Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens

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1 Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W.

2 Table des matières Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B 5. Méthodes directes de résolution de AX=B Exemples Méthode de Gauss(avec et sans pivot) Factorisation LU Factorisation de Choleski (matrice symétrique) Factorisation de Householder (matrice unitaire ) Méthodes indirectes de résolution de AX=B Quelques rappels sur les matrices Méthodes classiques(jacobi, Gauss Seidel, Relaxation) Exercices Approximations des solutions de l équation f(x) = 0. Rappels et notations Méthode de Newton : Méthode de Newton modifiée : Méthode de dichotomie : Méthode de fausse position ( Regula Falsi) : Exercices Inroduction à l interpolation Rappel et définitions Interpolant de Lagrange Interpolant de Newton Existence et Unicité de l interpolant Interpolation linéaire Erreur d interpolation Exercices

3 4 Intégration numérique Introduction Approximation Approximation par des rectangles à gauche Approximation par des rectangles à droite Approximation par des rectangles médians Approximations par des trapèzes Formule de Simpson Interpolation et Erreur d intégration numérique Interpolation linèaire et la formule du trapèze : Formule du trapèze composée Erreur de la formule de Simpson Exercices Analyse numérique des équations differentielles ordinaires (e.d.o) Rappels sur les équations differentielles ordinaires (e.d.o) Systèmes linéaires Notions de stabilité Système d équations aux differences linéaires avec coéfficients constants Méthodes numériques pour les problèmes de condition initiale Convergence Consistance Stabilité Méthode d Euler Méthodes de Taylor dans le cas scalaire Méthodes de Runge-Kutta (R.K) dans le cas scalaire Méthodes de Runge-Kutta explicites Exercices Examens F.S.O Session ordinaire 0-03 (Durée : h30) F.S.O Session Rattrapage 0-03 (Durée : h30) F.S.O Session ordinaire 0-0 (Durée : h30) F.S.O Session de rattrapage 0-0 (Durée : h30) F.S.O Session ordinaire 00-0 (Durée :h30) F.S.O Session Rattrapage 00-0 (Durée : h30) F.S.O Examen F.S.O Session ordinaire 008/

4 6.9 F.S.O Session rattrapage F.S.O Session ordinaire (Durée : h30) F.S.O Examen blanc F.S.O Devoir à faire chez soi F.S.O Session ordinaire Janvier

5 Table des figures. la solution est x = f(). f() < x = Interpolation de Newton Interpolation de Lagrange Approximation par des rectangles à gauche Approximation par des rectangles à droite Approximation par des rectangles médians

6 Chapitre Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B. Méthodes directes de résolution de AX=B.. Exemples {. Résoudre(S) : Par substitution x x = 0 L x + x = L L x = x L x = x = x = x = Par combinaison de lignes L x x = 0 L = L L x = 0 = x = = x Par ( Inversion de ) la ( matrice ) ( ) x 0 (S) = AX = B x ( ) det A = ; A = t coma = det A Si A existe alors X = A B ( ) ( ) ( ) x = x 0 = par méthode de Cramer 5

7 4x + 5x + 3x 3 7x 4 = 8 L. Résoudre(S +3x + 5x 3 + 4x 4 = 0 L ) : x 3 + 5x 4 = 8 L 3 7x 4 = 4 L x 8 (S) x x3 = x4 4 Résolution par remontée ( en commençant par x4) L 4 x 4 = 4 7 = L 3 x 3 = (8 5 ) = L x = (0 4 5 ) = 3 L x = ( ) = Système triangulaire : cas général u x + u x + +u n x n = b L ST u x + +u n x n = b L ) :. u nn x n = b n L n On suppose que u kk = 0 k =,, n x x. x n = b b. b n x n = b n u nn x n = (b n u nn b n )/u n n x i = (b i j=n j=i+ u i jb j )/u ii i = n,... Algorithme de résolution pour UX = B x n = b n u nn Pour i = n à x i = b i Pour j = i+ à n x i = x i u i j x j Fin j Fin i Remarques... Remarques :. La matrice U est dite triangulaire supérieure. Elle est inversible si tous les termes diagonaux sont non nuls et det U = u u u nn 6

8 . La matrice triangulaire inférieure se traite de façon similaire 3. le nombre d opérations nécéssaires est : n(n ) multiplications, n(n ) additions et n divisions soit au total n opérations.. Méthode de Gauss(avec et sans pivot) Elle consiste à ramener un système linéaire de la forme AX = B ( A avec matrice pleine) à un système de la forme UX = D puis à résoudre ce dernier. Exemple... Résoudre (S ) : 3x + 5x + x 3 = 8 L 0x + 8x + x 3 = 7 L 6x + x + 8x 3 = 6 L 3 Etape: Etape: 3x + 5x + x 3 = 8 L () = L 0+8x + x 3 = 7 L () = L 0 8x + 4x 3 = 0 L () 3 = L 3 L 3x + 5x + x 3 = 8 L () = L 0+8x + x 3 = 7 L () = L 0+0+6x 3 = 3 L () 3 = L () 3 + L () D où : x 3 =, x = ( 7 x 3 )/8 = et x = (8 x 3 5x )/3 = 4 Méthode de Gauss sans pivot (cas général) (S 0 ) a (0) x +a (0) x +a (0) 3 x 3 + +a (0) n x n = b (0) a (0) x +a (0) x +a (0) 3 x 3 + +a (0) n x n = b (0)... a (0) n x +a (0) n x +a (0) n3 x 3 + +a (0) nn x n = b (0) n Etape : On suppose a (0) = 0 et on pose m i = a(0) i On remplace la ligne L (0) i par L () i = L (0) i m i L (0) pour i =, 3,, n a () i j = a (0) i j m i a (0) j i, j =, 3, ; n et b () i = b (0) i m i b (0) i =, 3, ; n 7 a (0)

9 On obtient alors le système(s ) suivant : (S ) a (0) x +a (0) x +a (0) 3 x 3 + +a (0) n x n = b (0) 0+a () x +a () 3 x 3 + +a () n x n = b ()... 0+a () n x +a () n3 x 3 + +a () nn x n = b () n Etape : A nouveau, on suppose a () = 0 et on pose m i = a() i On remplace la ligne L () i par L () i = L () i m i L () pour i = 3,, n a () i j = a () i j m i a () j i, j = 3,, n et b () i = b () i m i b () i = 3,, n On obtient alors le système(s ) suivant : (S ) : a () a (0) x + a (0) x +a (0) 3 x 3+ +a (0) n x n = b (0) 0+a () x +a () 3 x 3+ +a () n x n = b () a () n3 x 3+ +a () nn x n = b () n En supposant qu à chaque étape on a a () kk = 0, on poursuit la la transformation jusq à l obtention d un système triangulaire : (S n ) : a (0) x +a (0) x + +a (0) n x n = b (0) 0+a () x + +a () n x n = b () a nn (n ) x n = b n (n ) On obtient alors la solution en commençant par : x n = b(n ) n a (n ), x n,,x nn Ecriture matricielle : ètape 0 : A (0) = A = a (0) a (0) a (0) n a (0) n a (0) nn b (0) b (0) n 8

10 ètape : A () = ètape n- : A (n ) = a (0) a (0) a (0) n 0 a () a () n 0 0 a () n a () nn b (0) b (). b () n a (0) a (0) a (0) n 0 a () a () n a (n ) nn b (0) b (). b (n ) n k Matrices élementaires de Gauss Soient les matrices m M = , M 0 k =.. m.. k+k m n m k+k en posant e k = (0,,, 0,, 0) et m k = (0,, 0, m k+k,, m nk ), on obtient M k = I m k e k et on vérifie facilement que M k est inversible et que M k = I+ m k e k. On montre alors que : Etape : A () = M A (0) Etape k : A (k) = M k A (k ) = M k M k M M A (0) Etape n- :U = A (n ) = M n M M A (0) k Remarque... : Le procédé suppose que tous les a (k ) kk = 0. Si à une étape k on a a (k ) kk = 0 et s il ya au moins un des a (k ) ik = 0 (i = k+,.n) on permute les lignes k et i et on continue, sinon ça voudrait dire que la matrice A n est pas inversible. En utilisant la méthode de Gauss sans pivot, le nombre d opérations nécéssaires au calcul de la solution deax = B est égal à : 3 n3 + 3 n 7 6 n dont n(n )(n+5) 6 et n(n+) divisions. additions, n(n )(n+5) 6 multiplications La méthode de Cramer nécéssite environ n(n + )!opérations. Par exemple 9

11 Méthode de Gauss avec pivot N Gauss Cramer Exemple... Soit à résoudre le système { 0 0 x + x = 0 x x = 0 La solution théorique est x = x = /(+0 0 ). Cependant, la résolution du système par la méthode de Gauss donne des résultats différents selon qu on l applique avec ou sans pivot. i) Si on applique la méthode de Gauss sans pivot on obtient et (S ) m = a() a () { = = x + x = 0 ( 0 0 )x = 0 0 qui donne pour solution approchée x et x 0. ii) Si on adopte la stratégie du pivot partiel qui consiste à mettre en première ligne celle dont le coefficient de x est le plus grand en module alors on permute les lignes pour obtenir le système { x x = 0 (S ) 0 0 x + x = 0 Pour lequel m = 0 0 = 0 0 et qui conduit à la solution approchée : x et x = x. La méthode de Gauss avec pivot consiste à choisir à l étape k : a (k ) kk tel que a (k ) = max a (k )..3 Factorisation LU kk k i n Théorème... : Si tous les a (k ) kk = 0 alors la matrice A peut-etre décomposée sous la forme A = LU où U = A (n ) est une matrice triangulaire supérieure et L = M M Mn est une matrice triangulaire inférieure 0 ik

12 Preuve :. M k est inversible car det M k = pour k =,, n. M k est de la forme de M k en changeant les les termes m ik en m ik, i = k+,, n 3. (M n M n M ) = M M M n 4. Le produit M M Mn est une matrice triangulaire inférieure 0 0 m 0 5. L = m 3 m m n m n m nn Théorème.. (Condition suffisante de la factorisation LU). Soit A une matrice carrée d ordre n telle que toutes les sous-matrices d ordre k (k n) soient inversibles, alors il existe une matrice triangulaire inférieure L avec l ii = et une matrice triangulaire supérieure U telles que A = LU. De plus, cette factorisation est unique. Preuve : Si a = 0, la matrice a (d ordre ) est inversible, donc on peut choisir la matrice de permutation égale à l identité et appliquer la méthode de Gauss sans pivot à la première étape. Supposons qu on ait pu choisir toutes les matrices de permutation égales à l identité jusqu à l étape k, il s ensuit que Avec A (k) = M k M k M A = i= M i A. i=k A k = a (k) a (k) kk a (k) kn..... a (k) nk a (k) nn

13 ... = a (k) a (k) k.... B k a (k) kk..... a (k) nk a (k) k a (k) n a (k) kn.... a (k) nn en écrivant A sous forme de blocs et en effectuant le produit matriciel par blocs, on obtient a () a(k) kk = det(b k). Comme det(b k ) = 0 on a a (k) kk poursuivre le procédé. Unicité = 0 et par suite on peut choisir a (k) kk comme pivot et Supposons qu il existe L, L, U et U telles que A = L U = L U, comme L et U sont inversibles alors L L = U U. Ce qui impose L L = U U = I et donc L = L et U = U. Exemple..3. Résoudre(S ) : Donc A = on a M = 3 0, On a M = 0 0 = M = 0 Donc U = M M A = 0 7 x + x + x 3 = 3x x + x 3 = 6 x + 3x + 4x 3 = 4, = M = et L = M M = Résoudre AX = B revient à résoudre LUX = B qu on résoud en étapes :. LY = B donne y = ; y = 6+3 y = et y 3 = 4 y y = 0. UX = Y donne x 3 = 0 5 = ; x = 4 = ; x = ( 4+) =

14 ..4 Factorisation de Choleski (matrice symétrique) Théorème..3. Si A est une matrice symétrique, définie positive, il existe (au moins) une matrice réelle triangulaire inférieure L telle que A = LL. Si de plus on impose aux éléments diagonaux de L d être strictement positifs, alors la factorisation est unique. Preuve : Remarquons d abord que si A est définie positive, alors toutes les sous-matrices d ordre k sont inversibles. Le théorème.. permet d affirmer l existence de deux matrices L et U telles que A = LU. Ce que nous cherchons ici c est de factoriser en utilisant une seule matrice L. Raisonnons par récurrence sur n. Si k =, A = a > 0 donc a = a. a. Supposons qu on ait pu factoriser jusqu à l ordre k et soit A k une matrice d ordre k alors A k peut s écrire : A k = ( A k v v a kk ) avec A k = L k L k. Considérons alors la matrice L k obtenue à partir de L k et telle que : L k = ( L k l l l kk ) Le produit matriciel L k L k donne : ( L k L k = L k L k l L k L k l l l+ l kk ) Par identification on obtient : L k l = v (..) L k L k = A k (..) l l+lkk = a kk (..3) i) L équation (..) permet alors de résoudre un système et d obtenir la solution qui est le vecteur l. ii) L équation (..3) permet d obtenir la dernière inconnue du problème, à savoir l kk = a kk l l et on peut choisir l kk > 0. Exemple..4. Soit A la matrice de Hilbert d ordre 6, la factorisation de Choleski 3

15 est donnée par A = LL où L = Remarque... L implémentation de l algorithme Choleski est donnée par la fonction Matlab choleski..5 Factorisation de Householder (matrice unitaire ) Soit P 0 = I ω 0 ω 0 une matrice élémentaire de Householder avec On cherche une matrice unitaire P 0 telle que ω 0 ω 0 =. (..4) P 0 a = ke, (..5) pour tout vecteur a = (a,, a n ), avec k R et e = (, 0,, 0). P 0 est orthogonale c est à dire P0 P 0 = I et par suite, on doit avoir ( ) a P0 (P 0 a) = k = a a. Soit k = ± ( a a ) /, les équations (..4) et (..5) donnent : P 0 a = a ω 0 ω 0 a = ke et parsuite ω 0 ω 0 a = ke + a = v, si on poseα = ω 0 a. On obtientαω 0 = v, et comme on chercheω 0 tel queω 0 ω 0 =, il vient :α = v v. Par suite P 0 = I α vv = I vv v v. Remarques... i) Le choix de k se fait au signe près, on peut choisir le signe +. ii) Le même procédé peut être appliqué pour obtenir une matrice P k = I k ω k ω k avecω k = (0,, 0,ω k+k,,ω nk ). On a constaté que P k peut être décomposée sous la forme ( ) I P k = k avec P k = I n k ω k ω k (voir paragraphe??). Pk iii) La factorisation de Householder permet d écrire : P n P n 3 P P 0 A = U, ou encore A = QU avec Q = P 0 P P n une matrice orthogonale. 4

16 . Méthodes indirectes de résolution de AX=B.. Quelques rappels sur les matrices Soit A = (a i j ) i, j n une matrice carrée.. A est dite à diagonale strictement dominante en colonnes si elle vérifie : i=n ai j < a j j, j n i=,i = j. A est dite à diagonale strictement dominante en lignes si elle vérifie : j=n ai j < a ii, i n j=, j =i 3. Une norme matricielle. vérifie les 4 propriétés suivantes : i) A = 0 A = 0 ii) λa = λ A pour tout λ R iii) A+ B A + B iv) AB A B 4. (I+B) est inversible si B < et de plus (I+B) B 5. A = max i n j=n j= a i j ; A = max j n i=n i= a i j ρ(a) = max j n λ i (A) est dite norme spectrale (λ i (A) : valeur propore de A).. Méthodes classiques(jacobi, Gauss Seidel, Relaxation) Pour résoudre le système Ax = b, (..) on utilise des méthodes, dites indirectes, du type x (k+) = Tx (k) + C (..) où T est une matrice obtenue à partir de A et c un vecteur dépendant de A et B On écrit A sous la forme A = M N En supposant M inversible, l équation (..) donne : x =M Nx+M b et ceci suggère le procédé itératif du type (..) avec T = M N et C = M b Il ya plusieurs façons d écrire A sous la forme A = M N Dans le cadre de ce cours on se limitera aux cas les plus utilisés à partir de : A = D L U 5

17 Méthode de Jacobi : M = D, N = L+U. Méthode de Gauss-Seidel : M = D L, N = U. Méthode de relaxation : A = A(ω) = M(ω) N(ω), avec M(ω) = D L, ω N(ω) = ω D U oùω est un scalaire. ω Définition... : Une méthode de type (..) est dite convergente si pour tout x (0) initial on a : lim x(k) = x k Si une telle limite existe, alors elle vérifie : Définition... : x = Tx+c On appelle erreur de la méthode (à la k ieme itération) la quantité : e (k) = x (k) x Avec e (0) = x (0) x on obtient e (k) = T k e (0) la méthode est convergente si lim k T k = 0 Méthode de Jacobi : Si A = (a i j ) la méthode de Jacobi consiste à choisir ; M = D = diag(a ii ) et N = L+U = ( a i j ) i, = j le schéma itératif est comme suit : x (k+) = D (L+U)x (k) + D b =T J x (k) + c La matrice T J = D (L+U) est dite matrice de Jacobi associée à A Si x (0) est le vecteur initial donné, l algorithme de Jacobi est de la forme : x (k+) i Explicitement, on obtient : = a ii j=n a i j x (k) j + b i ; i =,., n a j=, j =i ii a x (k+) = a x (k) a n x (k) n + b. a nn x (k+) n.. = a n x (k) a nn x (k) n + b n Une condition suffisante pour que la méthode de Jacobi converge est : ρ(t J ) < ou T J < 6

