Test paramétrique de comparaison de k échantillons

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1 Test paramétrique de comparaison de k échantillons

2 L analyse de variance à un critère de classification (ANOVA) Objectif : comparer la moyenne de plusieurs (k) groupes indépendants d observations On analyse la variance totale, intragroupe et intergroupe (voir plus bas) pour comparer des moyennes et tester l hypothèse H 0 : µ1 = µ2 = = µk. Pourquoi ne pas réaliser une série de tests t pour comparer la moyenne de toutes les paires de groupes? Considérons 7 groupes d observations tirées indépendamment d une même population statistique. - Il faudrait réaliser 7 (7 1)/2 = 21 tests t pour comparer toutes les paires de groupes. - Chaque test étant réalisé au niveau α = 0,05, on a, dans chaque cas, 5 chances sur 100 de rejeter H 0 même si H 0 est vraie (erreur de type I). -La probabilité de rejeter H 0 au moins une fois au cours de 21 tests est 0,66 et non 0,05. Calcul basé sur distribution binomiale. -Pour être valide, le test global doit avoir une erreur de type I < α

3 L appartenance des observations aux différents groupes (variable nominale) s appelle le critère de classification. Celui-ci peut représenter un facteur contrôlé ( fixed factor ) ou un facteur aléatoire ( random factor ). Les hypothèses statistiques sont les suivantes pour k groupes: H 0 : µ1 = µ2 = = µk. H 1 : au moins l une des moyennes diffère des autres. Pour savoir laquelle ou lesquelles, il faut avoir recours, par la suite, aux tests de comparaisons multiples Notez bien: il ne s agit pas de comparer les variances des k groupes.

4 Sources de variation SCE SCT SCI

5 SC = Somme des carrés des écarts Dispersion totale = SCT Dispersion intragroupe ( due aux erreurs ) = SCE Dispersion intergroupe = SCI Mesure de la dispersion (variation) totale SCT C = i i j N j X ij 2 2 ij SCT= X C d.d.l. = N-1

6 Mesure de la dispersion (variation) intergroupe SCI SCI ( X ) 2 ij j = i ni C d.d.l. = k-1 Mesure de la dispersion (variation) intragroupe (dûe aux erreurs) SCE SCE= SCT SCI d.d.l. = N-k

7 Source de variation ddl SC CM F Totale N-1 SCT Facteur k-1 SCI SCI/(k-1) CMf acteur /CM erreur Erreur N-k SCE SCE/(N-k) CM = Carré Moyen F c = CM facteur /CM erreur Pour α = 0,05, n 1 = k-1 et n 2 =N-k, F α (n1,n2) Puisque F c > F α on rejette H 0 au profit de H 1. Le résultat de l ANOVA nous dit simplement si au moins une des moyennes diffère ou pas Un test Post-Hoc paramétrique est nécessaire pour trouver quelles moyennes diffèrent entre elles.

8 Conditions d application de l ANOVA - Variable dépendante quantitative (pour pouvoir calculer la moyenne et s x ). - Indépendance des observations (observations non autocorrélées). - Normalité de la population d où est tiré chaque groupe. - Homoscédasticité

9 Effet de la violation des conditions d application: - Le test F c de l ANOVA est robuste face à une certaine hétéroscédasticité. Ses résultats resteront donc valides en présence d une certaine quantité (pas trop élevée) d hétérogénéité des variances. -Le test Fc de l ANOVA est également robuste face à une certaine asymétrie ou aplatissement des distributions. Pour l asymétrie, on pourra utiliser le critère En cas de violation sévère de la condition de normalité: 1. Transformer les données avant l analyse. 2. Tester F c par permutations. 3. Utiliser plutôt le test non-paramétrique de Kruskal-Wallis

10 ANOVA à un critère de classification. Exemple 1: H 0 est vraie

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12 ANOVA à un critère de classification. Exemple 2: H 0 est fausse

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14 Tests paramétriques de comparaison multiples (Tests post-hoc)

