Extraits de sujets d'examens

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1 NOM:... PRENOM:... Date:... Classe:... Section:... Extraits de sujets d'examens Thème: Probabilités Table des matières EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C Session 2012)...2 EXERCICE 2007_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C Session 2007)...3 EXERCICE 2005_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C Session 2005)...4 EXERCICE 2006_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B Session 2006)...5 EXERCICE 2006_CPI: (Extrait du sujet CPI Session 2006)...6 EXERCICE 2005_CPI: (Extrait du sujet CPI Session 2005)...7 EXERCICE 2006_Gr_A: (Extrait du sujet Groupement A Session 2006)...8 EXERCICE Hold-up: Probabilités et hold-up...9

2 EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C Session 2012) Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Une usine fabrique des pièces en bois dont la cote principale C doit être égale à 15 mm. Partie A. Ajustement affine (...) Partie B. Probabilités Dans cette usine, on maintient dorénavant le taux d'humidité du bois à une valeur constante. Les pièces en bois sont fabriquées en grande série dans deux ateliers SUD et NORD. L'atelier SUD produit 100 pièces par jour et l'atelier NORD produit 400 pièces par jour. Après fabrication, on constate que 2% des pièces produites par l'atelier SUD et 3% de celles de l'atelier NORD présentent un défaut de finition. À la fin de la journée, on choisit au hasard une pièce dans la production totale de la journée. Calculer la probabilité que cette pièce ne présente aucun défaut de finition.

3 EXERCICE 2007_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C Session 2007) Les partie A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Une entreprise produit en grande série trois modèles de stylos notés M 1, M 2 et M 3. Un stylo peut-être conforme ou non conforme. Partie A. Probabilités Dans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèle M 1. Un des stocks est constitué de stylos du modèle M 1, provenant de deux chaînes de production C 1 et C 2. Ces chaînes produisent respectivement 40% et 60% du stock. On constate que la chaîne C 1 produit 6% de stylos non conformes. On prélève au hasard un stylo dans ce stock. 1. Quelle est la probabilité de prélever au hasard un stylo provenant de la chaîne C 1 et non conforme? 2. On appelle t le pourcentage de stylos non conforme produit par la chaîne C 2. Déterminer t pour que la probabilité de prélever au hasard un stylo non conforme dans le stock de stylos du modèle M 1 soit égale à 0,09. Partie B. Loi binomiale et approximation (...) Dans cette partie, on s'intéresse aux stylos du modèles M 2. Partie C. Test d'hypothèse (...) Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des stylos du modèles M 3.

4 EXERCICE 2005_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C Session 2005) Les parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Une entreprise produit en série des axes de moteurs électriques. Cette entreprise possède trois machines, que l'on appellera E, F et G. Chaque axe est produit par l'une de ces trois machines. Partie A. Probabilités Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à Les machines E, F et G produisent respectivement 25%, 35% et 40% de la production totale. On constate, un jour donné de production, que les machines E, F et G produisent respectivement 1,5%, 2,5% et 3% d'axes défectueux. Montrer que la probabilité de prélever au hasard un axe défectueux dans la production totale de l'entreprise de ce jour est de 0,0245. Partie B. Ajustement affine (...

5 EXERCICE 2006_Gr_B: (Extrait du sujet Groupement B Session 2006) Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : des chaudières dites «à cheminée», des chaudières dites «à ventouse». Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A. Ajustement affine (...) Partie B. Probabilités conditionnelles L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudière à ventouse. Dans ce lot, 1% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5% des chaudières à ventouse sont défectueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevée. On considère les événements suivants : A : «la chaudière est à cheminée.» B : «la chaudière est à ventouse.» D : «la chaudière est défectueuse.» 1. Déterminer P (A), P (B), P (D/A) et P (D/B). 2. Calculer P (D A) et P (D B) 3. En remarquant que D = (D A) (D B) et que les évènements (D A) et (D B) sont incompatibles, calculer P (D) et P ( D ).

6 EXERCICE 2006_CPI: (Extrait du sujet CPI Session 2006) Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Une usine fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces métalliques pour l'industrie. Partie A. Probabilités conditionnelles. Les pièces sont produites dans deux ateliers appelées «atelier 1» et «atelier 2». L'atelier 1 produit chaque jour 250 pièces et l'atelier 2 produit chaque jour 750 pièces. On admet que 1% des pièces produites par l'atelier 1 sont défectueuses et que 2% des pièces produites par l'atelier 2 sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des 1000 pièces produites par les deux ateliers pendant une journée. Toutes les pièces ont le même probabilité d'être prélevées. On considère les événements suivants : A : «la pièce prélevée provient de l'atelier 1», B : «la pièce prélevée provient de l'atelier 2», D : «la pièce prélevée est défectueuse». 1. Déduire des informations figurant dans l'énoncé P(A), P(B), P(D/A) et P(D/B). (On rappelle que P(D/A) = P A (D) est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.) 2. Calculer P(D A) et P(D B). 3. En déduire la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse. Partie B. Loi binomiale (...)