18 Méthode de Gauss-Seidel : Pour cette méthode, les matrices M et N sont données par : M = D L (supposé inversible) et N = U où D, L et U proviennent de l écriture A = D L U, le schéma itératif est comme suit : (D L)x (k+) = Ux (k) + b (..3) ou encore x (k+) = (D L) Ux (k) +(D L) b (..4) en explicitant (..3) on obtient : a x (k+) = a x (k) a n x (k) n + b a x (k+) = a x (k+) a 3 x (k) 3 a n x (k) n + b. a ii x (k+) i. a nn x (k+) n.. = a i x (k+) a ii x (k+) i a ii+ x (k) i+ a inx (k) n + b.. = a n x (k+) a nn x (k+) n + b n La matrice T GS = (D L) U est dite matrice de Gauss-Seidel associée à A Théorème... : Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante en lignes alors la méthode de Jacobi converge Preuve : Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante en lignes alors on a : j=n j=, j =i a i j < a ii, i n ( ) ou encore : a ii j=n j=, j =i ai j <, i n Par ailleurs T J = D (L+U) = (t i j ) avec t i j = ( a i j a ii ) si i = j et t ii = 0 Exercice : T J = max i n j=n t i j = max j= i n a ii j=n a i j < j=, j =i Montrer un résultat analogue avec preuve similaire si A est strictement dominante en colonnes 7

19 Théorème... : Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante en lignes alors la méthode de Gauss-Seidel converge Preuve : on montre que T GS = (D L) U < en passant par : On pose y =Tx =(D L) Ux T = max x =0 Tx x qui donne(d L)y =Ux et Dy =Ly+Ux ou encore y =D Ly+D Ux Soit k l indice tel que y k = max i n y i = y = Tx On a y k = j=k j= (D L) k j y j + j=n j=k+ (D U) k j x j d où y k j=k ak j j= a kk y + j=n ak j j=k+ a kk x et :( j=k ak j j= a kk ) y j=n ak j x j=k+ a kk ak j soit enfin : y x j=n j=k+ ( j=k j= a kk ak j a kk ) < Méthode de relaxation Si on considère des matrices M et N dépendantes d un paramètreω on obtient : A = M(ω) N(ω) avec M(ω) = ω D L ω et N(ω) = ω D+U T(ω) = ( ω D L ) ( ω ω D+ U) et c(ω) = ( ω D L ) b T(ω) = (I ωd L ) (( ω)i +ωd U) Remarques... : Si ω =, on retrouve la méthode de Gauss-Seidel. Si ω >, on parle de sur-relaxation. Si ω <, on parle de sous-relaxation. Théorème..3. : Condition nécessaire de convergence de la méthode de relaxation : 0 < ω < 8

20 Preuve : T(ω) = ( ) ( ω ) ω D L ω D+ U Si les valeurs propres de T(ω) sont notéesλ i (ω) on a : ( ) ω n det ω D+U det(t(ω)) = λ i (ω) = ( ) = ( ω) n. i= det ω D L D oùρ(t ω ) [ ω n ] /n = ω. Pour que la méthode converge, il est nécessaire d avoir ρ(t(ω)) < et par conséquent ω < d oùω ]0, [..3 Exercices Exercice.3.. On note e k T = (0,, 0,, 0,, 0) le transposé du k eme vecteur canonique der n, A = (a i j ) i, j n et m k T = (0,, 0, m k+,k,, m n,k ); m i, j = a i, j a i,i, i = j,. Montrer que les matrices élémentaires de Gauss M k peuvent s écrire sous la forme M k = I+ m k e k T. Vérifier que M k 3. Montrer que : = I m k e k T (I+ m e T ) (I+ m e T ) (I+ m n e n T ) = (I+ m e T +m e T + +m n e T n ) 4. Application : On considère le systéme lineaire : (S ) : AX = B 0 0 x avec A = ; X = y et B = 0 z a) Donner les matrices de Gauss M et M qui permettent de transformer (S ) en un système (S ) de la forme UX = D où U est triangulaire supérieure b) Vérifier que M k = I + m k e k T pour k =, c) Vérifier que M M = I+ m e T +m e T d) Déduire M, M et M M e) Décomposer la matrice A sous la forme A = LU où L est triangulaire inférieure 9

21 f) Résoudre le système(s ) par la méthode LU Exercice.3.. Soit L la matrice triangulaire inférieure d ordre n donnée par :. Calculer la jeme colonne de L, L = Montrer que A A = n n Exercice.3.3. On cherche à résoudre le système Ax = b par les méthodes directe et indirecte. Soit A = (a i j ) i, j n une matrice carrée vérifiant les conditions suivantes : a ii > 0, i n a i j 0, i = j n j=n j= a i j > 0, i n Soit D la matrice diagonale ( d ii = a ii et d i j = 0 si i = j). Montrer que la matrice A vérifie : j=n ai j < a ii, i n ( ) j=, j =i. Donner l expression du terme général de la matrice A () obtenue après la première étape du procédé de d élimination de Gauss sans pivot 3. Montrer que la matrice B d ordre(n ) obtenue à partir de A () en enlevant la première ligne et la première colonne vérifie une la relation similaire à( ) 4. Ecrire le schéma itératif de Jacobi x (k+) = Tx (k) + C ( T étant la matrice de Jacobi associée à A ) 5. Expliciter les composantes x (k+) j en fonction de celles de x (k) et de C 6. Montrer que la méthode de Jaobi converge ( A = max i n j=n j= ai j < ) 7. Application : On donne A = , b = a) Donner la matrice T de Jacobi associée à A, x (0) = b) Calculer la ere itération x () obtenue en utilisant la méthode de Jacobi 0

22 Exercice.3.4. Soit A = (a i j ) une matrice carrée inversible dont les éléments diagonaux sont non nuls. A est écrite sous la forme A = D L U où D est une matrice diagonale et L (respectivement U) est triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Pour résoudre le système Ax = b, on utilise la méthode itérative suivante : ( ) a ii x (k+) i = a ii x (k) n i +ω b i a i j x (k) i ( ) j + r a i j x (k) j x (k+) j, j= j= où r etω sont des réels fixés (ω non nul ) et k = 0,,. Montrer que la méthode proposée peut s écrire sous la forme matricielle : x (k+) = M(r,ω)x (k) + c avec : M(r,ω) = (D rl) (ad+bl+eu) où a, b et e sont des réels qu on exprimera en fonction de r et/ou deω.. Vérifier que cette méthode permet d obtenir les méthodes de Jacobi, Gauss- Seidel et de relaxation pour des choix appropriés de r et ω. 3. Montrer que les valeurs propres de M(r,ω) sont les racines de l équation : det(αd βl ωu) = 0 avecα = λ+ω etβ = (λ )r+ ω. Exercice.3.5. Soit A une matrice symétrique définie positive et T la matrice définie par : T = D D AD. On suppose que D A est définie positive.. Montrer que la méthode de Jacobi appliquée au système Ax = b converge.. Soit la méthode itérative suivante : { x (0) donné x (n+) = x (n) + T (b Ax (n)) Montrer que cette méthode converge et comparer sa vitesse de convergence à celle de la la méthode de Jacobi.

23 Chapitre Approximations des solutions de l équation f(x) = 0. Rappels et notations Définition... : Soit k un réel strictement positif et g une fonction définie sur un intervalle [a, b] de R à valeurs dans R. La fonction g est dite Lipschitzienne de rapport de k (encore dite k Lipschitzienne) si pour tous x et y de[a, b] on a : g(x) g(y) k x y. Définition... : Soit g une fonction k Lipschitzienne sur [a, b]. La fonction g est dite contractante de rapport de contraction k si k ]0, [. Exemple... : La fonction g(x) = sin(x) est Lipschitzienne de rappport k = Exercice... : Montrer que la La fonction g(x) = cos(x) est Lipschitzienne et déterminer le 3 rappport k Définition..3. : Soit g une fonction définie sur un intervalle [a, b] deràvaleurs dansrla fonction g est dite uniformément continue sur[a, b] si : ε 0, ηtel que x et y de[a, b] vérifiant y x η, on ait g(y) g(x) ε Remarque... : Toute fonction Lipschitzienne sur[a, b] est unfiormément continue sur[a, b].

24 Théorème.. (des Valeurs Intermédiaires). Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné [a, b] der. Alors pour tout réelθ appartenant à f([a, b]), il existe un réel c [a, b] tel queθ = f(c). Si de plus f est strictement monotone alors le point c est unique. Théorème.. (des Valeurs Intermédiaires cas particulierθ = 0). Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle[a, b] et vérifiant f(a) f(b) 0, alors il existe un réel c [a, b] tel que f(c) = 0. Si de plus f est strictement monotone alors le point c est unique. Théorème..3 (de Rolle). Soit f une fonction définie sur [a, b] et à valeurs dans R. Si f est continue sur [a, b], dérivable sur]a, b[ et vérifie f(a) = f(b), alors il existe un réel c ]a, b[ tel que : f (c) = 0. Théorème..4 (des Accroissements Finis). Soit f une fonction définie sur [a, b] et à valeurs dans R Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur]a, b[, alors il existe un réel c ]a, b[ tel que : Théorème..5 (Formule de Taylor). f(b) f(a) = (b a) f (c). Soit f une fonction de classe C n sur[a, b] dont la dérivée f (n+) est définie sur]a, b[, alors il existe un réel c ]a, b[ tel que : f(b) = f(a)+(b a) f (a)+... n! (b a)n f (n) (a)+ Théorème..6 (Formule de MacLaurin). (n+)! (b a)n+ f (n+) (c). Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle I contenant 0 et telle que f (n) soit dérivable à l intrérieur de I. Alors x I, il existe un réel c strictement compris entre 0 et x tel que : f(x) = f(0)+ x f () (0)+! x f (0)+... n! xn f (n) (0)+ Définition..4. : (n+)! xn+ f (n+) (c). Soit θ un réel et f une fonction définie sur un intervalle I deret à valeurs dansr. θ est dit zéro de f si f(θ ) = 0 Définition..5. : Soit θ un réel et g une fonction définie sur un intervalle I deret à valeurs dansr. θ est dit point fixe de g si g(θ ) =θ. 3

25 Lemme... : Soit I un intervalle deret f une fonction définie sur I et à valeurs dansr. Alors la recherche des zéros de f est équivalente à la recherche des points fixes de la fonction g définie sur I par : g(x) = x f(x) Preuve : En effet, si f(θ ) = 0 alors g(θ) = θ f(θ) = θ et inversement, si g(θ) = θ alors f(θ) =θ g(θ) =θ θ = 0. Lemme... : Soit g une fonction de classe C sur [a, b]. S il existe un réel k 0 tel que : g (x) k x [a, b] alors la fonction g est k Lipschitzienne sur[a, b]. Preuve : Il suffit d appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction g sur [x, y] avec x y. Donc il existe c ]x, y[ tel que : g(y) g(x) = (y x)g (c) et comme on a : g (c) k, il s ensuit que : g(y) g(x) k x y Définition..6. : Soit (u n ) une suite admettant pour limiteθ. On appelle erreur de la n eme étape le réel défini par e n = u n θ Définition..7. : On dit que la convergence de(u n ) versθ est d order p si : e n+ lim n = C où p et C sont des réels> 0 e n p Si p = (avec C < ) la convergence est dite linéaire Si p = on dit que la convergence est quadratique. Remarque... : L ordre de convergence p n est pas nécessairement un entier. Définition..8. : On dira que le réelδ est une approximation du réelα avec la precisionε si : α δ ε. En particulier, on dira que le terme u n0 d une suite (u n ) approche la limiteθ avec précisionε si u n0 θ ε. Exemple... : la suite(u n ) = ( ) tend vers zéro quand n tend vers l infini. n Si on veut une précision ε = 0, il suffit de prendre n 0 tel que n 0 0 ou 4

26 encore n 0 0 mais si on exige une precision de 0 5 alors on doit prendre n 0 tel que n c.a.d n Remarque..3. : Il est important de saisir la notion de vitesse de convergence. Par exemple, les suites ( n ),( n ),( n4) convergent vers zéro quand n tend vers l infini mais la vitesse de convergence diffère d une suite à l autre. Théorème..7. : Soit g une fonction k contractante sur [a, b] et à valeurs dans [a, b], et (u n ) la suite récurrente définie par : u 0 [a, b], u 0 donné et u n+ = g(u n ) pour tout n 0 Alors : - la suite (u n ) converge vers un réelθ - la fonction g admet un point fixe unique 3- Pour tout n N on a : u n θ kn k u u 0 Preuve : Tout d abord, comme u 0 [a, b] et que g : [a, b] [a, b], on a u n [a, b] pour tout n N. Ensuite, le fait que g soit une fonction k contractante implique que : u n+ u n = g(u n ) g(u n ) k u n u n pour tout n. Par conséquent on obtient : u n+ u n k n u u 0 pour tout n 0 (..) A l aide de l inégalité.. on montre que la suite(u n ) vérifie : En effet : Pour tous p N et n N on a : u n+p u n k kn u u 0 u n+p u n u n+p u n+p + u n+p u n+p +... u n+ u n+ + u n+ u n k n+p u u 0 +k n+p u u 0..+k n+ u u 0 +k n u u 0 kp k kn u u 0 k kn u u 0 () 5

27 L inégalité () nous permet de prouver que la suite(u n ) est de Cauchy. En effet : Comme k n 0 alors pour toutε > 0, il existe n 0 tel que pour tout n n 0 on n + ait : k n k u u 0 ε et par suite : k kn u u 0 ε Donc pour toutε > 0, il existe n 0 tel que pour tout n n 0 on ait : u n+p u n k n k u u 0 ε La suite(u n ) est donc de Cauchy et par conséquent elle converge vers une limiteθ. Comme la fonction g est continue sur[a, b], que u n+ = g(u n ) et que u n [a, b] n N alors on a : lim n u n =θ = g(θ) c-a-d : θ est un point fixe de g Unicité du point fixe : Supposons que g admet un autre point fixeα different deθ alors on a : g(α) g(θ) = α θ k α θ ou encore( k) α θ 0 mais comme k <, alorsα =θ Enfin, en faisant tendre p vers l infini dans l inégalité u n+p u n kn k u u 0, on obtient : θ u n kn k u u 0 n N Théorème..8 (condition de convergence locale). Soit g une fonction de classe C au voisinageθ. Si g(θ) =θ et g (θ), alors il existe ε strictement positif tel que : u 0 I ε = [θ ε,θ +ε], la suite (u n ) = (g(u n )) est définie et converge vers θ, l unique solution de g(x) = x dans I ε Preuve : Puisque g est de classe C au voisinage deθ et que g (θ) < on a : g (x) < x au voisinage deθ. Par consequent, il existe ε strictement positif tel que : x I ε, g (x) < et puisque g est continue sur le fermé borné I ε, on déduit qu il existe k ]0, [ tel que : x I ε, g (x) k < Pour appliquer le théorème, il suffit de vérifier que : g(i ε ) I ε. Or, par application du théorème des accroissements finis on a : x I ε, g(x) θ x θ Remarque..4. : 6

28 Si g (θ) =, la suite peut converger ou diverger Si g (θ) et si la suite possède une infinité de termes différents deθ, alors la suite ne peut converger. En effet, si on suppose que la suite converge versθ on obtient : u n+ θ = (u n θ)g (c n ) avec c n compris entre u n etθ et de là on aboutit à une contradiction en supposant que u n est assez proche deθ de telle sorte que : g (c n ) = u n+ θ u n θ Théorème..9. : Si la suite récurrente définie par : u 0 [a, b], u 0 donné et u n+ = g(u n ), n 0, converge linéairement versθ et si g est de classe C e sur[a, b], alors C = n+ lim = g (θ). n e n Preuve : Il suffit d appliquer le théorème des accroissements finis : e n+ = u n+ θ = g(u n ) g(θ) = (u n θ)g (c n ) et de là on obtient Remarque : e n+ lim = lim g (c n ) = g (θ) n e n n On veut résoudre numériquement l équation f(x) = 0. On constate qu il existe plusieurs façon d écrire cette équation sous la forme d un problème de point fixe c est-à-dire sous la forme g(x) = x. Par exemple on à les trois écritures suivantes : x x 3 = 0 = x = x+3 = x = g (x) = ± x+3 (..) x x 3 = 0 = x = x 3 = x = g (x) = x 3 (..3) x x 3 = 0 = x = x+3 = x = g 3 (x) = x+3 (..4) x Les trois équations..,..3 et..4 admettent pour points fixes et 3. Pour la convergence locale ou globale il faut étudier g i (x), g i ( ) et g i (3) i =,, 3. Méthode de Newton : En prenant la fonction g définie par : g(x) = x f(x) f (x), on obtient le procédé de Newton donné par : x 0 donné, x n+ = x n f(x n) f (x n ) pour n 0 avec f (x n ) = 0 7

