Effet de la géométrie sur la convection naturelle dans une cavité cylindrique verticale partiellement annulaire en régime instationnaire

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1 ème Séminaire International sur la Physique Energétique th International Meeting on Energetical Physics Effet de la géométrie sur la convection naturelle dans une cavité cylindrique verticale partiellement annulaire en régime instationnaire Mohamed Amine MEDEBBER et Noureddine RETIEL Laboratoire de modélisation numérique et expérimentale des phénomènes mécaniques Université de Mostaganem, Département de Mécanique B.P.3 Route Belhacel 7 Mostaganem, Algérie. RÉSUMÉ--Ce travail concerne l étude par simulation basé sur la méthode des volumes finis de la convection naturelle laminaire dans une cavité cylindrique verticale partiellement annulaire, soumise à un gradient de température horizontal. deux séries de simulation sont effectuées tout d abord, l influence du nombre de Rayleigh, puis l influence du rapport de hauteur, pour un rapport de courbure égal, un nombre de Prandtl égal a 7. en régime instationnaire. Mots clés ; Convection naturelle ; Régime laminaire ; Méthode des volumes finis ; Cavité cylindrique verticale partiellement annulaire ; Régime instationnaire. I. INTRODUCTION La convection naturelle dans les cavités fermées à eu une attention pour son importance dans les applications technologique, car elle offre un champ d application privilégié dans le confort thermique, le stockage des fluides. Elle a été étudiée par plusieurs auteurs, citons en particulier les travaux de De Vahl Davis et al [] à des nombres de Rayleigh de l'ordre de 5. Une étude paramétrique faisant varier le nombre de Prandtl dans la gamme.5<pr<5 et le rapport de forme A entre et pour des rapports de rayon compris entre et 4 leur a permis de conclure que le transfert de chaleur n'est pas seulement fonction du nombre de Rayleigh Ra et du rapport de forme A mais également du rapport des rayons K. Citons également les travaux de Schwab et Dewitt [] qui ont calculé le nombre de Nusselt moyen pour différentes valeurs de Ra, Pr et A et pour un rapport de rayon K=. Leurs résultats sont 3 à 5% supérieurs à ceux de De Vahl Davis et al. []. Lorsque K augmente fortement, la courbure de la paroi extérieure n'aura plus d'influence sur l'écoulement dans le coeur de la cavité, il sera alors assimilé à un écoulement de couche limite autour d'un cylindre vertical chaud, c'est d'ailleurs la conclusion à laquelle à aboutit Prasad [3] dans une autre étude dans laquelle il considère cela à partir de K>.Contrairement aux études précédentes qui se sont principalement intéressés à la détermination du transfert de chaleur, Lee, Korpela et Horne [4] ont concentré leurs travaux sur la structure d'écoulement, notamment sur l'observation de régimes multicellulaires à Pr=.7. Prasad et Kulacki [5] sont les premiers à avoir étudié expérimentalement l'effet de la courbure sur la convection en cavité annulaire. L'influence du rapport des rayons de la cavité annulaire y est étudiée à des nombres de Rayleigh compris entre 8 6 et 3. Une de leurs constatations est que la distribution de température au milieu de la cavité annulaire (K=5.338) varie entre.3 et. selon la valeur des paramètres Ra, A et Pr, alors qu'elle vaut.5 lorsqu'il s'agit d'une cavité rectangulaire (K=) Ils observent également qu'au fur et à mesure que la courbure de la cavité augmente, le fluide chaud s'accumule au voisinage de la paroi intérieure (chaude), il en résulte un faible gradient vertical de température dans la zone inférieure de la cavité et un fort gradient au niveau de la zone supérieure. Qualitativement, cela a été également obtenu par De Vahl Davis et al. [], Schwab et al. [] et Lee et al. [4] et Kumar et al [7]. Parmi les aspects intéressant de l'effet de la courbure, ils ont pu noter la diminution de température à l'intérieur de la couche limite, près de la paroi intérieure (chaude). Lorsque K>, cette diminution est due à l'importance du transfert de chaleur près de la paroi intérieure. Parmi les travaux les plus récents sur la convection naturelle dans les cavités