Analyse factorielle. Thierry Dhorne Institut Universitaire de Technologie de Vannes Université de Bretagne Sud

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1 factorielle Thierry Dhorne www. Institut Universitaire de Technologie de Vannes Université de Bretagne Sud Année Universitaire T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

2 Représentation des composantes des nous avons vu que l analyse des décompose le lien global entre variables qualitatives sur différents sous-espaces ces sous-espaces maximisent successivement la corrélation entre les variables synthétiques des variables disjonctives initiales on peut calculer ces corrélations t (X 1 α)x 2 β = t α t X 1 X 2 β qui sont égales aux objectifs de maximisation c est-à-dire aux valeurs propres des matrices adaptées T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

3 Contributions absolues et relatives chaque modalité (ligne ou colonne) contribue à l inertie globale sur une axe représentée par la valeur propre cette inertie est égale à : n i xi 2, i = 1,..., I pour les lignes n j xj 2, j = 1,..., J pour les colonnes on peut donc facilement calculer ces inerties absolues elles sont appelées contributions absolues (à l axe) il est cependant plus facile d interpréter des contributions normalisées n ix 2 i λ ou njx2 j λ qui somment à 1 elles sont appelées contributions relatives (à l axe) T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

4 Exemple Présidentielles 212 abstentions blancs-nuls Eva JOLY Marine LE PEN on reprend le tableau des résultats du premier tour des élections présidentielles 212, par région Alsace Aquitaine Auvergne Basse-Normandie Bourgogne Bretagne Centre Champagne-Ardenne Corse Franche-Comté Guadeloupe Guyane Haute-Normandie Île-de-France La Réunion Languedoc-Roussillon Limousin Lorraine Martinique Mayotte Midi-Pyrénées Nord-Pas-de-Calais Pays de la Loire Picardie T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID /

5 Exemple : Régions axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe 5 Alsace Aquitaine Auvergne Basse-Normandie Bourgogne Bretagne Centre Champagne-Ardenne Corse Franche-Comté Guadeloupe Guyane Haute-Normandie Île-de-France La Réunion Languedoc-Roussillon Limousin Lorraine Martinique Mayotte Midi-Pyrénées Nord-Pas-de-Calais Pays de la Loire Picardie Poitou-Charentes Provence-Alpes-Côte d'azur Rhône-Alpes T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

6 Exemple : Votes axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe 5 abstentions blancs-nuls Eva JOLY Marine LE PEN Nicolas SARKOZY Jean-Luc MÉLANCHON Philippe POUTOU Nathalie ARTHAUD Jacques CHEMINADE François BAYROU Nicolas DUPONT-AIGNAN François HOLLANDE T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

7 Exemple : Régions Alsace Aquitaine Auvergne Basse Normandie Bourgogne Bretagne Centre Champagne Ardenne Corse Franche Comté Guadeloupe Guyane Haute Normandie Île de France La Réunion Languedoc Roussillon Limousin Lorraine Martinique Mayotte Midi Pyrénées Nord Pas de Calais Pays de la Loire Picardie Poitou Charentes Provence Alpes Côte d'azur Rhône Alpes axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

8 Exemple : Votes abstentions blancs nuls Eva JOLY Marine LE PEN Nicolas SARKOZY Jean Luc MÉLANCHON Philippe POUTOU axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe Nathalie ARTHAUD Jacques CHEMINADE.2 François BAYROU Nicolas DUPONT AIGNAN François HOLLANDE T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

9 Qualité de représentation (corrélation) indépendamment de la contribution une modalité peut être plus ou moins bien représentée on calcule cette qualité par le rapport de la norme de la projection à la norme initiale (éventuellement on extrait la racine carrée) cette quantité étant homogène à un cosinus carré (et donc à une corrélation au carré) on la nomme souvent cor 2 T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

10 Exemple : Régions axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe 5 Alsace Aquitaine Auvergne Basse-Normandie Bourgogne Bretagne Centre Champagne-Ardenne Corse Franche-Comté Guadeloupe Guyane Haute-Normandie Île-de-France La Réunion Languedoc-Roussillon Limousin Lorraine Martinique Mayotte Midi-Pyrénées Nord-Pas-de-Calais Pays de la Loire Picardie Poitou-Charentes Provence-Alpes-Côte d'azur Rhône-Alpes T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