29 Théorème... : Soit une fonction de classe C sur[a, b] satisfaisant les conditions suivantes : i) f(a). f(b) < 0 ii) x [a, b], f (x) = 0 iii) f est de signe constant sur[a, b] ( convexité ou concavité) iv) f(a) f (a) < b a, f(b) f (b) < b a Alors la méthode de Newton converge vers l unique solutionθ de f(x) = 0 dans [a, b] et ceci pour n importe quel choix de x 0 [a, b]. Preuve : Considérons le cas f(a). f(b) < 0, f (x) < 0 et f (x) < 0 D après i) et ii), il existe une solutionθ [a, b] qui verifie : x n+ θ = x n θ+ f(θ) f(x n) f = (x n ) (x n θ) f (c) f (x n ) avec x n c θ Par conséquent, le signe de x n+ θ est celui de f (c) f (x n ). Si f (x) < 0 et f (x) < 0 alors x n+ θ pour tout n 0, (x n ) est donc minorée parθ à partir de x Pour montrer que la suite(x n ) est décroissante, on distingue deux cas :. Si x 0 > θ, x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) x 0 et on montre que x n+ x n pour tout n 0. Si x 0 < θ, x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) x 0 et on montre que x n+ x n pour tout n Exemple... Considérons l équation f(x) = x 3 + 4x 0 = 0, x > 0 On a f une fonction strictement croissante ( car f = 3x + 8x > 0 sur ]0,+ [) et comme f() = 5 et f(4) = 8 donc d après le théorème des valeurs intermédiaires f admet une seule racine dans l intervalle [0; 4]. Soit x 0 = 3.9. la solution est donnée par la figure (.) : 8

30 0 la fonction f(x)=x 3 +4*x 0 C f f(x) x x x x x FIGURE. la solution est x = Méthode de Newton modifiée : En prenant la fonction g définie par : g(x) = x f(x) f (x 0 ), f (x 0 ) = 0 on obtient la méthode de Newton modifiée comme suit : x 0 donné, x n+ = x n f(x n) f (x 0 ) pour n 0 on montre alors que cette méthode est d ordre. Autres modifications de la méthode de Newton peuvent etre obtenues en prenant f (x σ(n) ) pour des valeurs intérmédaires..4 Méthode de dichotomie : Soit une f fonction définie continue sur[a, b] vérifiant f(a) f(b) 0. La fonction f admet donc au moins un zéroθ [a, b]. La méthode de dichotomie consiste à approcher θ par encadrement, en réduisant à chaque étape la longueur de l intervalle de moitié selon l algorithme suivant : Etape On pose a 0 = a et b 0 = b on pose c 0 = a 0 + b 0 puis on teste si c 0 =θ c est terminé, sinon : Si f(a 0 ) f(c 0 ) < 0 alorsθ [a 0, c 0 ] on pose alors a = a 0 et b = c 0 puis c = a + b Si f(b 0 ) f(c 0 ) < 0 alorsθ [c 0, b 0 ] on pose alors a = c 0 et b = b 0 puis c = a + b 9

31 Aprés cette étape la longueur de[a, b ] est égale à b 0 a 0 Etape on recommence le procédé de l étape. Etape k = b a A chaque étape k du procédé, soit on tombe sur un c k = θ soit on diminue la longueur de l intervalle de moitié. Théorème.4.. : Les a k, b k et c k satisfont les propriétés suivantes : - [a k+, b k+ ] [a k, b k ] -b k+ a k+ = b k a k = b 0 a 0 k+ 3- La suite(c k ) converge versθ 4- c k θ b a k+ Preuve : - Pour k 0 on a c k = a k + b k Donc[a k+, b k+ ] [a k, b k ] et[a k+, b k+ ] = [a k, c k ] ou[a k+, b k+ ] = [c k, b k ] - On a par construction b k+ a k+ = b k a k, montrons par récurrence que : b k a k = b a k Pour k = 0 la relation est vérifiée Si on suppose que la relation est vraie à l ordre k ( b k a k = b a b a k = b a k+ b k+ a k+ = (b k a k ) = 3- Par constructionθ [a k, b k ] et c k = a k + b k Donc c k θ b k a k b a k+ En d autres termes, on a :θ b a k+ c k θ+ b a k+ et comme b a 0 on déduit que lim k+ c k =θ n + k est le milieu de[a k, b k ] k ) alors on a : Remarque.4.. Le théorème précédent permet de calculer à l avance le nombre maximal n N d itérations assurant la précision ε, en effet Pour que c n vérifie c n θ b a n+ à la nime itération, il suffit que n vérifie : b a n+ ε On a alors : donc b a b a ε n+ ε c n θ b a ε n+ n+ log( b a ) (n+) log() ε 30

32 log(b a) log(ε) n log() Exemple.4.. Soit f(x) = x 3 + 4x 0 = 0. On vérifie graphiquement que f admet une racine réelle dans l intervalle [; ] et que la méthode de dichotomie est applicable (voir figure (.)). 4 la fonction f(x)=x 3 +4x f(x) 4 0 x x FIGURE. f(). f() < 0 Pour trouver une approximation de cette racine on peut utiliser la méthode de dichotomie avec une précision = 0 0 on a les résultats suivants : n (numérique) = 33 n (théorique) = 3.98 x = f(x) = e 0.5 Méthode de fausse position ( Regula Falsi) : Au lieu de prendre à chaque étape c k qui est le milieu de l intervalle [a k, b k ], la méthode de fausse position prend le point d intersection de l axe des abscisses avec la droite passant par (a k, f(a k )) et (b k, f(b k )). L équation de cette droite est donnée par : x a b a = y f a) f(b) f(a). Elle coupe l axe des abscisses au point : M k (c k, 0) où : c k = a k + f(a k ) En suite on procède comme dans le cas de dichotomie en testant : Si f(a k ) f(c k ) < 0 alorsθ [a k, c k ] on pose alors a k+ = a k et b k+ = c k a k b k f(a k ) f(b k ) Si f(b k ) f(c k ) < 0 alorsθ [c k, b k ] on pose alors a k+ = c k et b k+ = b k puis on cherche à nouveau la droite passanrt par (a k+, f(a k+ )) et(b k+, f(b k+ )) 3

33 Exemple.5.. : Considérons l équation f ( x) = x3 0 = 0 comme f (0.75) = 9, 5785 et f (4.5) = 7, 5 alors f (0.75). f (4.5) < 0 donc on peut appliquer le méthode de fausse position ( Regula Falsi) dans l intervalle [0.75; 4.5]. La solution est donnée par la figure (.3) : f(b) a 0 f(a) 0 0 b F IGURE.3 x = Exercices Exercice.6.. Considérons la suite récurrente (un ) définie par : 0 < u0 < et u n + = h( u n ) n 0 où h est donnée par l équation logistique h( x) = rx( x). Montrer que si r ]0, 4] alors 0 < un n. vérifier que 0 est un point fixe trivial de h et trouver l autre point fixe θ 3. A quelles conditions sur r la suite (un ) converge-t-elle vers les points fixes 0 et θ? Exercice.6.. Soient g, g, g3 et g4 les fonctions définies par : A 3A x(3a x ), g3 ( x) = ( x + ) et g4 ( x) = + g ( x) = x A, g ( x) = A x 8x 3 3x x 4 8A. vérifier que les quatre fonctions admettent A comme point fixe. Ecrire les formules de Taylor à l ordre 3 au point A pour les quatre fonctions 3

34 3. On considère les suites(x n ), (y n ),(u n ) et(v n ) définies par : x n+ = g (x n ), y n+ = g (y n ), u n+ = g 3 (u n ) et v n+ = h(v n ) puis on pose : e n = A x n,ε n = A y n, d n = A u n etδ n = A v n Trouver l ordre de convergence et la constante d erreur asymptotique dans chaque cas, c.a.d : e n+ ε lim n e n p = n+ ε C, lim n ε n p = n+ C, lim n ε n p 3 où p i et C i sont des constantes> 0 4. Conclure. = C 3, lim n e n+ e n p 4 Exercice.6.3. Soit p un entier et f et g les fonctions définies surr + par : g(x) = Ax p et f(x) = x+λ(g(x) x). La suite x n+ = g(x n ) converge-t-elle vers A /p? = C 4,. pour quelle valeurs de λ a-t-on convergence de l itération x n+ = f(x n ) vers A /p 3. Donner la valeur optimale de λ ( c.a.d celle qui donne la convergence la plus rapide) 4. Comparer avec la méthode de Newton appliquée à la fonction h(x) = x p A Exercice.6.4. Soient f et g les fonctions définies sur R par : g(x) = cos(x) et 4 f(x) = x 4 cos(x). Montrer que la recherche des solutions de f(x) = 0 est équivalente à la recherche des points fixes de g, vérifier que de telles solutions existent et étudier l unicité. Montrer que la suite récurrente définie par : u 0 R, u n+ = g(u n ) n 0 est convergente 3. Cette convergence depend-elle du choix de u 0? Exercice.6.5. Soit f la fonction définie surrpar : f(x) = x 3 + x. Montrer que la fonction f admet un zéro θ dans[0, ]. Ecrire la suite(x n ) obtenue à partir de la méthode de Newton 3. Etudier sur[0,+ [ le signe de la fonction h définie par : h(x) = x 3 3θx θ 4. On suppose que x 0 [0, ] i) Montrer que x n [θ, ] pour tout n 33

35 ii) Montrer que la suite(x n ) est décroissante et conclure 5. Montrer que pour tout n 0 on a : 0 < x n+ θ < x n x n+ 6. En prenant x 0 =, donner une valeur approchée de θ avec une précision ε = 0 Exercice.6.6. Soitθ un zéro d ordre de f, x 0 un réel différent deθ et a n est une approximation de f (x n ). Considerons la méthode de Newton modifiée (M) : x n+ = x n f(x n) f (x 0 ) n 0 Quel est l ordre de cette méthode. Soit la méthode(m) : x n+ = x n f(x n) a n pour n 0 Montrer que l ordre de convergence est supérieur à si a n n, f (θ) quand 3. Siθ est un zéro d ordre de f et f (θ) = 0 quel est l ordre de convergence de la méthode:(m3) x n+ = x n f(x n) f (x n ) pour n 0 4. Quelle méthode(m4) obtient-on en prenant dans(m) a n = f(x n) f(x n ) x n x n 5. Facultatif : on démontre que l erreur de la méthode(m4) vérifie : lim n e n+ = f (θ) e n e n f (x n ) et que l odre de convergence est p = + 5 Exercice.6.7. Soit f une fonction réciproque g..6 une fonction de classe C sur R. On suppose que f admet On cherche un zéroθ de f en passant par g. ( f(θ) = 0 g(0) =θ). Ecrire les dérivées premières et secondes de g. Soit P(y) le polynôme de degré vérifiant : P(y n ) = g(y n ) et P (y n ) = g (y n ) a) Exprimer P(y) en fonction de y, y n, g(y n ) et g (y n ) b) Exprimer P(y) en fonction de y, x n, f(x n ) et f (x n ) ) c) Quel procédé obtient-on en prenant x n+ = P(0) 3. Soit P(y) le polynôme de degré vérifiant : P(y n ) = g(y n ) et P(y n ) = g(y n ) a) Exprimer P(y) en fonction de y, y n, g(y n ) et g(y n ) 34

36 b) Exprimer P(y) en fonction de y, x n, x n, f(x n ) et f(x n ) c) Quel procédé obtient-on en prenant x n+ = P(0) 4. Soit P(y) le polynôme de degré vérifiant : P(y n ) = g(y n ), P (y n ) = g (y n ) et P (y n ) = g (y n ) a) Exprimer P(y) en fonction de y, y n, g(y n ), g (y n ) et g (y n ) b) En exprimant les dérivées de g en fonction de celles de f et en prenant x n+ = P(0), Montrer qu on obtient le procédé (de Tchebychev) suivant : x n+ = x n f(x n) f (x n ) ( f(x n)) f (x n ) ( f (x n )) 3 avec f (x n ) = 0 5. Facultatif : On montre que la méthode de Tchebychev est d ordre 3 35

37 Chapitre 3 Inroduction à l interpolation 3. Rappel et définitions SoitP n (x) l espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On rappelle que {, x, x,..., x n} est une base dep n (x) (dimp n (x) = n+) On noteδ i j le symbole de Kronecker :δ i j = si i = j ;δ i j = 0 Soient f une fonction continue sur [a, b], x,..., x n des réels de même signe. Alors on a : i=n i= f(x i )g i = f(c) Définition 3... : Interpolant i=n i= g i où c [a, b] si i = j n points de [a, b] et g,..., g n Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a, b] contenant n + points distincts x 0, x,..., x n. Soit P n un polynôme de degré inférieur ou égal à n. On dit que P n est un interpolant de f ou interpole f en x 0, x,..., x n si : P n (x i ) = f(x i ) pour 0 i n 3. Interpolant de Lagrange Définition 3... : Polynômes de Lagrange Soient x 0, x,..., x n (n+) points deux à deux distincts d un intervalle [a, b] der On appelle interpolants de Lagrange les polynômes L i définis pour i = 0,..., n par : (x x j ) L i (x) = (x i x j ) = (x x 0)(x x )...(x x i )(x x i+ )...(x x n ) (x i x 0 )(x i x )...(x i x i )(x i x i+ )...(x i x n ) j=n j=0, j =i On a en particulier : L 0 (x) = j=n j= (x x j ) (x 0 x j ) = (x x )(x x )...(x x i )...(x x n ) (x 0 x )(x 0 x )...(x 0 x i )...(x 0 x n ) 36

38 j=n (x x j ) L n (x) = j=0 (x n x j ) = (x x 0)(x x )...(x x i )...(x x n ) (x n x 0 )(x n x )...(x n x i )...(x n x n ) Si on prend P n (x) = L 0 (x) f(x 0 )+ L (x) f(x )+...+ L n (x) f(x n ) alors : P n (x i ) = f(x i ) pour 0 i n Exemple 3... : Si x 0 =, x = 0 et x =, f(x 0 ) =, Donc f(x ) =, f(x ) =, on obtient L 0 (x) = (x x )(x x ) (x 0 x )(x 0 x ) = x(x ) ( )( ) = x(x ) L (x) = (x x 0)(x x ) (x x 0 )(x x ) = (x ( ))(x ) ( )( ) L (x) = (x x 0)(x x ) (x x 0 )(x x ) = (x+)x = (x+)(x ) ( ( ))( 0) = (x+)x P (x) = L 0 (x) f(x 0 )+ L (x) f(x )+ L (x) f(x ) = x(x ) f(x 0 )+ (x+)(x ) f(x )+ (x+)x = x(x ) + (x+)(x ) (x+)x = x 3 x+ On vérifie facilement que : P (x 0 ) = P ( ) = ( )( ) P (x ) = P (0) = ()( ) P (x ) = P () = (+) Propriétés 3... : = = f(x ) = = f(x 0 ) = = f(x ) Les polynômes de Lagrange ont les propriétés suivantes : P) L j (x) est un polynôme de degré n ; j = 0,..., n P) L j (x j ) = j = 0,..., n et L j (x i ) = 0 pour tout j = i P3) la famille {L 0 (x), L (x),...l n (x)} est une base dep n (x) Preuve : f(x ) P) Par définition L j (x) est un polynôme de degre n P) Cette propriété est aisément vérifiée en remplaçant x par x i dans L j (x) P3) On a : card {L 0 (x), L (x),...l n (x)} = dimp n (x) = n+ Pour montrer P3), il suffit donc de montrer que{l 0 (x), L (x),...l n (x)} est un systéme libre. 37

39 Soient C 0, C,..., C n des constantes telles que : C L 0 (x)+ L L (x)+...+c n L n (x) = 0 Alors, en prenant succéssivement x = x 0...x i.. x n et en utilisant L j (x i ) = δ i j on déduit que : C 0 = C =... = C n = 0 La famille {L 0 (x), L (x),...l n (x)} est libre et par conséquent c est une base de P n (x). 3.3 Interpolant de Newton Définition : Differences divisées Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle[a, b] contenant n+ points distincts x 0, x,..., x n. On définit les differences divisées d ordre i de f aux points(x k ) comme suit : [ f(x 0 )] = f(x 0 ) [ f(x 0 ), f(x )] = f(x ) f(x 0 ) x x 0 [ f(x 0 ), f(x ),..., f(x i )] = [ f(x ), f(x ),..., f(x i )] [ f(x 0 ), f(x ),..., f(x i )] pour x i x 0 i Exemple : Si x 0 =, x = 0 et x =, f(x 0 ) =, f(x ) =, f(x ) =, on obtient [ f( )] = [ f( ), f(0)] = 0 ( ) = [ f(0)] = [ f( ), f(0), f()] = ( ) ( ) [ f(0), f()] = 0 = [ f()] = = Propriétés : La valeur d une difference divisée est indépendante de de l ordre des x i On a ainsi : [ f(x 0 ), f(x )] = f(x ) f(x 0 ) = f(x ) + f(x 0) = [ f(x x x 0 x x 0 x 0 ), f(x 0 )] x f(x [ f(x 0 ), f(x ), f(x )] = ) (x x )(x x 0 ) + f(x ) (x x )(x x 0 ) + f(x 0 ) (x 0 x )(x 0 x ) = [ f(x ), f(x ), f(x 0 )] = [ f(x ), f(x 0 ), f(x )] 38

40 et de façon générale : [ f(x 0 ), f(x ),... f(x k )] = i=k i=0 Définition : Interpolant de Newton : f(x i ) (x i x 0 )...(x i x i )(x i x i+ )...(x i x k ) On appelle interpolant de Newton le polynôme P n donné par : P n (x) = f(x 0 )+[ f(x 0 ), f(x )](x x 0 )+...+[ f(x 0 ),..., f(x n )](x x 0 )...(x x n ) Exemple : Si x 0 =, x = 0, x =, f(x 0 ) =, f(x ) =, f(x ) =, on obtient [ f( )] = [ f( ), f(0)] = 0 ( ) = [ f(0)] = [ f( ), f(0), f()] = ( ) ( ) [ f(0), f()] = 0 = [ f()] = = P (x) = f(x 0 )+[ f(x 0 ), f(x )](x x 0 )+[ f(x 0 ), f(x ), f(x )](x x 0 )(x x ) = (x x 0 ) (x x 0)(x x ) = (x+) (x+)(x) = 3 x x Définition : Base de Newton Soient x 0, x,..., x n (n+) points deux à deux distincts d un intervalle [a, b] der et les polynômes N i définis pour i = 0,..., n par : N 0 (x) = N j (x) = (x x 0 )(x x )...(x x j ) pour j =,..., n On a en particulier N (x) = (x x 0 ) N n (x) = (x x 0 )(x x )...(x x n ) Propriétés : Les polynômes N i ont les propriétés suivantes : P) N i (x) est un polynôme de degré i P) Pour i, N i (x) admet x 0, x,..., x i comme racines P3) la famille {N 0 (x), N (x),...n n (x)} est une base dep n (x) dite base de Newton Preuve : P) Propriété évidente d après la définition de N i (x) 39

