Probabilité et statistique M1-INFO

Transcription

1 Probabilité et statistique M1-INFO François Kauffmann Université de Caen Normandie 10 octobre 2016 UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

2 Première partie I s Distributions s Variable aléatoire de Variable aléatoire binomiale Variable aléatoire uniforme discrète Variable aléatoire multinomiale Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

3 s s Chapitre Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

4 s Variable aléatoire réelle discrète Variables aléatoires X une variable aléatoire réelle discrète est définie par l ensemble fini valeurs prises par X {x 1,, x n } R la probabilité d obtenir la valeur x i, notée P([X = x i ]). Fonction des fréquences Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans {x 1,, x n }. On appelle fonction des fréquences de X f X (x i ) = P([X = x i ]) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

5 s Fonction de répartition Fonctions de répartitions Soit X une variable aléatoire réelle { R [0, 1] F X : x P([X x]) est appelée fonction de répartion de X. F X (x) est la probabilité de l évènement X est plus petit que x. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

6 s Quantile Quantile Soit X une variable aléatoire ayant une foncton de répartition F X et p ]0, 1[, le p-quantile q F (p) est défini par De façon équivalente F X (q F (p)) p P([X q F (p)]) p Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

7 s Variable aléatoire de Chapitre UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

8 s Variable aléatoire de Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

9 s Variable de Une variable aléatoire X de bernoulli est une variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs {0, 1}. Elle est définie par la probabilité de tirer la valeur 0 P([X = 0]) la probabilité de tirer la valeur 1 P([X = 1]) Soit p [0, 1], on dit qu une variable aléatoire de est de paramètre p si P([X = 1]) = p et on note l ensemble des variables alétoires de de paramètres p B(1, p) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

10 s Moyenne, variance Sa moyenne, sa variance et son écart type sont E(X ) = 1 P([X = 1]) + 0 P([X = 0]) = p Var(X ) = E((X E(X )) 2 ) = (1 p) 2 P([X = 1]) + (0 p) 2 P([X = 0]) = (1 p) 2 p + p 2 (1 p) = (1 p)p sd(x ) = Var(X ) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

11 s Variable aléatoire de Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

12 s Fonction des fréquences x=c(0,1) p=0.3;n=1 prob=dbinom(c(0,1), size=n, prob=p) #!c(1-p,p) plot(x,prob,ylim=c(0,1),ylab="p([x=x])",xlab="x",xaxt="n", main="fonction des fréquences",xlim=c(-1,2)) segments(x0=x,y0=0,x1=x,y1=prob) axis(1,-1:2,xlab="x") Fonction des fréquences Pr([X=x]) X Figure : Fonction des fréquences Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

13 s Fonction de répartition x=seq(from=-2,to=2,by=1/100) prob.cum=pbinom(x, size=n, prob=p) plot(x,prob.cum,ylim=c(0,1),type="s",main="fonction de répartition") x=c(0,1) y=c(0,1-p,1) Fn=stepfun(x,y) plot(fn,verticals=false,xlab="x",ylab="p([x <= x])",main="fonction de réparition") Fonction de réparition Pr([X <= x]) x Figure : Fonction des fréquences Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

14 ProbaStat s Simulation tirages=rbinom(n=100,size=n,prob=p) plot(tirages,main="tirages aléatoires",xlab="numéro",ylab="valeur tirée") table(tirages)/100 tirages aléatoires valeur tirée numéro Figure : Tirages aléatoires tirages Fr([X=0]) 0.61 Fr([X=1] 0.39 Table : Frequence empirique Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

15 s Variable aléatoire de Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

16 s Données d infarctus I Cette étude est extraite du livre de Mr Kleinbaum Logistic regression, a self learning text [1]. On étudie une cohorte de 609 personnes suivies pendant 7 ans. On veut modéliser la probabilité d avoir un infarctus du myocarde π en fonction de covariables. Le fichier evans.txt contient 609 lignes et 12 colonnes. Les modalités de références sont indiquées avec une étoile. # lecture avec R fichier <- url(" print(load(fichier)) close(fichier) summary(x) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

