_x UÉÅuçå. _x ÜtÄÄçx Åtà{ Åtà Öâx wx ZtÇzxá xà wx ÄËtvtw Å x wx `ÉÇàÑxÄÄ xü. Annales du 21 e Bombyx LIVRE 1. Quarts de finale 8 décembre 2009 LIVRE 2

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1 _x UÉÅuçå Association Rallye Bombyx - Place Jules Ferry GANGES bombyx@ac-montpellier.fr - site LIVRE 1 _x ÜtÄÄçx Åtà{ Åtà Öâx wx ZtÇzxá xà wx ÄËtvtw Å x wx `ÉÇàÑxÄÄ xü LIVRE 2 Quarts de finale 8 décembre 2009 Annales du 21 e Bombyx LIVRE 3 Demi-finales 28 janvier 2010 Finale 11 mai 2010

2 Publication placée sous le patronage de l Inspection Pédagogique Régionale de mathématiques de l Académie de Montpellier, de l IREM et de la Régionale APMEP de Montpellier Comité de rédaction Yvonne BOULOC Priscilla SECHOY Jean-Marie SCHADECK Jean VERSAC Professeurs de Mathématiques - Académie de Montpellier Création Association Collège Louise Michel Place Jules Ferry GANGES Association Rallye Bombyx Descriptif technique 150 g - 46 pages Brochure gratuite Participation aux frais d expédition : 2 par brochure

3 Association Rallye Bombyx - Place Jules Ferry GANGES bombyx@ac-montpellier.fr - site livre 2 Demi-finales - 28 janvier 2010 Barème et Règlement II.1 Les Partenaires II.9 Les énoncés II.2 Les réponses II.9 Les corrigés II.13 _x ÜtÄÄçx Åtà{ Åtà Öâx wx ZtÇzxá xà wx ÄËtvtw Å x wx `ÉÇàÑxÄÄ xü

