Induction électromagnétique

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1 Induction électromagnétique I Approche historique et qualitative de l induction I.1 Description du phénomène Le phénomène d induction est un phénomène qui apparait dans 2 cas de figure et qui consiste en l apparition d une force électromotrice (donc d une différence de potentiel) dans un circuit ne comportant pas de générateur. Ce phénomène se produit expérimentalement : lorsque l on approche un aimant produisant un champ magnétique d un circuit fixe (configuration circuit fixe/champ variable de Neumann), lorsque l on déplace un circuit dans le champ produit par un aimant (configuration circuit mobile/champ permanent de Lorentz). Cette f-é-m est d autant plus importante que la vitesse de déplacement est grande, et disparaît dés que le mouvement relatif est nul. Dans la suite du cours, nous aborderons ces deux situations extrêmes tout en gardant à l esprit que la situation la plus générale est celle d un champ variable et d un circuit en mouvement (ou déformable). Par ailleurs, l étude sera faite dans le cadre de l ARQP. I.2 Loi de Faraday (1831) La loi de Faraday permet de déterminer la force électromotrice induite e dans un circuit fermé de la manière suivante : e dφ (1) où Φ est le flux du champ magnétique à travers la surface définie par le circuit fermé. Cette loi prend en compte aussi bien l induction de Neumann que de Lorentz et nous la retrouverons plus tard à partir des équations de Maxwell. I.3 Loi de Lenz (1834) C est une loi de modération qui prédit le comportement général des effets de l induction : les effets de l induction (fém, courants induits, mise en mouvement) ont tendance à s opposer aux causes qui leur donnent naissance. Applications Deux applications simples permettent de mettre en évidence l intérêt de la loi de Lenz : lorsque l on approche l aimant de la spire, le flux augmente et crée une fém négative (voir expérience), ce qui crée en retour un champ magnétique qui s oppose au champ magnétique crée par l aimant dans le cas des rails de Laplace, si la barre s éloigne, le flux augmente, ce qui génère une force de Lorentz qui ralentit la barre. 1

2 II Induction de Neumann II.1 Loi de l induction de Neumann Lorsqu un circuit électrique fixe et indéformable est plongé dans un champ magnétique extérieur variable dans le temps, il peut être le siège de courants induits. En effet, dans le cadre de l ARQS, les équations de Maxwell sont les suivantes : L équation de Maxwell-Faraday implique div E ρ ɛ pmaxwell Gaussq (2) div B pmaxwell Thomsonq (3) rot E B B pmaxwell Faradayq (4) Bt rot B µ j pmaxwell Ampèreq (5) E Ý grad V B A Bt où Ý grad V est la champ en régime permanent, à circulation conservative, alors que B A Bt est un terme lié à la variation temporelle, terme non conservatif. En effet, si on calcule la circulation de E sur un circuit fermé, on obtient la force électromotrice e ¾ e N E d l ¾ ¾ Ý grad V d B A l Bt d l On définit alors le champ électromoteur E m par looooooomooooooon E m B A Bt Par ailleurs, on peut exprimer la force électromotrice en fonction de B. En effet e N ¾ B A Bt d l d ce qui donne en utilisant la formule de Stokes-Ampère d ¼ Σ rot A d S ¾ A d l la surface σ étant orientée en tenant compte du sens dans lequel on calcule la circulation. Comme B rot A, on peut alors écrire e N d ¼ B d S dφ ce qui permet bien de retrouver la loi de Faraday énoncée au chapitre I. 2

3 II.2 Méthode : induction de Neumann dans un circuit filiforme 1. Orienter arbitrairement le circuit électrique. 2. Déduire l orientation de la surface par la règle de la main droite (ou des 3 doigts) 3. Calculer le flux magnétique à travers le circuit Φ ¼ Σ B d S 4. Calculer la fém induite donnée par la loi de Faraday 5. Dessiner le schéma électrique équivalent II.3 Inductance et auto-inductance e N dφ On suppose 2 circuits filiformes C 1 et C 2 parcourus par des courant i 1 et i 2. On note B 1 et B 2 les champs créés respectivement par les 2 circuits. Chaque champ crée un flux magnétique à travers chaque circuit. On utilise la notation suivante : Φ 1Ñ2 est le flux de B 1 à travers le circuit 2. Les flux Φ 1Ñ1 et Φ 2Ñ2 sont appelés flux propres. On a donc Φ jñk ¼ C k B j d S k D après la loi de Biot et savart, B j est proportionnel à i j, on peut donc définir les coefficients de proportionnalité Φ jñj L j i j Φ jñk M jñk i j On peut montrer que M jñk M kñj M. Pour un circuit filiforme, on définit le coefficient d auto-inductance, grandeur positive dépendant de la géométrie du circuit, par la relation L unité de L est le Henry (H). Φ jñj L j i j Pour un circuit filiforme, on définit le coefficient d inductance mutuelle, qui dépend de la géométrie de l ensemble des deux circuits, par les relations Φ jñk Mi j Φ kñj Mi k L unité de M est le Henry (H) et son signe dépend des orientations relatives des deux circuits. 3