17 s Données d infarctus II colonne nom type modalités 1 id identifiant individu 2 y quali infarctus du myocarde(1=oui ; 0=non(*)) 3 cat quali concentration en catecholamine (1 = élevé ; 0 = norma 4 age quanti age 5 chl quanti concentration de cholesterol 6 smk quali fumeur (1 = oui ; 0=jamais(*)) 7 ecg quali electro-cardiogramme (1=anormal ; 0=normal(*)) 8 dpb quanti pression sanguine diastolique quantitative 9 sbp quanti pression sanguine systolique quantitative 10 hpt quali hypertension (1=oui ; 0=non(*)) 11 agec quali age >=55 (1=oui ; 0=non(*) 12? Table : Description des données Evans Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

18 s Données d infarctus III id y cat age chl smk ecg dbp sbp hpt agec 1 21 non normal jamais normal normal age 2 31 non normal fumeur normal normal jeune 3 51 oui eleve fumeur anormal anormal age 4 71 non eleve fumeur normal anormal age 5 74 non normal fumeur normal normal jeune 6 91 non normal fumeur normal normal jeune Table : Six premières lignes de la table evans D.G. Kleinbaum and Mitchell Klein. Logistic regression, a self learning text. Springer, Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

19 s pie(table(x$y))#$ Frequence d infarctus moyenne frequence non 0.88 oui 0.12 non oui Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

20 s Infarctus et catecholamine tableau=table(x$y,x$cat) barplot(prop.table(tableau,2), col=c('non'='green','oui'='red'), xlab="catecholamine",ylab="frequence") frequence normal eleve catecholamine UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

21 s Modélisation constant La modélisation de la variable infarctus par une loi de bernoulli de paramètre p.12% constant semble insuffisant. cat La modélisation de la variable infarctus pour les individus ayant un taux de catécholamine normal par une loi de bernoulli de parametre p 9% elevee par une loi de bernoulli de parametre p 17% semble plus réaliste. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

22 s Conclusion partielle On peut faire l hypothèse suivante Avoir un taux de catécholamine élevé augmente le risque d avoir un infarctus par rapport à un taux de catécholamine normal. Questions On modélise la probabilité d avoir un infarctus Peut-on prédire pour une personne si elle va avoir un infarctus? Peut-on être sur des proportions empiriques observées? Quel risque prend on en affirmant qu il faut mieux avoir un taux de catécholamine normal que élevé? Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

23 s Variable aléatoire binomiale Chapitre UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

24 s Variable aléatoire binomiale Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

25 s Variable aléatoire binomiale Soit n un entier, p [0, 1], X 1, X n n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de de paramètre p, on dit que Y = X 1 + X X n est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p Y B(n, p). Elle est à valeurs dans {0, 1,, n}. Elle modélise le nombre de succes quand on fait n tirages indépendants d une loi de bernoulli de paramètre p. ( ) n P([X = k]) = p k (1 p) n k, k [0, n] k Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

26 s E(Y /n) = E( X X n ) n Moyenne, variance = 1 n (E(X 1) + + E(X n )) = p var(y /n) = 1 n 2 var(x X n ) sd(y /n) = = 1 n 2 (var(x 1) + + var(x n )) indépendance = 1 (np(1 p)) n2 p(1 p) = n p(1 p) n Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

27 s Variable aléatoire binomiale Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

28 s Fonction des fréquences x=0:n p=0.3;n=10 prob=dbinom(x, size=n, prob=p) plot(x,prob,ylim=c(0,1),ylab="p([x=x])",xlab="x",xaxt="n", main=paste("fonction des fréquences p=",p),pch=19,xlim=c(-1,n+1),col="red") segments(x0=x,y0=0,x1=x,y1=prob) axis(1,c(-1,x,n+1),xlab="x") Fonction des fréquences p= 0.3 Pr([X=x]) X Figure : Fonction des fréquences Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

29 s Fonction de répartition x=seq(from=0,to=n,by=1/100) prob.cum=pbinom(x, size=n, prob=p) plot(x,prob.cum,ylim=c(0,1),type="s",main="fonction de répartition") x=0:n y=c(0,pbinom(x, size=n, prob=p)) Fn=stepfun(x,y) plot(fn,verticals=false,xlab="x",ylab="p([x <= x])",main="fonction de réparition") Fonction de réparition Pr([X <= x]) x Figure : Fonction des fréquences Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