4 BARÈME N Problème Question facultative Points total / 460 Précisions pour les problèmes avec plusieurs réponses et dont la résolution est partiellement exacte Catégorie CM2 Problème 1 Problème 2 4 par réponse exacte (une réponse = un nombre ; il y a cinq réponses attendues) 4 par réponse exacte 6 e Problème 1 20 pour une seule réponse exacte 5 e Problème 4 20 pour une seule réponse exacte Problème 2 10 pour seulement jour ou heure exact(e) 4 e Problème 3 10 pour une seule réponse exacte 3 e Générale 3 e Dérogatoire/3 e DP6 Problème 1 Problème 4 Problème 1 Problème 4 10 pour 26,52 (erreur d arrondi) accepter toute autre valeur exacte, par exemple ½ par réponse exacte 10 pour une seule réponse exacte Pour une application aisée du "Classement des participants" du règlement, les élèves se voient attribuer un nombre de points x compris entre 0 et 460. Pour chacun des quatre problèmes, si l élève a donné exactement la (ou toutes les) réponse(s) indiquée(s) sur le bulletin corrigé à l exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué appartient à { 50 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 }. Pour un problème avec plusieurs réponses attendues, si l élève n a donné qu une partie des réponses indiquées sur le bulletin corrigé à l exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué suit les indications du tableau ci-dessus. Reporter sur le bulletin-réponse de l élève, dans la case grisée Points le nombre x obtenu comme indiqué ci-dessus. Classer les candidats en rangeant les bulletins-réponse par ordre décroissant des points. II.1 RÈGLEMENT DU 22 e Bombyx (Extraits) Fiche technique du 22 e rallye math. Bombyx Le 22 e rallye math. Bombyx, organisé par l'association Rallye Bombyx (Ganges - Hérault), est ouvert à tous les élèves des Collèges, aux élèves de 3 e «DP6», de seconde professionnelle ou première année de CAP des Lycées professionnels de l'académie de Montpellier, de l'andorre, et du Bassin méditerranéen, ainsi qu'aux élèves de CM2 des Écoles Élémentaires des secteurs scolaires des Collèges participant à la compétition. Les concurrents sont répartis en sept catégories avec des épreuves adaptées à chacune d elles : 7 CM2 ; 6 6 e ; 5 5 e ; 4 4 e ; 3 3 e ; 2 2de Pro. ou 1 re année de CAP ; 1 3 e Dérogatoire & 3 e DP6. Déroulement du 22 e rallye math. Bombyx QUARTS DE FINALE : Ils se dérouleront le mardi 8 décembre 2009 dans chaque établissement. L'épreuve dure 1h ou 1h30, et consiste à résoudre quatre problèmes. Les participants devront, pour chaque problème, indiquer la ou les réponse(s) sur le bulletin prévu à cet effet. À chaque problème est attribué un certain nombre de points ; une réponse approchée peut se voir attribuer une partie des points. Au sein de chaque établissement, 50% (environ) des participants sont qualifiés pour la demi-finale par le correspondant du rallye. DEMI-FINALES : Elles se dérouleront le jeudi 28 janvier 2010 dans chaque établissement. L'épreuve dure quatre-vingt dix minutes, et consiste en la résolution de quatre problèmes et d'une question facultative. Aucune qualification n'est faite au niveau de l'établissement. Le jury établit la liste des qualifiés pour la finale constituée des élèves les mieux placés, et la liste des qualifiés pour la finale de repêchage constituée d'au plus deux élèves par établissement, choisis parmi les meilleurs de chaque établissement qui ne sont pas déjà qualifiés pour la finale. Ces listes sont communiquées aux correspondants du rallye vers le 18 mars. Le nombre total de finalistes ne peut dépasser 200. FINALE ET FINALE DE REPÊCHAGE : Elles consistent en la résolution de quatre problèmes et d une question facultative destinée à départager les meilleurs concurrents et durent quatre-vingt dix minutes. Elles se dérouleront au Collège Louise Michel de Ganges le mardi 11 mai 2010, de 10h30 à 12h. La finale de repêchage permet aux trois premiers de chaque catégorie de gagner leur place en finale officielle avec la pleine conservation de leurs points les épreuves étant identiques en finale de repêchage et en finale officielle. Classement des participants au 22 e rallye math. Bombyx À l'issue de chaque phase, les candidats sont départagés 1) par le nombre de problèmes convenablement résolus, 2) en demi-finale et finale uniquement : en cas d'égalité, par la réponse exacte à la question facultative, 3) en cas d'égalité, par le nombre de points, 4) en cas d'égalité absolue, les candidats sont déclarés ex æquo sauf pour les trois premiers du classement académique en finale officielle qui sont départagés par une question subsidiaire puis éventuellement l âge avec ordre de priorité aux plus jeunes. Il y a deux classements pour les finalistes : d une part celui des élèves de notre seule académie, d autre part un classement international en prenant tous les finalistes de l Académie et du Bassin méditerranéen. Seul le classement académique donnera lieu à la désignation des lauréats des Thalès'2010 -trois par catégorie-. Les prix du 22 e rallye math. Bombyx Tous les concurrents des quarts de finale puis des demi-finales reçoivent un lot et un diplôme. Tous les candidats ayant participé à la finale reçoivent un titre individuel de classement et un prix. Les prix des éventuels ex æquo sont départagés par la question subsidiaire puis éventuellement par l âge avec priorité aux plus jeunes. En , la facture totale pour l achat des prix a été de 6 893,17. La remise des prix et diplômes aura lieu lors de la Cérémonie des Thalès, au Collège de Ganges, le mardi 11 mai 2009, de 14h45 à 15h45. Les concurrents acceptent le présent règlement et les délibérations du jury dont les décisions sont sans appel.

5 Demi-finales CM2 Énoncés PROBLÈME 1 : Le père Mathou fait ses courses Dans la famille Mathou, le père s est spécialisé dans les achats d objets inutiles et parfois encombrants. Son magasin favori est Trouvetou. Dernièrement, il a passé commande à ce magasin, mais Lili, la petite dernière des Mathou, a effacé certains chiffres. À toi de compléter le bon de commande. Désignation Prix unitaire Quantité Prix ( ) Chaise à deux pieds 3 0, _, Vélo à chenilles 4 3, 5 0 _ 8 7, 0 0 Grenouille avec télécommande, 7 8 4, 0 0 MONTANT 2 9 3, 4 0 REMISE 1 _, 8 _ TOTAL 2 _ 7, _ 5 PROBLÈME 2 : La mère Mathou joue aux cartes Trouve la face cachée de chaque carte grâce aux informations que te donne la mère Mathou : - Le roi ne touche qu une carte : c est le 5. - Le valet touche le 7, le 2 et une autre carte. - La dame ne touche que l as et le 7. - Le 5 touche plusieurs cartes dont l as et le Le 10 et le 5 se touchent. Conseils : pour chaque carte compte le nombre de carte(s) touchée(s) ; par exemple la carte D touche cartes ; puis lis les indices dans l ordre et n hésite pas à écrire dans les cartes, au crayon les possibilités. II.2 PROBLÈME 3 : Les chats et chiens des enfants Mathou Voici une annonce passée par les enfants Mathou dans leur journal préféré Nos amis les animaux. Lis bien les indications. Le prix d un mot supplémentaire a été effacé. Quel était ce prix? VOS PETITES ANNONCES DANS Nos amis les animaux 8,60 MINIMUM (prix forfaitaire pour 20 mots ou moins) ; le mot supplémentaire TEXTE : un mot par case, écrit en CAPITALES, sans abréviations Toutou - Chacha 14,10 PROBLÈME 4 : La tour de la famille Mathou Le père Mathou qui monte dans sa tour en grimpant les marches 7 par 7 arrive juste en haut de l escalier. Sa femme les monte 5 par 5 et il lui en reste une à franchir en haut. Les deux enfants les grimpent, l un 2 par 2 et l autre 3 par 3 ; eux aussi n arrivent qu à une marche du haut. L escalier a moins de 100 marches. Trouve le nombre de marches! QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 4 Quel serait le prix total à payer si l annonce passée par les enfants Mathou utilisait 27 mots?