4 Le flux dans le circuit 1 du champ magnétique total est donc donné par Φ 1 L 1 i 1 Mi 2 Compte tenu de la loi de Faraday, on peut donc exprimer la fém induite dans le circuit 1 par l effet de l inductance propre et de l inductance mutuelle e 1 dφ 1 di 1 L 1 M di 2 II.4 Énergie magnétique On considère 2 circuits fixes couplés par inductance mutuelle M R 1 R 2 E 1 L 1 L 2 E 2 i 1 i 2 On écrit la loi des mailles dans chaque circuit, ce qui donne les équations couplées E 1 L 1 di 1 M di 2 R 1i 1 E 2 L 2 di 2 M di 1 R 2i 2 Pour écrire le bilan énergétique, il faut multiplier ces deux équations par les intensités respectives dans chacun des circuits, puis faire la somme, ce qui donne loooooomoooooon E 1 i 1 E 2 i 1 R 1 i 2 1 R 2 i 2 2 générateurs loooooomoooooon Effet Joule di 1 di 2 di 2 di L 1 i 1 L 2 i 2 Mi 1 Mi loooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooon 1 2 Champ magnétique Le terme de gauche est le terme explicitant la puissance fournie par les générateurs, les deux premiers termes à droite sont les termes correspondant à la puissance dissipée par effet Joule dans les résistances. Il reste le terme L 1 i 1 di 1 L 2 i 2 di 2 Mi 1 di 2 Mi 2 di 1 d 1 2 L 1i L 2i 2 2 Mi 1 i 2 qui représente la puissance utilisée pour fait varier le champ magnétique. Comme ce terme est la dérivée par rapport au temps d une expression, on peut alors écrire l énergie potentielle magnétique de deux circuits : E p 1 2 L 1i L 2i 2 2 Mi 1 i 2 (6) 4

5 Lien avec l énergie électromagnétique On peut rapprocher cette expression de l expression de l énergie magnétique d un solénoïde infiniment long. En effet, on peut calculer le flux du champ magnétique à travers le solénoïde Φ ¼ B d S Comme il y a N spires de surface πa 2 N et que le champ crée est uniforme B µ l i, on obtient ce qui donne la valeur de L et permet de calculer dans ce cas simple N 2 Φ µ πa 2 i l N 2 L µ πa 2 l E p 1 2 Li2 µ N 2 2l πa2 i 2 Par ailleurs, l énergie électromagnétique s écrit en général E em ½ B 2 dτ 2µ ou l intégrale se fait sur tout l espace. Dans le cas d un solénoïde infiniment long, le champ B est nul hors du solénoide, on peut donc restreindre l intégrale au volume du solénoïde ½ B 2 E em dτ B2 N V µ 2µ 2µ l i lπa 2 N 2 µ 2l πa2 i 2 solenoide ce qui permet d identifier l énergie potentielle magnétique avec l énergie électromagnétique. On considérera que cette équivalence est générale. Étincelle de rupture La grandeur E p est une grandeur nécessairement continue puisque sa dérivée, la puissance, doit être bornée. Il en résulte que l intensité d un circuit contenant une bobine est une fonction continue. Dans le cas d une rupture physique du circuit (actionnement d un interrupteur par exemple), cette continuité est assurée par la création d une étincelle qui conduit le courant à travers l air. II.5 Induction de Neumann dans un circuit non filiforme Dans le cas d un conducteur non filiforme (comme le fond d une casserole métallique), le calcul du flux devient impossible dans la mesure où le circuit et donc la surface sur laquelle effectuer l intégration ne sont pas définis. Il faut alors passer par le calcul du champ électromoteur. L existence de ce champ électromoteur est alors responsable, en raison de la conductivité du matériau, de courants induits dit de Foucault, qui permettent, par exemple, de chauffer les aliments dans les dispositifs de table à induction. III Induction de Lorentz III.1 Induction de Lorentz Un circuit électrique en mouvement dans un référentiel où règne un champs magnétique permanent est sujet à un phénomène d induction de Lorentz et donc à des courants induits. 5