41 P) Propriété également évidente d après la définition de N i (x) P3) On a : card {N 0 (x), N (x),...n n (x)} = dimp n (x) = n+ Pour montrer P3), il suffit donc de montrer que{n 0 (x), N (x),...n n (x)} est un systéme libre. Soient C 0, C,..., C n des constantes telles que : C N 0 (x)+c N (x)+...+c n N (x) = 0 Posons F(x) = C N 0 (x)+c N (x)+...+c n N (x) = 0 Comme les x i sont supposés deux à deux distincts, on obtient successivement : F(x 0 ) = C 0 N 0 (x 0 ) = 0 C 0 = 0 F(x ) = C N (x 0 ) = C (x x 0 ) = 0 C = 0 F(x n ) = C n N n (x n = C n (x n x 0 )(x n x )...(x n x n ) = 0) C n = 0 La famille {N 0 (x), N (x),...n n (x)} est libre et par conséquent c est une base de P n (x). Théorème : Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle [a, b]. Soit P n un polynôme interpolant f en (n+) points x 0, x,..., x n de[a, b] Alors : a) On peut exprimer P n (x) comme combinaison linéaire des N i de la base de Newton : P n (x) = D 0 N 0 (x)+d N (x)+...+ D n N (x) b) Les D i sont des constantes qui peuvent etre détérminées en solvant un système linéaire. Preuve : a) Puisque P n (x) P n (x) et que B N = {N 0 (x), N (x),...n n (x)} est une base de P n (x), on peut écrire P n (x) dans la base B N b) En écrivant P n (x) = D 0 N 0 (x)+ D N (x)+...+ D n N (x) pour x = x i, 0 i n on obtient le système triangulaire inférieur suivant : P n (x 0 ) = D 0 = f(x 0 ) P n (x ) = D 0 + N (x )D = f(x ) (S) P n (x ) = D 0 + N (x )D + N (x )D = f(x )... P n (x n ) = D 0 + N (x n )D + + N (x n )D n = f(x n ) Les D i solutions du système(s) sont données par : D 0 = [ f(x 0 )] = f(x 0 ) D = f(x ) f(x 0 ) N (x ) = f(x ) f(x 0 ) (x x 0 ) = [ f(x 0 ), f(x )] 40

42 D i = [ f(x ), f(x ),..., f(x i )] [ f(x 0 ), f(x ),..., f(x i )] x i x 0 = [ f(x 0 ), f(x ),..., f(x i )] pour i Exemple : Soit la fonction f telle que X k f(x) Donc Les Coefficients du polynôme d interpolation de f dans la base de newton sont : D 0 = D = D = D 3 = D 4 = D 5 = Et son graphe est donné par la figure (3.) points d interpolation l interpolant de f FIGURE 3. Interpolation de Newton 3.4 Existence et Unicité de l interpolant Théorème : Il existe un polynôme P n unique de degré n, interpolant f en (n+) points, c.a.d : tel que : P n (x i ) = f(x i ), x i = 0,,..., n Preuve : i)existence : 4

43 Soit L i (x) = (x x 0)(x x )...(x x i )(x x i+ )...(x x n ) (x i x 0 )(x i x )...(x i x i )(x i x i+ )...(x i x n ) et P n (x) = L 0 (x) f(x 0 )+ L (x) f(x )+...+ L n (x) f(x n ) = = i=n i=0 i=n i=0 L i (x) f(x i ) { } j=n (x x j ) f(x (x j=0, j =i i x j ) i ) Pour chaque i = 0,..., n, L i est un polynôme de degré n vérifiant : L j (x i ) = δ i j et par conséquent on a : P n (x i ) = f(x i ), i = 0,,..., n ii) Unicité : Supposons qu il existe deux polynômes doifférents P n et Q n de degré n, interpolant f aux points x i. Alors, en posant D n (x) = P n (x) Q n (x), on arrive à une contradiction. En effet, D n est un polynôme de degré n et par conséquent il peut avoir au plus n zéros mais d un autre côté D n (x i ) = 0 pour i = 0,,..., n, ce qui voudrait dire que D n aurait (n+) zéros d où la contradiction. Donc P n Q n 3.4. Interpolation linéaire Dans ce cas, P est un polynôme de degré interpolant f aux points x 0 et x on a donc P (x i ) = f(x i ), i = 0, et les polynômes de Lagrange donnés par : L 0 (x) = (x x ) (x 0 x ) et L (x) = (x x 0) (x x 0 ) (x x 0 )+ f(x 0 ) = x x x 0 x f(x 0 )+ D où : P (x) = L 0 (x) f(x 0 )+ L (x) f(x ) = f(x ) f(x 0 ) (x x 0 ) x x 0 f(x x ) x 0 qui est bien la formule d interpolation linéaire qu on obtient en cherchant la droite passant par x 0 et x De façon similaire on peut exprimer P dans la base de Newton pour obtenir : P (x) = f(x 0 )+[ f(x 0 ), f(x )](x x 0 ) = f(x 0 )+ f(x ) f(x 0 ) (x x (x x 0 ) 0 ) 4

44 3.5 Erreur d interpolation Théorème : Soit le P n le polynôme interpolant f aux points a = x 0 < x <... < x n = b Si f C n+ [a, b] alors : a) x [a, b], θ =θ(x) [a, b] tel que : avec : Π n+ (x) = i=n i=0 e n (x) = f(x) P n (x) = f(n+) (θ) (n+)! Π n+(x) (x x i ) b) En posant M n+ = max a x b f (n+) (x) on obtient : a) max a x b f(x) P n (x) M n+ (n+)! max a x b Π n+ (x) et en particulier : Preuve : max e n(x) = max f(x) P n(x) M n+ a x b a x b (n+)! (b a)n+ Si x = x i le résultat est évident. Si x = x i, posons : R(t) = f(t) P n (t) f(x) P n(x) Π Π n+ (x) n+ (t) On vérifie alors que R C n+ [a, b] et que : R(x i ) = e n (x i ) e n (x) Π n+(x i ) Π n+ (x) et R(x) = e n (x) e n (x) = 0 = 0, i = 0,,..., n, Par conséquent, R admet au moins n+ zéros dans[a, b] et par suite, en appliquant le théorème de Rolle de proche en proche, on montre qu il existe un point θ [a, b] tel que : R (n+) (θ) = 0. Le résultat annoncé en découle. b) R (n+) (θ) = 0 e n (x) = f(n+) (θ) (n+)! Π n+(x) max a x b e n (x) max a x b Π n+ (x) M n+ (n+)! Exercice : Cas particulier : Points équidistants Si les points sont équidistants et : x i+ x i = h i, montrer que : i) pour n = on a : max a x b e (x) h 8 M 43

45 ii) pour n = 3 on a : max a x b e 3 (x) h4 4 M 4 Exemple : Construisons le graphe du polynôme d interpolation de la fonction f dont on connaît les valeurs suivantes (voir figure (3.)) : X k f(x) points d interpolation l interpolant de f FIGURE 3. Interpolation de Lagrange On peut aussi calculer les coefficients de ce polynôme. Le polynôme qui interpole f(x) est donc donné par : P(x) = x x x x Exercices Exercice Soit f est une fonction continue sur[0, 3] a) Ecrire le polynôme de Lagrange interpolant f aux points x 0 = 0, x = et x = b) Ecrire le polynôme de Newton interpolant f aux points x 0 = 0, x = et x =. 44

46 . On considère un point supplémentaire x 3 = 3 a) Ecrire le pôlynome de Lagrange interpolant f aux points x 0 = 0, x =, x = et x 3 = 3 b) Ecrire le polynôme de Newton interpolant f aux points x 0 = 0, x =, x = et x 3 = 3 3. Comparer le temps de calcul entre.a) et.b) Exercice :. Calculer I = 0 t(t )dt, I = 0 t(t )dt et I 3 = 0 t (t ) dt. En déduire que : i) β α (x β)(x α)dx = (β α)3 I ii) β α+β α (x α)(x )dx = (β α) 3 I, iii) β α (x β) (x α) dx = (β α) 5 I 3 3. Montrer que si f est une fonction continue alors il existe c [α,β] tel que : β α (x β) (x α) f(x)dx = f(c) (β α) Peut-on dire qu il existe d [α,β] tel que : β α (x α)(x α+β ) f(x)dx = f(d) (β α)3? 5. Soit f est une fonction continue sur[a, b] et soientα etβ deux réels dans[a, b] On supposeα <β et on note P (x) le polynôme interpolant f aux points : α, α+β etβ. Exprimer P (x) dans la base de Newton puis calculer β α P (x)dx 45

47 Chapitre 4 Intégration numérique 4. Introduction Dans le calcul d intégrales, on n est pas toujours en mesure d obtenir des expressions exactes. Il se peut que l obtention d une primitive soit impossible ou trop compliquée. Pour pallier à ce problème, on cherche une approximation de l integrale I( f) = b a f(x)dx par une somme de surfaces de rectangles, de trapèzes ou d autres formes géométriques dont on sait calculer l aire. Considérons une subdivision uniforme de l intervalle [a, b] en n sous intervalles [x i, x i ], i =,..., n de même longueur h = x i x i = b a n On a donc : x 0 = a < x <... x i < x i+ <... < x n = b où x i = a+ ih pour i = 0,,..., n, en particulier x 0 = a et x n = b Soit f i la restriction de la fonction f à chaque sous intervalle [x i, x i+ ]. En écrivant b a f(x)dx = x a f(x)dx+ x x f(x)dx+...+ x n x n f(x)dx= n xi+ f(x)dx, i=0 x i on obtient alors des approximations de l intégrale I( f) en remplaçant f i (x) par une fonction Ψ i (x) facile à intégrer sur[x i, x i+ ]. Si Ψ i est la fonction constanteλ i sur chaque sous intervale [x i, x i+ ] ( Ψ i (x) = λ i ) on obtient une approximation par les sommes de Riemann : I( f) R n ( f) = n i=0 (x i+ x i )λ i où λ i = f(x i ) avec x i quelconque dans[x i, x i+ ] 46

48 4. Approximation Théorème 4... : Soit f une fonction continue sur[a, b] alors : b lim n Rn ( f) = I( f) = f(x)dx a Preuve : Remarquons d abord que f est uniformément continue sur[a, b] et par conséquent : ε > 0, η > 0 tel que (x, y) [a, b] vérifiant: x y η on ait : f(x) f(y) ε et plus particulièrement on a : ε > 0, η > 0 tel que (x, y) [x i, x i+ ] vérifiant: x y η on ait : f(x) f(y) ε b a Montrons maintenat que : ε > 0, n 0 N tel que n > n 0 on ait : I( f) R n ( f) ε Soit n 0 > b a alors pour tout n n 0 on a : h = b a b a < η η n n 0 Par ailleurs, pour x i [x i, x i+ ] et tout x [x i, x i+ ] on a : x x i h < η et ceci implique que f(x) f(x i ) ε b a et par suite : I( f) R n ( f) n xi+ i=0 x i n f(x) f(x i ) dx n xi+ ε dx ε b a i=0 x i b a Cas particulier de sommes de Riemann i=0 n i=0 xi+ ( x i ε b a )dx (x i+ x i ) =ε En particulier, sur chaque sous intervalle [x i, x i+ ],on peut choisir x i pour constante λ i les valeurs f(x i ) suivantes : a) x i = x i et λ i = f(x i ) donne n b a f(x)dx xi+ In g = f(x i )dx i=0 x i,l indice g pour signifier gauche) (I n g b) x i = x i+ et λ i = f(x i+ ) donne b a f(x)dx In d = n (I n d, l indice d pour signifier droit) i=0 xi+ c) x i = x i = (x i+x i+ ) ( milieu de[x i, x i+ ]) etλ i = f( x i+x i+ n i=0 xi+ Im n = f( x i + x i+ )dx x i (Im n, l indice m pour signifier moyen ou médian) 47 x i f(x i+ )dx et prendre ) donne b a f(x)dx

49 4.. Approximation par des rectangles à gauche Soit x 0 < x <... x i < x i+ <... < x n une subdivision uniforme de[a, b] Si on prend x i = x i, on obtient une approxiamtion de b f(x)dx comme suit : b a f(x)dx In g où : I n g = n i=0 xi+ x i Théorème 4... : f(x i )dx = n i=0 n (x i+ x i ) f(x i ) = h i=0 a f(x i ) = b a n n f(x i ) i=0 Soit f une fonction continue sur[a, b] alors : ) La suite (Ig) n converge vers I( f) ) Si la fonction f est de classe C sur[a, b] alors I( f) Ig n (b a) M n où M = max a t b f (t). Preuve : ) analogue à celle du théorème ) Si f est de classe C sur[a, b] alors : M 0 tel que : M = max a t b f (t) Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction f sur [x i, x] où x [x i, x i+ ] donne : c i ]x i, x[ tel que f(x) f(x i ) = (x x i ) f (c i ) d où : I( f) Ig n xi+ ( f(x) f(x i )) dx soit encore : I( f) Ig n n M i=0 n i=0 M n i=0 Corollaire 4... : xi+ x i x i (x x i )dx [(x x i) ] x i+ x i n i=0 xi+ x i (x x i ) f (c i ) dx n h = M = M (b a) h = M (b a) n i=0 Pour obtenir une approximation avec précision de l ordre deε, il suffit de prendre I n 0 g où l indice n 0 est tel que : M (b a) n 0 ε ou encore n 0 M (b a) ε Exemple 4... : L approximation de l intégrale 0 e x dx avec la méthode des rectangles à gauche, avec les précisionε = 0. etε =

50 f(x)=e x et = f(x)=e x et = FIGURE 4. Approximation par des rectangles à gauche 4.. Approximation par des rectangles à droite Soit x 0 < x <... x i < x i+ <... < x n une subdivision uniforme de[a, b] Si on prend x i = x i+, on obtient une approxiamtion de b f(x)dx comme suit : b a f(x)dx In d où : Id n n = xi+ f(x i+ )dx = i=0 x i Théorème : n i=0 (x i+ x i ) f(x i+ ) = b a n a i=n f(x i ) i= Soit f une fonction continue sur[a, b] alors : ) La suite (Id n ) converge vers I( f) ) Si la fonction f est de classe C sur[a, b] alors I( f) I n (b a) d M où M = max a t b f (t) Preuve : analogue à celle du théorème Corollaire 4... Pour obtenir une approximation avec précision de l ordre de ε, il suffit de prendre I n (b a) (b a) 0 d où l indice n 0 est tel que : M ε ou encore n 0 M n 0 ε Exemple 4... : L approximation de l intégrale 0 e x dx avec la méthode des rectangles à droite, avec les précisionε = 0. etε = 0.05 n 49

51 f(x)=e x et = f(x)=e x et = FIGURE 4. Approximation par des rectangles à droite 4..3 Approximation par des rectangles médians Soit x 0 < x <... x i < x i+ <... < x n une subdivision uniforme de[a, b] Si on prend x i = x i+x i+ suit : b a f(x)dx In m où : I n m = n i=0 xi+ f( x i + x i+ x i, on obtient une approxiamtion de b a )dx = n i=0 (x i+ x i ) f( x i + x i+ ) = b a n f(x)dx comme n i=0 f( x i+x i+ ) Théorème : Soit f une fonction continue sur[a, b] alors : ) La suite (Im) n converge vers I( f) ) Si la fonction f est de classe C sur [a, b] alors I( f) Im n (b a) 3 M M = max a t b f (t) 4n où Preuve : )analogue à celle du théorème ) Ici, au lieu du théorème des accroissements finis, on utilise la formule de Taylor à l ordre sur l intervalle [ x i, x] où x i = (x i+x i+ ) et x [x i, x i+ ]. On obtient l expression suivante : f(x) f( x i ) = (x x i ) f ( x i )+ (x x i) f (c i ) avec c i [ x i, x] On a alors : I( f) Im n = n xi+ i=0 x i ( f(x) f( x i ))dx 50

52 où A = et B = n xi+ (x x i ) f ( x i )dx i=0 x i + A+ B n xi+ (x x i ) f ( x i )dx i=0 x i = f ( x i ) n xi+ x i (x x i) f (c i )dx M i=0 M Corollaire : n i=0 3 [(x x i) 3 ] x i+ x i = 6 M n i=0 n i=0 xi+ x i (x x i) f (c i )dx n xi+ i=0 x i n xi+ i=0 x i (x x i )dx = 0 (x x i ) dx ( x i+ x i ) 3 (b a) 3 = M 4n Pour obtenir une approximation avec précision de l ordre deε, il suffit de prendre I n 0 m (b a) 3 où l indice n 0 est tel que : M 4n ε c-a-d n 0 M (b a) 4ε 0 (b a) ou encore n 0 M 4ε Exemple : L approximation de l intégrale 0 e x dx avec la méthode des rectangles médians, avec les précisionε = 0.0 etε = 0.00 f(x)=e x et = f(x)=e x et = FIGURE 4.3 Approximation par des rectangles médians 4..4 Approximations par des trapèzes Soit x 0 < x <... x i < x i+ <... < x n une subdivision uniforme et P (x) un polynôme de degré interpolant f aux points x i et x i+ de chaque intervalle [x i, x i+ ]. 5