annulaire verticales, on peut citer ceux de K. Choukairy et al. [8] où ils ont étudié le couplage de la conduction thermique à travers le cylindre intérieur avec la convection naturelle dans l espace annulaire. Les auteurs ont mis en évidence l effet de l épaisseur et de la conductivité thermique du cylindre intérieur sur le transfert de chaleur dans la cavité. Un travail similaire a été effectué par Venkata Reddy et al. [9] où ils ont étudié la convection naturelle dans un espace annulaire verticale en présence d un flux de chaleur généré par le cylindre intérieur le long de son axe de symétrie. Nous pouvons remarquer que la majorité des travaux effectués se sont étudiées la convection naturelle en régime stationnaire, il nous à semblé intéressant de voir l évolution des structures d écoulements et du champ de température au cours du temps. Nous avons donc choisi un cas Journal of Scientific Research N vol. () 4

2 d écoulements ou les forces des volumes thermiques sont bien développées Ra= 5. Nous analysons les résultats uniquement du point de vue quantitatif. Nous considérons un écoulement de convection dont le nombre de Rayleigh thermique Ra= 5, par ailleurs nous gardons toujours Pr=7, X=.5, K=. A. Modèle physique II. MODÈLE PHYSIQUE ET MÉTHODE NUMÉRIQUE Le domaine étudié consiste en l espace entre deux cylindres coaxiaux verticaux de hauteurs différentes, dont les parois verticales sont maintenues à des températures différentes (chaude) T c et (froide) T f alors que les parois horizontales inférieure et supérieure sont supposées adiabatiques (Fig.), par contre la paroi horizontale intermédiaire est à la même température que le cylindre intérieur. T y y H T y Figure : Modèle physique Le fluide est supposé newtonien et l écoulement incompressible, les propriétés physiques, la viscosité cinématique et de diffusivité thermique sont constantes sauf pour la masse volumique qui dépend de sa température (approximation de Boussinesq) selon la relation suivante: T ( T) T () Avec est le coefficient d expansion thermique: () Les grandeurs caractéristiques utilisées pour adimensionner le problème sont : la largeur de l espace annulaire L=r o -r i, la vitesse de diffusion visqueuse rapportée à la largeur de l espace annulaire /L, et l écart de température ΔT=T c -T f. Étant donné la symétrie angulaire, le problème est considéré bidimensionnel. Le modèle mathématique adimensionné obtenu est le suivant: T c r e r i T f r a) Equation de continuité: RU V (3) RR Y b) Equation de quantité de mouvement radial : U U U P U U U U U V. R Y R R R R R Y (4) c) Equation de quantité de mouvement axial : V V V P V V V Ra U V. R Y Y Y R R R Pr (5) d) Equation d énergie : U V R Y Pr. R R R Y (6) Les paramètres caractéristiques qui interviennent dans les équations adimensionnelles ci-dessus et dont les valeurs conditionnent les transferts de chaleur dans la cavité sont : e) Les paramètres géométriques : A = H/L H : la hauteur du cylindre extérieur. a= h/l h : la hauteur du cylindre inférieur. K = r / ri K : le rapport de courbure X=h/H=a/A X : le rapport de hauteur. t. Temps adimensionnel. L r f) Les paramètres physiques : Le nombre de Rayleigh : Le nombre de Prandtl : gtl Ra Pr En tenant compte de l'adimensionnement des grandeurs physiques, les conditions aux limites sont: R= = U=V= K K R= K Y=, A Y Y = a et R = U=V= U=V= = U=V= K 3 Vu que notre domaine d étude est symétrique par rapport à l axe vertical (O Y) notre calcul s effectue sur la moitié du domaine d étude. Les conditions aux limites au niveau du l axe (OY) devient: R V R U= Journal of Scientific Research N vol. () 4