6 Changement de référentiel On doit calculer le champ électromagnétique p E 2, B 2 q vu par les charges en mouvement dans le circuit (référentiel 2) en connaissant le champ dans le référentiel du laboratoire 1 dans lequel le champ électromagnétique est p E 1, B 1 q. Pour cela, on utilise les lois newtoniennes suivantes : la loi de composition newtonienne des vitesses, le fait que les forces sont invariantes par changement de référentiel, en particulier la force de Lorentz le fait que la charge électrique est un invariant par changement de référentiel. On peut alors écrire l invariance de la force de Lorentz q E 1 vpm{1q ^ B 1 q E 2 vpm{2q ^ B 2 et la transformation galiléenne des vitesses On combine les 2 équations précédentes vpm{1q vpm{2q vp2{1q E 1 p vpm{2q vp2{1qq ^ B 1 E 2 vpm{2q ^ B 2 donc E 1 vpm{2q ^ B 1 vp2{1q ^ B 1 E 2 vpm{2q ^ B 2 Cette relation doit être vpm{2q, donc nécessairement B 2 B 1, ce qui donne E 1 vp2{1q ^ B 1 E 2 Le champ électrique vu par la charge dans le référentiel en mouvement est donc modifié par le champ magnétique permanent. Notons que cette relation est vraie de manière approchée puisque la transformation de Galilée trouve ses limites quand vp2{1q c. On notera aussi que ces relations sont valables quand le champ magnétique domine, dans le cadre de l ARQS magnétique. Si un référentiel 2 est en mouvement par rapport à un référentiel 1 à la vitesse uniforme vp2{1q, alors les champs électriques et magnétiques se transforment, dans l approximation newtonienne B 2 B 1 et E 2 E 1 vp2{1q ^ B 1 Champ électromoteur de Lorentz Soit v e la vitesse d un circuit électrique en mouvement dans le référentiel du laboratoire. Soit B le champ magnétique dans le référentiel du laboratoire. Alors on appelle le champ électrique du à ce champ dans le référentiel du circuit le champ électromoteur de Lorentz E m E m v e ^ B 1 ¾ Ce champ a les mêmes effets qu un champ électrique existant. Sa circulation le long du circuit est la fém de Lorentz e L E m d l 6

7 III.2 Rails de Laplace Les rails de Laplace sont le dispositif décrit par la figure suivante R 1 D e y B d i v d e z e x C le champ électromoteur généré par la présence du champ magnétique et par le mouvement de la barre est E m v ^ B v u x ^ B u z vb u y On calcule ensuite la fém en orientant le contour en s assurant que la fém soit dans le sens de i (convention générateur), soit ici un sens de parcours de C vers D ¾ E» e L m d D» l l vb u y dy u y vbdy vbl C L induction de lorentz est donc responsable de l apparition d une fém dans la branche CD, ce qui permet d écrire le schéma équivalent R 1 D vbl i C Flux magnétique Le flux magnétique à travers le circuit, compte tenu de la convention d orientation, est égal à Φ BS Blx où x est la position de la barre. Si on calcule dφ Bl dx vbl On retrouve la fém de Lorentz. La loi de Faraday est donc encore valable dans le cas de l induction de Lorentz, dans le cas des rails de Laplace. Nous généraliserons sans démonstration cette constatation. La démonstration rigoureuse de cette propriété se fait grâce à la notion de flux coupé qui n est plus au programme. La loi de Faraday e dφ est valable quelle que soit la cause des variations du flux du champ magnétique à travers le circuit. 7

8 Force de Laplace La barre CD est le siège d un courant i e L {R et est soumise à un champ magnétique, elle est donc soumise à des actions de Laplace d F L id l ^ B Pour calculer la résultante, il faut intégrer en parcourant le circuit dans le sens conventionnel de i, soit F L» D C id l ^ B» l idy u y ^ B u z» l vbl R dyb u x vb2 l 2 R u x La force de Laplace tend donc à ralentir la barre, ce qui est conforme à la loi de Lenz. Bilan énergétique On peut finir en calculant la puissance de la force de Laplace P L F L v vb2 l 2 R u x v u x v2 B 2 l 2 R La puissance fournie par la fém est elle calculée par P e ei e2 R v2 B 2 l 2 R Le système des rails de Laplace réalise donc à tout instant la conversion d énergie mécanique en énergie électrique. Plus généralement, l induction de Lorentz permet de réaliser un couplage électromécanique, permettant de réaliser des générateurs (mécanique Ñ électrique, comme dans une éolienne) ou des moteurs électriques (électrique Ñ mécanique). III.3 Méthode : Induction de Lorentz 1. Orienter arbitrairement l intensité dans le circuit i. 2. Calculer la fém induite e L dφ ou e L E m d l. Cette fém est orientée dans le sens de i (convention générateur). 3. Déduire le schéma électrique équivalent et l équation électrique. 4. Exprimer les forces de Laplace. 5. Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour trouver l équation mécanique. 6. Résoudre les équations électriques et mécaniques couplées en éliminant v ou i. III.4 Moment magnétique d un circuit Nous donnerons ces formules utiles dans le cas des moteurs rotatifs, sans démonstration. Un circuit délimitant une surface S orientée en fonction de l intensité i qui parcourt le circuit possède un moment magnétique m i S Un circuit rigide de moment magnétique m plongé dans un champ magnétique B uniforme à l échelle du circuit est soumis à des actions de Laplace dont la résultante est nulle et dont le couple est m ^ B 8

