Logique classique Cours 2 : Logique propositionnelle

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1 Cours 2 : Logique propositionnelle POLYTECH Université d Aix-Marseille odile.papini@univ-amu.fr

2 Plan du cours 1 Introduction

3 Bibliographie I Delahaye J. P., Outils logiques pour l intelligence artificielle., Eyrolles, Paris, Gochet P.& Gribomont P., Logique : méthodes pour l informatique fondamentale. Langue, Raisonnement, Calcul, Hermes, Paris, Kleene S. C., Logique mathématique., Epistémologie, Jacques Gabay, Paris, Thayse A.& al., Approche logique de l intelligence artificielle, Tome 1., Informatique, DUNOD, Paris, 1990.

4 Bibliographie II Alliot J.-M., Scheix T., Brisset P. & Garcia F., Intelligence artificielle et Informatique théorique., CEPADUES EDITIONS, Toulouse, 2002.

5 Bibliographie 2 I Support de cours logique propositionnelle http :// Andreas.Herzig/C/prop.html http :// champavere/enseignement/0607/l2miashs /ia/logique.pdf http ://www-lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/courslogmod.pdf Exercices http ://home.etu.unige.ch/ guigong3/tpdelogique.html http ://users.info.unicaen.fr/ zanutti/logique/ http ://liris.cnrs.fr/ amille/enseignements/emiage/ supports IA/logique/logique propositions.pdf

6 Intoduction proposition concept de proposition : information atomique contingente ce qui est ou ce qui n est pas, un fait, une assertion exemple de propositions = = 0 Le soleil brille Il a les yeux rouges un carré est un polygone tout homme est mortel

7 L Vocabulaire un ensemble infini dénombrable de variables propositionnelles ou propositions P les constantes : 0 (Faux, F ou ) et 1 (Vrai, V, ou ) les connecteurs : les parenthèses

8 Procédé de formation des formules de L (ou 0 ou F ) : est une formule (ou 1 ou V ) : est une formule p : une variable propositionnelle est une formule si P et Q sont des formules alors P, P Q, P Q, P Q, P Q sont des formules

9 Exemples de formules propositionnelles ( P Q) (P Q) P (Q R) (P (Q P)) (A B) ((A (B C)) (A C)) A A

10 exercice : représentation d énoncé Si Pierre vient, on joue aux cartes ; Si Pierre et Jean viennent, il y a des disputes ; Si on ne joue pas aux cartes, il n y a pas de dispute ; Pierre ne vient pas.

11 exercice : représentation d énoncé Si Didier est l auteur de ce bruit, il est stupide ou dépourvu de principes. Didier n est ni stupide ni dépourvu de principes. Didier n est pas l auteur de ce bruit.

12 système formel Axiomes P, Q, R L A1) (P (Q P)) A2) ((P (Q R)) ((P Q) (P R))) A3) (( P Q) (Q P))

13 système formel Règles de déduction P, Q, R L modus ponens P, P Q Q règle de substitution remplacer dans un théorème une variable propositionnelle, partout où elle figure, par : une autre variable propositionnelle ou une formule bien formée

14 système formel Définitions P, Q L D1) P Q = def P Q D2) P Q = def ( P Q) D3) P Q = def ( P Q) (P Q)

15 système formel Déduction une déduction à partir d hypothèses H 1, H 2,, H m est une suite de formules bien formées F 1, F 2,, F p où chaque F i est soit : une hypothèse un axiome ou une formule obtenue à partir des règles d inférence (substitution ou modus ponens) appliquées aux formules placées avant F i dans la déduction notation H 1, H 2,, H m F p théorème : déduction sans hypothèse F

16 système formel exemple : déduction Donner une déduction de C à partir de A, B et A (B C), plus formellement, montrer que : A, B, A (B C) C

17 système formel Proposition : P L (P P) Proposition : P 1,, P n 1 L si P 1,, P n 1 (P n Q) alors P 1,, P n Q Théorème de déduction : Soient P 1,, P n, Q L si P 1,, P n Q alors P 1,, P n 1 (P n Q)

18 système formel Quelques théorèmes utiles : P, Q, R L, toutes les formules suivantes sont des théorèmes : ((P Q) ((Q R) (P R))) (P ((P Q) Q)) ( P (P Q)) ( P P) (P P) ((P Q) ( Q P)) (P ( Q (P Q))) ((Q P) (( Q P) P))

19 système formel exercices : déduction Montrer que P L, (P P) Montrer que ((Q P) R) (P R) En utilisant le théorème de déduction montrer que : (A (B C)) (B (A C))

20 sémantique de la logique propositionnelle Interprétation toute application σ de P (ensemble des propositions) dans {0, 1} telle que : σ( ) = 0 et σ( ) = 1 P, Q L, σ( P) = 1 σ(p) σ(p Q) = max(σ(p), σ(q)) σ(p Q) = min(σ(p), σ(q)) σ(p Q) = max((1 σ(p)), σ(q)) σ(p Q) = min(max((1 σ(p)), σ(q)), max(σ(p), (1 σ(q)))).

