Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions

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1 Les modèles graphiques probabilistes Réseaux causaux possibilistes pour le traitement des interventions Salem ENFERHT CRIL, Lens Outils importants pour la représentation et l analyse des informations incertaines dans les systèmes de base de connaissances 2 Réseaux ayésiens Composante «symbolique» Structure graphique Graphe acyclique orienté (DG) Influence et Indépendance Composante quantitative distributions de probabilités Incertitude Indépendance Réseaux bayésiens (R) Noeuds représentent Les variables Graphe acyclique orienté Liens représentent les relations causales + Distributions de probabilité conditionnelles locales 3 4 1

2 Dépendance Observations vs. Interventions Si on observe que le est mouillé P(= «mouillé»)=1 est-ce que P() ou? Oui 6 Causalité Intervention: interne ou externe? Une intervention est d origine externe On mouille le P(= «mouillé»)=1 est-ce que P() ou? Non 7 8 2

3 Réseau bayésien causal Réseau bayésien causal Réseau bayésien causal (RC) est : un réseau bayésien, mais : Un arc X Y existe ssi X est une cause directe de Y rc Lien de causalité P(X Y) signifie que non seulement il existe une relation entre X et Y mais que Y est une cause X 10 Réseau bayésien causal Intervention Un réseau bayésien causal prend un sens uniquement si on effectue des interventions. «Le est mouillé» => observation => conditionnement probabiliste: P(ω) P(ω =a) «On mouille le» => intervention ou action Comment modéliser les interventions dans un R? Pearl (1992): Une action qui force à prendre la valeur a est notée do(=a) ou do(a). P(ω) P(ω do(=a))

4 près intervention sur rroseur (), Intervention Les croyances sur les causes directes de ne doivent pas être changées P(=«on»)? rroseur Saison do(=«mouillé») Représentation de l intervention (1): «Mutilation du graphe» Supprimer les liens vers le nœud concerné Toutes les causes autres que celle de l intervention sont exclues Conditionnement sur le graphe modifié (mutilé). do(c=c) C E D 13 Les croyances sur et ne changent pas 14 Représentation de l intervention (1): «Mutilation du graphe» Calcul de l effet d une action Saison Saison rroseur rroseur Cas : pas de variables non-observées (non-mesurées) ction simple do(=a i ') Effet de l intervention sur la jointe est: P(a j u j ) si a i = a i ', P(a 1,,a i,, a n do(a i '))= 0 sinon Observation : =«On» Conditionnement classique ction : do(=«on») - supprimer les arcs entrant vers - Conditionnement dans le nouveau graphe

5 Calcul de l effet d une action Saison Saison rroseur rroseur P(SPH)= P(S) P( S) P(P S) P(H P) P(SPH)= P(S) P(P S) P(H P) utres représentations équivalents des interventions lgo de propagation sur les interventions = lgo de propagation sur les observations 17 Représentation de l intervention (2): «ugmentation du graphe» Exemple = graphe augmenté Do(=a ) Pour toute variable où il peut y avoir interventions, ajouter un nœud parent DO DO est une variable qui prend valeur dans {do(=a ),rien} pour tout a instance de. «rien» signifie «pas d actions». U {U DO } oui 0,8 non 0,2 DO DO C C DO P(a u )= P(a u ) si DO =rien 1 si DO =do(a') et a'=a 0 si DO =do(a') et a' a Gazon Herbe mouillé oui 0,9 mouillé non 0,3 sec oui 0,1 sec non 0,