6 Demi-finales 6 e Énoncés PROBLÈME 3 : La tapisserie Un rouleau de papier peint est représenté en coupe par le schéma cidessous qui n est pas en vraie grandeur. Le diamètre de la partie creuse mesure 1,4 cm. Le diamètre total du rouleau mesure 8,2 cm. Ce rouleau contient 68 enroulements de papier peint. PROBLÈME 1 : Chapeau melon et bottes de cuir Dans un pays imaginaire, un individu achète un imperméable, un chapeau et des bottes en caoutchouc (une paire, bien sûr). Il paie le tout vingt roubles. L imperméable coûte neuf roubles de plus que le chapeau. Le chapeau et l imperméable réunis coûtent seize roubles de plus que les bottes (la paire de bottes). a) Quel est le prix d une paire de bottes? b) Quel est le prix de l imperméable? PROBLÈME 2 : La multiplication à trou Quel est le résultat de cette multiplication? Quelle est l épaisseur, en cm, de ce papier peint? PROBLÈME 4 : Le troupeau de Bernard Bernard a un troupeau de quatre-vingt-quatre têtes, des vaches et des bœufs. Chaque vache donne vingt litres de lait par jour et il faut un litre et demi de lait pour fabriquer un fromage. Cette semaine, Bernard a fabriqué six mille sept cent vingt fromages. Combien Bernard a-t-il de bœufs? QUESTION FACULTATIVE : Le troupeau du voisin Le voisin de Bernard a aussi un troupeau de quatre-vingt-quatre têtes. Il a deux fois plus de vaches que de bœufs, combien le voisin a-t-il de bœufs? II.3

7 Demi-finales 5 e Énoncés PROBLÈME 1 : Les friandises Marie a acheté huit friandises de même prix. Sophie a acheté dix friandises qui ont coûté, chacune, quinze centimes de moins que celles de Marie. Elles ont, toutes les deux, dépensé la même somme. Quel est le prix d une friandise de Marie? PROBLÈME 2 : Marche à pieds En marchant à allure régulière, Isabelle a fait une promenade. À 15 heures, elle était à treize kilomètres de son but. À 16 heures, elle en était à 8 kilomètres. PROBLÈME 3 : La suite de nombres Pierre adore inventer des suites de nombres. Dans sa dernière découverte, le premier nombre est 8 et à partir du deuxième nombre, on applique la règle suivante : si le dernier nombre écrit est pair, le suivant est sa moitié ; si le dernier nombre écrit est impair, le suivant est la somme des deux derniers nombres écrits. Quel est le 2010 e nombre de cette suite? PROBLÈME 4 : Les clubs sportifs Un village compte quatre clubs sportifs. Le premier fonctionne un jour sur deux, le deuxième tous les trois jours, le troisième tous les quatre jours, le quatrième tous les cinq jours. a) Sur un trimestre de 90 jours exactement, si le premier jour les quatre clubs étaient présents, au cours de combien de journées les quatre clubs étaient-ils absents dans le centre sportif? b) Sur un trimestre de 90 jours exactement, toujours si le premier jour les quatre clubs étaient présents, combien de journées se sont-elles passées avec tous les clubs présents? À quelle heure est-elle arrivée? QUESTION FACULTATIVE : Une autre suite de nombres C est une suite de nombres construite avec le même procédé qu au problème 3 mais en prenant 2 comme premier nombre (au lieu de 8), quel est le 2010 e nombre de cette nouvelle suite? II.4

