Réseaux et Protocoles

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1 Université de Strasbourg Licence Informatique UFR Mathématique et Informatique Année / Exercice : Rapport Signal/Bruit Rappels : Réseaux et Protocoles D : La couche physique - Corrections signal bruit puissance du signal transmis puissance des signaux parasites Dans la suite, représentera un rapport de puissance ou d énergie. Ce n est pas nécessairement un rapport signal sur bruit. En décibels, le rapport vaut par définition : On rappel aussi que : log x x i = i x log x y = y log x y = lny lnx Exercices : d = log d = log A quels rapports correspondent db, db, 4 db, 7 db? Convertir en décibels les rapports suivants : P a / =, 5, Solution : = log = = = log = = = log = 4 = 7 = log = 7 = 4 4 = d = log P a = d 5 = d = log = log = log log. d db = 5 d = log 5 = log = log log. d 7dB = d = log 5 = 5 d = 5dB On remarque qu avec une perte de db le rapport de puissance est divisé par et inversement.

2 Exercice : Echantillonnage, Nyquist Rappels : Supposons que nous avons des signaux dépendant d une horloge et la période de l horloge. Le moment élémentaire est le plus petit intervalle de temps pendant lequel le signal reste constant. Si pendant la période les signaux ne peuvent que rester constant alors =. peut aussi être appelé dans un contexte plus abstrait l intervalle significatif du signal. La rapidité de modulation R est le nombre de fois où un tel signal peut changer de niveau en seconde. C est l inverse de. où R s exprime en Bauds et en secondes. R = Lorsqu un signal est bivalent il n a que deux valeurs ou il ne peut véhiculer qu un seul bit d information par période. S il est quadrivalent 4 niveaux, alors chaque niveau véhicule bits. Avec 8 niveaux, ce sera bits, etc. Le nombre de niveau dans un signal est la valence du signal. De manière générale : D = R log V où D est le débit en bits/s, R la rapidité de modulation en Bauds et V la valence du signal. Nyquist Dans un canal avec une bande passante de largeur H, le débit binaire maximal est de : D max = H log V où D max est le débit maximal en bits/s, H la largeur de la bande passante en Hz et V la valence du signal. En d autres termes : R max = H avec R la rapidité de modulation en bauds. Remarque : quand le nombre de niveaux V tend vers l infini on tend vers un signal avec des valeurs non discrètes alors le débit binaire tend aussi vers l infini. Notons que si un signal continu st a une fréquence maximale de f max, et si on l échantillonne à une fréquence de f ech = f max, ou plus, alors on est certain de pouvoir reconstituer le signal de départ st à partir du signal échantillonné dans le temps. En particulier si on a un canal de bande passante H, alors tous les signaux qui passent à travers ce canal peuvent être échantillonnés avec une fréquence de H avec un filtre passe bas si minh > et ensuite être reconstitués à la réception. Si en plus le signal a un nombre limité de niveaux, alors on peut mesurer son débit binaire. Exercices : On suppose que l on a un signal dépendant d une horloge dont la période est de.ms et que pendant une période d horloge le signal reste constant. Quelle est la rapidité de modulation d un tel signal? Quel est le débit binaire si le signal est bivalent? s il est quadrivalent? Avec un tel signal et une rapidité de modulation de 5 Bauds, quelle est la valence nécessaire pour avoir un débit binaire de 8 Kbits/s? Quelle est la largeur de bande minimale de la liaison transportant un tel signal? reprendre R, D et V de la question précédente

3 Solutions : R = où est le plus petit intervalle de temps où le signal reste constant. Or comme pendant une période d horloge le signal ne varie pas, on a = donc : R = = =. = 5 Bauds Si le signal est bivalent, on transporte bit par période, donc : D = R log V = 5 log = 5 bits/s = Kbits/s Si le signal est quadrivalent, on transporte bits par période, donc : D = R log V = 5 log 4 = 5 = 5 bits/s = Kbits/s Si R = 5 Bauds et D = 8 Kbits/s alors : Le théorème de Nyquist nous donne : D max = H log V H = Exercice : Shannon Rappels : D = R log V log V = D R V = D R V = = 8 = 56 D max log V H = 8 5 log 56 = 8 5 log 8 = = 5 = 5 Hz En présence de bruit, le débit binaire va diminuer. Le théorème de Shannon nous permet de calculer un débit par rapport à la largeur de la bande passante H et du rapport signal/bruit : D = H log P a où D est le débit binaire en bits/s, H la largeur de la bande passante en Hz et le rapport signal/bruit. Exercices : Calculer le débit binaire sur une ligne téléphonique avec un rapport signal/bruit de db et une largeur de bande de Hz. Si la modulation est de 6 Bauds, quelle est la valence minimale pour avoir un tel débit? Calculer le débit binaire sur une liaison satellite dotée d une largeur de bande de Mhz et d un rapport signal/bruit de db. Corrections : On commence par convertir le rapport signal/bruit : = log P a = = Puis on calcul le débit : D = H log P a D = log P log Kbits/s b

