INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Cours de maîtrise, L. Boutet de Monvel

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1 EDP - Cours de Maîtrise LBdM 1 INTRODUCTION AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Cours de maîtrise, L. Boutet de Monvel Ce polycopié regroupe les notes du cours d Équations aux dérivées partielle de la Maîtrise de Mathématiques. La principale référence pour le cours est : L. Schwartz - Méthodes Mathématiques de la Physique. Hermann, Paris 1961 (plusieurs reéditions). On pourra aussi utilement consulter : L. Schwartz - Théorie des Distributions. Hermann, Paris L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operators I-IV. Grundlehren der Math.Wiss. 256, 257, 274, 275, Springer-Verlag, I. Gelfand, G. Shilov - Generalized functions vol.1,2. Acad. Press, New York & London, 1964, R. Courant, D. Hilbert - Methods of mathematical physics, vol. I (1953), vol. II (1962). Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y. L. Boutet de Monvel - Introduction aux Équations aux Dérivées Partielles (cours de maîtrise, Paris 7, 1974, rédigé par Ch. Bercoff) C. Zuily - Problèmes sur les distributions et les EDP. Hermann, Paris, 1988.

2 TABLE DES MATIÈRES 2 Table des Matières 1 INTRODUCTION ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et E.D.P Notations Équations différentielles Équations aux dérivées partielles E.D.P. LINÉAIRES Calcul d erreurs ou de perturbations Équations axiomatiquement linéaires EXEMPLES Équations différentielles Équation de Laplace Équation des ondes Équation de la chaleur, équation Schrödinger Équations de Cauchy Riemann, analyse complexe MÉTHODES Problèmes bien posés Analyse fonctionnelle Distributions Transformation de Fourier DISTRIBUTIONS FONCTIONS TEST Fonctions test Topologies, limites Régularisation, densité DISTRIBUTIONS Définition des Distributions Opérations élémentaires Topologies Exemples Support CONVOLUTION Produit externe Convolution Régularisation COMPLÉMENTS, EXEMPLES Structure des distributions famille holomorphe: pf x s Passages à la limite

3 TABLE DES MATIÈRES 3 3 TRANSFORMATION de FOURIER DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES FORMULE de RÉCIPROCITÉ POLYNÔMES de HERMITE Annihilateurs et Créateurs Fonctions de Hermite Oscillateur Harmonique, Base de S et S ÉQUATION DE LAPLACE en COORDONNÉES POLAIRES SOLUTION ÉLÉMENTAIRE Cas n = 1 : Cas n RÉGULARITÉ PROBLÈME de DIRICHLET Principe du Maximum Problème de Dirichlet Noyau de Poisson de la boule Noyau de Poisson du demi-espace Formule de la moyenne HARMONIQUES SPHÉRIQUES ÉQUATION des ONDES CORDES VIBRANTES (ondes en dimension 1+1) Primitives dans C (R) Opérateur x y Corde vibrante TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE, PROBLÈME de CAUCHY Problème de Cauchy Solution élémentaire avancée SOLUTION ÉLÉMENTAIRE Cas de la Dimension Théorème de Paley-Wiener APPENDICE - ÉQUATIONS de MAXWELL Formulation usuelle Formulation intrinsèque Groupe de Lorentz

4 TABLE DES MATIÈRES 4 6 ÉQUATION de la CHALEUR, ÉQUATION de SCHRÖDINGER TRANSFORMATION de FOURIER PARTIELLE SOLUTION ÉLÉMENTAIRE DIVERS ÉQUATION de SCHRÖDINGER ÉQUATIONS de l ANALYSE COMPLEXE ÉQUATIONS de CAUCHY-RIEMANN Fonctions d une Variable Complexe Solution Élémentaire Système de Cauchy-Riemann sur C n ÉQUATIONS de H. LEWY et S. MIZOHATA Équations de H. Lewy, b Équation de Mizohata Transformation de Fourier Partielle, Développements en Fonctions de Hermite Opérateur de Hermite PROBLÈME DE CAUCHY ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE THÉORÈME de CAUCHY-KOWALEWSKI Problème de Cauchy Solution formelle Séries majorantes Équations différentielles d ordre Équation linéaire d ordre Crochet de Poisson Équations d ordre Fin de la preuve Appendice APPENDICE La Fonction Γ