53 [P (x i ) = f(x i ) et P (x i+ ) = f(x i+ )] En approchant sur chaque sous intervalle [x i, x i+ ], f(x) par P (x) on obtient : f(x) P (x) = f(x i )+[ f(x i ), f(x i+ )](x x i ) f(x) P (x) = f(x i )+ f(x i+) f(x i ) x i+ x i (x x i ) et en conséquences : I( f) = b a f(x)dx b a P (x)dx = h [ f(x i)+ f(x i+ )] 4..5 Formule de Simpson Soit P (x) un polynôme de degré vérifiant : P (x i ) = f(x i ), P (x i+ ) = f(x i+ ) et P (x i+ ) = f(x i+ ) En approchant sur chaque sous intervalle [x i, x i+ ], f(x) par P (x) on obtient : f(x) P (x) f(x 0 )+[ f(x i ), f(x i+ )](x x i )+[ f(x i ), f(x i+ ), f(x i+ )](x x i )(x x i+ ) et en conséquences : I( f) = x i+ x i f(x)dx x i+ x i P (x)dx = h 3 [ f(x i)+4 f(x i+ )+ f(x i+ )] Preuve : On a x i+ x i P (x)dx = I(P )+ J(P )+K(P ) où : I(P ) = x i+ x i f(x i ) dx J(P ) = x i+ f(x i+ ) f(x i ) x i (x x x i+ i ) dx x i K(P ) = x i+ x i [ f(x i ), f(x i+ ), f(x i+ )](x x i )(x x i+ )dx On fait le changement de variables suivant : (x x i ) = ht dx = hdt quand x = x i t = 0 et si x = x i+ t = d où on obtient successivement : I(P ) = 0 f(x i) hdt = h f(x i ) J(P ) = f(x i+) f(x i ) 0 x i+ x h tdt i [ ] t = h[ f(x i+ ) f(x i )] 0 = h[ f(x i+ ) f(x i )] K(P ) = [ f(x i ), f(x i+ ), f(x i+ )] 0 (x x i)(x x i+ )dx = [ f(x i ), f(x i+ ), f(x i+ )] 0 h3 t(t )dt = f(x [ ] i+) f(x i+ )+ f(x i ) t h h t Soit enfin : = [ f(x i+ ) f(x i+ )+ f(x i )] h 3 5 0

54 xi+ x i P (x)dx = I(P )+ J(P )+K(P ) = h 3 [ f(x i)+4 f(x i+ )+ f(x i+ )] 4.3 Interpolation et Erreur d intégration numérique Définition : On appelle formule de quadrature de type interpolation la formule : b a f(x)dx b a P n(x)dx où P n est le polynôme d interpolation associé à f Interpolation linèaire et la formule du trapèze : Soit a = x 0 < x <... < x n = b, une subdivision uniforme de [a, b] et f C ([a, b]) Considérons d abord le sous intervalle [ x i, x i+ ], avec h = x i+ x i, Soit P le polynôme de degré interpolant f aux points x i et x i+ Alors l intégrale I i ( f) = x i+ x i f(x)dx peut être approchée par : I i ( f) x i+ x i P (x)dx = h [ f(x i)+ f(x i+ )] L erreur commise par cette approximation étant donnée par : E i ( f) = x i+ x i e (x)dx = xi+ x i (x x i )(x x i+ ) f (θ i )dx Π (x) = (x x i )(x x i+ ) garde un signe constant dans [x i, x i+ ] d où, en appliquant la formule de la moyenne : E i ( f) = f (η i ) xi+ x i (x x i )(x x i+ )dx = h3 f (η i ) ; η i [x i, x i+ ] 4.3. Formule du trapèze composée Pour chercher une approximation de l intégrale sur tout l intervalle [a, b], suffit d écrire : b=xn a=x 0 f(x)dx = avec η [a, b] = n i=0 n i=0 xi+ x i f(x)dx [ h [ f(x i)+ f(x i+ )]+ n h3 i=0 f (η i ) = h [ f(x 0)+ f(x )+... f(x n )+ f(x n )] h3 n f (η i ) i=0 = h [ f(x 0)+ f(x )+... f(x n )+ f(x n )] (b a) h f (η) il 53

55 4.3.3 Erreur de la formule de Simpson En posant : e (x) = f(x) P (x) et E ( f) = b a e (x)dx = b a [ f(x) P (x)]dx On démontre que : E ( f) = h5 90 f(4) (θ) ;θ [a, b] Exercice : Soit f C ([a, b]) En posant I n = h n i=0 ) I n = In g + Id n ) lim I n = I( f) n 3) I( f) I n M (b a) 3 Exemple : [ f(x i+ )+ f(x i )], montrer que : n On veut calculer une valeur approcher de ln pour cela on va calculer l intégrale de la fonction f(x)=/(x+) sur un intervalle [0,] par la méthode de Simpson la méthode des trapèzes, et la méthode des rectangles. Et on compare les résultats avec différentes valeurs de n (le nombre de subdivision de l intervalle [0, ]) alors on a le tableau suivant : n méthode de Simpson méthode des trapèzes méthode des rectangles TABLE 4. Ln() 0, Exercices Exercice : Soit a = x 0, x..., x n = b, une subdivision de[a, b] et f C ([a, b]) 54

56 . En faisant deux intégrations par parties succéssives, montrer que : xi+ x i f(x)dx = (x i+ x i ) f(x i)+ f(x i+ ) + xi+ x i (x x i )(x x i+ ) f () (x)dx. Si x i+ x i = h pour tout i = 0,,..., n, montrer que l erreur d approximation de x i+ x i f(x)dx par la méthode des trapèzes est de la forme : h3 f() (θ),θ [x i, x i+ ] Exercice Soit P 3 un polynôme de degré 3 et f C ([a, b]) avec f () < 0, Soit I( f) = b a f(x)dx et IT n l approximation de I( f) par la méthode des trapèzes, Soit Im n ( resp. In g ) l approximation de I( f) par la méthode des triangles droits ( resp. gauches). Ecrire les expressions de I n g, In m et IT n. Montrer que I T n = In g + I n d 3. En déduire que lim n I T n = I( f) 4. Prouver que I( f) I T n (b a) 3 M n 5. Etablir les inégalités : (b a) f( b+a ) b a f(b)+ f(a) f(x)dx (b a)( ) 6. Etablir l égalité : b (b a) a g(x)dx = [P 3 (a)+4p 3 ( b+ a 6 )+ P 3(b)] 7. Soit a = x 0 < x <... < x n = b, une subdivision de[a, b] Montrer que : xi+ x i f(x)dx = (x i+ x i ) f(x i)+ f(x i+ ) + xi+ x i (x x i )(x x i+ ) f () (x)dx 8. Si x i+ x i = h pour tout i = 0,,..., n, montrer que l erreur d approximation de x i+ x i f(x)dx par la méthode des trapèzes est de la forme : h3 f() (θ),θ [x i, x i+ ] 55

57 Chapitre 5 Analyse numérique des équations differentielles ordinaires (e.d.o) 5. Rappels sur les équations differentielles ordinaires (e.d.o) On considère l e.d.o du premier ordre y (x) = f(x, y), f : R R m R m, x R, y R m où y = (y, y,, y m ) (5..) L équation (5..) peut encore s écrire sous la forme d un système d e.d.o : y = f (x, y,, y m ) y = f (x, y,, y m ) (5..)... y m = f m (x, y,, y m ) Lorsque les conditions initiales sont précisées, on obtient un problème de condition initiale ( p.c.i) encore appelé problème de Cauchy : y (x) = f(x, y) y(a) = α avec α = (α,,α m ) donné (5..3) L existence et l unicité de la solution du p.c.i (5..3) sont données par le théorème suivant Théorème 5... Soit f : R R m R m une fonction définie et continue pour tout couple (x, y) D où D = {(x, y); a x b, < y i < }, avec a et b finis. On suppose qu il existe une constante L telle que : f(x, y) f(x, y ) L y y pour tous (x, y) et (x, y ) appartenant à D (5..4) 56

58 Alors pour toutα R m, il existe une solution unique y(x) du problème (5..3), où y est continue differentiable pour tout couple (x, y) D. Remarque 5... Un système differentiel d ordre q peut toujours être ramené à un système du premier ordre du type (5..3) ( y (q) =ϕ x, y (0),, y (q )) ; ϕ : R R m R m R m En posant : Y = y, Y = Y (= y ),, Y q = Y q (= y(q ) ) on obtient ( ) Y = F(x, Y) avec Y = Y, Y,, Y q R qm F = où y (r) (a) =α r+, r = 0,,, q. On obtient ( Y, Y 3,, Y q,ϕ ) R qm Y = F(x, Y); Y(a) =α Exemple 5... y (iv) = f(x, y), f : R R R Y = y, Y = Y = y, Y 3 = Y = y, Y 4 = Y 3 = y, Y 4 = y (iv) si on pose Y = (Y, Y,, Y 4 ) on obtient Y = F(x, Y). 5. Systèmes linéaires Le système y (x) = f(x, y), f : R R m R m est dit linéaire si f est de la forme f(x, y) = A(x)y+ψ(x) (5..) où A(x) est une matrice d ordre m etψ R m. Si de plus A(x) = A est indépendante de x, on obtient un système linéaire à coefficients constants de la forme : y (x) = Ay+ψ(x) (5..) Si ψ(x) = 0, le système est dit homogène. y = Ay (5..3) 57

59 Si les valeurs propres de A sont distinctes, la solution du système homogène est de la forme y(x) = k C j exp(λ j x)v j +ϕ(x) (5..4) j= où λ j est valeur propre de A associée au vecteur propre V j et les C j sont des constantes arbitraires et ϕ(x) est une solution particulière de l équation (5..). Exemple 5... y = Ay+ψ(x), y(0) =α ( ) avec A =,ψ(x) = (x, x+),α = (0, 0), les valeurs propres de A sontλ = 3 et λ =. Les vecteurs propres de A sont V = (, ) et V = (, ). obtient En cherchant une solution particulière de la forme : ϕ(x) = y(x) = C exp(3x) ( ) + C exp( x) ( ) + ( ( 5/3 x+4/3 ax+b cx+d Enfin, en considérant la condition initiale on obtient C = /6 et C = 3/, ( ) y (x) d où y(x) = = 6 exp(3x)+ 3 exp( x) 5 3 y (x) 6 exp(3x) 3 exp( x) x Notions de stabilité Considérons le système nonlinéaire suivant ). ), on dx(t) dt = F(X(t)) ( ) où X(t) = (X,, X n ) est un vecteur de R n et F = ( f,, f n ) une fonction der n dansr n suffisamment régulière. Si F est lineaire le système est dit linéaire Définition 5.3. (Point d équilibre). Un vecteur X est un point équilibre du système ( ) si à l instant t 0 l état du système est égal à X et il restera égal à X dans le futur c.à.d : X(t 0 ) = X et t > t 0 X(t) = X. 58

60 On parle aussi de point stationnaire, état stationnaire et solution stationnaire qui désignent la même notion. Définition Un point d équilibre X est dit stable si : R 0 > 0 et R < R 0 r 0 < r < R tel que si X(t 0 ) B( X, r) alors X(t) B( X, R) t > t 0, B( X, r) :boule de centre X et de rayon r ;. Un point d équilibre est dit asymptotiquement stable s il est stable et en plus R 0 tel que pour tout X(t 0 ) B( X, R 0 ) on a lim X(t) = X ; t + 3. Un point d équilibre est dit marginalement stable s il est stable et non asymptotiquement stable ; 4. Un point est instable si il n est pas stable ; 5. Un point est globalement asymptotiquement stable si pour tout X(t 0 ) on a lim X(t) = X. t + Théorème Si F est linéaire, une condition nécessaire et suffisante pour que le système ( ) admette 0 comme point d équilibre asymptotiquement stable est que Re(λ) < 0, pour toute valeur propre λ de F. Si au moins une des valeurs propres de F vérifie Re(λ) > 0 alors le point d équilibre 0 est instable. Définition Si le système non linéaire ( ) admet un point d équilibre X, on appelle matrice de linéarisation du système la matrice f f X X n f f A = X X n.,.... f n f n X X n le système dy(t) dt ( ). = AY(t) est dit système linearisé obtenu à partir du système Théorème Si le système non linéaire( ) admet l origine comme point fixe unique alors dans un voisinage de l origine, les comportements du système non linéaire et du système linearisé sont équivalents à condition que le système n admette pas de point centre (valeurs propres imaginaires pures). Remarque Le théorème peut s appliquer aux points d équilibre qui sont distincts de l origine, il suffit d introduire des coordonnées locales. 59 X

61 Théorème (Théorème de Liapunov). Soient X un point d équilibre de ( ) et V une fonction définie de U dansrde classe C, U un voisinage de X tel que : i) V( X) = 0 et V(X) > 0 si X = X, ii) V(X) 0 X U\{ X}. Alors X est stable. Si de plus iii) V(X) < 0 X U\{ X} Alors X est asymptotiquement stable. V(X) est dite fonction de Liapunov. 5.4 Système d équations aux differences linéaires avec coéfficients constants Soit{y n, n = N 0, N 0 +,,} une suite de vecteurs der m et(α n ) une suite de réels. On appelle système d équations aux differences linéaires d ordre k le système d équations suivantes k j=0 α j y n+ j = ψ n, n = N 0, N 0 +, avec ψ n R m (5.4.) Si de plusψ n = 0, le système est dit homogène : k j=0 α j y n+ j = 0, n = N 0, N 0 +, (5.4.) La solution générale du système (5.4.) s obtient de façon similaire à celle qui donne la solution du système d équations differentielles linéaires (5..). Elle est donnée par la somme d une solution (Y n ) du système homogène (5.4.) et d une solution particulièreϕ n du système (5.4.) (y n = Y n +ϕ n ). Définition On appelle polynôme caractéristique de l équation aux differences linéaires le polynôme défini par π(r) = k j=0 α j r j. Si les racines r j de π(r) sont simples alors la solution générale du système (5.4.) est donnée sous la forme y n = k θ j r n j +ϕ n, oùϕ n est une solution particulière du système (5.4.). j= Si r est une racine de π(r) de multiplicité m, la solution générale du système m (5.4.) est donnée sous la forme : y n = n j θ j r n k + θ j r n j +ϕ n. j= j=m+ Exemple y n+ y n+ + y n =, K = est une solution particulière π(r) = r r+, = = i. 60

62 Les racines sont complexes conjugués r = (+i)/ et r = ( i)/. La solution générale est donnée par y n =θ (+ i) n / n +θ ( i) n / n Méthodes numériques pour les problèmes de condition initiale Considérons le problème de condition initiale y (x) = f(x, y), y(a) =α. (5.5.) On suppose que ce problème admet une solution unique dans l intervalle [a, b]. Les méthodes numériques utilisent la discretisation de l intervalle [a, b] en posant x i = a+ ih, i = 0,,, N où h = b a est le pas de discrétisation (ici le pas est supposé constant mais on N peut envisager des pas h i variables). La solution exacte au point x i est notée y(x i ), la solution approchée est notée y i ( y(x i ) y i ), une méthode numérique est un système d équations aux differences impliquant un certain nombre d approximations successives y n, y n+,, y n+k où k désigne le nombre de pas de la méthode. Si Si k = on parle de méthode à un pas. k > la méthode est dite à pas multiples ou multi-pas. Exemple y n+ y n = h f n y n+ + y n+ y n = h 4 ( f n++8 f n+ + 3 f n ) y n+ y n+ = h 3 (3 f n+ f n ) y n+ y n = h 4 (k + k ) avec k = f n = f(x n, y n ) et k = f ( x n + h, y n + hk + ) hk. Ces exemples peuvent être donnés sous la forme générale k j=0 α j y n+ j =φ f (y n+k, y n, x n ; h). (5.5.) 6

63 5.5. Convergence Considérons une méthode numérique de type (5.5.) avec des valeurs initiales appropriées : k j=0 α j y n+ j =φ f (y n+k, y n, x n ; h) y κ = γ κ (h),κ = 0,,, k (5.5.3) Définition La méthode (5.5.3) est dite convergente si pour tout problème de condition initiale vérifiant les hypothèses du théorème 5.. ( existence et unicité) on a max y(x n) y n = 0 quand h 0 0 n N Définition On appelle erreur de troncature locale de la méthode numérique le résidu R n+k (h) défini par R n+k (h) = k j=0 α j y(x n+ j ) hφ f (y(x n+k ), y(x n+k ),, y(x n ), x n, h) (5.5.4) Remarque Parfois on utilise aussiτ n (h) = h R n+k(h) comme définition d erreur de troncature locale, mais dans le cadre de ce chapitre c est la première définition qui est adoptée. Définition La méthode (5.5.3) est dite d ordre p si R n+k = O ( h p+) Consistance La méthode numérique est dite consistante si son ordre est au moins ou encore, pour tout p.c.i vérifiant les hypothèses du théorème 5.. d existence et d unicité on a lim h 0 h R n+k(h) = 0, x = a+nh. Lemme La méthode numérique (5.5.) est consistante si et seulement si i) k j=0 α j = 0. ii) (φ f (y(x n ), y(x n ) y(x n ), x n, 0))/ k jα j = f(x n, y(x n )). j=0 6

