Introduction aux méthodes numériques

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Jean-Pascal Barbeau
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1 Franck Jedrzejewski Introduction aux méthodes numériques Springer

2 Table des matières Introduction 11 1 Problèmes numériques Erreurs et précision Convergence et stabilité Accélération de la convergence Complexité Optimisation Problèmes bien posés, problèmes raides Conditionnement Exercices 29 2 Approximation et interpolation Interpolation de Lagrange Interpolation d'hermite Interpolation de Tchebychev Différences divisées Algorithme de Neville-Aitken Meilleure approximation Approximation uniforme Approximation quadratique Polynômes orthogonaux Polynômes de Bernstein Fonctions splines. 58

3 Table des matières 2.12 Approximants de Padé Exercices 62 Résolution d'équations Equations algébriques Théorèmes de points fixes Localisation des racines Méthodes des approximations successives Méthode de la sécante Méthode de Mùller Méthode de la bissection Méthode de Newton-Raphson Méthode de Steffensen Méthode de Brent Méthode de la matrice associée Méthode de Bairstow Méthode d'aitken Exercices. 77 Intégration numérique Principes généraux Méthode des rectangles Méthode des trapèzes Méthode de Simpson Méthode de Newton-Côtes Méthode de Poncelet Méthode de Romberg Méthodes de Gauss Intégration de Gauss-Legendre Intégration de Gauss-Laguerre Intégration de Gauss-Tchebychev Intégration de Gauss-Hermite Exercices 91 Systèmes linéaires Généralités sur les matrices Méthode de remontée Elimination de Gauss Méthode de Gauss-Jordan Problème.des pivots Méthode de Crout Méthode de Cholesky Méthode de Householder Méthodes itératives Méthode de Jacobi 110

4 Table des matières Méthode de Gauss-Seidel Méthodes de relaxation ^Méthodes projectives Méthode de la plus profonde descente Méthode du gradient conjugué Méthode du gradient conjugué préconditionné Méthode du gradient conjugué pour les moindres carrés Exercices 116 Valeurs et vecteurs propres Méthode de la puissance itérée et déflation de Wielandt Méthode de Jacobi Méthode de Givens-Householder Méthode de Rutishauser Méthode de Francis Méthode de Danislevski Méthode de Krylov Méthode de Souriau-Le Verrier Exercices 129 Equations et systèmes d'équations différentielles Existence et unicité des solutions Champs de vecteurs Inversion locale Equations différentielles linéaires Points critiques Ensembles limites Stabilité de Liapounov Solutions périodiques. Théorie de Floquet Intégrales et fonctions elliptiques Transcendantes de Painlevé Hyperbolicité. Variété centrale Classification des flots bidimensionnels Théorème de Poincaré-Bendixson Stabilité structurelle. Théorème de Peixoto Bifurcations Système de Lorenz Méthodes d'euler Méthodes de Runge Kutta Méthodes d'adams Méthodes de prédiction-correction Exercices 159 Equations aux dérivées partielles Problèmes aux limites 163

5 6 Table des matières 8.2 Espaces de Lebesgue Distributions , Opérateurs pseudo-différentiels Espaces de Sobolev Variété des caractéristiques Classification des équations Problèmes équivalents Schémas de discrétisation Convergence et stabilité Exercices Equations elliptiques Fonctions harmoniques. Principe du maximum L'opérateur de Laplace Equations elliptiques linéaires Equations elliptiques non-linéaires Méthode de Richardson-Liebmann Méthodes de relaxation Méthode par transformée de Fourier rapide Exercices Equations paraboliques Equation de la chaleur Equation de la diffusion Equation parabolique non-linéaire Méthode du theta-schéma Méthode de Crank-Nicholson Méthode alternative de Peaceman-Rachford-Douglas Exercices Equations hyperboliques Résultats fondamentaux Equation du transport Schéma de Lax Schéma décentré Schéma saute-mouton Schéma de Lax-Wendroff Equation des ondes Méthode du theta-schéma Schéma de Lax Schéma saute-mouton Schéma de Lax-Wendroff Equation de Bûrgers Schéma de Lax-Friedrichs Schéma saute-mouton 212

6 Table des matières Schéma de Lax-Wendroff Schéma d'engquist-osher Schéma de Godounov 213 -" " Schémas de Lerat-Peyret Exercices Méthode des éléments finis Principe de la méthode Formulation variationnelle Maillage et fonctions de forme Matrices de masse et de rigidité élémentaires Eléments finis lagrangiens d'ordre Eléments finis lagrangiens d'ordre Eléments finis lagrangiens d'ordre Eléments finis hermitiens Méthodes des résidus pondérés Méthode de Rayleigh-Ritz Exercices 232 A Tables d'intégration 235 A.l Intégration de Gauss-Legendre 235 A.2 Intégration de Gauss-Laguerre 236 A.3 Intégration de Gauss-Hermite 236 B Polynômes orthogonaux 239 B.l Polynômes de Legendre 239 B.2 Polynômes de Laguerre 240 B.3 Polynômes de Tchebychev 242 B.4 Polynômes de Hermite 244 B.5 Polynômes de Gegenbauer 245 B.6 Polynômes de Jacobi 246 Bibliographie 249 f NIEDKRS. STAATS-U.UNIV.- j CÎBLIOTHEK GOTTINGEN

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