5 1 INTRODUCTION 5 1 INTRODUCTION 1.1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES et E.D.P Notations Soit U un domaine (ouvert) de R n. On appelle multi-indice (ou n-multi-indice) une suite d entiers positifs ( 0) : α = (α 1,... α n ). On pose α = α α n, α! = α 1!... α n!,... α n! ( ) α1 ( ) αn α =... x 1 x n f (α) = α f aussi noté et, si x = (x 1,..., x n ) est un vecteur de R n, x α = x α x αn n α f x α de sorte que, pour une fonction f assez différentiable, la formule de Taylor s écrit f(x + h) = f (α) (x) hα α! + O( h N ) α <N Équations différentielles Le problème est de trouver et d étudier les fonctions dérivables y(t) d une variable t qui sont liées à leur dérivée par une relation Φ(t, y, dy ) = 0, souvent dt sous forme résolue en dy : dt dy = F (t, y) dt Les équations différentielles et le calcul infinitésimal sont apparus au 17ème siècle, avec Newton et Leibniz. Elles ont inspiré Newton pour son explication spectaculaire du mouvement des planètes sous l influence de la force de gravitation universelle. Nous utilisons toujours aujourd hui les notations de Leibniz. Leur puissance s est affirmé au 18ème pour l étude de nombreux problèmes géométriques ou mécaniques, et leur importance en mathématiques et en physique n a cessé de croître depuis. Les équations de Newton comportent deux aspects : 1) l équations générale des mouvements ( F = m γ ) dit que c est la dérivée du moment cinétique m v d un corps ponctuel de masse m, dont la position

6 1 INTRODUCTION 6 est x (fonction du temps) qui égale la force F à laquelle ce corps est soumis, autrement dit la position obéit à l équation différentielle m d2 x dt 2 = F, où la force F est en principe connue indépendamment en fonction de la position et du temps (dans certains cas, par exemple s il y a des frottements, elle dépend aussi de la vitesse). La loi n est pas du tout vide ou insignifiante: elle dit que c est la variation de la vitesse (accélération) plutôt que la vitesse elle-même (variation de la position) qui est liée à la force, comme l avait déjà dit Galilée. Elle a pour conséquence que, si la force est connue par ailleurs, le mouvement est complètement déterminé par la position et la vitesse à un instant initial. C est la partie mathématique des lois de Newton. 2) La loi de la gravitation universelle (partie physique des lois de Newton): si des mobile de masse m i et de position x i sont soumis aux seules forces de la gravitation, la force exercée sur le i-ème mobile par les autres est: F i = (x j x i ) F ij avec F ij = fm i m j x j x i = ( fm i m j ) 3 x i x i x j où f est une constante universelle. Lorsqu on étudie le mouvement d un solide indéformable ou d un nombre fini de tels solides, on tombe encore sur un système fini d équations différentielles du second ordre, parce que la position du solide est complètement déterminée par celle d un repère lié de façon fixe à ce solide, i.e. par un déplacement de l espace à 3 dimensions; or un repère orthonormé est déterminé par 6 paramètres (3 coordonnées pour déterminer l origine du repère, et trois angles pour déterminer les trois vecteurs de sa base orthonormale - en tout cas un nombre fini de paramètres réels) Équations aux dérivées partielles Il en va tout autrement lorsqu on étudie le mouvement d un corps déformable (solide élastique, liquide, gaz ou plasma), par exemple un pont suspendu, le mouvement de l eau dans un torrent, des vagues ou des courants dans la mer, ou de l écoulement de l air autour d une aile d avion. Un fluide est composé d un très grand nombre de particules massives (atomes ou molécules), et il est raisonnable de l idéaliser en un milieu continu, paramétré par les points d un domaine de R n. Une première idée serait de repérer point par point les éléments du fluide, par exemple par leur position initiale: l inconnue est alors la collection des