64 5.5.3 Stabilité Considérons le problème de condition initiale z = f(x, z), z(a) =α, x [a, b] Avant de définir la stabilité de la méthode numérique, on pourrait se poser la question de savoir comment réagirait la solution z(x) de ce problème à une perturbation des conditions initiales et/ou de f? Soit donc z la solution du problème perturbé : z = f(x, z)+δ(x), z(a) =α+δ, x [a, b]. Définition (Hahn,Stetter). Si (δ(x), δ ) et (δ (x), δ ) sont deux perturbations et z(x) et z (x) les solutions qui en résultent et s il existe une constante S telle que x [a, b], z(x) z (x) < Sε si δ(x) δ (x) <ε et δ δ <ε Alors le p.c.i est dit totalement stable. Remarque Dans cette définition de stabilité, on exige simplement l existence d une constante S finie ( mais pas nécessairement petite) et on montre que les hypothèses du théorème 5.. sont suffisantes pour que le p.c.i soit totalement stable. On dit aussi que le problème est bien posé. Si maintenant on considère la méthode numérique, on peut se demander quel effet aurait une perturbation de l équations aux differences sur la solution numérique y n. On a alors la définition suivante : Définition (Lambert). Soient (δ n, n = 0,, N) et (δ n, n = 0,, N) deux perturbations de l équation aux differences (5..)et (z n, n = 0,, N) et (z n, n = 0,, N) les solutions qui en résultent. On dira que la méthode numérique est zéro-stable si il existe deux constantes S et h 0 telles que pour tout h [0, h 0 ], si δ n δ n <ε 0 n N alors z n z n < Sε, 0 n N. Remarque La zéro-stabilité est encore appelée stabilité au sens de Dahlquist. Définition On appelle er polynôme caractéristique de la méthode numérique le polynôme ρ(t) défini par ρ(t) = k j=0 α j t j. Définition On dit que la méthode numérique satisfait les conditions aux racines si tous les zéros du er polynôme catactérisitique sont de module inférieur ou égal à et ceux ayant un module égal à sont des zéros simples. 63

65 Théorème Une condition nécessaire et suffisante pour que la méthode soit zérostable et que la méthode vérifie la condition aux racines. Théorème Une condition suffisante et nécessaire pour que la méthode (5.5.) soit convergente est qu elle soit zéro- stable et consistante Méthode d Euler La plus simple et la plus connue des méthodes d approximation des solutions des e.d.o est la méthode d Euler donnée par : y n+ y n = h f n, y 0 =α (5.5.5) En considérant y(x n + h) y(x n ) h f(x n, y(x n )) = h y (θ n ) avec x n θ n x n+ (5.5.6) On voit que la méthode d Euler est une méthode explicite d ordre (donc consistante). Lemme i) Pour tout x et toute constante positive m on a 0 (+x) m exp(mx) ii) Si s et t sont des réels positifs et (z n ) n=k n=0 une suite vérifiant z 0 t s et z n+ (+s)z n + t n =,, k Alors on a ( ) t z n+ exp((n+)s) s + z 0 t s. Théorème Soit f : R R R une fonction continue et vérifiant la condition de Lipschitz pour y sur D = {(x, y); a x b, < y < } avec a et b finis. On suppose qu il existe une constante M telle que y (x) M pour tout x [a, b]. Soit y(x) la solution unique du p.c.i y (x) = f(x, y), y(a) = α et (y n ) n=n n=0 la suite des approximations générée par la méthode d Euler. Alors on a : y(x n ) y n hm L (exp(l(x n a)) ) pour chaque n = 0,,, N Preuve. Pour n = 0, l inégalité est vérifiée puisque y(x 0 ) = y 0 =α. Les équations (5.5.5) et (5.5.6) donnent : y(x n+ ) y n+ y(x n ) y n +h f(x n, y(x n ) f(x n, y n ) + h y (θ n ) (5.5.7) 64

66 Les hypothèses du théorème conduisent alors à la mojoration y(x n+ ) y n+ y(x n ) y n (+hl)+ h M En appliquant le lemme avec z n = y(x n ) y n, s = hl et t = h M il vient : ( ) y(x n+ ) y n+ exp(((n+)hl) y(x 0 ) y 0 + h M h M hl hl et comme y(x 0 ) y 0 = 0 et(n+)h = x n+ a, on obtient : y(x n+ ) y n+ hm L (exp(l(x n+ a)) ) D après le théorème 5.5.3, l erreur de la méthode d Euler est majorée par une fonction linéaire en h. Ceci laisse comprendre que plus on diminue h plus on réduit l erreur. Cependant, le corollaire qui va suivre indique autre chose. Corollaire Soit y(x) la solution unique du p.c.i y (x) = f(x, y), a x b, y(a) =α et w 0, w,, w N les approximations vérifiant w 0 =α+δ 0 et w n+ = w n + h f(x n, w n )+δ n+ ; n = 0,, N. Si δ n < δ n = 0,, N et les hypothèses du théorème précedent sont vérifiées, alors y(x n ) w n ( hm L + δ ) (exp(l(x n a)) )+ δ 0 exp L(x n a) h Preuve. Identique à celle du théorème avec y(x 0 ) w 0 =δ 0 et t = h M + δ n. Remarque La simplicité de la méthode d Euler en fait un exemple pédagogique d introduction aux autres méthodes plus complexes. Cependant, un des critères principaux de l analyse numérique consiste à chercher des méthodes ayant l ordre de précision le plus élevé possible et comme la méthode d Euler est d ordre, son utilisation se trouve limitée en pratique et on est amené à considérer des méthodes plus précises. Trois directions principales permettent d obtenir des méthodes d ordres élevés. La première direction consiste à travailler avec des méthodes à un pas mais en cherchant à atteindre des ordres élevés en utilisant un développement de Taylor et en négligeant le terme d erreur mais ces méthodes ont un handicap à cause des dérivées susccessives de f. Une deuxième possibilité est donnée par des choix appropriés de φ f (y n+k, y n, x n ; h) dans l équation (5.5.), les méthodes de Runge-Kutta sont la meilleure illustration de cette direction. 65

67 Enfin, une troisième direction est offerte par les Méthodes Linéaires à Pas Multiples (MLPM). En se basant sur le critère de précision, on voit qu on est obligé de chercher des méthodes dont la performance est supérieure à celle d Euler. On fait donc appel à d autres méthodes plus précises Méthodes de Taylor dans le cas scalaire Supposons que la solution y(x) du p.c.i y (x) = f(x, y), a x b, y(a) =α (5.5.8) est de classe C (n+). Alors en écrivant le développement de Taylor au point x n+ = x n + h on obtient y(x n+ ) = y(x n )+hy (x n )+ h! y (x n )+ + hn n! y(n) (x n )+ hn+ (n+)! y(n+) (ζ n ), x n <ζ n < x n+ En remplaçant y (x n ) par f(x n, y n ) ainsi que les dérivées supérieures de y par celles h n+ de f puis en laissant tomber le terme (n+)! y(n+) (ζ n ), on obtient la méthode numérique : y 0 =α y n+ = y n + ht n f (x n, y n, h), n = 0,,, N T n f (x n, y n, h) = f(x n, y n )+ h! f (x n, y n )+ + hn f (n ) (x n, y n ) n! (5.5.9) Exemple La méthode d Euler fait partie des méthodes de Taylor. Exercice En faisant un développement de Taylor de y(x) à l ordre 3 puis en remplaçant y (x n ) par h (y (x n+ ) y (x n ))+O(h), montrer qu on obtient la méthode d Euler modifiée y n+ y n = h ( f(x n, y n )+ f(x n+, y n+ )). Remarque Au vu du critère de précision et bien que les méthodes de Taylor paraissent faciles dans leur écriture, elles sont rarement utilisées dans la pratique à cause des difficultés engendrées par le calcul des dérivées successives de f comme fonction de deux variables. C est pour cette raison qu on cherche des méthodes permettant d atteindre un ordre élevé tout en évitant le calcul des dérivées successives de f. Au critère de précision s ajoute le critère de coût. 66

68 5.5.6 Méthodes de Runge-Kutta (R.K) dans le cas scalaire Revenons au p.c.i (5..3), les méthodes de R.K se présentent sous la forme : avec k i = f ( x n + c i h, y n + h Si a i j = 0 pour j > i alors : k i = f ( y n+ y n = h l i= b i k i ) l a i j k j, i,=,,, l et on suppose que c i = j= x n + c i h, y n + h ) i a i j k j j= i,=,,, l l a i j, i,=,,, l j= on obtient ainsi : k = f(x n, y n ) k = f(x n + c h, y n + c hk ) k 3 = f(x n + c 3 h, y n +(c 3 a 3 )hk + a 3 hk ) Remarques Les méthodes de R.K sont des méthodes à un pas, elles peuvent-être écrite sous la forme générale y n+ y n = hφ f (x n, y n, h), où l φ f (x, y, h) = b i k i. i=. Les méthodes de R.K satisfont la condition aux racines, elles sont donc zérostables. Par conséquent, pour étudier la convergence il suffit d étudier la consistance Méthodes de Runge-Kutta explicites Les méthodes explicites de R-K d ordre,,3 et 4 sont obtenues en considérant y n+ = y n + h(b k + b k + b 3 k 3 + b 4 k 4 ) en déterminant pour chaque ordre les valeurs possibles des paramètres. k = f(x n, y n ) k = f(x n + c h, y n + c hk ) k 3 = f(x n + c 3 h, y n +(c 3 a 3 )hk + a 3 hk )... 67

69 Les formes explicites des méthodes d ordre, et 3 sont obtenues aprés differentiation et identification. Méthode d ordre En considérant y n+ = y n + hb k avec k = f(x n, y n ) on voit que le l odre maximal est obtenu avec le paramètre b égal à et qui donne la méthode d Euler : Méthodes d ordre y n+ y n = h f(x n, y n ) En partant de y n+ = y n + hb k + b k avec k = f(x n, y n ) et k = f(x n + c h, y n + c k ), p = est l ordre maximal possible qu on peut atteindre si les paramètres b, b et c vérifient les équations b + b = et b c =. Comme on a deux équations pour trois inconnues, il en résulte une infinité de méthodes explicites d ordre. On en donne quelques unes : Méthode d Euler modifiée : (b = 0, b = et c = ) y n+ y n = h f ( x n + h, y n + ) k Méthode d Euler améliorée : ( b = b = et c = ) y n+ y n = h ( f(x n, y n )+ f(x n + h, y n + k )) Méthode de Heun d ordre ( b = 4, b = 3 4 et c = 3 ) Méthodes d ordre 3 y n+ = y n + h 4 ( f(x n, y n )+3 f(x n + 3 h, y n + ) 3 k ) k = h f(x n, y n ) En considérant y n+ = y n + b k + b k + b 3 k 3 avec k = h f(x n, y n ), k = h f(x n + c h, y n + c hk ) et k 3 = h f(x n + c 3 h, y n +(c 3 a 3 )k + a 3 k ). On obtient une famille de méthode d ordre 3 si les paramètres vérifient les équations b + b + b 3 = b c + b 3 c 3 = b c + b 3c 3 = 3 b 3 c a 3 = 6 68

70 Deux représentants de cette famille de méthode d ordre 3 sont : Méthode de Heun d ordre 3 (b = 4, b = 0, b 3 = 3 4 et c = 3 et c 3 = 3, a 3 = 3 ) y n+ = y n + h 4 (k + 3k 3 ) k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + 3 h, y n + ) 3 k ( k 3 = h f x n + 3 h, y n + ) 3 k Méthode de Kutta d ordre 3 (b = 6, b = 3, b 3 = 6 et c = et c 3 =, a 3 = ) Méthode d ordre 4 Méthode de Runge-Kutta d ordre 4 Méthode de Runge-Kutta d ordre 4 y n+ = y n + h 6 (k + 4k + k 3 ) k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + h, y n + ) k k 3 = h f(x n + h, y n k + k ) y n+ = y n + h 6 (k + k + k 3 + k 4 ) k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + h, y n + ) k ( k 3 = h f x n + h, y n + ) k k 4 = h f(x n + h, y n + k 3 ) y n+ = y n + h 8 (k + 3k + 3k 3 + k 4 ) k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + 3 h, y n + ) 3 k = h f (x n + 3 h, y n 3 ) k + k k 3 k 4 = h f(x n + h, y n + k k + k 3 ) 69

71 Méthodes de Runge-Kutta d ordre supérieur et contrôle de l erreur Des méthodes de R-K d ordres successifs peuvent être combinées pour le contrôle de l erreur. Deux types de cette utilisation sont illustrées par :. Méthode de Runge-Kutta-Fehlberg. Elle consiste à utiliser une méthode de R-K d ordre 5 ỹ n+ = y n k k k k k 6 pour estimer l erreur de troncature locale de la méthde de R-K d ordre 4 y n+ = y n k k k 4 5 k 5 avec k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + 4 h, y n + ) 4 k ( k 3 = h f x n h, y n k + 9 ) 3 k ( k 4 = h f x n + 3 h, y n k k ) 97 k 3 ( k 5 = h f x n + h, y n k 8k k ) 404 k 4 ( k 6 = h f x n + h, y n 8 7 k + k k k 4 ) 40 k 5. Méthode de Runge-Kutta-Verner. Elle consiste à utiliser une méthode de R-K d ordre 6 : ỹ n+ = y n k k k k k k 8 pour estimer l erreur de troncature locale de la métohde de R-K d ordre 5 : y n+ = y n k k k k k 6 70

72 avec k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + 6 h, y n + ) 6 k ( k 3 = h f x n h, y n k + 6 ) 75 k ( k 4 = h f x n + 3 h, y n k 8 3 k + 5 ) k 3 ( k 5 = h f x n h, y n k k k ) 96 k 4 ( k 6 = h f x n + h, y n + 5 k 8k k 3 36 k ) 55 k 5 ( k 7 = h f x n + 5 h, y n k k k k ) 065 k 5 ( k 8 = h f x n + h, y n k k k k k ) 6703 k 7 Méthodes Linéaires à Pas Multiples (MLPM) En posant f n = f(x n, y n ), on définit une MLPM par k j=0 α j y n+ j = h avecα j etβ j des constantes vérifiant les conditionsα k = et α 0 + β 0 = 0. k β j f n+ j, j=0 Exemple y n+ y n+ = h f n+ ( ou de façon équivalente y n+ y n = h f n ) est la méthode d Euler à un pas. Définition On appelle eme polynôme caractéristique de la méthode, le polynôme défini par σ(t) = β j t j. k j=0 L opérateur de difference linéaire est défini par L(z(x); h) := k j=0 (α j z(x+ jh) hβ j z (x+ jh)) Si on suppose que z est une fonction qu on peut dériver autant de fois qu on veut, on obtient : L(z(x); h) = C 0 z(x)+c hz (x)+ +C q h q z (q) (x)+ Définition La MLPM est dite d ordre p si C 0 = C = = C p = 0 et C p+ = 0. C p+ est appelée constante d erreur de la MLPM 7

73 5.6 Exercices Exercice On considère le modèle discret suivant : S n+ = exp( ai n )S n I n+ = bi n +( exp( ai n ))S n R n+ = ( b)i n + R n On suppose que R 0 = 0, montrer que. La population des susceptibles tend vers une limite S quand n tend vers l infini.. Si F = S/S 0 alors F = exp( as 0 /( b))(+ I/S 0 F). 3. Expliquer comment F peut jouer un rôle de seuil. Exercice Chercher l ordre et la constante d erreur C p pour la méthode suivante : y n+ (+α)y n+ +αy n = h((+β) f n+ (α+β+αβ) f n+ +αβ f n ) Exercice Chercher les solutions des systèmes differentiels et aux differences suivants : y = Ay+ψ(x), y(0) =α avec ( ) ( ) ( ) A =,ψ(x) =, α = x / ( ) y n+4 6y n+3 + 4y n+ 6y n+ + 8y n =φ n avec y n R etφ n = n. Exercice Considérons le système aux differences : y n+ µy n+ +µy n = c, n = 0,, avec y n, c R m et 0 µ. Montrer que y n converge vers c/( µ) quand n. Exercice A- Montrer que : i) Pour tout x et toute constante positive m on a : 0 (+ x) m exp(mx) 7

74 ii) Si s et t sont des réels positifs et(z n ) n=k n=0 une suite vérifiant : Alors on a : z 0 t s et z n+ (+s)z n + t n =,, k ( ) t z n+ exp((n+)(+s)) s + z 0 t s. B- Soit y(x) la solution unique du p.c.i y (x) = f(x, y),a x b, y(a) = α et w 0, w,, w N, les approximations vérifiant : w 0 =α+δ 0 et w n+ = w n + h f(x n, w n )+δ n+ ; n = 0,..., N. On suppose que : D = {(x, y); a x b, < y < } avec a et b finis i) il existe une constante L positive telle que : f(x, y) f(x, y ) L y y y, y D ii) il existe une constante M telle que : y (x) M pour tout x [a, b]. iii) les perturbations verifient : δ n < δ n = 0,, N Montrer que : y(x n ) w n ( hm L + δ ) (exp(l(x n a)) )+ δ 0 exp L(x n a) h (Preuve : identique à celle du théorème du cours avec y(x 0 ) w 0 = δ 0 et t = h M + δ n ). En posantε(h) = hm + δ et en remarquant que limε(h) =, montrer h h 0 qu on peut déterminer une limite inférieure h 0 de h qui rend minimum ε(h). Exercice Soit A une matrice diagonalisable admettant les vecteurs propres V j associés aux valeurs propresλ j avec Re(λ j ) < 0 pour tout j. On considère les deux schémas d Euler donnés par : E : u n+ = u n + hau n, u 0 = η E : u n+ = u n + hau n+, u 0 = η Montrer que les solutions de ces deux schémas sont données par : S : u n = S : u n = k c j (+hλ j ) n V j j= k c j ( hλ j ) n V j j= 73

