Situation-problème algébrique

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1 Mathématique Deuxième secondaire Situation-problème algébrique Nom: Groupe: Devoirs À faire pour le Théorie Exercices / Devoirs Cours 1 P.2 # 1 P # 1 et 2 Cours 2 P.3 # 2 P # 3 et 4 Cours 3 P.4-6 # 3-4 P # 5 à 9 Cours 4 P.6-7 # 5 P # 10 à 13 Cours 5 P.8-9 #6 P # 14 Cours 6 Mini-test ---- P # 15 et 16 Cours P # 17 à 19 Cours P Sit-prob Cours 9 Examen

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3 1- Isoler la variable Les opérations inverses se font dans l ordre de priorité inverse Parfois, on trouve des termes contenant des variables dans les 2 de l équation (à et à ). Résolution d équation algébrique - Étapes à suivre 1- SIMPLIFIER chacun des membres au maximum. 2- REGROUPER les termes ayant des du côté du plus gros (opérations inverses + ou -) 3- ISOLER la en effectuant les opérations inverses en ordre de priorité inverse : 1) + et 2) x et 3) Exposant et Résous les équations suivantes : a) 9 + 2x = 5x - 3 b) 5 6x 3 3 = 4x + 2 2

4 2- Dénominateur commun Lorsque l on a des fractions irréductibles, il faut : 1- Écrire tous les termes séparément sous forme de. 2- Trouver le dénominateur commun et faire les fractions. 3- tous les dénominateurs. 4- Résoudre normalement (voir page précédente) A) 2x 5 3x B) 5x 16 2(8x 2) 3 5 2x 5x C) 8 2 D) x 5x 2 4 3x 5 2 3

5 3- Traduire en langage algébrique Addition Soustraction Multiplication Division (fraction) De plus De moins Fois plus Fois moins Donne l expression algébrique qui correspond à l énoncé donné. a) 5 fois p b) le triple de x c) le double de a d) le tiers de c e) le triple de a, moins 3 f) la moitié de s g) le sixième de g h) la moitié de h, plus 4 Phrase avec un «que» le point de départ est après le «que» i) 5 de plus que x j) 4 de moins que y k) 6 de plus que la moitié de f l) 9 de moins que le quadruple de p m) 4 fois plus que x m) 4 fois moins que x 4

6 4- Représenter une situation par des expressions alg. Pour arriver à résoudre un problème algébrique, il faut d abord être capable d identifier l élément du problème qui est la base de c est-à-dire identifier l élément qui a le moins d informations, le point de départ. Une fois trouvé, on lui attribue une (ex : ). On trouve par la suite les autres selon les phrases. Attention : Les inconnues doivent représenter des quantités ou valeurs numériques. Tu ne peux pas dire x = Josée car Josée est une personne et non une quantité mathématique. Tu peux dire x = Âge de Josée car l âge a une valeur numérique. Représente ces situations à l aide d expressions algébriques. A) Ma mère a le double de mon âge. B) J ai 2 fois plus d argent que mon frère. C) Ma sœur a 1 an de moins que moi, ma mère en a 30 de plus que moi et mon père a 3 ans de moins que l âge de ma mère. D) Vanessa a 3 crayons de plus que Maxime qui lui en a 2 de plus qu Olivier. 5

7 E) Guillaume reçoit 5 fois plus de textos qu Alexandra, tandis que Claudia en reçoit 2 fois plus que Guillaume. F) Ma sœur a 5 ans de moins que moi, ma mère est 3 fois plus âgée que ma sœur et mon père a 9 ans de plus que le double de mon âge. 5- Recherche de l équation Dans un problème algébrique, il est très important d identifier la phrase qui permet de construire l équation pour résoudre le problème. Il y en a plusieurs types : Quand on nous donne le de quelque chose (le plus fréquent) : Ex : Manon a 2 fois plus d argent que Pierre, tandis que Pascal a 12$ de moins que Manon. Ensemble, ils ont 30$. Trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2). (1) (2) 6

8 Quand on nous donne le de quelque chose : Ex : Kim a 2 ans de plus que Carole, et Denis a 6 ans de moins que Kim. Nous savons que la somme des âges de Kim et Denis est égale à 36 ans. Trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2). (1) (2) Quand on les personnes ou les choses du problème entre elles : Ex : Marc a 2 fois plus de CD que Luc, Steve en a 4 de moins que Marc et Julie en a 3 fois plus que Steve. Marc et Julie ont la même quantité de CD. Trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2). (1) (2) Quand on fait appel à une mathématique : Ex : Un rectangle possède une longueur qui est 3 fois plus grande que la largeur. Le périmètre de ce rectangle est 56 cm. Trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2). (1) (2) Note : Il y a d autres types d équations Il faut bien lire le problème et être logique! 7