7 1 INTRODUCTION 7 mouvements de chaque point et est décrite par une fonction vectorielle de 4 variables x(t, ξ) où ξ désigne la position initiale. La collection des masses apparaît alors comme une densité ρ(ξ)dξ (ou une mesure), indépendante du temps si la loi de conservation de la masse est respectée. La force apparaît comme une champ de vecteurs F (t, x) et l équation du mouvement est d dx (ρv(ξ, t) = F (x, t) avec v = dt dt Le champ de forces F se compose de forces externes, comme la force de gravitation, et de force internes parfois compliquées á décrire, qui font le plus souvent intervenir des dérivées de x par rapport aux variables d identification ξ (ou de position x) - nous n en donnons pas de description ici. Cette façon de décrire le mouvement peut être raisonnable pour l étude d un solide presque indéformable, mais pour un fluide elle ne fournit pas directement les renseignement les plus utiles : le plus intéressant est plutôt l état du fluide dans un repère fixé à l observateur (nous même) - par exemple pour améliorer la forme d une aile d avion, nous devons étudier la répartition des vitesses et des contraintes près de l aile, et en se repérant par rapport à l aile, et pas ce qui s évanouit 10m plus loin! Aussi depuis Euler on repère plutôt l état du fluide par le champ de vitesses V (t, x), vitesse de la particule de fluide qui occupe la position x (de notre repère) à l instant t. De nouveau la masse est décrite par une densité (mesure) ρ(t, x), qui dépend maintenant du temps, puisqu elle est liée à x et plus au repère ξ fixé dans le fluide). Le champ de moments cinétiques est toujours ρv, mais dans ce nouveau repère, le champ des moments cinétiques, dérivée absolue par rapport au temps de ρv, est d dt (ρv (t, x(t, ξ)) = ( t + V i )(ρv ) x i. Dans cette façon de repérer, cette expression est quadratique et non linéaire par rapport à V, de sorte que (sauf miracle exceptionnel) les équations de la mécanique des fluides ne sont jamais linéaires.

8 1 INTRODUCTION E.D.P. LINÉAIRES Les équations de la mécanique des fluides sont souvent difficiles à résoudre, d autant plus qu elles donnent très souvent lieu au phénomène appelé chaos (c est typiquement le cas pour la météorologie): même si en principe la solution dépend continûment des données initiales, l erreur devient vite trop grande pour qu on puisse calculer utilement. Elles ne font pas l objet de ce cours, qui s occupe des équations linéaires, mais elles sont très importantes. Les équations linéaires sont également importantes. Il y a à cela plusieurs raisons, décrites ci-dessous Calcul d erreurs ou de perturbations Le principe de base du calcul infinitésimal - calcul d erreurs ou calcul différentiel, est qu il conduit toujours à des équations linéaires : si le vecteur h est très petit et la fonction F est différentiable, l accroissement F (x+h) F(x) F (x) h est presque linéaire en h (l erreur est de l ordre de h 2 si F est deux fois différentiable) Selon ce principe si f(x) est solution d une équation différentielle Φ(x, f (α) ) = g dans un domaine Ω de R n soumis à des condition limites supplémentaires Φ j (x, f (β) ) = g j sur le bord Ω et si ce problème est bien posé, i.e. que la solution f dépend continûment et différentiablement des données g, g j, et si f + u est la solution du même problème correspondant à des données voisines g + v, g j + v j, alors la variation u de la solution doit être (approximativement) solution du système linéaire Φ f (α) α u = v dans Ω Φj f (β) (β) u = v j sur Ω (cette discussion a tout de même des limites : il est souvent beaucoup plus difficile de montrer pour des EDP que pour des équations différentielles qu un problème est bien posé) Équations axiomatiquement linéaires. Certains objets utilisés en physique sont linéaires par définition, aussi les équations qui gouvernent leur évolution doivent être linéaires pour respecter cete structure.