6 ? rien do(mouillée) do(sèche) DO H Exemple = graphe augmenté oui 0,8 non 0,2 Exemple = graphe augmenté Si il y a intervention do(=mouillé) rien 0 do(mouillée) 1 do(sèche) 0 DO H oui 0,8 non 0,2 Gazon DO_H Herbe,DO_H mouillé oui rien 0,9 mouillé oui do(mouillé) 1 mouillé oui do(sec) 0 mouillé non rien 0,3 mouillé non do(mouillé) 1 mouillé non do(sec) 0 sec oui rien 0,1 sec oui do(mouillé) 1 sec oui do(sec) 0 sec non rien 0,7 sec non do(mouillé) 1 sec non do(sec) 0 21 on obtient: Gazon DO_H P(Herbe,,DO_H) mouillé oui rien 0 mouillé oui do(mouillé) 0,8 mouillé oui do(sec) 0 mouillé non rien 0 mouillé non do(mouillé) 0,2 mouillé non do(sec) 0 sec oui rien 0 sec oui do(mouillé) 0 sec oui do(sec) 0 sec non rien 0 sec non do(mouillé) 0 sec non do(sec) 0 Gazon DO_H Herbe,DO_H mouillé oui rien 0,9 mouillé oui do(mouillé) 1 mouillé oui do(sec) 0 mouillé non rien 0,3 mouillé non do(mouillé) 1 mouillé non do(sec) 0 sec oui rien 0,1 sec oui do(mouillé) 0 sec oui do(sec) 1 sec non rien 0,7 sec non do(mouillé) 0 sec non do(sec) 1 22 Graphe augmenté Graphe augmenté: propagation Objectif : Graphe augmenté rbre de jonction Inférence sur interventions Problème : quelle distribution a priori attribuer aux nœuds DO i (à l état initial)? Ce que l on veut exprimer est: Par défaut il n y a pas d intervention Qui peut-être remise en cause s il y a intervention

7 Graphe augmenté: propagation Graphe augmenté: propagation Par défaut il n y a pas d intervention si on attribue 1 à P(DO i =«rien») On ne peut plus après avoir DO i =«a i» (on est en présence d événement impossible) Donc il faut faire une initialisation avec des probabilité positive sur chacune des instance de DO i Par exemple, la solution de distribution uniforme sur la variable DO i P(DO i =«rien»)=1/k+1 Pour tout ai, P(DO i =a i )=1/k Exemple : probabilité Exemple : probabilité Observation =b1 b2 0 rien 0,333 do(a1) 0,333 do(a2) 0,333 DO b2 0 P() a1 b1 0,6 a1 b2 0 a2 b1 0,4 a2 b2 0 a1 b1 0,6 a1 b2 0,3 a2 b1 0,4 a2 b2 0,7 DO P(,,DO) a1 b1 rien 0,2 a1 b1 do(a1) 0,333 a1 b2 rien 0 a1 b2 do(a1) 0 a2 b1 rien 0,133 a2 b1 do(a2) 0,333 a2 b2 rien 0 DO,DO a1 b1 rien 0,6 a1 b1 do(a1) 1 a1 b2 rien 0,3 a1 b2 do(a1) 1 a2 b1 rien 0,4 a2 b1 do(a2) 1 a2 b2 rien 0,7 a2 b2 do(a2) 1 P(=a1)=0.6 P(=a2)=0.4 a2 b2 do(a2) 0 P(=a1)= P(=a2)= => P() =/= P G ()

8 Exemple : probabilité Exemple : probabilité rien 0,333 do(a1) 0,333 do(a2) 0,333 DO b2 0 rien 1 do(a1) 0 do(a2) 0 DO b2 0 Pas d intervention DO,DO Pas d intervention DO,DO a1 b1 rien 0,6 a1 b1 rien 0,6 DO P(,,DO) a1 b1 rien 0,2 a1 b1 do(a1) 0,333 a1 b2 rien 0 a1 b2 do(a1) 0 a2 b1 rien 0,133 a1 b1 do(a1) 1 a1 b2 rien 0,3 a1 b2 do(a1) 1 a2 b1 rien 0,4 a2 b1 do(a2) 1 a2 b2 rien 0,7 a2 b2 do(a2) 1 DO P(,,DO) a1 b1 rien 0,6 a1 b1 do(a1) 0 a1 b2 rien 0 a1 b2 do(a1) 0 a2 b1 rien 0,4 a1 b1 do(a1) 1 a1 b2 rien 0,3 a1 b2 do(a1) 1 a2 b1 rien 0,4 a2 b1 do(a2) 1 a2 b2 rien 0,7 a2 b2 do(a2) 1 a2 b1 do(a2) 0,333 a2 b1 do(a2) 0 a2 b2 rien 0 a2 b2 rien 0 a2 b2 do(a2) 0 a2 b2 do(a2) 0 P(=a1)= P(=a2)= => P() =/= P G () P(=a1)= 0.6 P(=a2)= 0.4 => P() = P G () Graphe augmenté: propagation On peut faire une étape de transformation vers arbre de jonction, mais avant de propager, il faut connaître toutes les interventions. Réseaux causaux possibilistes Solutions possibles dans d autres cadres de l incertain

