Feuille de TD n o 4. Dénombrement

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1 Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Feuille de TD n o 4. Dénombrement πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Exercice 1 Vite! Calculer, sans calculatrice : ( ) 7 moins de 10 secondes. ( ) 11 moins de 0 secondes. 8 ( ) 10 moins de 30 secondes. 4 Exercice Applications du cours Soit E = [1, 1]. Donner une expression numérique : 1. du nombre de 3-listes de E. du nombre de 3-listes sans répétition d'éléments de E. 3. du nombre de combinaisons de 3 éléments de E. 4. du nombre de permutations de E 5. du nombre de sous-parties de E. Des situations concrètes Exercice 3 Santé! N personnes trinquent autour d'une table ronde. Combien de tchin entendra t-on? Exercice 4 Anagrammes 1. Combien existe t-il d'anagrammes (qui gurent ou non au dictionnaire) du mot LETCHI?. Même question pour le mot TENNIS. 1

2 3. Même question pour le mot ANACONDA. Exercice 5 Flipper Une boule tombe dans un ipper comme représenté ci-contre. La boule est soumise à la gravité et par conséquent ne peut que se déplacer de haut en bas. Combien de chemins possibles peut-elle emprunter entre l'entrée et la sortie? Exercice 6 Tchou-tchou 1. On dispose de 4 wagons noirs et wagons blancs. Combien peut-on faire de trains diérents? On précise que pour un train il n'y a pas de sens (ni queue ni tête). Par exemple les deux dessins suivants représentent deux fois le même train :. Même question avec 4 wagons noirs et 3 wagons blancs. 3. Même question avec 5 wagons noirs et 5 wagons blancs. Exercice 7 Rangement de boules On dispose de 5 boules rouges, 5 boules jaunes et 5 boules vertes, chaque série étant numérotée de 1 à 5. On doit les ranger dans un ensemble de 15 boîtes numérotées de 1 à Combien y'a t-il de rangements diérents en tout?. Pour combien de rangements a t-on : (a) dans l'ordre : 5 rouges, 5 jaunes, 5 vertes?

3 (b) la boule rouge portant le numéro 1 dans la boîte 7? (c) la première boîte contenant une rouge est la boîte numéro 7? Exercice 8 Tirage de boules On tire successivement et avec remise 5 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées. On appelle résultat la liste ordonnée des 5 nombres tirés. 1. Combien de résultats diérents peut-on obtenir en tout?. Combien de résultats formés de 5 nombres distincts peut-on obtenir? 3. Combien de résultats formés uniquement des nombres 1 et peut-on obtenir? 4. Combien de résultats formés de trois et deux 1 peut-on obtenir? 5. Combien de résultats contenant exactement chires diérents peut-on obtenir? Exercice 9 Formule de Vandermonde Une classe contient a lles et b garçons. Le délégué doit constituer une équipe pour un sport mixte qui se joue à n joueurs. 1. Combien y'a t-il d'équipes possibles en tout?. Pour k xé, combien y'a t-il d'équipes possibles contenant exactement k lles? 3. A l'aide des questions 1. et., montrer la formule de Vandermonde : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b a b a b a b a b = n n 0 n n 1 0 n 4. En déduire que pour tout n N, on a ( ) n = n 0 1. n Vérier cette relation par un exemple sur le triangle de Pascal. 3

4 Exercice 10 Poker On appelle main un ensemble de 5 cartes qu'on tire simultanément dans un jeu de 5 cartes. 1. Combien existe t-il de mains diérentes?. Combien existe t-il de mains qui contiennent un carré? 3. Combien existe t-il de mains qui contiennent un brelan (mais pas un full ni un carré)? 4. Combien existe t-il de mains qui contiennent un full? 5. Combien existe t-il de mains qui contiennent une suite (5 valeurs consécutives, l'as peut être la plus faible ou la plus forte)? 6. Combien existe t-il de mains qui contiennent une suite couleur (5 valeurs consécutives de la même couleur)? 7. Combien existe t-il de mains qui contiennent une couleur (5 cartes de la même couleur)? 8. Combien existe t-il de mains qui contiennent une double paire? Exercice 11 Rangement de livres On souhaite ranger sur une étagère : 4 livres de mathématiques, 6 livres de physique, 3 livres de biologie. De combien de façons peut-on eectuer ce rangement : 1. si les livres doivent être groupés par matières?. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés? 4

5 Des exercices abstraits Exercice 1 Compter des sous-parties Soit E un ensemble et A E. Combien y a t-il 1. de sous-parties de E disjointes de A?. de sous-parties de E qui contiennent A? 3. de sous-parties de E contenant un et un seul élément de A? 4. de sous-parties de E contenant au plus deux éléments de A? Exercice 13 Compter des applications Soient E = [1, n] et F = [1, p]. Exprimer en fonction de n et p : 1. Le nombre d'applications de E vers F,. Le nombre d'applications injectives de E vers F, 3. Le nombre d'applications non injectives de E vers F, 4. Le nombre d'applications constantes de E vers F, 5. Le nombre d'applications strictement croissantes de E vers F. 6. Plus dicile : le nombre d'applications croissantes de E vers F. Exercice 14 Compter des permutations 1. Combien y a-t-il de permutations (x 1, x,..., x 8 ) de E = [1, 8] telles que pour tout n E, (n pair) (x n pair)?. Combien y a-t-il de permutations (x 1, x,..., x 1 ) de E = [1, 1] telles que pour tout n E, (n multiple de 3) (x n pair)? 5