Question 1 Arithmétique binaire (6 pts 30 minutes)

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Ghislaine Lortie
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1 Question 1 Arithmétique binaire (6 pts 30 minutes) ELE1300N Automne Examen final 1/12 Tous les nombres de cette question sont signés et utilisent la représentation en complément à deux. a) Donnez la valeur décimale des nombres binaires suivants : = = = = 1/4 = = = b) Donnez la valeur binaire des nombres décimaux suivants (utilisez le moins de bits possible) : 1.0 = = = = c) Donnez la représentation binaire signée des nombres en octal (base 8) suivants : (8) = (8) = d) Donnez la représentation binaire signée des nombres en hexadécimal (base 16) suivants : +1.A (16) = F (16) = e) Donnez le résultat des additions et soustractions suivante en représentant le résultat avec 4 bits pour la partie entière et 2 bits pour la partie fractionnaire. Indiquez si l'opération a causé un débordement = ; Débordement? OUI = ; Débordement? NON = ; Débordement? NON = ; Débordement? NON

2 Question 2 Chronogrammes (6 pts 20 minutes) ELE1300N Automne Examen final 2/12 Considérant le circuit suivant composé d une bascule D, une bascule T et une bascule JK: Donnez le chronogramme des signaux Y, Z et W sachant que les bascules sont initialisées à 0. Pensez à inclure le délai de propagation de ces composants (leur sortie ne doit varier qu après un court délai suivant l événement déclencheur, soit une division de la grille).

3 ELE1300N Automne Examen final 3/12 Question 3 Synthèse de circuit séquentiel (6 pts 20 minutes) On vous demande de réaliser une machine de Mealy recevant une entrée X et produisant une sortie Z et dont le rôle est de détecter la séquence On supposera que l'entrée est synchrone et varie sur les fronts descendants de l'horloge. Pour vous aider, voici un chronogramme typique de cette machine. a) Proposez un diagramme d'états de votre machine de Mealy.

4 ELE1300N Automne Examen final 4/12 b) Dessinez le circuit de votre machine de Mealy. Vous n'êtes pas obligé de produire le détail des étapes de conception, mais votre circuit doit être en mesure de reproduire le chronogramme de référence si il était soumis aux mêmes entrées ET il doit respecter le diagramme d'états produit à la question 3.a). c) Proposez un circuit ayant le même comportement que votre machine de Mealy mais qui utilise un registre à décalages.

5 ELE1300N Automne Examen final 5/12 Question 4 Analyse de circuit séquentiel (8 pts 30 minutes) Soit le circuit séquentiel suivant, construit avec des bascules D, qui reçoit une entrée X et calcule une sortie Z. a) S agit-il d une machine de Moore ou de Mealy? Justifiez adéquatement votre réponse. Il s'agit d'une machine de Moore puisque z ne dépend que du bit d'état Q 0. b) Faites l analyse de cette machine en utilisant la méthode vue au cours : a. Écrivez les équations logiques de Q 2 +, Q 1 +, Q 0 + et Z Q + 2 = X Q Q Q 1 + = Q 2 Q 0 + = Q 1 Z = Q 0

6 ELE1300N Automne Examen final 6/12 c) Écrivez le tableau de transition/d états Q 2 Q 1 Q 0 État futur Sortie Q + 2 Q Q 0 Z X X ( E 0 ) 000 (E 0 ) 100 (E 4 ) ( E 1 ) 100 (E 4 ) 000 (E 0 ) ( E 2 ) 101 (E 5 ) 001 (E 1 ) ( E 3 ) 001 (E 1 ) 101 (E 5 ) ( E 4 ) 010 (E 2 ) 110 (E 6 ) ( E 5 ) 110 (E 6 ) 010 (E 2 ) ( E 6 ) 111 (E 7 ) 011 (E 3 ) ( E 7 ) 011 (E 3 ) 111 (E 7 ) 1 1 d) En supposant que X vaut 1 et que toutes les bascules sont initialisées à 0 (état inital E 0 ), quel sera l'état de la machine après 7 cycles d'horloge? Après 7 coups d'horloge, la machine revient à l'état E 0.

7 Question 5 Réduction d'états (6 pts 20 minutes) ELE1300N Automne Examen final 7/12 Considérez le tableau d'états suivant: État futur Sortie Z État actuel X X A E B 1 0 B F C 1 0 C F A 1 0 D H A 1 0 E F G 0 1 F E G 0 1 G H D 1 0 H D C 1 0 a) Si possible, simplifiez le tableau au maximum. B (E,F) C (A,B) (E,F) (A,C) D (E,H) (A,B) (A,C) (F,H) (F,H) E X X X X F X X X X G (E,H) (B,D) (F,H) (A,D) (F,H) (A,D) (A,D) X X H (E,D) (B,C) (D,F) (A,C) (D,F) (A,C) (A,C) X X (D,H) (C,D) A B C D E F G

8 ELE1300N Automne Examen final 8/12 b) Déduisez-en votre meilleur diagramme d états. Servez-vous du schéma de la page suivante pour ce faire. Il ressort de l'étude précédente la réduction suivante: A-B-C, D-H, E-F, G. Ceci se traduit par le diagramme d'états suivant: 1/0 0/1 A 1/0 D 0/1 0/1 1/0 E 1/1 G