7 EXERCICE 2005_CPI: (Extrait du sujet CPI Session 2005) Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans le cadre d'accord sur la formation professionnelle, une grande entreprise a proposé à ses personnels un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de conception industrielle. Partie A. Lois de probabilités (...) Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à Partie B. Probabilités conditionnelles. Dans cette entreprise quarante cinq pour cent (45%) du personnel a un niveau de qualification supérieur ou égal à «bac + 2». L'évènement A : «une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a un niveau supérieur ou égale à bac + 2» a donc pour probabilité P(A) = 0,45. On rappelle que l'événement E : «une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage» a pour probabilité P(E) = 0,3. Enfin, 35% des personnes dont le niveau de qualification est supérieur ou égal à «bac + 2» ont suivi le stage. Ce qui permet d'en déduire la probabilité conditionnelle : P A (E) = 0,35, ou P(E/A) = 0, Calculer la probabilité de l'évènement : «une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage et a un niveau de qualification supérieur ou égale à bac + 2». 2. Calculer la probabilité de l'évènement : «une personne dont le nom a été tiré au hasard parmi les noms des personnes ayant suivi le stage a un niveau supérieur ou égal à bac + 2».

8 EXERCICE 2006_Gr_A: (Extrait du sujet Groupement A Session 2006) Partie A. Probabilités conditionnelles Une entreprise produit en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabriqué peut présenter deux défauts que l'on appellera défaut a et défaut b. On prélève un appareil au hasard dans la production de la journée. On considère les événements suivants: A : «L'appareil présente le défaut a.» B : «L'appareil présente le défaut b.» Les probabilités des évènements A et B sont P(A) = 0,03 et P(B) = 0,02. On suppose que ces deux évènements sont indépendants. 1. Calculer la probabilité de l'évènement E 1 : «L'appareil présente le défaut a et le défaut b». 2. Calculer la probabilité de l'évènement E 2 : «L'appareil est défectueux, c'est à dire qu'il présente au moins un des deux défauts». 3. Calculer la probabilité de l'évènement E 3 : «L'appareil ne présente aucun défaut». 4. Sachant que l'appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu'il présente les deux défauts? Le résultat sera arrondi au millième.

9 EXERCICE Hold-up: Probabilités et hold-up Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondir à A la suite d'un hold-up au cours duquel le bijoutier a eu le temps d'avertir la police à l'insu des trois malfrats qui commettaient le vol, la police a pu prendre en filature la camionnette dans laquelle embarquèrent nos trois malfrats jusqu'à un entrepôt. Les trois malfrats descendirent de la camionnette avec leur butin et pénétrèrent dans l'entrepôt. Une fois le périmètre de sécurité mis en place, la descente de police permit d'arrêter non pas trois personnes mais huit individus, tous fichés au grand banditisme. Impossible de voir l'un des huit balancer ses compères responsables du vol. Plutôt que d'avoir à mener huit interrogatoires serrés, on décida de procéder autrement. On choisit au hasard trois personnes parmi les huit individus suspects. On s'intéresse aux probabilités d'obtenir un ou plusieurs coupables du hold-up parmi ce choix de trois personnes. On appelle les événements: S (comme succès) l'événement: «la personne choisie est coupable du vol de bijou» E (comme échec) l'événement: «la personne choisie est innocente dans le vol de bijou» 1. On s'intéresse au choix de la 1 ière personne parmi les huit individus de départ. a) Quelle est la probabilité de l'événement S? b) Quelle est la probabilité de l'événement E? c) Sur l'arbre de probabilités situé sur la page suivante, indiquer les probabilités liées au choix de la 1 ière personne. 2. En raisonnant à la fois sur la nature du tirage (avec ou sans remise?) et en faisant attention aux personnes choisis aux tirages précédents, compléter l'arbre de probabilités situé sur la page suivante. Indiquer également les numéros des chemins (colonne N ). 3. En appliquant les propriétés des arbres de probabilités, donner: a) La probabilité d'avoir choisi «trois personnes innocentes» du vol de bijou commis. b) La probabilité d'avoir choisi «au moins deux personnes sur trois» coupables du vol de bijou.

10 Arbre de probabilités associé à l'expérience aléatoire Choix 1 ere personne 2 nde personne 3 ième personne N Probabilité X = k Début