DIFFICULTÉS D'APPRENTISSAGE EN MATHEMATIQUES Intervention de Jacques Bouchand - MCF Sciences de l éducation IUFM Poitou-Charentes

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1 Lundi 13 mai 2013, Journée de formation AME 79 «Dyscalculie» Lycée E. Pérochon de Parthenay DIFFICULTÉS D'APPRENTISSAGE EN MATHEMATIQUES Intervention de Jacques Bouchand - MCF Sciences de l éducation IUFM Poitou-Charentes I. DE NOMBREUX FACTEURS DE DIFFICULTE Les tests internationaux PISA et les évaluations de la DEPP montrent une augmentation des élèves en difficulté et une baisse substantielle des performances des élèves du cycle 3. L écart entre les meilleurs et le plus faibles se creuserait ; il y aurait moins d élèves «moyens». On peut envisager ces difficultés selon 4 dimensions : A. La dimension sociale - Les mathématiques ont un statut à part dans les enseignements. Un peu comme l orthographe. ils sont objets de sélection et en même temps il y a dans notre société une désaffection pour les maths. Les étudiants en mathématiques sont de moins en moins nombreux à l université. - Les représentations sociales sont très tranchées et très variées : elles vont de simples représentations d apprentissages techniques (exemple : le calcul mental) et passent par des phobies, des croyances (la «bosse» des maths, être intelligent = être bon en maths, les garçons sont plus forts que les filles, etc.). Les maths représentent aussi une forme de perfection (le nombre d or, ) B. La dimension psychologique - Des points de vue s opposent : «En maths on est bon ou mauvais». - Les maths peuvent faire l objet de nombres blocages. Ils ont une dimension identificatoire, toujours un peu comme l orthographe, ils ont un rapport fort à la règle et à la loi. - Certains mots utilisés peuvent avoir des résonances psychoaffectives : retirer, séparer, ôter, nul la polysémie de ce vocabulaire a été souligné par les psychanalystes. C. La dimension pédagogique - La question du langage mathématique est une priorité pour Stella Baruk, mais faut-il vraiment l enseigner ou bien l accompagner? - La place des automatismes est à reconsidérer en se posant la question de ce qu il est nécessaire d automatiser afin de permettre aux processus de haut niveau de pouvoir s élaborer. - Pour Stéphane Bonnery, un certain nombre d élèves ne comprennent pas le contrat didactique, c està-dire qu ils ne comprennent pas ce que l enseignant leur demande. - Le lien entre les maths et le monde réel fait encore débat : A l école primaire, les maths servent-ils à la maitrise de la vie quotidienne, par exemple calculer le prix d un kilogramme de pommes ou bien servent-ils à entrer dans la pensée abstraite? - Le passage à l abstraction passe probablement par des représentations symboliques intermédiaires que l école doit construire. Pour J. Bouchand une réflexion sur ces niveaux intermédiaires pourrait être une des clefs pour une meilleure réussite des élèves, ceci, dès la maternelle. Ces niveaux intermédiaires pourraient se concevoir sous forme de schémas ou de pictogrammes présenter aux élèves. - Le manque de clarté cognitive semble trop marquée en France : la pédagogie du tâtonnement semble une bonne méthode pour les enfants les plus performants mais beaucoup d autres se perdent avec cette méthode, ils ont au contraire besoin d être guidés. Des recherches indiquent qu une pédagogique explicite qui annonce les objectifs des leçons améliore les compétences des élèves. - L enseignant doit bien différencier l objectif de la tâche de l objectif d apprentissage. - Trois repères doivent être toujours présents à l esprit : l explicitation des objectifs, la graduation des difficultés et l aménagement de la séance pour être en mesure de faire des corrections immédiates. D. La dimension cognitive Les compétences nécessaires à la construction du nombre sont multiples. - Entre langage et nombre, le lien est très fort. Il est nécessaire de maitriser deux codes : le code digital et le code verbal. 1

