Exercices de Statistique

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1 Université Joseph Fourier, Grenoble I Licence Sciences et Technologies 2 e année STA230 : Méthodes Statistiques pour la Biologie Exercices de Statistique http ://ljk.imag.fr/membres/bernard.ycart/sta230/ Réponses numériques Les calculs ont été effectués en utilisant un logiciel ; à cause des erreurs d arrondis, il peut y avoir des différences mineures avec les calculs effectués à partir des tables de valeurs statistiques. 1 Données et Modèles 1.1 Distributions empiriques Exercice âge fréq , , , 26, 29 Exercice âge fréq âge fréq. cum âge fréq. cum (0.5, 1.0, 2.0, 0.5, 0.5, 1.0, 0.5, 1.0, 1.0)

2 Exercice (0.985, 1.077, 1.810, 0.779, 0.367, 0.871, 0.046, 1.283, 0.665) 1.2 Probabilités et probabilités conditionnelles Exercice , 0.45, 0.20, 0.6, /2, 1/3, 1/6 3. 1/8, 5/8, 1/4 4. 6/7, 1/7 Exercice Exercice Groupe O A B AB 1. Prob Groupe O A B AB Prob Groupe O A B AB Prob , Loi binomiale Exercice , 0.18, (a) B(4, 0.1), 0.4, 0.36 (b) (c) (a) (b)

3 Exercice (a) (b) (c) oui non 1.4 Loi hypergéométrique Exercice H(32, 4, 8), 1, , H(32, 8, 16), 4, , H(52, 12, 13), 3, , H(49, 6, 6), , , Loi normale Exercice (a) (b) (c) (a) (b) (c) Exercice N ( 3, 4) Exercice (a) (b) (c) (a) (b) (c)

4 Exercice , Exercice Approximation d une loi binomiale par une loi normale Exercice B(150000, 0.4) N (60000, 36000) Exercice Exercice Exercice Exercice

5 2 Estimation paramétrique 2.1 Estimation ponctuelle Exercice , Exercice , Intervalles de confiance pour un échantillon gaussien Exercice , [ ; ] 3. [ ; ] 4. [ ; ] Exercice , [ ; ], [ ; ], [ ; ] 3. [ ; ], [ ; ], [ ; ] 4. [ ; ], [ ; ], [ ; ] Exercice [ ; ] [0.051 ; 0.207] 5. [ ; ] Exercice [ ; ], [ ; ] 2. [ ; ], [ ; ] Exercice [ ; ], [ ; ] 2. [ ; ] 5

6 2.3 Int. de conf. d une espérance pour un grand échantillon Exercice [ ; ], [ ; ] Exercice [ ; ], [ ; ], [ ; ] Exercice [ ; ], [ ; ] Exercice [ ; ], [ ; ], [ ; ] 2. [ ; ], [ ; ], [ ; ] 2.4 Int. de conf. d une probabilité pour un grand échantillon Exercice [ ; ], [ ; ] Exercice [ ; ] Tests statistiques 3.1 Règles de décision, seuil et p-valeur Exercice H 0 : µ = 1000 contre H 1 : µ Rejet de H 0 si X / [960.8 ; ] (5%) ou X / [948.4 ; ] (1%). 2. H 0 : µ = 1000 contre H 1 : µ > Rejet de H 0 si X > (5%) ou X > (1%) , H 0 : µ = 1000 contre H 1 : µ < Rejet de H 0 si X < (5%) ou X < (1%) , Exercice H 0 : µ = 150 contre H 1 : µ < 150. Rejet de H 0 si X < ; oui à 5% ; non à 1% Exercice H 0 : µ = 30 contre H 1 : µ > 30. Rejet de H 0 si X > (5%) ou X > (1%). 2. H 0 : µ = 30 contre H 1 : µ < 30. Rejet de H 0 si X < (5%) ou X < (1%). 6

7 3.2 Tests sur un échantillon Exercice rejet de H 0 si X / [983.7, ] ; rejet de H 0 si X > ; rejet de H 0 si X / [994.8, ] ; rejet de H 0 si X > ; Non : p-valeur= Non : p-valeur= Exercice H 0 : µ = 150 contre H 1 : µ < 150 ; T = 4 (X 150)/5 ; rejet de H 0 si T < T = 3.5 ; rejet de H 0 ; pas de risque ; p-valeur H 0 : µ = 150 contre H 1 : µ < 150 ; T = 3(X 150)/ (S 2 ) ; rejet de H 0 si T < T = ; rejet de H 0 ; pas de risque ; p-valeur Exercice significativement plus légers 2. T = 29 (X 3400)/ S 2 ; rejet de H 0 si T < ; T = ; significativement plus légers ; p-valeur = non ; p-valeur = ; significativement plus légers. Exercice , H 0 acceptée ; p-valeur = T = ; rejet de H 0 si T > ; H 0 acceptée 4. p-valeur = Exercice T = ; rejet de H 0 si T < ; le traitement diminue le poids moyen 2. p-valeur = Exercice T = 10 X/ S 2, où X et S 2 sont la moyenne et la variance empiriques des différences Pneus A - Pneus B. 2. H 0 : µ = 0 contre H 1 : µ 0 7