8 Demi-finales 4 e Énoncés PROBLÈME 1 : Les bidons de Pierre Pierre a cinquante-sept bidons pour remplir une cuve de trois cent quarante-six litres. Certains bidons ont une contenance de dix litres et les autres de trois litres. Combien Pierre a-t-il de bidons de trois litres? PROBLÈME 2 : Le long périple de la tortue Invitée à venir déguster une salade chez sa cousine Berthe, la tortue Joséphine est partie de chez elle le 30 décembre 2009 à 22h50. La route est longue (!) et son voyage semé d embûches aura duré exactement minutes. Quel jour, et à quelle heure, Joséphine est-elle arrivée chez sa cousine? PROBLÈME 3 : La course contre la montre Adrien, Cédric, Paul et Louis participent à une course cycliste contre la montre. Adrien part cinq minutes avant Cédric et il arrive trois minutes après lui. Paul part dix minutes avant Cédric et il arrive quatre minutes avant lui. Louis part trois minutes après Adrien et il arrive dix minutes après lui. a) Donner le classement de ces quatre coureurs en commençant par le premier (écrire sur le bulletin-réponse l initiale du prénom de chacun d eux)? b) Combien de temps le quatrième a-t-il mis de plus que le premier? PROBLÈME 4 : Le 1 er jardin de Pierre Le périmètre du jardin rectangulaire de Pierre mesure 296 mètres. Pour l élargissement du chemin qui le longe, Pierre accepte que la longueur du jardin soit diminuée de 20 mètres ; en compensation, pour que l aire reste la même, la largeur du jardin sera augmentée de 12 mètres. Quelle était la longueur du jardin avant l élargissement du chemin? QUESTION FACULTATIVE : Le 2 e jardin de Pierre Cette fois-ci on ne connaît pas le périmètre du jardin de Pierre. Il est encore décidé d élargir le chemin qui longe son jardin ; la longueur sera toujours diminuée de 20 mètres et la largeur augmentée de 12 mètres pour que l aire reste la même. On sait de plus que la largeur initiale du jardin est de 27 mètres. Quel était le périmètre du jardin avant l élargissement du chemin? II.5

9 Demi-finales 3 e générale Énoncés PROBLÈME 1 : Évolution du prix d un article sur un an Pour un même article, on donne son prix tout au long de l année : Du 1/1 au 31/5 Du 1/6 au 30/6 À partir du 1/7 26,04 26,59 26,92 PROBLÈME 3 : Une évaporation d eau Combien de molécules d eau s échappent-elles d un verre cylindrique chaque jour par évaporation, sachant que son niveau diminue de 1 mm par jour, et que le diamètre du verre est de 6 cm? On donnera la valeur approchée du résultat en notation scientifique sous la forme a 10 p avec a nombre entier compris entre 0 et 10. Indications : Un litre d eau pèse 1 kg ; dans 18 g d eau il y a environ 6, molécules d eau. Calculer le prix moyen de cet article à un centime d euro près. (on considèrera que chaque mois de l année compte 30 jours). PROBLÈME 4 : Trapèze 4 m PROBLÈME 2 : Charpentes Ci-contre, une construction en coupe. Sur le plan, je dispose des données indiquées concernant les étais (2 m ; 3 m et 5 m). Les étais sont des pièces de bois qui soutiennent un édifice, ici le toit ; ils sont bien sûr parallèles entre eux et perpendiculaires au sol qui est horizontal. Quelles sont les mesures au sol de la construction? Pour répondre, on donnera les valeurs de x et y en mètres. II.6 Un cercle est inscrit dans un trapèze isocèle dont on connaît les dimensions des bases. Quelle est la mesure des cotés non parallèles? 8 m QUESTION FACULTATIVE : Trapèze (suite) Quelle est la mesure de la longueur du rayon? (Valeur exacte)