2 - Il existe également des liens importants entre nombres et activités motrices : par exemple, la coordination entre le comptage et le pointage, l usage des doigts pour le comptage, - Le nombre et l espace : les constellations de points sur les dés sont un exemple du rapport qu entretient le nombre avec l espace. La numération de position en est un autre. - Le nombre et les mémoires : la mémoire de travail est essentielle pour pouvoir travailler le nombre (transcodage, calcul réfléchi, ) mais la mémoire à long terme l est également (mémorisation des tables de multiplication, ) - Le nombre et la logique : la logique renvoie aux opérations piagétiennes de conservation, sériation et de classification. Conclusion Les difficultés en mathématiques sont multifactorielles, la plupart du temps les troubles sont associés. Quand on évalue un jeune enfant on n évalue pas que la compétence désirée mais on évalue également tout ce qu il est obligé de mettre en œuvre pour organiser cette compétence. II. ET LA DYSCALCULIE? A. Les «dys» et leurs présupposés - La dyscalculie est un trouble spécifique qui se caractérise par un retard important (au moins 2 années), une résistance à l entrainement. Elle est développementale et donc différente de l acalculie qui est définie par la perte de compétences cognitives liée à un accident cérébral. Les tests d intelligence du dyscalculique doivent être situés dans zone normale. - La définition de la dyscalculie fait appel à une conception modulaire de notre cerveau ; le problème avec les mathématiques, c est que l on est sur un réseau de compétences complexes, cela fait autant d endroit à explorer. B. Les données neurobiologiques - L imagerie cérébrale a permis de localiser les multiples régions cérébrales qui entre dans le traitement des nombres et du calcul. On peut envisager que si une de ces régions est altérée des troubles spécifiques peuvent apparaitre. C. La notion de nombre - Les sources de difficultés sur le nombre sont complexes. Pour aborder la notion de nombre du point de vue pédagogique et pour la remédiation, le maître E doit chercher ailleurs que dans le cerveau où il n a pas accès. Il doit en priorité se centrer sur les difficultés d origines langagières, visuo-spatiales et mnésiques. III. LA CONSTRUCTION DU NOMBRE A. Le modèle piagétien - Piaget à chercher à comprendre sur quelles opérations logiques s appuyait la construction du nombre. Trois opérations de base sont à l origine du nombre : la conservation, la sériation, la classification. La comptine et le comptage avant la construction du nombre ne seraient que des connaissances verbales. - Pour Piaget l objet que l on comptait était anecdotique, seule l opération logique importait. On s est aperçu depuis que les opérations piagétiennes sont encore trop complexes pour tout expliquer, elles sont en partie remises en cause. B. Des remises en cause 2

3 - La plupart des animaux serait capable de compter. Ils disposeraient d un «accumulateur» : un compteur approximatif qui permettrait de percevoir, de mémoriser et de comparer des grandeurs numériques. - Les travaux de Karen Wynn sur des nourrissons montrent des capacités arithmétiques bien plus précoces que celles décrites dans les stades piagétiens, il semblerait que ce soit la formulation des questions de Piaget qui posent problèmes aux enfants. Des effets distracteurs et d inhibition de la pensée pourraient être en partie la cause des échecs des jeunes enfants. C. Notre héritage numérique - L estimation des quantités est commune aux animaux et aux bébés. - La subitisation est la capacité à percevoir sans compter les petites quantités, elle fonctionnerait comme la vision logographique des mots. - L effet de compression : la représentation de la file numérique que nous possédons dans notre cerveau serait de forme logarithmique et liée au sens de l écriture. - L effet de distance : la lecture de nombres a un coup attentionnel on comparerait plus rapidement deux quantité éloignées que proches l une de l autre. - Les nombres entiers restent les nombres les plus faciles à comprendre car ils sont en résonance avec des représentations mentales innées ce qui explique qu ils puissent être compris par des enfants très jeunes. D. Les apprentissages numériques élémentaires - Karen Fuson a mis en évidence 4 niveaux d organisation : - 1) Le chapelet : l enfant récite une suite de nombres dans un ordre souvent fluctuant. - 2) La chaine non sécable : cette fois les mots sont différenciés mais l enfant reste obligé de commencer au «un». - 3) La chaine sécable : L enfant devient capable de commencer à compter à partir d une borne inférieure jusqu à une borne supérieure. - 4) La chaine terminale : les mots de la séquence sont devenus des termes dénombrables permettant de pouvoir estimer des différences entre les nombres. - Rachel Gelman a observé que le développement des activités de comptage sont au nombre de 5 : 1) L adéquation unique correspond à la mise en correspondance de chaque objet décompté avec une seule «étiquette verbale». 2) L ordre stable : la suite des étiquettes verbales (un, deux, trois,...) est fixe et immuable. 3) Le principe cardinal : la dernière étiquette formulée énonce le cardinal de la collection. 4) L abstraction : l hétérogénéité ou l homogénéité des objets composant la collection n a pas d incidence sur le dénombrement. 5) La non pertinence de l ordre : l amorce du décompte à un point ou à un autre de la collection n a pas d incidence sur les résultats. - Pour Gelman, ces principes seraient innés pour Fuson, les niveaux d organisation feraient l objet d apprentissages. - Par quoi commencer? Il y a toujours débat entre les approches piagétiennes et les approches cognitivistes : de manière générale, est-ce qu il faut travailler la file numérique, le comptage en premier ou bien est-ce qu il faut d abord apprendre à décomposer les nombres. Brissiaud met en garde contre l apprentissage trop systématique de la file numérique et une présentation trop souvent ordinale des nombres. Cependant toutes les recherches montrent une corrélation forte entre la connaissance de la file numérique à 5 ans et les performances en mathématiques à 8 ans. - Pour J. Bouchand, connaitre la chaine numérique n est pas un handicap, mais peut-être faut-il l enseigner autrement sans donner trop d importance à l aspect ordinal des nombres. IV. LA NUMERATION La numération renvoie à deux questions : celle du langage et celle de la représentation. A. Le langage des nombres - La numération de mots : Dans son «Histoire universelle des chiffres» George Ifrah a montré que tous les peuples ont développé un langage des nombres. Souvent les parties du corps ont servi de noms aux premiers nombres mais très vite il a fallu inventer une numération qui n oblige pas à avoir autant de mots que de nombres. Il y a eu des regroupements de mots, de signes et l utilisation du code additif puis multiplicatif. 3