75 Quelles conditions doit-on imposer à h pour que les solutions S et S tendent vers zéro ou restent bornées quand n Exercice En posant f n = f(x n, y n ), on définit une MLPM par : k j=0 α j y n+ j = h k β j f n+ j j=0 avecα j etβ j des constantes vérifiant les conditions : α k = et α 0 + β 0 = 0 On appelle er (resp. eme) polynôme caractéristique de la MLPM le polynôme ρ(t)(resp. σ(t)) : ρ(t) = k j=0 α j t j, σ(t) = Si l opérateur de difference linéaire est donné par : L(z(x); h) := k j=0 k β j t j. j=0 (α j z(x+ jh) hβ j z (x+ jh)) = C 0 z(x)+c hz (x)+ +C q h q z (q) (x)+. Montrer que : C 0 = k j=0 α j = ρ() C q = C = k j=0 (jα j β j ) = ρ () σ() k ( j=0 q jq α j ) (q ) jq β j, q =, 3,. La MLPM est dite consistante si son ordre est supérieur ou égal à (p ) Montrer que la MLPM est consistante si et seulement si : ρ() = 0 etρ () =σ() Exercice Chercher l ordre des méthodes numériques suivantes : ) y n+ = y n + h 6 ( f n + 4 f n+ + f n+ ) ) y n+4 = y n + 4h 3 ( f n+ f n+ + f n+3 ) 3) y n+ = y n + h ( f(x n, y n )+3 f(x n h, y n + ) 3 k ), k = h f(x n, y n ) 74

76 4) y n+ = y n + h 6 (k + 4k + k 3 ) k = h f(x n, y n ) ( k = h f x n + h, y n + ) k k 3 = h f(x n + h, y n k + k ) Exercice Considérons la méthode numérique y n+ (+α)y n+ +αy n = h ((3 α) f n+ (+α) f n ) où f n = f(x n, y n ) et α.. Donner l erreur de troncature locale de la méthode et l ordre de la méthode en fonction deα.. Cette méthode est utilisée numériquement pour résoudre l équation scalaire { y (x) = y(x) y(0) = en supposant que y 0 = +ωh 3 y = exp(h)+θh 3 Montrer que la solution approchée y n peut-être donnée sous la forme y n = Ω(r )r n Ω(r )r n r r où r et r sont les racines de l équation caractéristique asociées à l équation aux différences. et Ω(r) = exp(h) r+(θ rω)h On suppose que r est de la forme r = +h+ h + O(h3 ) (a) Donner une expression analogue pour r. (b) Etudier la convergence de y n dans le casα =. Exercice On considère la méthode numérique suivante y n+ +α y n+ +α 0 y n = h(β f n+ +β 0 f n ) (M) où f n = f(x n, y n ) et f( x n, y(x n )) = y (x n ). 75

77 . Déterminer les constantesα 0,α,β 0 et β pour que la méthode soit d ordre maximum.. La méthode est-elle zéro-stable pour les valeurs des constantes trouvées? 3. On utilise la méthode (M) avec y 0 = et y = exp( h) pour approcher la solution du problème de condition initiale suivant y (x) = y(x), y(0) = (P) Montrer qu on obtient l équation aux différences suivante y n+ + 4(+h)y n+ +( 5+h)y n = 0; n = 0,, (D) 4. Montrer que les racines r et r de l équation caractéristique associée à (D) sont ( r = h h+ 4 ) / ( 9 h et r = h h+ 4 ) / 9 h. 5. Montrer que la solution de(d) est de la forme y n = C (r ) n + C (r ) n, avec C = r exp( h) et C r = exp( h) r. r r r ( 6. On donne + 3 h+ 4 ) / 9 h = + 3 h+ 6 h 8 h3 + 6 h4 + O(h 5 ). En déduire que r = h+ h 6 h3 + 7 h4 + O(h 5 ), r = 5 3h+ O(h ). 7. Montrer alors que C = +O(h ) et C = 6 h4 + O(h 5 ). 8. En considérant pour x fixé, nh = x, montrer que C (r ) n exp( x) quand n. 9. Montrer que(y n ) diverge. Cette divergence était-elle attendue? (justifiez). 76

78 Chapitre 6 Examens 6. F.S.O Session ordinaire 0-03 (Durée : h30) Exercice I( Méthode de Simpson) Soient g une fonction de classe C 3 sur[a, b] ; x 0, x et x 3 réels de[a, b] On suppose que x 0 x < x et on note P le polynôme interpolant g aux points : x 0, x et x. On pose h = (x x 0 ) = (x x ) et M 3 = max g (3) (t) ) Exprimer P dans la base de Lagrange ) Exprimer P dans la base de Newton 3) Pour tout x ]x 0, x [, on pose e(x) = g(x) P(x) a t b a) Sans faire les calculs, dire comment on montre qu il existe c ]x 0, x [ tel que : e(x) = g(3) (c) (x x 0 )(x x )(x x ) 6 b) Montrer que : x ]x 0, x [, il existeθ ]x 0, x [ tel que [g(x 0 ), g(x ), g(x )] = g() (θ)! x c) Calculer (x x 0 )(x x )(x x )dx x 0 x d) Calculer P(x)dx x 0 x e) Montrer que (g(x) P(x))dx M h 4 3 x 0 ( Pour c), d) et e), on pourra faire le changement de variable t = (x x ) ) Exercice II On considère le système linéaire (S ) : AX = B 77

79 3 avec A = 3 4 5, B = 0 et X = z ) Donner les matrices de Gauss M et M qui permettent de transformer (S ) en un système(s ) de la forme UX = C où U est triangulaire supérieure ) Donner la solution X en solvant le système(s ) 3) Décomposer la matrice A sous la forme A = LU où L est triangulaire inférieure x y Exercice III Soient h et g deux fonctions définies par : h(x) = x 3 3x+ x R et g(x) = x3 + x [, ] 3 ) Montrer que l équation h(x) = 0 admet 3 racines réelles :θ,θ etθ 3 avecθ <θ <θ 3 etθ 3 > ) On suppose queθ [0, ] a) Montrer que si x [0, ] alors g(x) [0, ] b) Vérifier que g(θ ) =θ 3) Soit(x n ) n N la suite récurrente définie par : x 0 [0, ] et x n+ = g(x n ) n N a) Montrer que la suite(x n ) n N converge b) Donner l ordre de convergence 4) Soit(y n ) n N la suite définie par : y n+ = y n h(y n) h (y n ) n N avec y 0 >θ 3 a) Montrer que y n >θ 3 n N b) Montrer que la suite (y n ) n N converge c) Montrer que l ordre de convegence est 78

80 6. F.S.O Session Rattrapage 0-03 (Durée : h30) Exercice I On considère le système linéaire (S) : AX = B 0 x avec A = ; X = y et B = 0 z On cherche à résoudre le système (S) par les méthodes indirectes de type : X k+ = MX k + D ) Donner la matrice J de Jacobi associée à la matrice A ) Donner la matrice G de Gauss-Seidel associée à la matrice A 3) Chercher les valeurs propres de J et dire si la méthode de Jacobi converge 4) Chercher les valeurs propres de G et dire si la méthode de Gauss-seidel converge 5) En cas de convergence des méthodes, quelle est celle qui converge plus rapidement? 0 Exercice II Soit T(x) = x + bx+c où b et c sont des réels. On suppose que T(x) admet deux racines réellesα et β et on définit les suites suivantes : x n+ = ( bx n+ c x n ) y n+ = y n (y n + by n + c)φ(y n ) oùφ une fonction de classe C (R) ) Montrer que si β α alors (x n ) converge localement versα ) Déterminer l ordre de convergence de la suite(x n ) lorsqu elle converge 3) Montrer que la suite (x n ) est un cas particulier de la suite (y n ) pour une fonctionφ que l on précisera. 4) Montrer que si 0 (α β)φ(α) alors (y n ) converge localement versα 5) En cas de convergence de(y n ) versα, déterminer l odre de convergence 6) Si φ(x) =, quelle méthode retrouve-t-on? et quel est son ordre de x+b convergence? Exercice III Soient x 0, x deux réels tels que x 0 < x, g une fonction de classe C 3 ([x 0, x ]) et P(x) le polynôme de degré vérifiant : 79

81 P(x 0 ) = g(x 0 ); P(x ) = g(x ) et P (x 0 ) = g (x 0 ) Pour un x arbitraire dans]x 0, x [,on considère la fonction R définie par : g(x) P(x) R(t) = g(t) P(t) (x x 0 ) (x x ) (t x 0) (t x ) ) Vérifier que R s annule en 3 points de[x 0, x ] ) Montrer que R s annule en 3 points de[x 0, x ] 3) Déduire qu il existeθ x [x 0, x ] tel que R (3) (θ x ) = 0 4) Conclure qu il existeθ x [x 0, x ] tel que : g(x) P(x) = g(3) (θ x ) (x x 0 ) (x x ) 6 g 5) On pose h = x x 0 et M 3 = max (3) (t) x 0 t x a) Montrer que g(x) P(x) M 3h 3 x ]x 0, x [ 8 x b) Déduire que (g(x) P(x))dx x 0 8 M 3h 4 c) Trouver une constante C qui vérifie : 0 C 8 et x (g(x) P(x))dx CM 3h 4 x 0 80

82 6.3 F.S.O Session ordinaire 0-0 (Durée : h30) Exercice I Soit g une fonction de classe C 3 ([a, b]), On pose M 3 = max g (3) (t) a t b On considère 3 points distincts de l intervalle [a, b], a x 0 < x < x b ) En utilisant la base de Newton, écrire le polynôme P de degré qui vérifie P (x 0 ) = g(x 0 ), P (x ) = g(x ), P (x ) = g(x ) ) En utilisant la base de Newton, écrire le polynôme H de degré qui vérifie H (x 0 ) = g(x 0 ), H (x 0) = g (x 0 ), H (x ) = g(x ) 3) Montrer qu il existeθ [a, b] tel que :[g(x 0 ), g(x ), g(x )] = g() (θ)! 4) En déduire que[g(x 0 ), g(x 0 ), g(x 0 )] = g() (x 0 )! Dans la suite on posera h = (x x 0 ) 5) Montrer que : x ]x 0, x [, il existeθ ]x 0, x [ tel que : g(x) H (x) = g(3) (θ) (x x 0 ) (x x ) 6 6) Déduire que : x ]x 0, x [ on a g(x) H (x) h3 M 3 8 7) En calculant x x 0 x x 0 H (t)dt, montrer qu on peut approcher g(t)dt h 3 g(x 0)+ h 3 g(x )+ h 6 g (x 0 ) ( ) 8) Application : x 0 = 0, x = 3 x x 0 g(t)dt par : a) Calculer 3 0 x dx et donner une approximation à l aide de( ) b) Que donne l approximation ( ) dans le cas de 3 0 x dx? Commentez Exercice II Soient E et λ deux réels positifs,φ, h et g les fonctions définies surr + par : φ(x) = E ; h(x) = x+λ(φ(x) x) ; x g(x) = a E x3 + bx+c x E ) Le schéma :{x n+ =φ(x n ), x 0 donné} converge t-il vers E? ) Pour quelles valeurs de λ a-t-on convergence locale vers E du schéma : {x n+ = h(x n ), x 0 donné}? 3) Trouver la valeur optimale λ 0 de λ qui assure la convergence la plus rapide puis comparer avec la méthode de Newton appliquée à la fonction f(x) = x E 8

83 4) On cherche les constantes a, b, c qui vérifient les conditions : g( E) = E ; g ( E) = 0 et g ( E) = 0 ( ) a) En posant X T = (a, b, c), écrire le sysème linéaire AX = B qui en résulte b) Résoudre le sysème linéaire AX = B par la méthode de Gauss sans pivot c) Décomposer la matrice A sous la forme A = LU 5) On suppose que le schéma{x n+ = g(x n ), x 0 donné} converge sous les conditions( ) (valeurs de a, b, c trouvées au 4) b) a) Quel est son ordre de convergence p? b) Donner la constante d erreur asymptoyique C 8

84 6.4 F.S.O Session de rattrapage 0-0 (Durée : h30) Exercice I : (7 points) Soit g : [, ] R, définie par : g(x) = 3x x3 On considère le schéma itétératif suivant : x n+ = g(x n ) = 3x n x 3 n ; avec x 0 donné. ) Montrer que la fonction g est croissante et déterminer l image g([, ]) ) Trouver les points fixes de la fonctions g 3) On veut étudier la convegence de la suite(x n ) 3.a) Etudier la convergence locale de(x n ) vers chacun des points fixes de g 3.b) Pour tout choix initial x 0 ]0, [, montrer que(x n ) est croissante 3.c) Déduire que si x 0 ]0, [ alors (x n ) converge vers l un des points fixes de g qu on précisera et qu on noteraθ 3.d) Determiner l ordre de convegence versθ,et la constante d erreur asymptotique 3.e) La suite (x n ) peut-elle converger vers les autres points fixes? si oui, indiquer le choix de x 0 [, ] qui permettrait cette convergence. Exercice II (7 points) On considère le système linéaire (S ) : AX = B 0 7 avec A = et B = 0 ) On cherche à résoudre le système(s ) par les méthodes directes.a) Donner les matrices de Gauss M et M qui permettent de transformer(s ) en un système(s ) de la forme UX = C où U est triangulaire supérieure. Donner U et C.c) Décomposer la matrice A sous la forme A = LU où L est triangulaire inférieure.b) Donner la solution X en solvant le système(s ) ou(s ) ) On cherche à résoudre (S ) par les méthodes indirectes de type : X k+ = TX k + D.a) Donner la matrice J de Jacobi associée à la matrice A.b) Donner la matrice G de Gauss-Seidel associée à la matrice A.c) Trouver les valeurs propres de J et de G.d) Etudier la convergence pour les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel 83

85 Exercice III (6 points) 4g() Soit g : [0, ] R une fonction de classe C, On pose g = 4g(0) 8g( )+ ) Vérifier que pour tout polynôme Q de degré, on a Q = Q ( ) ) Donner en fonction de g(0), g( ) et g() le polynôme P de degré qui vérifie : P(0) = g(0), P( ) = g( ) et P() = g() 3) On pose pour tout x [0, ], r(x) = g(x) P(x) 3.a) Montrer qu il existeθ [0, ] tel que : r (θ) = 0 3.b) Déduire qu il existeθ [0, ] tel que :[g(0), g( ), g()] = g (θ) 3.c) Vérifier que[g(0), g( ), g()] = g 3.d) Montrer que g ( ) g = r ( ) 84

86 6.5 F.S.O Session ordinaire 00-0 (Durée :h30) Soient x 0 et x deux réels [0, ] tels que x 0 < x, g une fonction de classe C 3 ([x 0, x ]) et P(x) le polynôme de degré vérifiant : P(x 0 ) = g(x 0 ); P(x ) = g(x ) et P (x ) = g (x ) ( ) I Pour un x arbitraire dans]x 0, x [,on considère la fonction R définie par : g(x) P(x) R(t) = g(t) P(t) (x x 0 )(x x ) (t x 0)(t x ) a) Vérifier que R s annule en 3 points de[x 0, x ] b) Montrer que R s annule en 3 points de[x 0, x ] c) Déduire qu il existeθ x ]x 0, x [ tel que R (3) (θ x ) = 0 d) Conclure qu il existeθ x ]x 0, x [ tel que : g(x) P(x) = g(3) (θ x ) (x x 0 )(x x ) 6 II On prend x 0 = 0, x = et g(x) = +x et P(x) = ax + bx+c vérifiant( ), c.a.d : P(0) = g(0); P() = g() et P () = g () A a) Montrer que les réels a, b et c sont solution du systéme lineaire : (S ) : AX = B 0 0 c avec A = ; X = b et B = 0 a 4 b) Donner les matrices de Gauss M et M qui permettent de transformer (S ) en un système(s ) de la forme UX = B où U est triangulaire supérieure c) Décomposer la matrice A sous la forme A = LU où L est triangulaire inférieure d) Trouver les réels a, b et c en solvant (S ), (S ) ou autrement. e) Montrer que g(x) P(x) 4 x ]0, [ 7 f) Montrer que g(x)dx P(x)dx

87 B On subdivise[0, ] en N sous intervalles de même longueur h a) Ecrire la formule des trapèzes composée approximant 0 g(x)dx b) Quel nombre de sous-intervalles faut-il choisir pour avoir une erreur inférieure à 0 3 c) On prend N = 3 i) Evaluer numériquement 0 g(x)dx par la méthode des trapèzes composée ii) Calculer l erreur d intégration par la formule des trapèzes composée 86