9 6- Résoudre un problème algébrique Un problème algébrique se résout en (il faut les numéroter) : 1) On représente le problème par des ; 2) On identifie la phrase qui permet de former, puis on la forme; 3) On l équation (on trouve la valeur de la ); 4) On trouve toutes les quantités avec les unités, puis on ces quantités à l aide de l équation; 5) On formule la à la question demandée, avec une complète. Exemples : 1) Émilie, Ève et Alex comparent leurs CD. Émilie en a 4 fois plus qu Ève, tandis qu Alex en a 2 de moins qu Émilie. Au total, ils en possèdent 61. Combien de CD a Alex? 2) Dominic et Louis ont des billets à vendre. Louis en a vendu le quadruple de Dominic. La différence entre leur nombre de billets vendus est égale à 57. Combien chacun a-t-il vendu de billets? 8

10 3) Quatre amis collectionnent des collants. Luc en a 7 de plus que Léa. Julie en a 2 fois plus que Luc. Dave en a 3 de moins que Julie. Luc et Dave ont ensemble 72 collants. Combien de collants possède Julie? 4) Louise va à l épicerie. Elle achète des pommes, des poires et des kiwis. Elle achète 3 fois plus de pommes que de kiwis. De plus, elle achète 4 poires de moins que le double de la quantité de pommes. La quantité de poires est égale à la somme des pommes et des kiwis. Combien de fruits a-t-elle achetés en tout? 9

11 1) Résous les équations suivantes : a) 4c + 2 = 20 2c b) 5x 6 = x c) 10m + 4 7m = 5 (3m - 4) d) 2 ( -3y + 4 ) = 12 - (-4y + 6) 5x 9x e) 5 7 x 7 f) 4m + 3m 5 = m 2) Résous les équations suivantes : a) 3 + 4n = 51 b) 6p p = -5 10

12 c) 4r + 8 r + 3r 6 = 2 d) 6x 10 2x + 8 = -32 e) 6x x 40 = 26 f) 6b + 9 = 3b 21 g) 4x 12 = 6 5x h) 2(y 5) = 4y + 4 i) 4y = 7 + y j) 3 + 6y + 8-4y 2 + y = y 11

13 3) Résous les équations suivantes en utilisant les dénominateurs communs : a) 17x 4 15x b) x 2 6 7x 2 2x 13x 1 c) 6 d) x 11 3x e) 14x 14 3x x x f)

14 4) Résous les équations suivantes : a) 4(3m 5) + 2(6 4m) = 0 b) 20x = 3 8x c) 3(2b b) = -28 d) 2(5 3y) + 15y 3 = 4y - 5 e) -2(z 4) = 4(9 + 3z) f) 3(4a 2 a + 7) = 6(7 + 2a) 13

15 5) Exprime algébriquement les énoncés suivants : a) Le produit de 5 par y b) La différence de a et 15 c) La somme de c et de 12 d) La somme de v et du triple de t e) Le produit de 8 par la somme de 4 et de h f) Le quotient de a par le double de b g) Le quadruple du quintuple de n 6) Écris correctement les expressions algébriques suivantes : a) 7 de moins que a : b) c moins 9 : c) 10 de plus que x : d) 3 de plus que h : e) 5 de plus que y : f) 4 de moins que t : g) m plus 8 : h) 18 de plus que a : 7) Exprime par des expressions algébriques les situations suivantes : a) Steve a 5 ans de plus que Vicky d) Mardi, Ginette a fait 4 messages de plus que lundi. b) Carl a 4 ans de moins que Julie e) Janie a 2 caries de plus que Sébastien. c) Julien a 43 ans de moins que Manon 14

16 8) Exprime par des expressions algébriques les situations suivantes : a) Noémie a le triple de l âge de Laurie b) Nicolas a le quart de l âge de Noémie. c) Hugo a mangé 6 fois plus de pogos qu Élizabeth d) Sandra a mangé la moitié des bonbons d Hugo. e) Chloé a lu huit fois moins de romans que Sylvain. 9) Exprime par des expressions algébriques les situations suivantes : a) Marie-Claude a 6 élèves de plus qu Isabelle qui elle, en a 2 de moins que Roger. b) Catherine a 12 fois plus de médailles qu André, et Dominique en a le tiers de Catherine. c) Pierre est 4 fois plus âgé que Véronique, Gaston a 3 ans de moins que Véronique et Sophie a 2 ans de plus que Pierre. 15