10 Demi-finales 3 e Dérogatoire & 3 e DP6 Énoncés Les Jeux Mathématiques d hiver. PROBLÈME 1 : Le slalom Celui-ci comporte 20 portes numérotées de 1 à 20. Chaque porte manquée fait perdre des points selon le barème suivant : 1 porte manquée enlève 8 points, 2 portes successives manquées enlèvent 8² points, 3 portes successives manquées enlèvent 8 3 points etc., n portes successives manquées enlèvent 8 n points. Si 2 portes non successives sont manquées, le concurrent perd 2 8 pt, si k portes sont manquées non successivement, il perd k 8 pt. a) Anna a manqué les deux dernières portes, combien a-t-elle perdu de points? b) Bertrand a manqué les portes numéro 5, 6, 7, 12, 17 et 18, combien a-t-il perdu de points? On a décidé de donner 200 points à chaque participant. c) Combien de portes peuvent-ils manquer au maximum sans terminer avec un score négatif? PROBLÈME 3 : Le saut à ski Dans cette épreuve, la longueur du saut est donnée sous la forme d une fraction par rapport à la longueur de la zone d atterrissage. Dans le tableau ci-dessous, on a relevé les résultats de 3 participants : Daniel Édouard Fabrice De quelle fraction la somme de ces trois sauts dépasse-t-elle le double de la longueur de la zone d atterrissage? PROBLÈME 4 : La descente Le parcours de l épreuve a une longueur de 3,2 km. Chaque participant fait deux descentes. Gilles a mis 3 minutes et 8 secondes pour son 1 er passage. a) Quelle a été sa vitesse moyenne lors de cette 1 re descente? (Exprimer le résultat en km/h arrondi à l unité.) Il a mis 28 secondes de moins lors de son 2 nd passage. b) Quelle a été sa vitesse moyenne lors de cette 2 nde descente? (Exprimer le résultat en km/h arrondi à l unité.) PROBLÈME 2 : Le hockey sur glace La patinoire est rectangulaire ; elle mesure 25m de long et 10m de large. Pour s échauffer Charly fait le tour de la patinoire, puis il parcourt une diagonale ; il a terminé son échauffement lorsqu il a fait 5 fois ce trajet. Quelle distance parcourt-il lors de cet échauffement? (Donner le résultat arrondi au mètre.) II.7 QUESTION FACULTATIVE : Le slalom (Suite ) On reprend l énoncé du problème 1 sans la question c). Combien de points doit-on donner à chaque concurrent pour être sûr que personne ne termine la course avec un score négatif? (Le résultat peut être donné sous la forme d une puissance.)

11 Demi-finales 2 de pro et 1 re année de CAP Énoncés PROBLÈME 3 : Ses fromages La mère Simone fait l inventaire de ses fromages de chèvres. Il y en a 88 dans sa cave. Elle les classe en fonction de leur affinage : les frais, les demi secs et les secs. Il y a 12 fromages frais de plus que de secs et 3 fois plus de demi secs que de frais. Combien lui reste-t-il de fromages secs? PROBLÈME 1 : Ses habitants Un célèbre plateau Les personnes en activité sont seulement agriculteurs, ou ont une activité autre, soit elles font les deux. 85% sont agriculteurs. 75% travaillent dans un autre domaine que l agriculture. Quel pourcentage de cette population exerce les deux types d activités? PROBLÈME 2 : Ses transhumances Dans le troupeau de Pierre-Marie, il y a 120 animaux dont 60% de moutons. Dans celui de René-Pierre, il y a 180 bêtes dont 40% de moutons. Pour transhumer, leurs deux troupeaux sont rassemblés. Quel est le pourcentage de moutons dans le troupeau qui part en transhumance? II.8 PROBLÈME 4 : Sa modernisation! Louis veut connaître la taille de l écran de son ordinateur. Il le mesure et trouve 33,7 cm de longueur et 27,3 cm de largeur. Quelle est la taille de son écran en pouces? (Donner la valeur arrondie à l unité.) Rappel : La taille d un écran correspond à la longueur de sa diagonale. Elle est exprimée en pouces. Un pouce équivaut à environ 2,54 cm. QUESTION FACULTATIVE : Grille de SUDOKU En partant des chiffres déjà inscrits, il faut remplir la grille de manière à ce que chaque ligne, chaque colonne et chaque carré de 3x3 contienne une seule fois les chiffres de 1 à Quel est le chiffre écrit dans la case grisée dont la bordure est épaissie?