9 1 INTRODUCTION 9 Par exemple les champs en physique sont des fonctions à valeurs vectorielle, ils forment un espace vectoriel, et cette structure vectorielle fait partie de leur définition, aussi les équations concernant les champs doivent être linéaires. Par exemple le équations de Maxwell, qui gouvernent le champ électromagnétique, sont linéaires (nous en reparlerons à propos de l équation des ondes). En mécanique classique, un système est déterminé par son état, qui est un point d un ensemble - de préférence un ouvert d un espace numérique R n ou d une variété X. L évolution du système est gouvernée par une équation différentielle, indépendante du temps dans le cas d un système autonome: dx dt = V (x) où V est un champ de vecteurs sur X (le champ des vitesses). dont la solution, idéalement, est donnée par un groupe à un paramètre: x(t) = Φ t (x 0 ) Comme nos mesures sont toujours imprécises, il est tout à fait raisonnable d étudier comment évolue un loi de probabilité (c est à dire une mesure positive de masse 1, mesurant la probabilité de présence du mobile dans une région donnée) plutôt qu un point isolé. On peut plus généralement étudier comment évoluent les fonctions intégrables, ou les fonctions de carré intégrable. Une fonction f sur X évolue selon la loi f t (x) = f(t, x) = f(φ t (x)) et est donc gouvernée par l équation différentielle f t = V j (x) f x j Cette équation est automatiquement linéaire, parce que notre espace de fonctions (et de même L 1 ou L 2 ) est un espace vectoriel, et que la loi d évolution respecte la structure linéaire. L espace L 2 est particulièrement commode parce que c est un espace de Hilbert, qui a une bonne géométrie avec laquelle il est plus agréable de travailler. Toujours dans ce cadre, les fonction continues à valeurs complexes forment une algèbre involutive A (on peut les ajouter et les multiplier ; l involution est la conjugaison complexe). On l appelle algèbre des observables du système. Une observable (ou mesure) est une procédé qui à un phnomne observable état associe un nombre dtermin par son tat, c est à dire une fonction sur

10 1 INTRODUCTION 10 l ensemble X des tats (celle-ci doit être continue pour avoir une signification physique, i.e. une petite erreur - inévitable - sur l état du système produit une petite erreur sur la mesure). Deux observables sont identiques si elles donnent le mme rsultat sur tous les phnomnes possibles; deux phnomnes sont dans le mme tat si toutes les mesures possibles rendent sur eux le mme rsultat. L ensemble des états est donc complètement déterminé par l algèbre A: c est le spectre X = spec A, ensemble des caractères de A, i.e. des applications χ : A C telles que χ(f + g) = χ(f) + χ(g), χ(fg) = χ(f)χ(g). En physique quantique, il y a toujours une algèbre des observables (involutive), mais ce n est plus une algèbre commutative, de sorte qu il n y a plus d ensemble des états comme ci-dessus (il n y a pas assez de caractères). Il reste tout de même un espace de Hilbert H, qui est l analogue de l espace L 2 des demi-densités ci-dessus, qui est par définition un espace vectoriel, avec en plus une métrique hilbertienne respectée par l évolution. A opère sur H, de même que ci-dessus l algèbre des fonctions continues opère, par multiplications, sur L 1 ou L 2. Une loi d évolution en physique quantique correspond alors à un groupe d isométries linéaires U t sur H et se traduit par une équation différentielle linéaire de Schrödinger de la forme i dx dt = Ax avec A = A. La mécanique quantique est en réalité un peu plus compliquée que cela car H n est pas de dimension finie, et l opérateur A, limite d éléments de A, est en général non borné (exemple type: H = L 2 (R 3 ), A =, voir ci-dessous). La constante de Planck est un nombre, qu on aurait aussi bien pu incorporer dans A; mais en pratique il est utile de regarder le problème à des échelles de plus en plus grandes ce qui conduit à étudier le comportement asymptotique des solutions de l équation de Schrödinger pour 0.