17 10) Pour chacun des exemples suivants, trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2) qui représente le total, sans la résoudre : a) Juliette a 3 ans de moins que Gilles, et Sophie a le double de l âge de Juliette. Tous ensemble, ils ont 52 ans. (1) (2) b) Maxim a 3 crayons de plus que le double des crayons de Simon, tandis que David en a 5 de moins que le triple de ceux de Simon. Il y a 40 crayons en tout. (1) (2) 11) Pour chacun des exemples suivants, trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2) qui correspond à une comparaison, sans la résoudre : a) Marie a le quadruple de l argent de Kevin, qui lui a le triple de François. Marie a autant d argent que les deux autres ensemble. (1) (2) b) Alexandra et Noémie comptent le nombre de tubes de brillants à lèvres qu elles ont. Alexandra en a 6 de plus que la moitié de ceux de Noémie. De plus, le triple des tubes de Noémie équivaut au double de ceux d Alexandra. (1) (2) 16

18 12) Pour chacun des exemples suivants, trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2) qui correspond à un sous-total, sans la résoudre : a) Patrice a le double d argent de Marie. Jacques a 20$ de moins que le triple de Marie. Jacques et Patrice ont ensemble 105$. (1) (2) b) Sophie a 3 billes de moins que Julie. Emilie a le triple de billes de Sophie. Julie et Émilie ont ensemble 31 billes. (1) (2) 13) Pour chacun des exemples suivants, trouve les expressions algébriques (1) et construis l équation (2) qui correspond à une formule, sans la résoudre : a) Un rectangle a une largeur de 3 cm de moins que sa longueur. Le périmètre vaut 26 cm. (1) (2) b) Un parallélogramme a une base qui équivaut a 5 cm de moins que le triple de son côté. Le périmètre du parallélogramme vaut 42 cm. (1) (2) 17

19 14) Résous les problèmes algébriques suivants (en 5 étapes) : a) Nathalie dit avoir lu 2 fois plus de livres que Paul et Marianne en a lu 3 de moins que Paul. S ils ont lu 25 livres en tout, combien en a lu Marianne? b) J ai 380 disques compacts rangés à 3 endroits dans la maison. Dans le salon, j ai 76 disques de plus que dans la chambre. Dans le sous-sol, j en ai 114 de plus que dans le salon. Combien de disques compacts y a-t-il dans le sous-sol? c) Trois membres d une même famille se partagent un héritage de $. Le plus vieux aura 3 fois plus d argent que le plus jeune et celui du milieu aura $ de plus que le plus vieux. Quel montant d argent chacun recevra-t-il? 18

20 d) Lors d un voyage, Jonathan, Catherine et Annick prennent en tout 77 photos. Catherine en a pris 3 fois plus que Jonathan et Annick en a pris la moitié de ce qu a pris Catherine. Combien de photos a pris Annick? e) Josée a le double de l âge de Paul tandis que Marie a le triple de l âge de Paul moins 10 ans. Josée et Marie ont le même âge. Quel âge a Paul? f) Marc, Joëlle et Nadine ont ensemble une collection de 270 cartes. Marc en a 25 de moins que Joëlle tandis que Nadine en a autant que les 2 autres ensemble. Combien de cartes Nadine possède-t-elle? 19

21 15) Résous les problèmes algébriques suivants (en 5 étapes) : a) On coupe une poutre de 227 cm de telle sorte qu un morceau mesure 75 cm de moins que l autre. Quelle est la longueur des 2 morceaux? b) Trois sortes d articles de sport ont été comptées dans un entrepôt. Il y a 4 fois plus de raquettes que de ballons, et 7 fois plus de hockeys que de raquettes. Pour les raquettes et les hockeys, on a compté 288 articles en tout. Combien y a-t-il de hockeys? c) Un parc a la forme d un trapèze isocèle. La grande base mesure 9 mètres de moins que le quintuple de la mesure de la petite base. Un des côtés du trapèze mesure 3 mètres de plus que le double de la mesure de la petite base. Calcule la mesure de la grande base du trapèze, en sachant que le périmètre du parc est 217 mètres. 20

22 d) La masse d une mère ours est le quadruple de celle de son petit. Celle du père ours est 7 kg de moins que le quintuple de celle de son petit. Le petit et le père pèsent ensemble 413 kg. Quelle est la masse de la mère? e) Le prix d un jean est le triple de celui d un t-shirt. On a payé 103,50$ pour 2 jeans et 3 t-shirts. Quel est le coût d un jean et d un t-shirt? 16) Francis décide de partir sa propre compagnie de menuiserie le 1 er janvier. Après les quatre premiers mois d opération, il a gagné un montant total de 8194$. En février, il a gagné 309$ de moins qu en janvier. Le mois de mars a été très rentable pour lui. En effet, il a gagné durant ce mois le triple de la somme des deux premiers mois de l année. En avril, il a gagné 92$ de moins qu en janvier. Combien a-t-il gagné d argent au mois de mars? 21