12 Bombyx Les Partenaires du 22 e Bombyx (*) Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points CM2 NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : Prix des chaises 1 2 2, 4 0 As B 10 C Quantité de vélos 2 Roi H 7 D Prix d une grenouille 1 2, 0 0 Dame A 5 E Remise 1 5, 8 5 Valet G 2 F Total 2 7 7, 5 5 (indiquer la lettre portée par chaque carte au dos) PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 : Prix mot supplémentaire : 0, 5 0 Nombre de marches : 9 1 QUESTION FACULTATIVE : Prix pour 27 mots : 1 2, 1 0 a le soutien Atelier de Culture Scientifique Collège Louise MICHEL GANGES Le rallye math. Bombyx de l Académie de Montpellier, de l' Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques, de l' I.R.E.M. de Montpellier, de la Régionale A.P.M.E.P. de Montpellier, du Comité International de Jeux Mathématiques, est réalisé avec la participation des Conseils Généraux du Gard, de l Hérault, et de Lozère, de Crédits globalisés du collège Louise Michel(Ganges - Académie de Montpellier), de CASIO, Math en Main, Alp papier, de la S.A.R.L. "RIGAUD Peintures-Ganges", du Foyer OCCE34 du collège Louise Michel, des Communes de AGONÈS, BRISSAC, CAUSSE DE LA SELLE, GANGES, LAROQUE, MAS DE LONDRES, MONTOULIEU, ST BAUZILLE DE PUTOIS, SUMÈNE. MOULÈS ET BAUCELS, (*) Mise à jour du 15/12/ II.9

13 Bombyx Bombyx Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points 6 e NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : (prix en roubles) Une paire de bottes 2, L imperméable 1 3, 5 0 PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 : Épaisseur 0, 0 5 cm Bernard : 1 2 bœufs QUESTION FACULTATIVE : Le voisin : 2 8 bœufs Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points 5 e NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : Prix d une friandise 0, 7 5 Heure d arrivée 1 7 h 3 6 PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 : 2010 e nombre 4 a) 2 4 jours b) 2 jours QUESTION FACULTATIVE : 2010 e nombre 1 II.10

14 Bombyx Bombyx Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points 4 e NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : 3 2 bidons le à 8 h 2 0 PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 : a) C P A L longueur m b) 1 5 min de plus Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points 3 e NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : 2 6, 5 3 x = 6 m y = 1 5 m PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 : molécules longueur du côté 6 m QUESTION FACULTATIVE : périmètre m QUESTION FACULTATIVE : rayon 32 2 ou 2 2 m II.11

15 Bombyx Bombyx Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points 3 e Dérogatoire/DP6 NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : a) 6 4 points m b) points c) 1 1 portes PROBLÈME 4 : PROBLÈME 3 : 15 a) 6 1 km/h 42 b) 7 2 km/h Demi-finales Le 28/01/2010 CATÉGORIE Points 2 de Pro/1 re année CAP NOM Prénom / / DATE DE NAISSANCE ÉTABLISSEMENT N Rallye de l établissement VILLE / PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 : 6 0 % 4 8 % de moutons PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 : 8 fromages secs 1 7 pouces QUESTION FACULTATIVE : chiffre de la case grisée 4 QUESTION FACULTATIVE : 8 20 II.12

16 Demi-finales CM2 As Roi Dame Valet Corrigés donc : B H A G C D E F PROBLÈME 1 : Le père Mathou fait ses courses Prix des chaises : 30,60 4 = 122,40. Quantité de vélos : 43,50 2 = 87 donc c est 2. Prix d'une grenouille : 84 : 7 = 12. On peut vérifier le montant avant remise : 122, , ,00 = 293,40. Remise et prix total à payer : on complète une "soustraction à trous" MONTANT 2 9 3, 4 0 REMISE 0 1 5, 8 5 TOTAL = 2 7 7, 5 5 PROBLÈME 2 : La mère Mathou joue aux cartes Le Roi ne touche qu'une seule carte, le 5 donc H est le Roi et E est le5. Le Valet touche le 7, le 2 et une autre carte, donc le Valet touche trois cartes ; il n'existe que G dans ce cas : G est le Valet D est le 7 ou le 2, F est le 7 ou le 2 La Dame ne touche que le 7 et l'as, donc F ne peut pas être le 7 sinon la Dame ne toucherait pas le 7 puisque les deux seules cartes qui touchent F sont G(le Valet) et D(le 2), ainsi F est le 2 et D est le 7. Le 5 touche plusieurs cartes dont l'as et le 10, donc A est la Dame, B est l'as et C est le 10. PROBLÈME 3 : Les chats et chiens des enfants Mathou On cherche d'abord le nombre de mots supplémentaires : = 11, puis leur prix : 14,40 8,60 = 5,50, et enfin le prix d'un mot supplémentaire : 5,5 = 11 0,5 donc c est 0,50. PROBLÈME 4 : La tour de la famille Mathou Le père Mathou grimpe les marches 7 par 7 donc le nombre de marches est un multiple de 7 ; c est «quelque chose fois sept». Puisque sa femme et ses enfants arrivent au même endroit, le nombre de marches auquel on a retranché 1, est multiple de 2, de 5 et de 3, soit : pour 2 et 5, et pour qu'il soit aussi multiple de 3, il ne reste que Le nombre marches est donc 31, 61 ou 91, mais seul 91 est multiple de 7, puisque 91 = 7 13 (qui se lit «treize fois sept»). Le nombre de marches est donc 91. QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 4 Pour 27 mots, le prix à payer est 8,60 pour les vingt premiers mots et 0,50 par mot pour les sept mots supplémentaires, soit : 8,60 + ( 0,50 7 ) = 12,10. II.13