30 s Simulation tirages=rbinom(n=100,size=n,prob=p) tableau=rep(0,n+1) names(tableau)=0:n tableau1=table(tirages)/100 tableau[names(tableau1)]=tableau1 points(as.numeric(names(tableau)),tableau,pch=20,col="blue") legend("topleft",c('theorique','observation'),pch=c(19,20),col=c('red','blue')) Pr([X=x]) theorique observation Fonction des fréquences p= Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

31 s Variable aléatoire binomiale Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

32 s Malformations des nourissons I L objectif de cette étude est de voir si il y a un lien entre les malformations congénitales du nourrisson et la consommation d alcool de sa mère pendant la grossesse. Après trois mois de grossesse, les femmes devaient remplir un questionnaire sur leur consommation d alcool. On évaluait alors la consommation d alcool grâce à un score, qui a été découpé 6 classes. Après la naissance on observait si le nourrisson avait au moins une malformation. Pour chaque classe, on a compté le nombre de nombre de nourrissons où les malformations étaient absentes : n A et le nombre de nourrissons ayant au moins une malformation : Y. Cet exercice est inspiré des exercices 3-3 et 3-4 page 91 du livre du A. Agresti [1]. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

33 s Malformations des nourissons II consommation(x) n A (x) =Absent Y (x) =Présent x=score [0, 0] x 1 = 0 ]0, 1] x 2 = 0.5 ]1, 2] x 3 = 1.5 ]2, 5] x 4 = 4 ]5, + [ 37 1 x 5 = 7 Table : Tableau de contingence malformation et consommation d alcool L attribut consommation d alcool est mesuré de deux façons : La consommation d alcool par jour est codée grâce à une échelle quantitative appelée score. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

34 s Malformations des nourissons III La variable score a été segmentée en cinq classes. Les classes retenues sont les suivantes : 0 aucune consommation d alcool, <1 moins de une unité par jour, 1-2 de un à deux unités par jour, 2-5 de deux à cinq unités par jour, >5 plus de cinq unités par jour. Alan Agresti. An introduction to categorical data Analysis. Wiley Series in probability and statistics, Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

35 s Création de la table X=matrix(c(17066,14464,788,126,37,48,38,5,1,1,0,0.5,1.5,4,7),ncol=3) dimnames(x)=list(c('[0,0]',']0,1]',']1,2]',']2,5]','>5'),c('absent','present','score')) X=data.frame(X) P=X$present/(X$absent+X$present) # proba malfomation X=data.frame(X,P)#$ plot(p~score,data=x,xlab="score",ylab="frequence malformation") frequence malformation Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66 score

36 s Question Conclusion partielle Peut -on dire que le risque de malformation congénitale augmente avec la consommation d alcool? Peut-on se tromper? Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

37 s Variable aléatoire uniforme discrète Chapitre UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

38 s Variable aléatoire uniforme discrète Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

39 s Variable aléatoire uniforme Soit n un entier et X une variable aléatoire à valeurs dans {0,, n} on dit que X une variable aléatoire de loi uniforme si P([X = k]) = cst = 1, k {0,, n} n + 1 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

40 s Variable aléatoire uniforme discrète Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

41 ProbaStat s Fonction des fréquences n=10;k=0:n;prob=rep(1,n+1)/(n+1) tirage=sample(k,size=100,replace=true) tableau=table(tirage) frequence=function(k,prob,freq.obs,...) { plot(k,prob,,ylab="p([x=x])",xaxt="n",pch=20,...) segments(x0=k,y0=0,x1=k,y1=prob) axis(1,xlab="x") if(!is.null(freq.obs)) points(k,freq.obs,col="red",pch=20) legend("topleft",c('theorique','observation'),pch=c(20,20),col=c('black','red')) } frequence(k,prob,freq.obs=tableau/100,xlab="x",main="",xlim=c(-1,n+1),ylim=c(0,.3)) Pr([X=x]) theorique observation X Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

