Algèbre linéaire. Les éditions Reynald Goulet inc., CHARRON, Gilles et Pierre PARENT. Mathématiques 105, Éditions Études vivantes, MARTEL, Paul A. et Ginette OUELLETTE. Introduction à l algèbre linéaire, Modulo éditeur, PAPILLON, Vincent. Vecteurs, matrices et nombres complexes, Modulo éditeur,

11 RÈGLES INSTITUTIONNELLES, RÉFÉRENCES À LA POLITIQUE D ÉVALUATION DES APPRENTISSAGES Évaluation du français (article 6.1.9) Dans toutes les évaluations sommatives, chaque erreur de langue est pénalisée à raison de 0,5% de la pondération de l évaluation en cause jusqu à concurrence de 10% de la note, selon le nombre d erreurs. Exemple d application : pour un travail noté sur 30 points, la pénalité pour chaque erreur de langue sera de 0,15 point (0,5% x 30), jusqu à concurrence de 3 points pour ce travail. Évaluation de la présentation et de la composition des travaux (article ) Les étudiants doivent présenter leurs travaux écrits en conformité avec les normes de présentation adoptées par le Cégep et les règles départementales qui viennent les préciser et les compléter. Présence aux cours (article ) La présence aux cours, aux séances de laboratoire, aux stages ou autres activités d apprentissage ainsi qu aux activités d évaluation est une condition essentielle de la réussite. L étudiant qui s absente au-delà d une proportion d heures de 15 % d un cours est passible d un échec. Lors de l analyse de la situation, le professeur peut tenir compte de circonstances particulières pour prendre sa décision. Exemples d application : Pour un cours de 60 heures, l étudiant absent à plus de 9 heures de cours est passible d un échec. Pour un cours de 75 heures, l étudiant absent à plus de 11,25 heures de cours est passible d un échec. Remise des travaux (article ) Les rapports et les travaux exigés de l étudiant doivent être remis au professeur à la date et au lieu indiqués. Une journée ouvrable de retard est tolérée entraînant une pénalité de 5 % de la note. Au-delà de ce délai, le travail est refusé et la note «0» est attribuée. Plagiat et fraude (article ) Tout acte de plagiat et de fraude sera sanctionné. Constitue notamment un plagiat ou une fraude tout acte de copier ou de fournir ou recevoir volontairement de l information lors d un examen, de reproduire en tout ou en partie le travail d une autre personne, qu il s agisse d un document imprimé, audiovisuel ou électronique, sans y faire expressément référence, de remplacer un étudiant ou de se faire remplacer lors d un examen ou d un travail faisant l objet d une évaluation, d obtenir, posséder ou utiliser frauduleusement des questions ou réponses d examen, de falsifier les résultats de travaux ou d examens. En cas de plagiat, de coopération à un plagiat ou de fraude lors d un examen ou d un travail, l étudiant obtient la note «0» pour cet examen ou ce travail, sans exclure la possibilité d autres sanctions compte tenu de la gravité de la faute. Révision de notes (article 6.5) Révision en cours de session : L étudiant désireux d obtenir une révision de sa note à une activité d évaluation sommative en cours de session en fait la demande directement au professeur concerné dans la semaine qui suit la réception de sa note. Il appartient au professeur de maintenir ou de modifier la note et ce dernier communique sa décision à l'étudiant au plus tard une semaine après la date de la demande. 11

12 Révision de la note finale : L étudiant désireux d obtenir la révision de la note finale à un cours s adresse d abord au professeur concerné. À défaut de pouvoir le faire ou s il s estime toujours lésé après l avoir fait, l étudiant doit, au plus tard à la date limite fixée au calendrier pour une telle demande, déposer à la Direction des études une demande de révision de note. Au plus tard une semaine après la réception de la demande par le coordonnateur du département, le comité de révision de note transmet sa décision à la Direction des études qui en saisit l étudiant par écrit. Pour être admissible, la demande de l étudiant doit préciser les activités d évaluation visées par cette demande, être accompagnée de tous les documents nécessaires (évaluations remises à l étudiant et autres pièces justificatives) et d une lettre de justification pertinente. 5.1 Généralités RÈGLES DÉPARTEMENTALES SUR L ÉVALUATION DES APPRENTISSAGES La présente politique a pour but d évaluer objectivement et équitablement les étudiants du Cégep inscrits à des cours de mathématiques Cette politique se veut en conformité avec la Politique d Évaluation des Apprentissages du Cégep (P.E.A.). En cas d ambiguïté, la Politique d Évaluation des Apprentissages du Cégep a préséance. 5.2 Évaluations Pour chacun des cours de mathématiques, le ou les professeurs concernés établissent le mode d évaluation prévu pour ce cours et ceci est consigné dans le plan de cours remis au département au début de la session Le professeur explique aux étudiants, dès le début de la session, le mode d évaluation prévu pour le cours Si un étudiant est absent lors d un travail à compléter en classe, il se verra accorder la note de 0 pour ce travail Si un étudiant n est pas en mesure de remettre un travail à temps, la politique du collège sur la remise des travaux s applique (P.E.A. article ) Si un étudiant ne se présente pas à un examen pour une raison sérieuse, un examen compensateur peut lui être accordé. Un examen compensateur est un simple déplacement dans le temps Pour tenir compte de certaines situations exceptionnelles, le professeur peut modifier le mode d évaluation prévu au cours ou prévoir une activité d évaluation complémentaire. 12