9 III.5 Induction de Lorentz dans un circuit non filiforme Comme dans le cas de l induction de Neumann, l induction de Lorentz dans un circuit non filiforme impose le calcul du champ électromoteur qui va donc créer des courants de Foucault entrainant de manière générale un ralentissement du mouvement du aux forces de Laplace. Ce principe est mis en application dans le montage de la roue de Barlow (voir TD) et dans le freinage magnétique des poids lourds IV Applications IV.1 Conversion électromécanique Les exemples de conversion électromécanique sont nombreux, puisque tous les moteurs électriques et tous les générateurs électriques sont le résultat d une conversion électromécanique. Nous ne verrons ici que l exemple du haut parleur, pour laisser à la partie conversion électromécanique le soin d évoquer les moteurs/générateurs. IV.2 Exemple : le Haut parleur Le haut parleur est un exemple de moteur électrique, donc de conversion électrique/mécanique. Les vibrations de la membrane du haut parleur produisent une onde acoustique. Ces vibrations sont générées par une force de Laplace s exerçant sur une bobine soumise à un champ permanent et à une tension uptq. L ensemble bobine+membrane de masse m est mobile en translation suivant Ox. il est maintenu par des ressorts qui exercent une force de rappel kxptq qui le ramène vers sa position d équilibre x. Le déplacement est freiné par une force d amortissement m τ v qui représente l énergie perdue par le haut parleur pour émettre l onde sonore. Le champ magnétique B est radial et constant.» Équation mécanique La force de Laplace s exerçant sur l enroulement de longueur l qui constitue la bobine vaut F L id l ^ B idl u θ ^ B u r ib dl u x ilb u x bob» l» l 9

10 On peut donc écrire le principe fondamental de la dynamique m a ilb u x m τ 9x u x kxptq u x soit en projetant sur u x :x Équation électrique 9x τ kx m ilb m La fém d induction se décompose en auto induction L di e L» bob p 9x u x ^ B u r q dl u θ L équation électrique s écrit en appliquant la loi des mailles uptq L di 9xBl Ri» l 9xB u θ dl u θ 9xBl uptq L di 9xBl Ri et une fém de Lorentz Bilan énergétique Les équations précédentes forment un système couplé. En multipliant l équation électrique par i, on trouve uptqiptq Li di 9xBli Ri2 La puissance électrique fournie par le générateur se décompose en puissance magnétique, en effet Joule et en puissance transmise au couplage électromécanique. Par ailleurs, si on multiplie l équation mécanique par m 9x, on retrouve ce terme de couplage On peut alors écrire lomon Effet joule uptqiptq Ri 2 d 1 2 Li2 looomooon Energie magnétique ilb 9x m 9x:x d m 9x 2 τ 1 2 mv2 loooomoooon Energie cinétique kx 9x d 1 2 kx2 looomooon Energie potentielle élastique m 9x lomon 2 τ P uissance émise Régime sinusoïdal Si on applique une tension sinusoïdale uptq u exppjωtq, les équations différentielles étant linéaires, on cherche à les résoudre sous la forme complexe iptq i exppjωtq et vptq v exppjωtq. On obtient alors (équation électrique) u Ri jlωi Blv et (équation mécanique) soit en éliminant v que l on peut écrire jωv u R v τ jlω k jωm v lb i m jω pblq2 m ω2 k m u rr jlω Z m s i Z m 1 j ω τ i jω pblq2 m ω2 k m j ω τ

11 où Z m représente l influence du mouvement de la bobine sur le circuit et est appelé impédance motionelle. En module, Z m b k ω pblq2 m m ω2 2 ω τ 2 qui présente un maximum pour ω k m. On a donc à faire à un filtre passe bande. IV.3 Transformateur De la même manière, le transformateur fera l objet d un cours (et d un TP?) spécifique. 11