17 Demi-finales 6 e Corrigés PROBLÈME 1 : Chapeau melon et bottes de cuir a) On appelle i le prix de l imperméable, le prix du chapeau et le prix de la paire de bottes. i + + = 20 mais aussi i + = + 16 de là : = 20 Deux paires de bottes coûtent 4 roubles. Une paire coûte 2 roubles. b) i + = + 16 = 18 mais aussi i = + 9 de là : = 18 Deux chapeaux coûtent 9 roubles ; un chapeau coûte 4,50 roubles. L imperméable coûte 13,50 roubles. PROBLÈME 2 : La multiplication à trou Le résultat est PROBLÈME 3 : La tapisserie Le rayon de la partie creuse mesure 0,7 cm (la moitié de 1,4 cm) ou encore 7 mm. Le rayon du rouleau complet mesure 4,1 cm ou 41 mm (la moitié de 8,2 cm) = 34. Les 68 enroulements de papier peint ont une épaisseur de 34 mm. 68 0,5 = 34 ou 34 : 68 = 0,5. L épaisseur du papier peint est de 0,5 mm ou encore 0,05 cm. PROBLÈME 4 : Le troupeau de Bernard Bernard a fabriqué fromages cette semaine, c est-à-dire 960 par jour : 7 = 960. Pour cela, il lui a fallu litres de lait par jour. 1,5 960 = : 20 = 72. Bernard a 72 vaches dans son troupeau, donc 12 bœufs. QUESTION FACULTATIVE : Le troupeau du voisin Si le voisin a dans son troupeau deux fois plus de vaches que de bœufs, le nombre de bœufs correspond au tiers du nombre de bêtes dans le troupeau et les vaches aux deux tiers. 84 : 3 = 28. Le voisin de Bernard a 28 bœufs. II.14

18 Demi-finales 5 e Corrigés PROBLÈME 1 : Les friandises Si on appelle p le prix, en centimes, d une friandise de Marie, alors les friandises de Sophie coûtent chacune p p = 10 (p 15) 8 p = 10 p p = 150 donc p = 75 Le prix d une friandise de Marie est de 75 centimes ou 0,75. PROBLÈME 2 : Marche à pieds Si, à 15 heures, Isabelle était à treize kilomètres de son but et si, à 16 heures, elle en était à 8 kilomètres, c est qu elle a parcouru 5 kilomètres en une heure ou en 60 minutes. Elle a donc parcouru 1 kilomètre en 12 minutes et elle a mis 96 minutes pour parcourir les 8 derniers kilomètres = min = 1 h 36 min Isabelle est arrivée à 17 h 36. PROBLÈME 3 : La suite de nombres Le premier nombre de la suite est 8 et à partir du deuxième nombre, comme il est pair, le suivant est sa moitié : 4 ; de même le troisième nombre est 2 et le quatrième 1. Ce dernier nombre écrit étant impair, le suivant sera = 3 et ainsi de suite Pierre a obtenu : 8, 4, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3 Pierre a alors constaté une répétition de quatre nombres à partir du deuxième. Pour une suite de 2010 nombres, si on ne tient pas compte du premier, il en reste 2009, c est-à-dire 502 groupes de quatre et un nombre de plus. Le 2010 e nombre de cette suite est 4. PROBLÈME 4 : Les clubs sportifs a) Le premier jour, on a les quatre clubs présents. On appelle le 1 er club A, le 2 e B, le 3 e C et le 4 e D. Si on numérote les jours du premier au 90 e, on obtient par exemple le tableau de présence suivant pour les 15 premiers jours : A A A A A A A A B B B B B C C C C D D D Déjà, on constate qu il n y a aucun des deux clubs A ou C les jours pairs seulement : 2, 4, 6, 8, etc., jusqu à 90 soit 45 jours. B est présent les jours pairs 4, 10, 16 etc. de six en six à partir de 10 ; le plus dur est de les compter : on peut soit les écrire soit remarquer que 10 c est ; 16 = ; le nombre encadré permet justement de les compter ; on arrive ainsi à 88 = : il y a donc 15 jours pairs où B est présent ; = 30 : cela fait 30 jours seulement où il n y a ni A, ni B, ni C. D est présent les jours pairs 6, 16, 26 etc. de dix en dix à partir de 16 ; le plus facile est de les écrire tous jusqu à 86 : il y en a 9. Sur ces 9 jours 3 sont déjà des jours pairs où B est présent : 16 est le premier puis 30 jours plus tard 46 puis ensuite 76 (parce que 30 = 3 10 = 5 6). 9 3 = 6. Aux 30 jours où il n y a ni A, ni B, ni C, on doit enlever encore 6 jours : 30 6 = 24. Aucun club n était présent au cours de 24 jours. b) Par un raisonnement du même genre, on trouve que les quatre clubs se sont retrouvés ensemble que deux jours. (Les jours 1 et 61). QUESTION FACULTATIVE : Une autre suite de nombres La suite est : 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 4 On constate une répétition de quatre nombres c est 502 groupes de quatre et deux nombres en plus. Le 2010 e nombre de cette nouvelle suite est 1. II.15