9 Motivations L opérateur de base «do» a été introduit dans le cadre des OCF (Fonctions Conditionnelles Ordinales) La notion de causalité a été motivée en utilisant uniquement la structure de graphe Ex: Une intervention sur une variable ne doit pas changer nos croyances sur ses causes directes. Il est clair que l intervention et l observation ne doivent pas être confondues. => donc il est important d avoir un cadre qui permet, en théorie de possibilité, de modéliser les interventions. Réseau causal possibiliste Réseau causal possibiliste (RCP) est: un réseau possibiliste, mais : Un arc X Y existe ssi X est une cause directe de Y rc Lien de causalité π(x Y) signifie que non seulement il existe une relation entre X et Y mais que Y est une cause de X Un réseau bayésien causal prend un sens uniquement si on effectue des interventions Représentation de l intervention (1): «Mutilation du graphe» Supprimer les liens vers le nœud concerné Toutes les causes autres que celle de l intervention sont exclues Conditionnement sur le graphe modifié (mutilé) selon le type de réseaux (basés sur le min ou sur le produit) Représentation de l intervention (2): «ugmentation du graphe» Do(=a ) Pour toute variable où il peut y avoir interventions, ajouter un nœud parent DO DO est une variable qui prend valeur dans {do(=a ),rien} pour tout a instance de. «rien» signifie «pas d actions». DO U {U DO } DO do(c=c) C E D Les croyances sur et ne changent pas: π()=π ()=π( do(c=c)) π()=π ()=π( do(c=c)) π ( a u) ' π( a u) = 1 0 sido = rien DO C ' ' sido = do( a )et a = a ' ' sido = do( a )et a a C

10 Graphe augmenté: avantages Graphe augmenté : propagation rien? do(a1)? do(a2)? DO Problème: quelle distribution a priori attribuer aux nœuds DO (à l état initial)? Ce que l on veut exprimer est: - pas d intervention par défaut - possibilité de la remise en cause s il y a intervention b2 0,4 DO,DO a1 b1 rien 1 a1 b1 do(a1) 1 a1 b2 rien 0,6 a1 b2 do(a1) 1 a2 b1 rien 0,5 a2 b1 do(a2) 1 a2 b2 rien 1 a2 b2 do(a2) 1 En probabilité: Pas d intervention par défaut => i, P(DO i =«rien»)=1 On ne peut plus après avoir DO i =«a i» (évènement impossible) Par exemple, la solution de distribution uniforme sur la variable DO i P(DO i =«rien»)=1/ D i +1 a i, P(DO i =a i )=1/ D i Graphe augmenté possibiliste: propagation Solution: cadre possibiliste i, distributions de possibilité locales au niveau de DO i : π(do i =rien) 1 a i instance de i, π(do i =do(ai )) ε où α est le plus bas degré de possibilité attribué (toutes variables considérées) ε min ai (π(a i u i )) i, DO i =rien est considérée par défaut comme étant la situation la plus normale a i, DO i =do(ai ) est considérée comme étant l évènement le moins normal et le moins préféré dans le graphe évitant ainsi d influencer nos connaissances initiales sur le reste des variables Graphe augmenté possibiliste: propagation Distributions par défaut équivalentes sur les variables de base ω Π G (ω)= π(ω) En absence d intervention, la distribution de possibilité associée au graphe augmenté est égale à la distribution de possibilité associée au grahe initial