8 3. H 0 : µ = 0 contre H 1 : µ > 0 4. T = Pas de différence significative (p-valeur = ) ; pas d amélioration significative (p-valeur = ) Exercice T = 8 X/ S 2, où X et S 2 sont la moyenne et la variance empiriques des différences Avant - Après. 2. p-valeur = ; amélioration significative Exercice T = ; p-valeur = ; oui 3. T = 1.87 ; p-valeur = ; oui au seuil de 5%, non au seuil de 1% 4. T = ; p-valeur = ; non Exercice Exercice T = ; p-valeur = ; non T = ; p-valeur = ; non Exercice T = ; p-valeur 0 ; oui 2. T = ; p-valeur 0 ; oui 3. T = ; p-valeur 0 ; oui 3.3 Comparaison de deux échantillons indépendants Exercice T = ; 1/T = ; égalité des variances acceptée ; p-valeur = T = ; p-valeur = 0 ; oui 4. oui Exercice T = ; égalité des variances acceptée ; p-valeur = T = ; p-valeur = non Exercice T = ; égalité des variances acceptée ; p-valeur = T = ; p-valeur = non Exercice T = ; p-valeur =

9 Exercice T = ; égalité des variances acceptée ; p-valeur = p-valeur = pas de différence significative Exercice T = ; p-valeur = l engrais n est pas efficace Exercice p-valeur = ; pas de différence significative Exercice p-valeur = ; pas de différence significative 3.4 Test du khi-deux d ajustement Exercice T = ; p-valeur 0 ; oui 2. T = ; p-valeur = ; oui 3. T = ; p-valeur = ; oui 4. T = ; p-valeur 0 ; oui 5. T = ; p-valeur = ; non Exercice T = ; p-valeur = ; différence significative Exercice T = ; p-valeur = ; différence non significative 2. T = ; p-valeur = ; différence non significative Exercice T = ; p-valeur = ; différence non significative 2. T = ; p-valeur = ; différence non significative 3.5 Test du khi-deux de contingence Exercice T = p-valeur = ; oui Exercice T = p-valeur = ; oui 9

10 Exercice T = p-valeur = ; les deux variables sont indépendantes Exercice T = p-valeur = ; les deux variables sont indépendantes Exercice T = p-valeur 0 ; non 4 Régression linéaire 4.1 Droite de régression et prédiction ponctuelle Exercice y = x Exercice ; ; Exercice ; ; ; Exercice ; ; Exercice y = x

11 4.2 Intervalles de confiance et de prédiction Exercice [2.30 ; 3.35], [ ; 98.3] 2. [37.73 ; 46.34] 3. [17.97 ; 66.10] Exercice [ ; ], [11.56 ; 13.63] 2. [6.15 ; 7.24] 3. [5.54 ; 7.85] Exercice [0.48 ; 1.97], [ ; 22.50] 2. [21.13 ; 37.41] 3. [18.62 ; 39.92] Exercice [0.043 ; 0.060], [ 6.57 ; 4.07] 2. [2.78 ; 3.02] 3. [2.49 ; 3.30] Exercice [0.21 ; 0.55], [2.61 ; 2.96] 2. [12.53 ; 15.91] 3. [11.55 ; 17.25] 4.3 Tests sur une régression Exercice T = ; p-valeur 0 ; pertinence acceptée 2. T = ; p-valeur = H 0 acceptée Exercice T = ; p-valeur 0 ; pertinence acceptée 2. T = 7.02 ; p-valeur 0 ; oui Exercice

12 1. T = ; p-valeur = ; pertinence acceptée 2. H 0 : a = 1 contre H 1 : a 1 ; T = 1.04 ; p-valeur = ; H 0 acceptée H 0 : b = 0 contre H 1 : b 0 ; T = ; p-valeur = ; H 0 acceptée 3. T = ; p-valeur = ; oui Exercice T = ; p-valeur 0 ; pertinence acceptée 2. T = ; p-valeur 0 ; oui Exercice T = ; p-valeur = ; pertinence acceptée 2. T = ; p-valeur = ; oui 12