15 HSD de Tuckey Principe Comparer chaque moyenne de l expérience 2 à 2 Conditions d applications Celles de l Anova Exemple. Concentrations moyenne de strontium dans 5 lacs (mg/ml) Lac Grayson Lac Beaver Lac Angler Lac Appletree Rock River 32,1 40,2 44,1 41,1 58,3 n= 6 n= 6 n= 6 n= 6 n=6 Étape 1. Ranger les moyennes de la plus petite à la plus grande Lac Grayson Lac Beaver Lac Appletree LacAngler Rock River ,1 40,2 41,1 44,1 58,3

16 Étape 2. Calculer les différences entre chaque couple de moyennes Comparaison (B vs. A) 5 vs. 1 5 vs. 2 5 vs. 3 5 vs. 4 4 vs. 1 4 vs. 2 4 vs. 3 3 vs. 1 3 vs. 2 2 vs. 1 Différence (moyenne B moyenne A) 58,3 31,1 = 26,2 58,3 40,2 = 18,1 58,3 41,1 = 17,2 58,3 44,1 = 14,2 44,1 32,1 = 12 44,1 40,2 = 3,9 44,1 41,1 = 3 41,1 32,1 = 9 41,1 40,2 = 0,9 40,2 32,1 = 8,1

17 Étape 3. Calculer l erreur standard de chaque couple SE Si n égaux CMerreur = n Comparaison (B vs. A) 5 vs. 1 5 vs. 2 5 vs. 3 5 vs. 4 4 vs. 1 4 vs. 2 4 vs. 3 3 vs. 1 3 vs. 2 2 vs. 1 SE Différence Si n inégaux CMerreur 1 1 = 2 na nb (moyenne B moyenne A) 58,3 31,1 = 26,2 58,3 40,2 = 18,1 58,3 41,1 = 17,2 58,3 44,1 = 14,2 44,1 32,1 = 12 44,1 40,2 = 3,9 44,1 41,1 = 3 41,1 32,1 = 9 41,1 40,2 = 0,9 40,2 32,1 = 8,1 SE Comme n égaux SE est identiques, CM = 9,7652

18 Étape 4. On calcule la statistique de Tuckey q q = différence SE Comparaison Différence SE q (B vs. A) (moyenne B moyenne A) 5 vs. 1 58,3 31,1 = 26,2 20,47 5 vs. 2 58,3 40,2 = 18,1 14,14 5 vs. 3 58,3 41,1 = 17,2 13,44 5 vs. 4 58,3 44,1 = 14,2 11,09 4 vs. 1 44,1 32,1 = 12 9,38 4 vs. 2 44,1 40,2 = 3,9 3,05 4 vs. 3 44,1 41,1 = 3 2,34 3 vs. 1 41,1 32,1 = 9 7,03 3 vs. 2 41,1 40,2 = 0,9 0,70 2 vs. 1 40,2 32,1 = 8,1 6,33

19 Étape 5. H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A µ B Hypothèses et Règle de décision Pour n égaux q(α,υ1 = n(k-1), υ2 = k) Pour n inégaux q(α,υ1 = N-k, υ2 = k) On rejette H 0 au seuil α = 0,05 si q calc > q (α:υ1, υ2) = q (0.05,24, 5) = 4,166 Comparaison Différence SE q q (0.05,24, 5) conclusion (B vs. A) (moyenne B moyenne A) 5 vs. 1 58,3 31,1 = 26,2 20,47 4,166 Rejet H 0 5 vs. 2 58,3 40,2 = 18,1 14,14 4,166 Rejet H 0 5 vs. 3 58,3 41,1 = 17,2 13,44 4,166 Rejet H 0 5 vs. 4 58,3 44,1 = 14,2 11,09 4,166 Rejet H 0 4 vs. 1 4 vs. 2 44,1 32,1 = 12 44,1 40,2 = 3,9 9,38 3,05 4,166 4,166 Rejet H 0 H 0 acceptée 4 vs. 3 44,1 41,1 = 3 2,34 4,166 H 0 acceptée 3 vs. 1 3 vs. 2 41,1 32,1 = 9 41,1 40,2 = 0,9 7,03 0,70 4,166 4,166 Rejet H 0 H 0 acceptée 2 vs. 1 40,2 32,1 = 8,1 6,33 4,166 Rejet H 0