11 rbres de jonction augmentés Les nœuds ajoutés DO i au graphe initial G sont aussi ajoutés à l arbre de jonction J Construction de J à partir du graphe augmenté G : problématique! Nbre de nœuds = Nbre nœuds dans G+Nbre nœuds ajoutés Solution: jouter les nœuds DO i lors de l étape d initialisation de J rbres de jonction augmentés Initialisation: Pour chaque clique C i dans J: ω, π Ci (ω) 1 Pour chaque i dans G, choisir une clique C i contenant i U i Si i est un nœud qui peut être concerné par une intervention: jouter le nœud DO i à C i π Ci π Ci. π(a i u i,do i ). π(do i ) Sinon π Ci π Ci. π(a i u i ) rbres de jonction augmentés La jointe résultante dans J est équivalente à celle du graphe augmenté G: ω,do i, π J (ω,do i )=π G (ω,do i ) Représentation de l intervention (2): «ugmentation du graphe» où do i est une instance quelconque des nœuds DO i 43 11

12 Représentation de l intervention (2): «ugmentation du graphe» Pour toute variable où il peut y avoir interventions, ajouter un nœud parent DO DO est une variable qui prend valeur dans {do(=a ),rien} pour tout a instance de. «rien» signifie «pas d interventions». U {U DO } DO DO π ( a u) ' π( a u) = 1 0 sido = rien DO C ' ' sido = do( a )et a = a ' ' sido = do( a )et a a C Inférence dans des graphes augmentés possibilistes : Problème de constructions d arbres de jonction pour chaque intervention Inférence dans les réseaux possibilistes Observation C=c Effet de cette observation sur V\{C}? π( C=c), π( C=c), => Inférence Propagation sans intervention dans les RP R simplement connectés : polynomial R à connexions multiples : NP-complet Transformation graphique : graphe initial en un arbre de jonction (moralisation - triangulation) E D C C C CD C 1 S 12 C 2 S D 23 Variables en commun (séparateur) C 3 clique DE

13 Graphe augmenté: retour en probabilités Graphe augmenté : propagation rien? do(a1)? do(a2)? DO Problème: (ignorance sur la présence ou non d interventions) quelle distribution a priori attribuer aux nœuds DO (à l état initial)? Ce que l on veut exprimer est: - pas d intervention par défaut - possibilité de la remise en cause s il y a intervention b2 0,4 DO,DO a1 b1 rien 1 a1 b1 do(a1) 1 a1 b2 rien 0,6 a1 b2 do(a1) 1 a2 b1 rien 0,5 a2 b1 do(a2) 1 a2 b2 rien 1 a2 b2 do(a2) 1 49 En probabilité: Pas d intervention par défaut => i, P(DO i =«rien»)=1 On ne peut plus après avoir DO i =«a i» (évènement impossible) La solution de distribution uniforme sur la variable DO i n est pas satisfaisante non plus. P(DO i =«rien»)=1/ D i +1 a i, P(DO i =a i )=1/ D i Graphe augmenté (probabilités) Graphe augmenté (probabilités) Observation =b1 b2 0 rien 0,333 do(a1) 0,333 do(a2) 0,333 DO b2 0 Distribution jointe P P() a1 b1 0,6 a1 b2 0 a2 b1 0,4 a2 b2 0 P(=a1)=0.6 P(=a2)=0.4 a1 b1 0,6 a1 b2 0,3 a2 b1 0,4 a2 b2 0,7 Pas d intervention Distribution jointe P G DO P(,,DO) a1 b1 rien 0,2 a1 b1 do(a1) 0,333 a1 b2 rien 0 a1 b2 do(a1) 0 a2 b1 rien 0,133 a2 b1 do(a2) 0,333 a2 b2 rien 0 a2 b2 do(a2) 0 P(=a1)= P(=a2)= DO,DO a1 b1 rien 0,6 a1 b1 do(a1) 1 a1 b2 rien 0,3 a1 b2 do(a1) 1 a2 b1 rien 0,4 a2 b1 do(a2) 1 a2 b2 rien 0,7 a2 b2 do(a2) 1 => P() P G ()

14 Graphe augmenté possibiliste: propagation 2 ème solution: π(do i =rien) 1 a i instance de i, π(do i =do(ai )) α où α est le plus bas degré de possibilité attribué (toutes variables considérées) i, DO i =rien est considérée par défaut comme étant la situation la plus normale a i, DO i =do(ai ) est considérée comme étant l évènement le moins normal et le moins préféré dans le graphe évitant ainsi d influencer nos connaissances initiales sur le reste des variables FIN