42 s Fonction de répartition repartition=function(k,prob,...) { prob=c(0,prob) Fn=stepfun(k,cumsum(prob)) plot(fn,verticals=false,xlab="x",ylab="p([x <= x])",...) } repartition(k,prob,main="fonction de réparition loi uniforme") Fonction de réparition loi uniforme Pr([X <= x]) x Figure : Fonction des fréquences Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

43 s Variable aléatoire uniforme discrète Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

44 s Bootstrap L algorithme du bootstrap est une méthode permettant d évaluer la variabilité d un estimateur en modifiant l échantillon par tirage aléatoire avec remise. En faisant plusieurs tirages on peut donc estimer moyenne en faisant la moyenne des estimateurs obtenus pour chacun des tirages. écart type en calculant l écart type empirique de la série des estimateurs obtenus pour chacun des tirages. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

45 s Algorithme du bootstrap Soit P = {1,, N} l ensemble des individus et K le nombre de répétitions. Pour k=1:k Tirer aléatoirement avec remise N individus P k de P Identifier le modèle avec l échantillon P k Calculer l erreur sur l échantillon total P Calculer la moyenne empirique et l écart type empirique de l estimateur. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

46 s K=5 # nb repetitions n=10 # nb individus individus=1:n # numéros des individus tirages=c() for ( i in 1:K ){ tirage=sample(individus,n,replace=true) tirage=factor(tirage,levels=individus) tirages=cbind(tirages,table(tirage)) } dimnames(tirages)=list(paste('ind',individus),paste('tir',1:k)) tirage 1 tirage 2 tirage 3 tirage 4 tirage 5 ind ind ind ind ind ind ind ind ind ind Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

47 s Estimation de la frequence K=200 # nb repetitions n=nrow(x) # nb individus individus=1:n # numéros des individus moyennes=c() for ( i in 1:K ){ tirage=sample(individus,n,replace=true) moyenne=aggregate(x$y[tirage]=="oui",by=list(x$cat[tirage]),fun=mean) moyennes=rbind(moyennes,moyenne$x) } moyennes=as.data.frame(moyennes) names(moyennes)=as.character(moyenne$group.1) # histogrammes hist(moyennes$normal,freq=false,xlim=c(0.05,0.35),col="green",main="histogramme", xlab="frequence empirique infarctus") hist(moyennes$eleve,freq=false,col="red",add=true) legend('topright',c('normal','eleve'),lty=1,col=c('green','red')) Density histogramme normal eleve Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat octobre /

48 s # boites à moustaches Variabilité de l estimation de la frequence tmp=data.frame(cat=c(rep('eleve',k),rep('normal',k)),freq=c(moyennes$eleve,moyennes$normal)) boxplot(freq~cat,data=tmp,col=c('eleve'='red','normal'='green')) eleve normal Figure : Boîtes à moustaches Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

49 s Test quantile(moyennes$eleve,c(.05,0.95)) quantile(moyennes$normal,c(.05,0.95)) hist(moyennes$normal-moyennes$eleve,xlab="normal-eleve main="histogramme difference") table(moyennes$normal-moyennes$eleve<0) histo difference Density normal eleve Figure : Differences Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

50 s Conclusion partielle Question : risque d infactuts augementé taux de catécholamine augmenté. Conclusions eleve la fréquence d infarctus pour un taux de catécholamine éléve pour nos tirages de bootstrap se trouve à 95 % dans l intervalle [0.16,.28] normal Pour un taux de catécholamine normal la fréquence d infarctus de trouve à 95% dans l intervalle [0.06, 0.12] risque Dans 100% des cas de tirages de bootstrap on a la fréquence d infarctus qui plus élevé si le taux de catécholamine est éleve/normal. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

51 s Variable aléatoire multinomiale Chapitre UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

52 s Variable aléatoire multinomiale Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

53 s Variable alétoire vectorielle multinomiale On considère un ensemble à q éléments {x 1,, x q } et (p 1,, p q ) [0, 1] q, p 1 + p p q = 1. La probabilité de tirer l élément x i est p i. On fait n tirages aléatoires indépendants avec remise d éléments de cet ensemble. La variable aléatoire vectorielle comptant le nombre de fois ou l on a tiré l objet x i est dite ayant une loi multinomiale de paramètres n et (p 1,, p q ). Pour (n 1,, n q ) N q, i=q i=1 n i = n on a : P(X = (n 1,, n q ) = n! n 1!n 2! n q! pn 1 1 pnq q Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