20 Rock River Lac Angler Lac Appletree Étape 6. Conclusions ,1 44,1 58,3 concentration de strontium Lac Grayson Lac Beaver Lac Grayson 1 Lac Beaver 2 32,1 40,2 Lac Appletree 3 LacAngler 4 Rock River 5

21 SNK Student Newman Keuls Même procédure que le HSD de Tuckey pour le calcul du test et les règles de décision. Seul le q théorique diffère. On lit dans la table de q une valeur pour q α,υ,p Avec p = nombre de moyennes dans l étendue de moyennes testées Comparaison Différence SE q p q (0.05,24, p) conclusion (B vs. A) (moyenne B moyenne A) 5 vs. 1 58,3 31,1 = 26,2 20,47 5 4,166 Rejet H 0 5 vs. 2 58,3 40,2 = 18,1 14,14 4 3,901 Rejet H 0 5 vs. 3 58,3 41,1 = 17,2 13,44 3 3,532 Rejet H 0 5 vs. 4 58,3 44,1 = 14,2 11,09 2 2,919 Rejet H 0 4 vs. 1 44,1 32,1 = 12 9,38 4 3,901 Rejet H 0

22 Test de Dunnet Principe Contrôler si la moyenne d un groupe contrôle diffère des moyennes des groupes expérimentaux Si n égaux SE = 2CMerreur n Si n inégaux 1 1 SE = CMerreur + n b n contrôle

23 q = Moyenne contrôle SE Moyenne A On compare aux valeurs de la table de Dunnet q q α(1); N-k;k Si q > q alors H 0 est rejetée

24 Test non paramétrique de comparaison de k échantillons

25 Test de Kruskall & Wallis Le test de Kruskal-Wallis est une généralisation de celui de Mann-Whitney, à un nombre quelconque k d'échantillons. Hypothèses H 0 : Les k échantillons sont extraits d une même population H 1 : au moins un groupe est issu d une population différente des autres Exemple La densité (ffl.m -2 ) de la phanérogame marine Posidonia oceanica a été mesurée en limite inférieure d herbiers en 2003 dans 4 sites de la Région PACA. Déterminer s il existe une différence significative de densité entre ces 4 sites et où se situe cette différence (α = 0,01).

26 Carry Cassis Le Brusc Port-Grimaud On ordonne les valeurs des 4 sites confondus par ordre croissant

27 On affecte un rang à chaque mesure de densité Carry Σ Rang (R ou T) Σ Rang Σ Rang 2 /n Rang Carry ,29 Cassis Rang Cassis ,5 23, ,29 Le Brusc Rang Le Brusc 10,5 10, ,5 17,5 1344,14 Port- Grimaud Rang Pt- Grimaud ,14

28 La statistique de décision Kruskal & Wallis ont défini la variable H c (ou KW) telle que : H c = H/C Pour notre exemple on obtient H = 16,1

29 C = 1 t m t = ( t 3 t ) i i ( N 3 N ) i= 1 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) t = = 162 C = 0,99 Don Hc = 16,2 Si k (nombre de groupes) = 3 et si n1 et n2 et n3 < 5, on se réfère à la table de KW (petits échantillons) pour décider de Ho Pour tous les autres cas ( k >3 ou si n1 ou n2 ou n3 > 5) on se réfère à la table de χ² à k-1 ddl

30 On compare à χ 2 (0,01, 3) = 11,34 Hc = 16,26 > χ 2 (0,01, 3) = 11,34 donc H 0 est rejetée à 0,01 il y a donc une différence significative entre les densités de P. oceanica dans les 4 sites.

31 Tests non-paramétriques de comparaison multiples (Tests post-hoc)

32 Test de Nemeyi Si n égaux Tuckey SE = n( nk) nk + 1) 12 q = R B SE R A q α,,k SNK SE = n( np)( np + 1) 12 q = R B SE R A q α,,p

33 Si n inégaux SE N( N + 1) 1 1 = + n n 12 A B Si il y a des ex-aequo SE N( N + 1) t 1 1 = ( N 1) na n B Q = R B R SE A Q α,k Si Q<Q α H 0 est acceptée