3 B. Méthode numérique Le modèle numérique utilisé pour résoudre le système d équations est fondé sur la méthode des volumes finis en utilisant l algorithme SIMPLER développées par Patankar [6], cette méthode s appuie sur une discrétisation du domaine de calcul en différents nœuds, chacune d entre eux étant entouré d un volume élémentaire sur lequel on intègre les équations aux dérivées partielles. Les systèmes obtenus sont résolus par l algorithme TDMA. Le maillage est irrégulier très raffiné sur les parois et grossier dans le milieu de l espace étudié. III. RESULTATS NUMERIQUES ET DISCUSSION: ) Validation: Nous avons testé notre code de calcul sur des cavités annulaires (X=.), en comparant nos résultats à ceux de R.Kumar et al. [] et de G. De Vahl Davis et al. [] dans le cas d'un écoulement de convection naturelle thermique pure. TABLEI. NUSSELT MOYEN POUR A= ; K=. ; Pr=.7. Ra Présent R.Kumar et De Vahl Davis et travail al.[] al.[] La comparaison est satisfaisante et l'erreur relative commise sur le nombre de Nusselt moyen par rapport aux valeurs proposées par les différents auteurs est de l'ordre de %. A. Profils des températures et des vitesses: Dans cette partie nous analysons, en régime instationnaire, la température et la vitesse horizontale (U) et vertical (V) au milieu de la cavité en fonction du temps. La figure (III) montre l évolution des isothermes en fonction de temps.nous remarquons dans les premiers instants que la température est constante (condition initiale). Lorsqu on avance dans le temps, la température varie d une façon importante dans la zone située au-dessus du cylindre intérieur, car cette zone est perturbée par le passage de la vague thermique qui la traverse au cours du temps, par contre on remarque que la zone situé à R>, la température se stabilise rapidement vers l état stationnaire car celle-ci n est pas atteinte par la vague thermique. Lorsque τ=5 la température à R est maximale par rapport à la température à l axe de symétrie R= car la température au point T(x, y)= (,.8) est influencé par écoulement d un fluide ascendant chauffé par la paroi vertical du cylindre intérieur, plus qu on avance dans le temps, la température augmente plus en plus au niveau de l axe symétrique = =3 = = =9 =3 =5. = Journal of Scientific Research N vol. () 4

4 Température V V = = = fig III : les isothermes pendant plusieurs pas de temps pour Ra= 5, K=, X=.5, Pr= = La figure (IV) et figure (V) montre l évolution des vitesses verticales en fonction du la courbure pour différentes pas de temps. On remarque également que les vitesses verticales sont faibles puisque le régime est conductif dans les premiers pas de temps, lorsqu on avance dans le temps, les vitesses croient est atteignent une valeur maximale V=. (figure IV) pour le cinquième pas de temps. Mais, après ce pas temps les vitesses décroisent d une façon oscillatoire jusqu à ce qu elles arrivent à une forme constante après le 5 éme pas de temps figure (III.35) accélérations du fluide s atténuent progressivement vers un état stationnaire apres 4 pas de temps apres 3 pas temps apres 35 pas temps apres 4 pas temps R Fig V: profil de la vitesse moyenne (V) à Y=.8, Ra= 5, X=.5, K= pour différents pas de temps jusqu a état stationnaire (pas de temps=4) apres pas temps apres 5 pas temps apres pas temps apres 5 pas temps apres pas temps apres 5 pas temps apres 3 pas temps apres 35 pas temps apres 4 pas temps R Fig IV: profil de la vitesse moyenne (V) à Y=.8, Ra= 5, X=.5, K= pour différents pas de temps T(,.8) T(.65,.8) T(.65,.9) Pour le cinquième pas de temps la vitesse à R est maximale par rapport à la vitesse à l axe de symétrie R= parce que la vitesse V au point (x, y)= (,.8) est accéléré par un écoulement de fluide ascendant chauffé par la paroi vertical du cylindre intérieur, mais plus on avance dans le temps un équilibre thermique s installe et les Le pas de temps Fig VI: profil de la température instationnaire à Ra= 5, X=.5, K= pour 3 points différentes au court de pas de temps Journal of Scientific Research N vol. () 43

5 V Nu La vitesse horizontale (U) U La figure (VI) montre l évolution de température pour trois points différents, un point sur l axe de symétrie de coordonnée (R=,Y=.8), deux points dans la partie supérieur, l une au dessous de l autre de coordonnée (R=.65,Y=.8), (R=.65,Y=.9). On remarque que dans les premiers pas de temps la température augmente rapidement puis elle stabilise après le emes pas de temps dans le cas des deux points (.65,.8), (.65,.9), par contre dans point T (,.8) la température augmente rapidement pendant les dix premier pas de temps, après ce pas temps elle augmente lentement puis elle se stabilise après