23 17) Une certaine figure possède 4 côtés. Le deuxième côté mesure 3 cm de plus que le premier, le troisième mesure le quadruple du deuxième et le quatrième mesure 5 cm de moins que le troisième. a) Représente la mesure des 4 côtés par des expressions algébriques. b) Quelle expression algébrique simplifiée représente le périmètre de cette figure? c) Si l on sait que x = 6 cm, quel sera alors le périmètre de la figure? 18) Résous les situations suivantes : a) Paul, Marc et Jean se partagent 500$. Marc a 128$ de plus que le quart de l argent de Jean. Paul a 150$. Détermine le montant de Marc et Jean. 22

24 b) Trois amies comparent leur nombre de jetons. Annie a le double de Julie et Mélanie a 10 jetons de moins que le double d Annie. Détermine la quantité de jetons de chacune si la somme de Julie et d Annie est équivalente à la quantité de Mélanie. c) Trois amies ont de l argent de poche pour payer leur dîner lors de l activité à la Ronde. Josée a 5$ de plus qu Amélie et Sophie a le double de Josée. Détermine le montant de chacune en sachant que Sophie et Josée ont ensemble 60$. 19) Résous les équations suivantes : a) 4x 7 5x b) 2(5 3y) + 15y 3 = 4y

25 SITUATION PROBLÈME 1 : BOX-OFFICE Tu es directeur d un cinéma et tu dois calculer le nombre de personnes de la soirée. Dans la soirée, tu as reçu un total de 5394$ incluant les billets d entrée pour les 3 représentations et pour les revenus de la cantine à pop corn. La représentation de 19h a rapporté 192$ de plus que le quadruple de la représentation de 21h30, tandis que la représentation de minuit a rapporté 268$ de plus que celle de 21h30. Si la cantine a rapporté 902$ et que le prix d entrée pour chacune des représentations est à 10$/19h, 7$/21h30 et 5$/minuit, combien de personnes est venue voir ce film dans la soirée? 24

26 SITUATION PROBLÈME 2 : LA GUIRLANDE Maria confectionne une guirlande avec différentes anneaux de couleurs sur un fil. La guirlande contient 150 anneaux de couleurs. Voici quelques informations sur la répartition des 150 anneaux selon leur couleur. Les 2/3 sont jaunes. Le nombre d anneaux bleus est le triple du nombre d anneaux verts. Il y a 10 anneaux mauves de plus que d anneaux verts. Tous les anneaux d une même couleur ont la même longueur. Le tableau suivant présente la longueur des anneaux selon leur couleur. Longueur d un anneau selon sa couleur Couleur de l anneau Longueur de l anneau (cm) Bleu 5 Jaune 2,5 Mauve 3,5 Vert 3 Quelle est la longueur de la partie du fil occupée par les 150 anneaux? 25

27 SITUATION PROBLÈME 3 : JOURNÉE D ACTIVITÉS Une école offre 4 activités pour la journée verte. Voici la répartition des 1960 élèves qui participent. Ronde; 35% Musée; 15% Escalade; 20% Rafting; 30% Détermine le prix total pour l ensemble des élèves qui participent aux activités à l aide des informations suivantes. Ronde : Nb élèves Prix total 9 112,50$ $ $ Rafting et Musée : Le prix du musée est de 7$ de moins que la moitié du rafting. Ensemble, ils coûtent 38$. Escalade : Prix ($) Nb élèves 26

28 Réponses des exercices 1. a) c = 3 b) x = 12 c) m = 2 d) y = 0,2 ou 1/5 e) x = 4 f) m = a) n = 12 b) p = -2 c) r = 0 d) x = -7,5 e) x = 18 f) b = -10 g) x = 2 h) y = -7 i) y = -1 j) y = a) x = 4 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 6 e) x = 5 f) x = 1 4. a) m = 2 b) x = 2 c) b = -9 d) y = 3 e) z = -2 f) a = à 13. Correction au début du prochain cours 14. a) 4 livres b) 228 CD c) Plus jeune : $, plus vieux : $, Milieu : $ d) 21 photos e) 10 ans f) 135 cartes 15. a) 76 cm et 151 cm b) 252 hockeys c) 101 m d) 280 kg e) jeans 34,50$ et t-shirt : 11,50$ $ 17. a) Voir corrigé b) 10x+22 c) 82 cm 18. a) Marc : 165$ et Jean : 185$ b) Julie : 10$, Mélanie : 30$ et Annie :20$ c) Amélie : 15$, Josée : 20$ et Sophie : 40$ 19. a) x = 5 b) y = 3 Situation-problème #1 : 572 personnes Situation-problème #2 : 457 cm Situation-problème #3 : ,50$ 27