11 Exemple : Votes axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe 5 abstentions blancs-nuls Eva JOLY Marine LE PEN Nicolas SARKOZY Jean-Luc MÉLANCHON Philippe POUTOU Nathalie ARTHAUD Jacques CHEMINADE François BAYROU Nicolas DUPONT-AIGNAN François HOLLANDE T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

12 Exemple : Régions Alsace Aquitaine Auvergne Basse Normandie Bourgogne Bretagne Centre Champagne Ardenne Corse Franche Comté Guadeloupe Guyane Haute Normandie Île de France La Réunion Languedoc Roussillon Limousin Lorraine Martinique Mayotte Midi Pyrénées Nord Pas de Calais Pays de la Loire Picardie Poitou Charentes Provence Alpes Côte d'azur Rhône Alpes axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

13 Exemple : Votes abstentions blancs nuls Eva JOLY Marine LE PEN Nicolas SARKOZY Jean Luc MÉLANCHON Philippe POUTOU Nathalie ARTHAUD Jacques CHEMINADE axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe François BAYROU Nicolas DUPONT AIGNAN François HOLLANDE T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

14 Indicateurs cumulés habituellement, on cumule les qualités de représentation sur les axes car elles se cumulent naturellement sur l ensemble des axes la somme vaut d ailleurs 1 en revanche les contributions ne sont pas (normalement!!) directement cumulables T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

15 Exemple : Régions Alsace Aquitaine Auvergne Basse Normandie Bourgogne Bretagne Centre Champagne Ardenne Corse Franche Comté Guadeloupe Guyane Haute Normandie Île de France La Réunion Languedoc Roussillon Limousin Lorraine Martinique Mayotte Midi Pyrénées Nord Pas de Calais Pays de la Loire Picardie Poitou Charentes Provence Alpes Côte d'azur Rhône Alpes axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

16 Exemple : Votes abstentions blancs nuls Eva JOLY Marine LE PEN Nicolas SARKOZY Jean Luc MÉLANCHON Philippe POUTOU Nathalie ARTHAUD Jacques CHEMINADE axe 1 axe 2 axe 3 axe 4 axe François BAYROU Nicolas DUPONT AIGNAN François HOLLANDE T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

17 Lien entre AFC et ACP après avoir vu l importance du tableau de Burt qui est de forme très proche d une matrice de corrélation on peut se demander ce que donnerait une pseudo-acp du tableau des données disjonctives on rappelle que le tableau de Burt est [ t ] [ ] X 1 X t 1 X 1 X 2 V11 V t X 2 X t = 12 1 X 2 X 2 V 21 V 22 ce tableau est homogène à un tableau de covariance T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

18 Tableau de Burt normalisé le tableau de Burt normalisé est : [ ] 1 [ ] [ ] [ V11 V11 V 12 V 1 = 11 V11 V 12 V 22 V 21 V 22 V 1 V V 22 [ I V 1 = 11 V ] 12 V 1 22 V 21 I ] T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

19 Diagonalisation du tableau de Burt normalisé les éléments propres du tableau de Burt normalisé vérifient (en décomposant sur les modalités de X 1 et de X 2 ) [ I V 1 11 V ] ( ) ( ) 12 α α V 1 22 V = k 21 I β β soit ou α + V 1 11 V 12β = kα V 1 V 1 22 V 21α + β = kβ 11 V 12β = (k 1)α V 1 22 V 21α = (k 1)β T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

20 Identité avec l analyse des le système V 1 11 V 12β = (k 1)α V 1 est équivalent au système 22 V 21α = (k 1)β V 1 11 V 12V 1 V 1 22 V 21V 1 22 V 21α = (k 1) 2 α 11 V 12β = (k 1) 2 β sur lequel on reconnaît les équations de l AFC les valeurs propres sont cependant différentes T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

21 des multiples la procédure précédente est évidemment applicable pour un nombre quelconques de variables qualitatives la diagonalisation du tableau de Burt fournit ce que l on appelle l des Correspondances Multiples du tableau de données initiales. il faut cependant insister sur le fait que les valeurs propres sont différentes en revanche les vecteurs propres sont les mêmes (à une homothétie près) T. Dhorne - www. UBS - IUT Vannes - DUT STID / 21

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