11 1 INTRODUCTION EXEMPLES Équations différentielles. Une équation différentielle linéaire d ordre n, pour une fonction numérique y(t), est une équation de la forme (1) y (n) + a j (t)y (n j) = 0 où les a j sont des fonctions continues sur un intervalle I R. Si les a j sont de fonctions constantes on ditqu il s agit d une équation à coefficients constants. On sait (cours de DEUG) que les solutions d une équation d ordre n à coefficients constants sont sommes d exponentielles polynômes y = P k (t)e tλ k où les λ k sont les racines du polynôme caractéristique λ n + a j λ n j = 0 et P k est un polynôme de degré inférieur (<) à la multiplicité de la racine λ k. On étudie aussi dans le domaine complexe des équations á coefficients rationnels, comme l équation de Bessel: (2) y + 1 z y + (1 ν2 z 2 )y = 0 qui intervient dans beaucoup de problèmes, par exemple pour la transformation de Fourier des fonctions radiales (chap. 4). Rappelons que les solutions d une telle équation se prolongent holomorphiquement en dehors des points singuliers, de façon plus compliquée (ramifiée), mais plus significative, que dans le domaine réel Équation de Laplace Le Laplacien est l opérateur du second ordre sur R n (3) = n 2 x 2 1 j Le cas usuel est le cas n = 3. Cet opérateur apparaît dans un très grand nombre d équations provenant de la physique, de la mécanique, ou de problèmes géométriques. Une raison de son unversalité est la suivante: de nombreuses lois de la physique ont tendance à se traduire par des EDP du second ordre,

12 1 INTRODUCTION 12 invariantes par déplacement (translations et rotations). Or les seuls opérateurs linéaires du second ordre invariants par déplacement sont les a + b, a, b constants, de sorte que doit apparaître dans la plupart les problèmes linéaires, en particulier de perturbation, provenant de la physique. L équation f = g apparaît en particulier en électrostatique, où c est l équation qui lie un potentiel f à la densité de charges électriques g (dans l équation de électrostatique figure aussi la constante diélectrique ε 0, qui vaut 1 dans un système d unités convenable). Le potentiel engendré par une charge 1 placée au point y R 3 est V (x, y) = 1 4π x y Comme l équation de Laplace est linéaire, le potentiel engendré par la densité g est (principe de superposition). g(y) (4) f(x) = 4π x y (pourvu que g ne soit pas trop grand de sorte que l intégrale converge). Cette formule sert à résoudre l équation de Laplace dans de nombreux cas (chap. 5). Un autre problème classique provenant de la physique est le problème de Dirichlet: trouver le potentiel f dans un domaine Ω R 3 vérifiant f = 0 lorsque f est connue sur le bord Ω. Plus généralement on étudie le problème aux limites (5) f = g dans Ω f = f 0 sur Ω On verra (chap. 5) que ce problème est bien posé (voir ci-dessous), comme le suggère l intuition physique Équation des ondes L opérateur des ondes (D Alembertien) sur R n+1 est 2 t 2. Le problème bien posé associé le plus souvent à l équation des ondes est le problème initial, avec donnée de Cauchy: (6) ( 2 f t 2 )f = g f f = f 0 (x), t = f 1(x) pour t = 0 La solution de l équation des ondes est donnée par une formule intégrable remarquable (chap. 6).

13 1 INTRODUCTION Équation de la chaleur, équation Schrödinger L opérateur de la chaleur, resp. de Schrödinger est R n+1 est (7) C = t resp. S = t i. Un problème bien posé souvent associé est le problème initial: P f = g (P = C ou H), f = f 0 (x) pour t = 0. La solution de l équation de la chaleur, et celle de l équation de Schrödinger, sont données par des formules intégrables remarquables (chap. 7). Bien qu il y ait des ressemblances formelles, les deux problèmes pour C et S sont profondément différents, en particulier l équation de Schrödinger est réversible et le problème initial a une solution définie pour toutes les valeurs de t; l équation de la chaleur ne l est pas, et le problème initial n est résoluble que pour t Équations de Cauchy Riemann, analyse complexe. L équation de Cauchy-Riemann est celle que vérifient les fonctions holomorphes de z = x + iy: f (8) z = 1 ( 2 x + i ) f = 0 y Les fonctions holomorphes sur C n vérifient le systèmes des équations de Cauchy-Riemann f = ( f z k ) = 0 (k = 1,..., n). Il n y a pas de conditions limites bien posées du type ci-contre associé à ce système d équations. Si f est holomorphe dans un domaine Ω de C n, de frontière régulière Ω, la restriction f Ω vérifie un système de n 1 équations différentielles (système b des équations de Cauchy-Riemann tangentes, chap. 8). L équation de H. Lewy sur R 3 (variables z = x + iy, t) est : (9) Lf = f z + iz f t = 0 c est un cas particulier du système tangent b (n = 2, Ω =la boule unité, Ω =la sphère unité, après choix d un système de coordonnées convenable sur la sphère). L équation de Mizohata que nous étudierons à la fin du cours est (10) Mf = f t it f x = 0 Ses solutions sont les fonctions f(z), z = x + i 2 t2 où f est holomorphe dans le demiplan de Poincaré Im z 0. Elle est apparentée á l équation de H. Lewy en ce sens