13 5.2.7 L étudiant a la responsabilité d utiliser les moyens mis à sa disposition pour faire valoir ses droits s il se croit lésé dans sa démarche d apprentissage. 5.3 Notes La note finale attribuée à un étudiant provient de l ensemble des résultats cumulés pour chacun des travaux et examens selon les pondérations prévues au plan de cours Un maximum de 10% de la note finale peut être accordé pour la participation au cours et aux activités d évaluation formative (P.E.A. article 6.1.8) Dans le calcul de la note finale, tous les résultats partiels de travaux et d examens doivent être inclus, c est-à-dire qu une note moyenne ou une proportionnalité quelconque ne peut remplacer un «0» attribué pour un travail ou un examen. Exemple : si un étudiant a fait trois des quatre examens prévus au mode d évaluation avec les résultats suivants : 60, 70 et 70, sa note finale sera = En cas de plagiat ou de fraude, la politique d évaluation du collège s applique (P.E.A. article ) Si l étudiant désire faire réviser une note, il doit suivre la procédure prévue à cet effet (P.E.A. article et 6.5.2) Les professeurs doivent conserver les copies des examens dont la note a été contestée en cours de session ainsi que les copies du dernier examen jusqu à l expiration du délai fixé par le Collège pour la révision de notes. 5.4 Français écrit Le professeur signale sur les copies les erreurs de langue, notamment en ce qui concerne l orthographe d usage, l orthographe grammaticale et la construction de phrase Dans les évaluations sommatives, le professeur soustrait 0,5% pour chaque erreur de langue, jusqu à concurrence de 10% de la note. (P.E.A. article 6.1.9) 5.5 Présentation des travaux et des examens Tout travail et tout examen doit être présenté soigneusement (ordre, propreté, clarté) Dans tous les travaux et les examens, des solutions complètes et bien présentées sont exigées Dans tous les travaux et les examens, la notation mathématique doit être respectée. 5.6 Présence aux cours 13

14 5.6.1 Les professeurs de mathématiques considèrent essentielle la présence des étudiants à toutes les heures de cours. L étudiant a la responsabilité d assister aux cours. S il arrive qu il s absente, la responsabilité lui incombe d obtenir des autres étudiants toute information donnée durant ce cours L étudiant qui s absente au-delà d une proportion d heures de 15% d un cours est passible d un échec. Lors de l analyse de la situation, le professeur peut tenir compte de circonstances particulières pour prendre sa décision. (P.E.A. article ). UTILISATION DES ÉQUIPEMENTS INFORMATIQUES DANS LE PROFIL Pasc@l Le programme Sciences de la nature, dans son profil Pasc@l, intègre des approches pédagogiques qui, jumelées à l utilisation des technologies de l information et de la communication (TIC), sont susceptibles de développer de nouvelles attitudes et habiletés chez l étudiant. Parmi ces attitudes et habiletés, l accent est mis sur la responsabilité individuelle et collective ainsi que sur l autonomie de chaque étudiant. L utilisation d un portable pour toutes les activités pédagogiques, y compris les périodes de cours, repose, entre autres, sur ces attitudes. Donc : Considérant le règlement no.5, relatif à certaines conditions de vie au cégep; Considérant que le but premier visé par le profil Pasc@l réside dans l utilisation de l ordinateur à des fins pédagogiques ; Considérant que l usage inapproprié de l ordinateur constitue un manque de respect visà-vis de son environnement immédiat ; Considérant que l enregistrement de fichiers divers (à des fins non-pédagogiques) à partir du réseau informatique réduit considérablement les capacités de ce dernier et, dans certains cas, peut violer la Loi sur les Droits d auteur ; Considérant que l usage inapproprié de l ordinateur constitue un manque de respect visà-vis des professeurs; L étudiant doit, à l intérieur des cours, utiliser son portable uniquement à des fins pédagogiques. Il est donc interdit de télécharger et de télé décharger des fichiers personnels, de jouer durant les périodes de cours, ainsi que d utiliser son ordinateur de façon nuisible à son environnement immédiat.(référence : Règlement no. 18) L étudiant doit contribuer au bon déroulement des activités pédagogiques prévues dans les cours en respectant ces règles (référence : Règlements no. 5 et no.18) Professeur : Michel Ouellet 14

15 Coordination départementale : Camil Pagé Date : 20 août