4 Si la rapidité de modulation est de 6 Bauds, on a : D = R log V log V = D R V = D R = 6 = = 5 = On commence par convertir le rapport signal/bruit : = log P a = = Puis on calcul le débit : D = H log P a D = 7 log P 7 log Mbits/s b Exercice 4 : ransformée de Fourier Corrections : Série de Fourier On a : gt = a a n sinπnft b n cosπnft n= On calule la composante continue : a = gtdt = / = / Adt dt = / = A = A gtdt / gtdt [At M]/ [K] / On calcul le coefficent a n : a n = gtsinπnftdt = / gt sinπnf tdt gt sinπnf tdt / = / A sinπnf tdt = [ ] / Acosπnft πnf = Acosπnf/ Acos = Acosπnf/ A πnf πnf πnf = A cosπnf = A cosπn = A cosπn πnf πnf nfπ = A { si n est pair nπ cosπn = A nπ si n est impair Le coefficient b n = donc la serie de Fourier devient : gt = A A nπ sinnπft n= 4

5 Pour gt, on a : gt = a a n sinπnft b n cosπnft n= a = { si n est pair a n = si n est impair b n = 4A nπ donc la série de Fourier devient : Pour gt, on a : gt = n= 4A nπ sinnπft gt = a a n sinπnft b n cosπnft Or, d après la figure représentant gt, on voit que gt = A t si t [; ]. a n = = A A t sinπnftdt t sinπnf tdt n= pour faire disparaitre ce t gênant, on intègre par parties en posant u = t et v = sinπnft ainsi u =, v = πnf cosπnft = A [ t. πnf cosπnft] = A [. πnf cosπnf ] = A = A πnf cosπnf πnf cosπn [. πnf cosπnft πnf cosπnft πnf cosπnft πnf sinπnft] = A πnf cosπn [ ] sinπnf sinπnf πnf = A πnf cosπn [ ] πnf = A πnf cosπn = A = A nπ cosπn = A nπ πnf cosπn a = A Le coefficient b n = donc la serie de Fourier devient : 5

6 Energies des signaux E g = E g = E g = gt dt = gt dt = gt dt = gt = A Anπ sinnπft / n= A dt = [ A t ] / = A / A dt A dt = A / A t A [t ] dt = = A La part d énergie véhiculée par la composante constante et la fondamentale est en utilisant la formule de rseval : Pour g : E g = a a = A A = A π 8 π 4π Pour g : E g = a a = 4A = 8A π π = A π Pour g : E g = a En faisant le rapport, on obtient : a = A A π 4π Pour g : Pour g : Pour g : E g E g = 4 π =.95 E g E g = 8 π =.85 E g E g = 4 π =.99 Nombre d harmoniques pour obtenir au moins 97% de l énergie du signal en utilisant la formule de rseval : Pour g : A ln= A ln= π A nπ.97 A n.97 A A n.97π 8 Donc le nombre d harmonique doit être égal à 7 l = 7. 6

7 Pour g : ln= 4A nπ.97a n.97π 8 Donc le nombre d harmonique doit être égal à l =. Pour g : π 6 Donc le nombre d harmonique doit être égal à 5 l = 5. A fréquence égale, ces différents signaux demandent des bandes passantes différentes pour véhiculer la même énergie du signal du simple au double entre g et g, voir le nombre d harmoniques nécessaires. Cependant, on voit qu une grande partie de l énergie d un signal vient de la composante constante, celle-ci étant nulle pour g, un plus grand nombre d harmoniques est nécessaire. En revanche, ce type de signal limite l effet Joule il est d ailleurs préféré pour les communications en bande de base. Bande passante Si = ms, le nombre d harmoniques est : nf.5 n.5 f =.5 =.5 n 5 Les harmoniques passantes correspondent à n=,,,...5 il y a 5 harmoniques qui passent. Si = ms on a harmoniques qui passent. Si =.ms on a harmonique qui passe. Si la période = ms alors la fréquence des premières harmoniques est de f = khz, f = khz, f = khz,..., f n = nkhz. Donc si la bande passante est de [,4kHz], il passe 4 harmoniques. Avec [,5Hz] il ne passe aucune harmonique et avec [,khz] il passe harmoniques et avec [.khz, 5kHz] il passe 49 harmoniques, mais la fréquence fondamentale ne passe pas. 7