14 1 INTRODUCTION 14 que l une se ramène en gros à l autre après une transformation canonique (nous en parlerons un peu à la fin du cours). Les équations Lf = g ou Mf = g ont la propriété remarquable suivante : non seulement il n y a pas de conditions limites bien posées au sens usuel, mais elles n ont a en général pas de solution du tout au voisinage d un point donné (avec t = 0 pour la seconde) si le second membre g est mal choisi. Elles ne se comportent donc pas du tout comme devraient se comporter intuitivement les équations associées à un phénomène physique - mais elles ont leur origine dans des problèmes de géométrie analytique complexe tout à fait naturels.

15 1 INTRODUCTION MÉTHODES Problèmes bien posés Les premières préoccupations des mathématiciens ont été l étude et la description de la solution générale d une équation ou d un système d équations aux dérivées partielles. Mais il est important, surtout quand nos équations doivent servir à décrire et modéliser des phénomènes physiques, de savoir quelles données supplémentaires il faut prescrire pour que la solution soit déterminée de façon unique, et surtout qu elle dépende continûment des données (en un sens intuitif, qu il faudra préciser). Lorsqu il en est ainsi on dit, avec J. Hadamard, que le problème est bien posé. Pour une équation P (x, α f) = g dans Ω, où Ω est un domaine de R n de frontière Ω régulière ou réguliére par morceaux, les données supplémentaires sont le plus souvent des conditions aux limites sur la frontière Ω, de la forme Q k (x, α f) Ω = g k où les Q k sont aussi des opérateurs différentiels (donc locaux). Il est parfois utile d utiliser d autres types de conditions supplémentaires, par exemple des conditions intégrales (non locales). Un exemple typique est la donnée de Cauchy d ordre k, qu on adjoint à une équation d ordre k pour définir le problème de Cauchy: k t f(t, x) + F (t, x, α f) = g j f t = g j(x), pour t = 0, j = 0,..., k 1 j où dans l équation principale F ne dépend que des dérivées α f d ordre α k, et α t < k (ordre en t). Le problème de Cauchy est bien posé pour certaines équations, appelées hyperboliques, par exemple pour l équation des ondes (chap. 6). Mais il ne l est pas pour les autres exemples ci-dessus. Pour le Laplacien c est le problème de Dirichlet (5) qui est bien posé. En général le problème de trouver des conditions limites pour lequel un problème est bien posé (et montrer qu elles le sont) est difficile Analyse fonctionnelle La notion de problème bien posé demande qu on définisse une topologie (notion de limite) sur l ensemble de fonctions avec lequel on travaille. Par exemple si on travaille avec des fonctions de classe C k, il est raisonnable de travailler avec