21 sémantique de la logique propositionnelle Table de vérité P Q P Q P Q P Q P Q

22 sémantique de la logique propositionnelle exercice Quelles sont les interprétations qui rendent vraie la formule : (A (B C)) (B (A C))?

23 sémantique de la logique propositionnelle quelques définitions P, Q L et F L P est une tautologie si pour toute interprétation σ, σ(p) = 1, on écrit = P Q est une conséquence logique de P si pour toute interprétation σ, si σ(p) = 1 alors σ(q) = 1, on écrit P = Q Q est une conséquence logique de F si pour toute interprétation σ, tq P F, si σ(p) = 1 alors σ(q) = 1, on écrit F = Q

24 sémantique de la logique propositionnelle exercices Monter que les axiomes A1), A2), A3) sont des tautologies Est-ce que (P R) est une tautologie? Est -ce que ψ est une conséquence logique de φ? φ = (P Q) ( P R), ψ = Q R φ = (P Q) (P Q), ψ = P

25 sémantique de la logique propositionnelle quelques définitions P, Q L et F L P est satisfaisable ou cohérente s il existe une interprétation σ tq σ(p) = 1 F est satisfaisable s il existe une interprétation σ tq P F, σ(p) = 1 P est insatisfaisable ou incohérente si pour toute interprétation σ, σ(p) = 0 F est insatisfaisable si pour toute interprétation σ, P F tq σ(p) = 0

26 sémantique de la logique propositionnelle exercices les formules suivantes sont-elles cohérentes? (a b) ( a b) (a b) b ( c (b c)) les ensembles de formules suivants sont-ils satisfaisables? F = {a b c, a b, a c, b, c} G = {a b, a, b}

27 sémantique de la logique propositionnelle Quelques propriétés P, Q L, = (P Q) ssi P = Q = (P Q) ssi P Q si = P et = (P Q) alors = Q = (P Q) ssi = P et = Q si = P ou = Q alors = (P Q)

28 sémantique de la logique propositionnelle exercice Montrer : = (P Q) ssi P = Q = (P Q) ssi P Q

29 la logique propositionnelle Quelques théorèmes théorème (d adéquation) : P L si P alors = P (les formules qui sont des théorèmes sont des tautologies) théorème (de complétude faible) : P L si = P alors P (les formules qui sont des tautologies sont des théorèmes ) théorème (de complétude forte) : Soit F un ensemble de formules de L, si F = P alors F P P L

30 logique propositionnelle Quelques théorèmes théorème (de compacité) : Soit F un ensemble de formules de L. Si toute famille finie F F est satisfaisable alors F est aussi satisfaisable. théorème (de finitude) : Soit F un ensemble de formules de L. Soit Q L si F = Q alors F F fini tq F = Q théorème (de décidabilité) : P L, il existe un programme qui, pour toute formule P, indique en un temps fini si oui ou non P

31 logique pour l informatique formes normales littéral : une proposition ou la négation d une proposition clause : disjonction de littéraux cube : conjonction de littéraux forme conjonctive normale : une conjonction de clauses forme disjonctive normale : une disjonction de cubes théorème (de normalisation) : P L, P admet une forme conjonctive normale qui lui est équivalente P L, P admet une forme disjonctive normale qui lui est équivalente

32 logique pour l informatique : algorithme de normalisation début élimination des connecteurs et remplacer P Q par (P Q) (Q P) puis remplacer P Q par P Q application des lois de Morgan remplacer (P Q) par P Q et (P Q) par P Q élimination des doubles négations remplacer P par P application des règles de distributivité remplacer P (Q R) par (P Q) (P R) et (P Q) R par (P R) (Q R) fin

33 formes normales exercice Mettre sous forme CNF : (a b c) P (Q R) ((P Q) (R S))

34 formes normales exercice Mettre sous forme DNF : (a b c) P (Q R) ((P Q) (R S))