88 6.6 F.S.O Session Rattrapage 00-0 (Durée : h30) Barème : point par question ( la réponse doit être justifiée) + point pour présentation Exercice I On cherche à résoudre le système Ax = b par les méthodes directe et indirecte. Soit A = (a i j ) i, j n une matrice carrée vérifiant les conditions suivantes : a ii > 0, i n a i j 0, i = j n j=n a i j > 0, i n j= Soit D la matrice diagonale ( d ii = a ii et d i j = 0 si i = j) ) Montrer que la matrice D est inversible et donner D j=n ) Montrer que la matrice A vérifie : ai j < a ii, i n ( ) j =i, j= 3) Donner l expression du terme général de la matrice A () obtenue après la première étape du procédé d élimination de Gauss sans pivot 4) Montrer que la matrice B d ordre(n ) obtenue à partir de A () en enlevant la première ligne et la première colonne vérifie une la relation similaire à ( ) 5) Ecrire le schéma itératif de Jacobi x (k+) = Tx (k) + C ( T étant la matrice de Jacobi associée à A ) 6) Expliciter les composantes x (k+) j en fonction de celles de x (k) et de C 7) Montrer que la méthode de Jaobi converge (on pourra montrer que T = max ti j < ) i n 8) Application : On donne A = 3 4 j=n j= 3 5 a) Donner la matrice T de Jacobi associée à A, b =, x (0) = b) Calculer la ere itération x () obtenue en utilisant la méthode de Jacobi Exercice II Soit g la fonction définie sur[0, + [ par g(x) = x exp(x) ) Montrer qu il xiste une solution unique θ ]0, + [ qui vérifie g( θ) = 87

89 ) Montrer que x [0,+ [ on a : g (x) g (x) 3) On considère la fonction h définie sur[0,+ [ par : h(x) = x g(x) g (x) a) Montrer que x ]0,+ [, il existe c ]0, x[ tel que : h(x) θ = (θ x) g (c) g (x) b) Déduire que que x ]0,+ [, h(x) θ 4) On considère la méthode itérative définie par : la donnée de x 0 θ et x n+ = h(x n ) i) Montrer que la suite(x n ) n N est décroissante ii) Déduire que la suite(x n ) n N converge et trouver sa limite iii) Montrer que pour tout x θ on a h(x) θ (θ x) iv) Déduire que k N, x k θ (x 0 θ) p où p est un entier à préciser 4) Trouver le polynôme P de degré qui interpole la fonction g aux points 0 et 5) Montrer que g(x) P(x) 3e 8 où e = exp() 88

90 6.7 F.S.O Examen Exercice I Soient P ε (x) le polynôme interpolant h aux points 0,ε et ) Exprimer P ε (x) dans la base de Newton ) Pour tout x [0, ], calculer h(ε) h(0) h() h(ε) lim et lim ε 0 ε ε 0 ε 3) En déduire que lim P ε (x) = P(x) = h(0)+xh (0)+(h() h(0) h (0))x ε 0 4) Montrer que le polynôme P(x) trouvé en 3) est l unique polynôme qui vérifie : P(0) = h(0); P() = h() et P (0) = h (0) 4) Pour un x arbitraire dans]0, [,on pose K = soit Ψ la fonction définie par : h(x) P(x) x (x ) Ψ(t) = h(t) P(t) Kt (t ) = h(t) P(t) h(x) P(x) x (x ) t (t ) a) Vérifier que Ψ(0) = Ψ (0) = Ψ() = Ψ(x) = 0 b) Montrer que Ψ s annule en 3 points de[0, ] c) Déduire qu il existeθ [0, ] tel que Ψ (3) (θ) = 0 d) Conclure que h(x) P(x) = h(3) (θ) x (x ) 6 5) a) On pose M 3 = max h (3) (t) 0 t Montrer que h(x) P(x) M 3 x [0, ] 8 b) Montrer que (h(x) P(x))dx M 3 7 Exercice II 0 Soit h une fonction de classe C 3 (R) dont la dérivée et la dérivée seconde ne s annulent pas au voisinage de a et telle que : h(a) = 0 On considère les suites(x n ) et(y n ) définies par la donnée de x 0 et les relations : y n = x n h(x n) h (x n ) x n+ = y n h(y n) h (x n ) On suppose que ces suites convergent vers a et que n N, x n = a et y n = a y n a ) Montrer que lim n (x n a) = h (a) h (a) x n+ a ) Montrer que lim n (x n a)(y n a) = h (a) h (a) 89

91 3) Démontrer que l ordre de convergence de la suite(x n ) est au moins 3 4) Démontrer que l ordre de convergence de la suite(y n ) est au moins 3 Exercice III Soient h une fonction de classe C ([a, b]) ;α etβ réels de[a, b] On suppose queα β et on considère sur[α,β] les fonctions : Ψ 0 (x) = (x α)3 (β α) 3 ; Ψ (x) = (β α)( (x α) (β α) (x α)3 (β α) 3) Ψ (x) = (x α)3 (β α) 3 ; Ψ 3(x) = (β α) ( (x α) (β α) (x α)3 (β α) 3) ) Calculer Ψ k (α);ψ k (β),ψ k (α) et Ψ k (α) pour 0 k 3 ) Soit P le polynôme défini sur[α,β] par : P(x) = h(α)ψ 0 (x)+h(β)ψ (x)+h (α)ψ (x)+h(α)ψ 3 (x) Montrer P que vérifie les conditions suivantes : P(α) = h(α) ; P(β) = h(β) ; P (α) = h (α) ; P (α) = h (α) 3) Soit Q le polynôme défini par Q(x) = (x α) 3 (β α) On suppose que h est de classe C 4 ([a, b]) et on pose : g(t) = h(t) P(t) = Q(t) Q(x) (h(x) P(x)) a) Montrer que g admet 3 zéros b) Montrer que g admet 3 zéros c) Montrer que g admet 3 zéros d) Montrer que pour tout x ]α, β[ il existe θ ]α, β[ tel que : h(x) P(x) = h(4) (θ) Q(x) 4! e) Déduire que h(x) P(x) max h (4) (t) x [a, b] 0 t 90

92 6.8 F.S.O Session ordinaire 008/009 Exercice I Soient h = β α avecα etβ [a, b] et g une fonction de classe C 4 ([a, b]). Montrer que : ) β α α) g (4) (x)dx ) [α,β] h β α g(x)dx = h g(x)dx = h h { {g(α)+ g(β)} + g (α) g (β) } + β (x β) (x 4 α h { {g(α)+g(β)}+ g (α) g (β) } + h5 70 g(4) (θ) avec θ 3) On suppose que[a, b] est subdivisé en n sous intervalles [x i, x i+ ], i = 0,,..., n Montrer que : b a g(t)dt = h {g(a)+[g(x )+ g(x )+...g(x n )]+g(b)} + { g (a) g (b) } + (b a)5 g (4) (λ) où λ [a, b] et h = x i+ x i ; 70 (Justifiez bien vos réponses pour montrer la différence entre g (4) (x), g (4) (θ) et g (4) (λ) ) 4) On prend g(x) = exp( x ) et on donne g() = 0.368, g( ) = et g () = En prenant max g (4) (t) =, donner une approximation de exp( x )dx 0 t avec précision 0 0 Exercice II Soientδ etε ]0, [ et g une fonction C 4 ([a, b]) avec a < b. On considèreα etβ [a, b] avecα < β et on pose h = β α Soit P ε,δ (x) le polynôme interpolant g aux pointsα,α +ε,β, etβ+δ ) Exprimer P ε,δ (x) dans la base de Newton ) Donner l expression de l erreur d interpolation : e ε,δ (x) = g(x) P ε,δ (x) 3) On définit : [g(α), g(α)] = lim[g(α), g(α +ε)] et[g(β), g(β)] = lim[g(β), g(β+δ)] ε 0 δ 0 Montrer que : i) [g(α), g(α), g(β)] = { } g(β) g(α) g (α) h h ii) [g(α), g(α), g(β), g(β) = { h g (α) g(β) g(α) } + g (β) h 4) Soit H(x) = lim ε,δ 0 Pε,δ (x) et M 4 = max α t β 9 g (4) (t)

93 Montrer que g(x) H(x) = lim e ε,δ (x) h4 M 4 ε,δ x [α,β] Exercice III On définit la fonction h(x) = x ) Claculer H(x) = x 0 pour x [0, [ h(t)dt où x < et donner la valeur de H( 3 ) ) Donner l expression du polynôme de Lagrange Q(x) interpolant h en 0, 3 et 3 3) Trouver les coéfficients C0, C, C tels que pour tout polynôme P de degré on ait : 3 P(t)dt = C 0 P(0)+ C P( 3 )+C P( 3 ) (E) 0 4) Utiliser l égalité (E) pour donner une valeur approchée de Log(3) 9

94 6.9 F.S.O Session rattrapage Soient x 0, x, x et x 3 4 points distincts de [a, b] et g une fonction de classe C 4 ([a, b]) avec a < b, soit p(x) le polynôme interpolant g aux points :x 0, x, x et x 3 ) Exprimer P(x) dans la base de Lagrange(L i (x)), i = 0,,, 3 ) Si g(x) est un polynôme de degré 3, quelle est l erreur d interpolation : e(x) = g(x) P(x) π 3) Montrer que L i (x) = 4 (x) (x x i )π 4 (x i) où π 4(x) = Π 3 i=0 (x x i) 4) Soit Q(x) = (x α)(x β)(x θ). Montrer que si les 3 racines de Q(x) sont distinctes alors la méthode de Newton avec x 0 = β+α converge versθ en un seul pas. 5) Soit T(x) = x + bx+c, admettant deux racines réellesα etβ On définit la suite(x n ) n 0 par x n+ = ( bx n+ c ), n 0 et x 0 donné Montrer que si α > β alors (x n ) n 0 converge versα x n 93

95 6.0 F.S.O Session ordinaire (Durée : h30) Soient h une fonction de classe C 3 ([a, b]) ;α etβ deux réels de[a, b] On suppose queα β et on considère sur[α,β] les fonctions : Ψ 0 (x) = (x α)3 (β α) 3 ; Ψ (x) = (β α)( (x α) (β α) (x α)3 (β α) 3) Ψ (x) = (x α)3 (β α) 3 ; Ψ 3(x) = (β α) ( (x α) (β α) (x α)3 (β α) 3) ) Soit P le polynôme défini sur[α,β] par : P(x) = h(α)ψ 0 (x)+h(β)ψ (x)+h (α)ψ (x)+h (α)ψ 3 (x) Montrer que P vérifie les conditions suivantes : P(α) = h(α) ; P(β) = h(β) ; P (α) = h (α) ; P (α) = h (α) P est dit interpolant d Hermite de h aux points α et β. ) Soit Q le polynôme défini par Q(x) = (x α) 3 (x β) On suppose que h est de classe C 4 ([a, b]) et on pose : g(t) = h(t) P(t) = Q(t) Q(x) (h(x) P(x)) a) Montrer que pour tout x ]α, β[ il existe θ ]α, β[ tel que : h(x) P(x) = h(4) (θ) Q(x) 4! b) Déduire que h(x) P(x) max h (4) (t) x [a, b] 0 t 4) i) Claculer les intégrales β ii) En déduire l expression de ), h (α ) Ψ k (x)dx pour 0 k 3 α β α P(x)dx en fonction deα, β, h(α ), h(β), h (α 5) On suppose que la fonction h est de classe C 4 ([a, b]). En posant M 4 = max h (4) β (t), montrer que : a t b (h(x) P(x))dx M (β α) 5 4 α 480 6) On considère une subdivision x 0 = a < x <... < x n = b régulière de pas h = (b a) n On note P j l interpolant d Hermite de h aux points x j et x j+ h (a) On pose H n = j=n j=0 x j+ x j P j (x)dx 6) Montrer que : H n = 3 4 Ig n + 4 Id n + (b a) 4n 7) Si h est de classe C ([a, b]), montrer que : (b a) lim n n j=n h (x j )+ (b a)3 4n j=0 3 j=n h (b a) (x j ) = h(b) h(a) et lim n j=0 n 94 j=n h (x j ) j=0 j=n h (x j ) = h (b) j=0

96 b 8) Si h est de classe C 4 ([a, b]), montrer que : (b a) h(x)dx H n 5 M 4 a 480n 4 9) Application : En admettant que M 4 =, donner une valeur approchée de exp( x )dx avec la précisionε =

97 6. F.S.O Examen blanc Exercice I Soit f une fonction de classe C 3 [a, b] et soientα etβ deux réels dans[a, b]. On supposeα<β et on note q(x) le polynôme interpolant f aux points :α, α+β etβ. ) Exprimer q(x) dans la bas de Lagrange ( point) ) Exprimer q(x) dans la base de Newton puis calculer β α q(x)dx (.5 point) 3) Donner l erreur d interpolation e(x) = f(x) q(x) pour x [α,β] (0.5 point) β (β α) 4 4) Déduire que f(x) q(x)dx M 3 où M 3 = max α 9 a<t<b f (3) (t) (.5 point) 5) Soit a = x 0 x... x n = b, une subdivision de [a, b] et q k (x) le polynôme interpolant f aux points : x k, x k+x k+ et x k+ k=n xk+ On pose S n = q k (x)dx k=0 x k Montrer que lim S n = n 6) Déduire que Exercice II b a b a f(x)dx (0.5 point) f(x) S n M 3 (b a) 4 9n 3 ( point) Soient h une fonction de classe C ([a, b]) ;α etβ deux réels de[a, b] On suppose queα β et on considère sur[α,β] les fonctions : Ψ 0 (x) = (x α)3 (β α) 3 3(x α) (β α) + ;φ 0(x) = (β α)( (x α)3 (β α) 3 (x α) (β α) + (x α) (β α) ) Ψ (x) = 3 (x α) (β α) (x α)3 (β α) 3 ;φ (x) = (β α)( (x α)3 (β α) 3 (x α) (β α) ) ) Calculer Ψ 0 (α),ψ 0 (α),ψ 0(β),Ψ 0 (β) etφ 0(α),φ 0 (α),φ 0(β),φ 0 (β) ) Soit P le polynôme défini sur[α,β] par : P(x) = h(α)ψ 0 (x)+h(β)ψ (x)+h (α)φ 0 (x)+h (β)φ (x) Vérifier que P satisfait les conditions suivantes (dites conditions de Hermite) : P(α) = h(α), P (α) = h (α), P(β) = h(β) et P (β) = h (β) 3) Soit Q le polynôme défini par Q(x) = (x α) (x β) On suppose que h est de classe C 4 ([a, b]) et on pose : Montrer que pour tout x ]α,β[ il existeθ ]α,β[ tel que : 96

98 h (β) h(x) P(x) = h(4) (θ) Q(x) 4! (On pourra montrer que la fonction g(t) = h(t) P(t) = Q(t) Q(x) (h(x) P(x) et montrer qu elle admet 3 zéros et que sa dérivée admet 4 zéros) β βφk 4) i) Claculer les intégrales Ψ k (x)dx et (x)dx pour k = 0, ii) Déduire l expression de α β α P(x)dx en fonction de α,β, h(α), h(β), h (α) et 5) On suppose que la fonction h est de classe C 4 ([a, b]). En posant M 4 = max h (4) β (t), montrer que : a t b (h(x) P(x))dx M (β α) 5 4 α 70 6) On considère une subdivision x 0 = a < x <... < x n = b régulière de pas h = (b a) n On note P j l interpolant d Hermite de h aux points x j et x j+ On pose H n = j=n j=0 x j+ x j P j (x)dx 6) On note T n l intégrale approchée de b a h(x)dxpar la méthode des trapèzes Montrer que : H n = T n + (b a) n (h (a) h (b)) 7) En déduire lim H n n b 8) Si h est de classe C 4 ([a, b]), montrer que : (b a) h(x)dx H n 5 M 4 a 70n 4 9) Application : En admettant que M 4 =, donner une valeur approchée de exp( x )dx avec la précisionε =

99 6. F.S.O Devoir à faire chez soi l approximation de I( f) par la méthode des trapèzes. Soit P 3 un polynôme de degré 3 et f C ([a, b]) avec f () 0 Soit I( f) = b a f(x)dx et I T n Soit Im(resp.I n g n ) l approximation de I( f) par la méthode des triangles droits (resp. gauches) ) Ecrire les expressions de I n g, In m etit n ( point) ) Montrer que In T = In g + Id n ( point) 3) En déduire que lim n IT n = I( f) ( point) 4) Prouver que I( f) In T ( f(b) f(a)) M (b a) ( point) 5) Etablir les ingalités : (b a) f( b+a b ) f(b)+ f(a) f(x)dx (b a) f( ) a ( points) b 6) Etablir l égalité : g(x)dx = b a a 6 [P 3(a)+4P 3 ( b+a )+P 3b] ( points) 7) Soit a = x 0 x... x n = b, une subdivision de[a, b] Montrer que : xi+ f(x)dx = (x i+ x i ) f(x i)+ f(x i+ ) + x i ( points) xi+ x i (x x i )(x x i+ ) f () (x)dx 8) Si x i+ x i = h pour tout i = 0,,...n, montrer que l erreur d approximation de xi+ x i f(x)dx par la méthode des trapèzes est de la forme : h3 f() (θ),θ [x i, x i+ ] ( point) 98

100 6.3 F.S.O Session ordinaire Janvier 003 Soit g une fonction de classec p avec p et g(x ) = on suppose que le procédé itératif x n+ = g(x n ) vérifie : x n+ x = (k+δ n )(x n x ) avec k < et lim n δ n = 0 soit z n = x n + (x n+ x n ) x n+ x n+ + x n z n x ) Chercher : lim n et comparer la vitesse de convergence des suites x n x (x n ) et(z n ). ) on généralise le procédé précédent de la manière suivante : on définit la fonction h par : h(x) = xg(g(x)) (g(x)) g(g(x)) g(x)+x puis on pose y n = g(x n ), z n = g(y n ) et x n+ = h(x n ) pourn = 0,, 3,... a) Prouver que g(x ) = x h(x ) = x b) On suppose de plus que : g (x ) = = g ( p )(x ) = 0 et que : g ( p)(x ) = p!a = 0 en prenant x = 0 et g(x) = Ax p + xp+ g(θx), 0 <θ <, (p+)! montrer que : h(x) = A x p + O(x p si p > h(x) = O(x ) si p = 99