54 s Moyenne, covariance E((X 1,, X q)) = n(p 1,, p q) cov(x 1, X 1 ) cov(x 1, X q) Cov((X 1,, X q)) =.. cov(x q, X 1 ) cov(x q, X 1 ) p 1 (1 p 1 ) p 1 p 2 p 1 p q p 1 p 2 p 2 (1 p 2 ) p 2 p q = n.. p qp 1 p q(1 p q) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

55 s Variable aléatoire multinomiale Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

56 s prob=c(.2,.3,.5) # prob=tirer 3eme=1/2 x=c(1,2,1) # nb 1er=1;2eme=1;3eme=1 proba=dmultinom(x=c(1,2,1), prob=prob)# 1/10 Fonction des fréquences N=3 # 3 tirages X=expand.grid(x1=0:N,x2=0:N,x3=0:N)# toutes les possibilites X=X[X$x1+X$x2+X$x3==N,] # selection 3 tirages X=as.data.frame(t(X)) # transposition X[[1]] # 1er elt liste # appli FUN à chaque elt liste resultat=lapply(x, FUN=function(x,prob=prob) dmultinom(x=x, prob=prob), prob=prob) X=rbind(X,unlist(resultat)) X=as.data.frame(t(X)) names(x)[4]="prob"#$ # ajout de la ligne # transposition # renomage nom 4 eme colonne Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

57 s Resultats Pour 3 tirages avec remise dans une urne contenant 3 types de boules ayant une proba respective d être tirée de 20%, 30% et 50% d être tirée. num x1 x2 x3 prob Table : Proba de tirer (x1,x2,x3) elts Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

58 s Variable aléatoire multinomiale Paragraphe UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

59 s Le repas des alligators I On veut étudier ce que mange les alligators en fonction de leurs tailles et du lac dans les quels ils été attrapés. Cet exemple est inspiré de l exercice 6.3 du Pr. Alan Agresti An Introduction to categorical data analysis, p197 [1]. Le fichier de données alligator.txt contient une table nommée X ayant cinq colonnes et quatre-vingt lignes. colonne nom type commentaires 1 lac quali modalités (1= hancock,2=oklawaha,3=trafford,4=george) 2 sexe quali modalités (1=femelle,2=male) 3 taille quali modalités (1=plus petit que 2,3m, 2=plus grand que 2.3m) 4 nourriture quali modalités (1= fish,2= invert,3= rep,4= bird,5= other ) 5 N ordinal nombre d alligators Table : Descriptif table alligator Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

60 s Le repas des alligators II # lecture avec R fichier=" X=read.table(fichier,header=TRUE) X$nourriture=factor(X$nourriture, levels=1:5, labels=c("fish","invert","rep","bird","other")) X$lac =factor(x$lac,levels=1:4, labels= c("hancock","oklawaha","trafford","george")) X$sexe =factor(x$sexe,levels=1:2,labels=c('femelle','male')) X$taille =factor(x$taille,levels=1:2,labels=c('<=2.3','>2.3')) close(fichier) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

61 s Le contenu de l estomac tab=xtabs(n~nourriture,data=x)/sum(x$n) barplot(tab)#$ fish invert rep bird other Figure : Contenu moyen Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

62 s Le contenu de l estomac tab=xtabs(n~nourriture+taille,data=x) tab=prop.table(tab,2) apply(tab,2,sum) barplot(tab,legend.text=true,col=rainbow(5), xlab="taille",ylab="freq") freq other bird rep invert fish <=2.3 >2.3 taille Figure : Contenu moyen par taille Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

63 s Conclusion partielle Est ce que tous les alligators mangent approximativement la même chose indépendamment de Questions de l endroit ou il se trouve? de son age ou de sa taille? de son sexe? Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

64 Deuxième partie II Index Sélection de modèles Index UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

65 Index Index Chapitre UCBN ProbaStat 10 octobre / 66

66 Index Index I Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN ProbaStat 10 octobre / 66