16 1 INTRODUCTION 16 la topologie de la convergence C k, définie par la famille de semi-normes N K,k (k N, K compact) : N K,k (f) = sup α f(x) x K, α k Ces topologies, liées à la convergence uniforme de f et de certaines de ses dérivées, sont bien adaptées et adéquates pour beaucoup de problèmes à une variable (équations différentielles). Mais elles ne suffisent absolument plus pour les problèmes à plusieurs variables (n 2), et on a été obligé, dans la théorie des EDP, pour exprimer que la solution dépend continûment des données (ou simplement démontrer qu elle existe), d introduire un grand nombre de topologies et de semi-normes plus élaborées. Parmi les plus usuelles sont les semi-normes du type Sobolev: N p,k (f) = ( α f p) 1/p α k qui marchent mieux que les normes uniformes Distributions Il est souvent commode de remplacer le problème d évolution par l équation intégrale dy dt = F (t, y), y(0) = 0 y(t) = y 0 + t t 0 F (s, y(s))ds (pout tout t) Les deux problèmes sont équivalents et ont les mêmes solutions, bien que dans le second l intégrale ait un sens pour une classe plus large de fonction (si F est continue, il suffit que y soit mesurable bornée). On peut souvent de même remplacer une EDP (avec conditions limites) par une équation intégrale en gros équivalente, en particulier pour les problèmes dits variationnels. Les solutions de l équation intégrale sont appelées solutions faibles. Si n 2 il arrive qu il existe des solutions faibles qui ne sont pas assez différentiables pour que l équation différentielle ait pour elles un sens. L intérêt des solutions faibles a été mis en valeur en particulier par J. Leray, qui a montré que des solutions faibles des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes) existent pour toutes les valeurs du temps, alors que les solutions au sens normal semblent disparaître ou se brouiller.

17 1 INTRODUCTION 17 La théorie des distribution (chap. 3) est un outil de la théorie des EDP, plus spécifiquement des EDP linéaires, qui rend compte des solutions faibles ci-dessus, mais aussi de beaucoup de formules de la théorie des EDP analogues à la formule du potentiel (4), qui contiennent des intégrales singulières, i.e. des procédés de calcul qui sont des limites d intégrales et se comportent comme des intégrales, mais ne sont pas des intégrales convergentes. Les distributions ont été pressenties par P. Dirac, de façon un peu heuristique pour les besoins de la physique théorique, et beaucoup d idées de la théorie viennent de S.L. Sobolev. La mise en forme finale est due de L. Schwartz (Théorie des distributions, Hermann Paris 1950) et est présentées de façon très élémentaire dans son manuel de Méthodes Mathématiques de la Physique Transformation de Fourier On a vu dans (1.2.1) que les exponentielles e λx jouent un rôle privilégié dans l analyse des équations différentielles (1 variable) `z coefficients constants. Pour un opérateur différentiel à coefficients constants P (D) = a α D α sur R n, avec D, = 1 i (Dα = ( i )α ), on a P (D)(e ix.ξ ) = P (ξ)(e ix.ξ ) de sorte que l équation P (D)f = g se ramènera à un problème de division par P (ξ) si on arrive à écrire g comme superposition d exponentielles: g(x) = e ix.ξ ĝ(ξ) dξ La transformation de Fourier réalise exactement cela. Les séries trigonométriques ont été d abord introduites par Fourier pour étudier l équation de la chaleur. Il est naturel de privilégier les exponentielles à exposant imaginaire, qui sont les exponentielles bornées. Dans la théorie actuelle décrite ci-dessous (chap. 4), le facteur ĝ n est pas une fonction, ni même une mesure, mais une distribution (tempérée), et il ne s agit pas d une vraie intégrale mais d une intégrale généralisée au sens des distributions, mais l idée de base reste la même.

18 2 DISTRIBUTIONS 18 2 DISTRIBUTIONS Une fonction numérique (sur un ouvert X de R n, ou une variété, etc.) est définie par sa valeur f(x) en chaque point x. Dans un processus de mesure où il y a des erreurs sur la position des points et sur les valeurs de f, il est souvent plus significatif de repérer des moyennes de valeurs dans des parties de X. La fonction apparaît ainsi alors par ses moyennes (ou épreuves) contre des fonctions test convenablement choisies. C est ainsi aussi qu apparaissent les distributions, mais au lieu de calculer des moyennes dans des ensembles, on les éprouve contre des fonctions très régulières : les fonctions test. Une fonction f, et plus généralement une distribution n apparaît alors qu à travers les moyennes : f, ϕ = fϕ Plus la définition des fonctions test est exigeante, mieux elle absorbe (et permet) d éventuelles irrégularités de f. 2.1 FONCTIONS TEST Fonctions test Définition 1 Soit X un ouvert de R n. On note C 0 (X) l ensemble des fonctions C à support compact sur X Exemple: la fonction exp 1 si x < 1 1 x 2 ϕ(x) = 0 si x 1 est de classe C, à support dans la boule de rayon 1. À partir de cet exemple on voit qu il y a beaucoup de fonctions test. En particulier Proposition 1 pour tout compact K R n et tout ε > 0 il existe une fonction test ϕ C0 telle que (11) 0 ϕ 1, ϕ = 1 au voisinage de K, ϕ = 0 en dehors de K ε où K ε est l ensemble (compact) des x R n tels que d(x, K) ε. Démonstration: exercice (ou voir le n o 3.1.3).

