Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans l espace eucl

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1 motivation Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans l espace euclidien 9 Janvier 2009

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3 film de savon motivation Phénomène : film de savon Si on plonge un cadre en fil de fer dans de l eau savonneuse et puis le ressort, on obtiendra un film de savon. Intuitivement, un film de savon est une surface qui minimise l aire parmi tous les surfaces qui étendent de même bord.

4 film de savon motivation Phénomène : film de savon Si on plonge un cadre en fil de fer dans de l eau savonneuse et puis le ressort, on obtiendra un film de savon. Intuitivement, un film de savon est une surface qui minimise l aire parmi tous les surfaces qui étendent de même bord.

5 motivation Problème de Plateau le problème de Plateau consiste à montrer, un bord étant donné, l existence et la régularité d une surface minimale. Plateau a prétendu que des films de savon se joignent toujours sous une des 2 forme : soit 3 surfaces qui se coupent mutuellement sous un angle de 120. Exemple : caténoïde avec un disque soit 6 surfaces qui s intersectent en un point, sous un angle de arccos( 1 3 ), environ 109, c-à-d : le cône sur un tétraèdre.

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7 définition motivation Définition (Ensemble minimal) Un ensemble fermé (de dimension de Hausdorff 2) est dit minimal (de dimension 2), si H 2 (E B) H 2 (F B) pour toute boule B et toute déformation F de E dans B, c est-à-dire : F = f (E) dans B pour une certaine application Lipschitzienne f : R n R n qui vérifie f (x) = x hors B et f (B) (B).

8 définition motivation Un ensemble minimal est un ensemble fermé de dimension (de Hausdorff) 2 sur lequel les perturbations locales ne diminuent pas l aire. Exemple (un plan dans R 3 )

9 définition motivation Remarque Donc dans notre modèle, l aire est réalisée par la mesure d Hausdorff de dimension 2. Si S est une surface assez régulière, (par exemple, une C 1 variété), alors sa mesure de Hausdorff est égale à sa surface au sens ordinaire (calculable par intégration). il est permis de pincer des parties de E. par exemple : l union de 2 plans parallèles dans R 3 n est pas minimale. Ensembles minimaux peuvent contenir des points singuliers.

10 motivation cônes minimaux Exemple (Cônes minimaux ) Un cône minimal est un cône qui est aussi un ensemble minimal. On appelle cône un ensemble C R n vérifiant λc = C pour tout λ > 0, ou l image d un tel ensemble par une isométrie.

11 motivation cônes minimaux Pour trouver des cônes minimaux, une condition nécessaire : Proposition L intersection d un cône minimal (centré à l origine) avec la sphère unitée est une union d arcs de grands cercles, qui ne se rencontrent qu à trois, et sous un angle de 120. Il y a une dizaine de cônes qui satisfont cette condition là. Mais la plus part ne sont pas minimaux. Par exemple, le cône sur le cube.

12 motivation cônes minimaux Liste complète des cônes minimaux dans R 3 : un plan des Y s : un Y est l union de 3 demi-plans qui se coupent mutuellement sous un angle de 120 des T s : un T est un cône sur un tétraèdre

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14 motivation Thérème de Jean Taylor Théorème (Jean Taylor (1976)) Soit E un ensemble minimal réduit dans R 3, alors pour chaque x E il existe une boule B = B(x, r) où E est l image d un cône minimal par un C 1 -difféomorphisme, c-à-d : un plan, un Y ou un T. Un ensemble réduit est un ensemble E tq x E, r > 0 : H 2 (E B(x, r)) > 0

15 motivation Thérème de Jean Taylor Remarque Soit E un ensemble quelconque, E = {x R n : r > 0 : H 2 (E B(x, r)) > 0}, alors E est réduit, H 2 (E E ) = 0 et si E est minimal alors E l est aussi. On se contente donc de travailler sur des ensembles réduits. Le thm de Jean Taylor dit qu un ensemble minimal dans R 3 ressemble localement assez à un cône minimal. Et on a déjà la liste complète des cônes minimaux dans R 3. On peut dire donc que le problème dans R 3 est partiellement résolu.

16 motivation Thérème de Jean Taylor Remarque Soit E un ensemble quelconque, E = {x R n : r > 0 : H 2 (E B(x, r)) > 0}, alors E est réduit, H 2 (E E ) = 0 et si E est minimal alors E l est aussi. On se contente donc de travailler sur des ensembles réduits. Le thm de Jean Taylor dit qu un ensemble minimal dans R 3 ressemble localement assez à un cône minimal. Et on a déjà la liste complète des cônes minimaux dans R 3. On peut dire donc que le problème dans R 3 est partiellement résolu.

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18 motivation liste de cônes minimaux dans R 4 Problème : est-ce qu il y a une telle liste dans R 4?

19 motivation liste de cônes minimaux dans R 4 D abord, tous les cône minimaux dans R 3 sont encore minimaux dans R 4 ; un nouveau : l union de deux plan orthogonaux, c-à-d : P 1 = {(x, y, 0, 0) R 4 } ; P 2 = {(0, 0, x, y) R 4 }, P 1 et P 2 ne se croise qu a l origine. P 1 P 2 est minimal.

20 motivation liste de cônes minimaux dans R 4 D abord, tous les cône minimaux dans R 3 sont encore minimaux dans R 4 ; un nouveau : l union de deux plan orthogonaux, c-à-d : P 1 = {(x, y, 0, 0) R 4 } ; P 2 = {(0, 0, x, y) R 4 }, P 1 et P 2 ne se croise qu a l origine. P 1 P 2 est minimal.

21 conjectures motivation Conjecture l union de deux plan presque orthogonaux est-il encore minimal? C est-à-dire, si on change un peu l angle entre les deux plans orthogonaux, est-ce qu il reste minimal? Plus généralement : la conjecture de Morgan : L union de deux plans P 1 et P 2 est minimale si et seulement si leurs angles caractéristiques 0 α 1 α 2 π 2 vérifient 1) α 2 α 2 + π 3 ; 2) α 1 + α 2 2π 3

22 conjectures motivation Conjecture l union de deux plan presque orthogonaux est-il encore minimal? C est-à-dire, si on change un peu l angle entre les deux plans orthogonaux, est-ce qu il reste minimal? Plus généralement : la conjecture de Morgan : L union de deux plans P 1 et P 2 est minimale si et seulement si leurs angles caractéristiques 0 α 1 α 2 π 2 vérifient 1) α 2 α 2 + π 3 ; 2) α 1 + α 2 2π 3

23 conjectures motivation Conjecture Y Y est-il minimal dans R 4? (ici Y est de dimension 1, c-à-d, 3 demi-droite). Plus généralement : le produit de deux ensembles minimaux (de dimension quelconque) est-il encore minimal?

24 conjectures motivation Conjecture Y Y est-il minimal dans R 4? (ici Y est de dimension 1, c-à-d, 3 demi-droite). Plus généralement : le produit de deux ensembles minimaux (de dimension quelconque) est-il encore minimal?

25 motivation Merci beaucoup!

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29 graphiques motivation A. Skew quadrilateral. B. Mobius band. C. Catenoid. D. Catenoid with disk. back

30 graphiques motivation C. Catenoid. back E. Tetrahedral film.

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