4 - La numération de signes : Avec l invention du système décimal et de ses quatre spécificités - emploi de dix signes distincts, appui sur la base dix, règle de position des chiffres et invention du zéro - la représentation des nombres devient un système abouti. - Cette numération décimale est devenue universelle, mais elle n est pas sans difficulté pour les élèves à cause de la complexité de sa conception. - Le transcodage : Le problème le plus fréquent est la compréhension des opérations de transcodage qui permettent le passage de la numération verbale à la numération en chiffres et vice versa. Le système numérique verbal du français ne facilite pas le passage de l un à l autre. R. Brissiaud a tenté une ouverture, mais comme pour l orthographe, le poids de la culture parait empêcher de simplifier le système français. - L enjeu est donc de comprendre le système décimal avec deux notions clés qui sont la compréhension de la numération de position et l utilité du zéro. Code verbal Code digital Les signes 28 mots 10 signes La base Pas de base marquée Base 10 Le type de structure Parfois additif, parfois multiplicatif, Multiplicatif et additif parfois mixte La valeur positionnelle Certaines font sens : vingt quatre/quatre-vingt d autres pas trois cent douze/douze trois cent Toute succession de chiffres produit un nombre unique Le développement Présences d algorithmes locaux mais Constant algorithmique pas généraux Le zéro Pas d oralisation Utilisation systématique et fondamentale L ordre de grandeur Pas de relation avec le nombre de mots : Quatre-vingt-dix-neuf mille B. La représentation des nombres Est abordé ici la valeur cardinale des nombres. - Le modèle du triple code (S. Dehaene) : Le nombres de chiffres indique la grandeur : Représentation sémantique ou analogique Les représentations intermédiaires donnent du sens Le code verbal «trente sept» transcodage Le code digital «37» - Les activités scolaires sur les nombres sont principalement du transcodage entre le code verbal et le code digital. Un certain nombre d élèves n arrivent pas à mettre de valeur sémantique sur les écritures verbales ou chiffrées. Pour J. Bouchand, un des enjeux de la remédiation est de construire toutes représentations intermédiaires qui permettraient de comprendre le nombre cardinal en créant de nouveaux niveaux intermédiaires lorsque c est nécessaire. - Pour donner du sens, de multiples représentations intermédiaires sont disponibles: * Configuration visuelles : les doigts, les constellations * Les listes : les frises, les échelles, les tableaux de rangement C,D,U * Les outils : le matériel de base dix, les compteurs, les bouliers, les abaques, les règles * La ligne numérique. 4

5 CONCLUSION En guise de conclusion, J Bouchand livre une liste de priorités et des compétences à évaluer. - Elaborer une progression pour la remédiation. - Importance de l automatisation des compétences de bas niveaux : transcodage, tables. - Travailler la représentation de la valeur numérique qui n est pas assez présentée en classe : L estimation et l évaluation de la quantité. Les approximations et le vocabulaire qui va avec ; entre, plus près La construction des lignes numériques. L anticipation des résultats. - Des compétences à évaluer dans différents domaines : Construction du nombre - Comptine numérique - Estimation des quantités - Dénombrement - Comparaison - Adaptation à la réalité Ecritures des nombres Calcul Logique raisonnement - Compréhension du système numérique - Lecture des nombres - Ecriture des nombres - Activités de transcodage - Mental, posé, instrumenté, approché - Opérations : écriture sens, technique, - Tables - Opérations cognitives (appariement, comparaison, sériation, catégorisation) - Mise en relation (algorithme, chronologie, causalité, transformation) - Raisonnement (inductif, déductif, analogique) - Des sites : Une bibliographie : La bosse des maths Stanislas Dehaene édt Odile Jacob L acquisition du nombre Michel Fayol édt Que sais-je? PUF Premiers pas vers les maths Rémi Brissiaud - édt RETZ Apprendre à calculer à l école - Rémi Brissiaud - édt RETZ Enseignement et apprentissage des mathématiques: Que disent les recherches psychopédagogiques? - sous la direction de Marcel Crahay - édt De Boëck - Complément à la conférence, le calcul mental qui est le meilleur prédicteur de la réussite au collège : voir le diaporama de la conférence sur le blog AME79 : Autre diaporama de J Bouchand sur la dyscalculie : «Les dyscalculies en question» 5