19 2 DISTRIBUTIONS Topologies, limites Pour K compact, k entier positif, on introduit la semi-norme (12) N K,k (f) = sup f (α) (x) α k,x K L espace des fonctions de classe C k à support dans K est noté CK k ; c est un espace de Banach pour la norme: N K,k. Les espaces C k resp. C sont munis de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact des dérivées d ordre k (resp. de toutes les dérivées), autrement dit de la topologie définie par les semi-normes N K,k, K compact (resp. toutes les semi-normes N K,k, K compact, k 0). Ce sont des espaces de Fréchet: métrisables car la topologie est déjà définie par la famille dénombrable de semi-normes N BN,k, B N la boule de rayon N entier > 0 (resp. N, k N); le fait qu il soient complets résulte du théorème usuel sur la dérivée d une limite: si f k converge vers une limite et f k converge uniformément sur tout compact vers une limite, alors f = lim f k est dérivable et (lim f k ) = lim(f k ). [Remarque: si E est un espace vectoriel topologique dont la topologie est définie par une suite (dénombrable) N p de semi-normes, la topologie de E peut toujours être définie par un seul écart (= distance, sans l axiome de séparation): par exemple d(x, y) = sup(min(2 p, N p (x y)) : il est immédiat que d(x, y) 0 N p (x y) 0 pour tout p).] Topologie sur C0 (X): par définition, une application f sur C0 est continue si et seulement si sa restriction à CK est continue pour tout compact K (nous n aurons besoin de cette définition que dans le cas où f est linéaire, mais elle vaut pour toutes les applications, linéaires ou non). La topologie peut aussi être définie par une famille non dénombrable de semi-normes, que nous ne décrirons pas car la seule propriété utile est la définition ci-dessus Régularisation, densité Choisissons ϕ C0 (R n ) telle que ϕ 0, ϕ = 0 pour x > 1 et ϕ = 1 (il en existe). On pose ϕ ε = ε n ϕ( x ), et, si f est une fonction localement intégrable ε on note f ε le produit de convolution: (13) f ε = f ϕ ε = f(x y)ϕ ε (y)dy = f(y)ϕ ε (x y) (le produit de convolution est généralisé à des objets plus généraux plus loin).

20 2 DISTRIBUTIONS 20 f ε est de classe C. Si f est de classe C k, f ε (α) = (f (α) ) ε f (α) pour α k, uniformément sur tout compact, parce que f(x) f ε (x) = ϕ ε (y)(f(x) f(x y))dy 0 x ε uniformément sur tout compact si f est continue, et de même pour les dérivées car on a (f ε ) (α) = (f (α) ) ε, comme on voit en dérivant sous le signe. Donc C est dense dans C k. Si f est à support dans K on a supp f ε K ε, et K ε est compact si K est compact. Donc C0 est dense dans C0 k. Si χ C0, χ = 1 pour x 1, f n = χ( x f est à support compact et tend n vers f dans C (resp. C k ) pour k si f C (resp. C k. Donc C0 est dense dans tous les espaces ci-dessus. Remarque: si on pose ϕ = ϕ ε χ où χ est la fonction caractéristique de K 3 2 ε, K 3 compact (avec la notation de la prop.1, i.e. χ(x) = 1 si d(x, K) 2 ε, 0 sinon). 3 Alors ϕ = 1 sur K ε et ϕ = 0 en dehors de K ε, ce qui donne un exemple pour 3 la prop.1.

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