le 4 éme pas de temps, car ce dernier point se situe sur la parcourt de la vague thermique généré par la paroi verticale chaude U(.65,.4) U(.65,.36) U(.65,.8) Le pas de temps Fig VII: profil de la vitesse horizontal (U) instationnaire à Ra= 5, X=.5, K= pour 3 points différentes au court de pas de temps L augmentation rapide de température est provoquée par l excitation thermique provoqué par les deux parois thermique, cette excitation génère une accélération des vitesses qui sont maximales dans les premiers pas de temps, cette accélération engendre un échange convectif très importants, après ce pas de temps les vitesses redeviennent constantes (figure VII) et ces pour cela on constate une stabilisation de température. L augmentation de température de point qui se situe dans l axe de symétrie (,.8) jusqu à le seuil de température égale à.38 est due aux vitesses verticales (V) de fluide, car elles sont stabiliser après le 5 emes pas temps figure (VIII) et aussi d un flux de chaleur vertical causer par surface horizontal du cylindre intérieur. B. Transfert de chaleur: La figure (IX) montre variation du nombre de Nusselt en fonction du temps. Nous remarquons que le nombre de Nusselt est important pendant les premiers instants car le gradient de température est important entre les parois isothermes (θ=-.5,.5) et le fluide à la température (θ=). Au fur et à mesure qu on avance dans le temps, la température du fluide évolue vers valeur d équilibre, ce qui provoque une diminution du gradient de température et donc le transfert de chaleur diminue également. Cette diminution continue jusqu à l instant τ=3 pour une valeur de Nu= V(,.8) V(.76,.4) V(.76,.8) Fig VIII.38: profil de la vitesse verticale (V) instationnaire à Ra= 5, X=.5, K= pour 3 points différentes au court de pas de temps Fig IX: variation du nombre de Nusselt en fonction du pas de temps pour Ra= 5, X=.5, K= Journal of Scientific Research N vol. () 44

6 C. CONCLUSION : Ce travail a essentiellement pour objectif d étudier la convection naturelle dans une cavité cylindrique verticale partiellement annulaire, pour contribuer avec des résultats numériques aux études liées aux écoulements de convection naturelles dans les cavités fermées. Nous avons étudié l écoulement en régime instationnaire où nous avons observé l évolution de la distribution de température et du champ de vitesse en fonction du temps. L écoulement qui est faible dans les premiers instants et dominé par un régime conductif est très vite perturbé par une excitation thermique qui traverse la cavité en donnant naissance à un écoulement convectif intense mais qui se stabilise au fur et à mesure qu on avance dans le temps d une façon oscillatoire. D. REFERENCES: [] G. de Vahl Davis and R. W. Thomas, 969, Natural Convection between Concentric Vertical Cylinders, Physics of Fluids, Suppl.II, pp [] T. H. Schwab, K. J. Dewitt, 97, Numerical investigation of free convection between two vertical coaxial cylinders, AIChE Journal, Vol. 6, pp.5-. [3] V.Prasad, 986, Numerical study of natural convection in a vertical, porous annulus with constant heat flux on the inner wall, Int. J. Heat and Mass Transfer, Vol.9, n 6, p [4] Y. Lee, S. A. Korpela, R. N. Horne, 98, Structure of multicellular natural convection in a tall vertical annulus, Proceedings 7th. Heat Transfer Conference, Vol., Munich. [5] V. Prasad, F. A. Kulacki, 985, Free convective heat transfer in a liquid-filled vertical annulus, ASME Journal of Heat Transfer, Vol.7, pp [6] S. V. Patankar, Numerical Heat transfer and fluid flow, 98, Hemisphere, Washington. [7] R.Kumar, M.A.Kalam,99, Laminar thermal convection between vertical coaxial isothermal cylinders, International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol.34,n,p [8] K.Choukairy, R.Bennacer, P.Vasseur, 4, Natural convection in a vertical annulus boarded by an inner wall of finite thickness, Int. Comm. Heat and Mass Transfer, Vol.3, n 4,p.5-5. [9] P.Venkata Reddy, G. Narasimham, 8, Natural convection in a vertical annulus driven by a central heat generating rod, Int. Journal Heat and Mass Transfer, Vol.5, p Journal of Scientific Research N vol. () 45