9 Question 6 Codes et contrôle d erreurs (8 pts 30 min) ELE1300N Automne Examen final 9/12 Vous désirez réaliser un système permettant d'envoyer un message de 4 bits sur un lien de communication numérique. Afin d'immuniser votre lien au bruit environnant, vous décidez d'employer le codage de Hamming. Mais afin d'améliorer votre système, un collègue vous propose la solution suivante: Soit A le mot de 4 bits que vous désirez envoyer. Soit A i un mot de 4 bits, inverse du mot A. Par exemple si A = 1111, A i = Soit X un mot de 7 bits obtenu en codant A en codage de Hamming. Soit X i un mot de 7 bits obtenu en codant A i en codage de Hamming. Plutôt que d'envoyer simplement X, le collègue vous propose d'envoyer X et X i. a) Illustrez la technique de votre collègue avec A = Quels seront les mots X et X i envoyés? Servez-vous des grilles ci-dessous pour votre réponse. X: X i : b) Supposez qu'à la réception, le bit 3 de X ait été altéré et que le bit 7 de X i le soit aussi. Illustrez comment vous seriez en mesure de corriger ces deux erreurs. X: X i : X: c1 = parité(1, 0, 0, 0) = 1; c2 = parité(0, 0, 1, 0) = 1; c3 = parité(1, 0, 1, 0) = 0. Code = 011. Il faut corriger le bit 3. X i : c1 = parité(0, 0, 1, 0) = 1; c2 = parité(1, 0, 0, 0) = 1; c3 = parité(0, 1, 0, 0) = 1. Code = 111. Il faut corriger le bit 7. Suite à ces corrections, X et Xi sont cohérents (l'un est l'inverse de l'autre), ce qui laisse présumer que nous retrouvons bien le message 1010.

10 ELE1300N Automne Examen final 10/12 c) Le code de Hamming permet normalement de détecter deux erreurs mais ne permet pas de les corriger. Montrez comment vous seriez en mesure de détecter et de corriger deux erreurs sur X, en supposant que X i n'ait pas été altéré, que A vaut 1010, que les erreurs sur X sont sur les bits 3 et 5. X: X i : X: c1 = parité(1, 0, 1, 0) = 0; c2 = parité(0, 0, 1, 0) = 1; c3 = parité(1, 1, 1, 0) = 1. Code = 110. Il faut corriger le bit 6. X i : c1 = parité(0, 0, 1, 1) = 0; c2 = parité(1, 0, 0, 1) = 0; c3 = parité(0, 1, 0, 1) = 0. Code = 000. Il n'y a pas d'erreur. Comme X comporte deux erreurs, le récepteur laisse d'abord croire que le bit 6 est erroné, ce qui n'est évidemment pas le cas. Cependant, comme X i ne semble comporter aucune erreur, le récepteur peur constater que corriger le bit 6 provoque une incohérence, puisque le résultat n'est pas l'inverse de Le récepteur conclut alors que X aurait dû être et que par conséquent le message envoyé était bien 1010.

11 ELE1300N Automne Examen final 11/12 d) Montrez comment vous seriez en mesure de détecter (mais pas de corriger) deux erreurs sur X, en supposant qu'un seul bit de X i ait été altéré, que A vaut 1010, que les erreurs sur X sont sur les bits 3 et 5 et que l'erreur sur X i est sur le bit 7. X: X i : X: c1 = parité(1, 0, 1, 0) = 0; c2 = parité(0, 0, 1, 0) = 1; c3 = parité(1, 1, 1, 0) = 1. Code = 110. Il faut corriger le bit 6. X i : c1 = parité(0, 0, 1, 0) = 1; c2 = parité(1, 0, 0, 0) = 1; c3 = parité(0, 1, 0, 0) = 0. Code = 111. Il faut corriger le bit 6. Cependant, le récepteur constate qu'en corrigeant le bit 6 de X et le bit 7 de X i, les deux mots obtenus ne sont pas l'inverse l'un de l'autre, c'est-à-dire que n'est pas l'inverse de Le récepteur peut alors conclure qu'il y a plus d'erreur qu'il ne peut en corriger, et rejettera le message. e) Énoncez clairement les capacités de détection et de correction du système de communication utilisant X et X i. Justifiez votre réponse. Le fait d'inverser les bits de A pour former A i et déterminer X i est strictement identique au fait d'envoyer deux fois X. Autrement dit, le système utilise une redondance dans l'envoi du code de Hamming. Cette redondance augmente la distance minimale du code (M) à 6. Ainsi le système permet de détecter et de corriger deux erreurs, mais il ne permet pas de détecter et de corriger trois erreurs (la détecter est effective cependant).

12 Question BONUS ELE1300N Automne Examen final 12/12 Cette question est facultative. Toutefois, la réussir montrerait que vous maitrisez la matière à un niveau supérieur à ce qui est normalement attendu de vous et nous permettrait de le prendre en note à votre avantage. Donnez une description la plus précise possible du comportement du circuit suivant. Justifiez bien adéquatement votre réponse. Vous pouvez vous aider en complétant le petit chronogramme à la droite du circuit. Chacun des blocs entouré d'un carré pointillé se comporte comme un bistable D, les deux étant arangées dans une configuration maître-esclave, avec le signal de charge de la première (celle sur laquelle X est connecté) de polarité inverse. Par conséquent, le circuit se comporte comme une bascule D sensible au front montant, où X joue le rôle de donnée, Y le rôle du signal de charge (enable) et W la sortie Q. PARADOXE: Bon travail!

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