19 Demi-finales 4 e Corrigés PROBLÈME 1 : Les bidons de Pierre Appelons x le nombre de bidons de 3 L ; le nombre de bidons de 10 L est 57 x. (57 x) x = 346 donc 7 x = 224 puis x = 32. Pierre a 32 bidons de trois litres. PROBLÈME 4 : Le 1 er jardin de Pierre Le demi-périmètre mesure 148 m donc L = 148 l. Faisons un schéma : 12 L - 20 l PROBLÈME 2 : Le long périple de la tortue min = 33 h 30 min (car = ). 33 h 30 min = 1 jour 9 h 30 min. Joséphine est arrivée le 1er janvier à 8h Équation : (L 20) 12 = l 20 donc (128 l) 12 = l 20 Ce qui donne 32 l = 1536 puis l = 48 d où L = 100. On vérifie : = (100 20) ( ). La longueur du jardin avant l élargissement du chemin était de 100 mètres. PROBLÈME 2 : La course contre la montre QUESTION FACULTATIVE : Le 2 e jardin de Pierre Les positions des coureurs sont celles-ci : - au départ : P ; 5 min après : A ; 3 min après : L ; 2 min après : C. - à l arrivée : P ; 4 min après : C ; 3 min après : A ; 10 min après : L. A qui est parti 5 min avant C est arrivé 3 min après lui, A a donc mis 8 minutes de plus que C. P a mis 6 minutes de plus que C. L a mis 7 minutes de plus que A. a) Le classement est par conséquent : C P A L. b) Le quatrième a mis 15 minutes de plus que le premier. II.16 On appelle x le demi-périmètre du rectangle avant l élargissement. L = x 27. Équation : (L 20) 12 = donc (x 47) 12 = 540. Ce qui donne 12 x = 1104 d où x = = 184. Le périmètre du jardin avant l élargissement du chemin était de 184 mètres.

20 Demi-finales 3 e générale Corrigés PROBLÈME 1 : Évolution du prix d un article sur un an Le calcul est le suivant : 26, , , , L indication sur le nombre de jours par mois était juste là pour troubler les esprits! Le prix moyen de cet article à un centime d euro près est de 26,53. PROBLÈME 2 : Charpentes PROBLÈME 3 : Une évaporation d eau Conversions : 1 L = 1 dm 3 ; 1 mm = dm ; 6 cm = dm. Volume d eau évaporé en un jour, en litres : π ( ) ; Poids de ce volume d eau, en grammes : π ( ) ; Proportionnalité permettant d obtenir le nombre de molécules d eau sachant que tous les 18 g il y a 6, molécules : π ( ) = 9 π = π 2 6, , , Le nombre de molécules d eau évaporées en un jour est d environ PROBLÈME 4 : Trapèze Il suffit de tracer successivement l axe de symétrie de la figure, le rayon perpendiculaire à un des deux côtés non parallèles, puis deux segments reliant le centre du cercle aux deux extrémités du précédent côté du trapèze. Par considération de symétrie axiale les cotés non parallèles mesurent 6 m. A B QUESTION FACULTATIVE : Trapèze (suite) Avec le théorème de Thalès, on écrit : 5 y = x = 2 x d où 3 x = 2 (3 + x) puis x = 6 m ; et 2 y = 5 6 ce qui donne y = 15 m. D C II.17 E En considérant le rectangle ABCD et le triangle rectangle BCE, le théorème de Pythagore permet d écrire : rayon = 1 2 BC = 1 2 6² 2² = = 2 2 m.