ECOULEMENTS TURBULENTS

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1 ECOULEMENTS TURBULENTS Base et modélisation Auteur: Julien Réveillon Université de Rouen Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.1/188

2 Introduction - Généralités Observation constante des écoulements turbulents. Les écoulements laminaires sont "l exception". Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.2/188

3 Introduction - Généralités Observation constante des écoulements turbulents. Les écoulements laminaires sont "l exception". Caractère principal : imprévisibilité. Il est possible de prévoir si un écoulement sera turbulent ou non. Par contre, estimer en tout point et à tout instant la vitesse exacte du fluide est impossible. Deuxième point essentiel : mélange. La turbulence peut devenir un outil efficace pour le mélange de fluides ou de particules. Nécessité de compréhension, de prédiction et éventuellement de maîtrise du phénomène. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.3/188

4 Introduction - Généralités Secteurs Spatial-Aéronautique-Automobile. sécurité, aérodynamique, combustion moteurs,... Secteurs Météo et Océanographie. prévisions météo, dispersion de polluants,... Secteurs Hydraulique et Nautique. réduction de la traînée, calcul prise au vent, réduction risques,... Secteurs Nucléaire, Chimique, Transport fluides, Santé. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.4/188

5 Introduction - Caractérisation Expérience de Reynolds : injection d un colorant dans un écoulement de type canal. Le canal a une largeur caractéristique égale à L, le fluide est injecté avec une vitesse débitante U. Sa viscosité est ν. Définition du nombre de Reynolds : Re = UL ν Trois états pour l écoulement : laminaire, transitionel, turbulent Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.5/188

6 Introduction - Caractérisation Expérience de Reynolds : cas laminaire, Re < Re c injection de colorant Ecoulement de type canal, Re < 2000 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.6/188

7 Introduction - Caractérisation Expérience de Reynolds : zone de transition, Re Re c injection de colorant Ecoulement de type canal, Re = 2000 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.7/188

8 Introduction - Caractérisation Expérience de Reynolds : écoulement turbulent, Re > Re c injection de colorant Ecoulement de type canal, Re > 2000 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.8/188

9 Introduction - Caractérisation Signification physique du nombre de Reynolds Re = UL ν = L2 /ν L/U = T vis/t in Il s agit donc du ratio entre deux temps caractéristiques : le temps visqueux qui correspond au temps nécessaire au fluide pour gommer une perturbation quelconque qui apparaît dans l écoulement et le temps cinétique correspondant au temps mis par une particule fluide pour traverser la longueur caractéristique de la géométrie. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.10/188

10 Introduction - Caractérisation Signification physique du nombre de Reynolds gradient de vitesse filets de courant perturbation de l ecoulement Re < Rec Re > Rec La perturbation est gommee par la viscosite Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.11/188

11 Outils d analyse - Opérateur moyenne Décomposition du signal turbulent f entre sa moyenne f et les fluctuations f f = f + f f(x) Signal turbulent mean f f f f f(x) x, ou t Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.12/188

12 Outils d analyse - Opérateur moyenne Moyenne d échantillons f = f 1 + f f N N Espérance mathématique (via la fonction de densité de probabilité) f = fp (f)df Moyenne de favre: prise en compte de la dilatation des gaz f = ρf/ρ Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.13/188

13 Outils d analyse - Opérateur moyenne écoulement homogène : Invariance des propriétés de la turbulence par translation des coordonnées. écoulement isotrope : Invariance des propriétés de la turbulence par rotation des coordonnées et par reflexion par rapport au plan de coordonnées. dans le cas d un écoulement stationnaire (uniforme en 1 temps), T f = lim T T 0 f(x, t)dt dans le cas d un écoulement homogène (uniforme en 1 espace), f = lim Ω Vol(Ω) Ω f(x, t)dx Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.14/188

14 Outils d analyse - Opérateur moyenne Propriétés de l opérateur moyenne f + g = f + g αf = αf, α = cste fg = f g fg f g f ξ = f ξ, ξ = temps ou espace Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.15/188

15 Outils d analyse - Transformée de Fourier Effectuer la transformée de Fourier d un signal fluctuant permet de le caractériser sous la forme de fréquences et d énergie. Il s agit d un angle d analyse totalement différent de celui de l espace physique. Il est souvent indispensable dans le cas des écoulements turbulents car il permet d extraire une cohérence dans un phénomène physique apparemment très chaotique. Transformée de Fourier F h(k) = h(x)e ikx dx Transformée de Fourier inverse F 1 h(x) = h(k)e ikx dk Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.16/188

16 Outils d analyse - Transformée de Fourier Espace physique, caratérisation des tourbillons : par la taille, la position, le temps de retournement. mais enchevêtrement indescriptible des structures. et flux énergétiques non-caractérisés. Espace spectral ou des fréquences : caractérisation par fréquence de rotation et énergie. visualisation possible des flux énergétiques mais perte d une description locale de l écoulement. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.18/188

17 Outils d analyse - Transformée de Fourier Espace physique, caratérisation des tourbillons : E(k) 1 2 k1 k2 k Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.19/188

18 Outils d analyse - Transformée de Fourier Exemple expérimental E(k)/E k/k+ (B. Lecordier / M. Trinité - CORIA) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.20/188

19 Outils d analyse - Transformée de Fourier Exemple Numérique ln(ey(k)) ln(k) (LMFN - CORIA) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.21/188

20 Energie et dissipation Notations champ de vitesse : U fluctuations : u = U U composantes des fluctuations : u i Energie cinétique de la turbulence k = 1 2 u i u i Dissipation de l énergie ε = ν u i x j u i x j Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.22/188

21 Energie et Dissipation Les grandes structures (faible nombre d onde ou fréquence, sont très énegétique et dépendent peu de la viscosité du fluide. La dissipation est négligeable. Les petites structures (grand nombre d onde) sont très dissipatives. Densite spectrale Energie Dissipation k 0 k d k Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.27/188

22 Turbulence : corrélations Les particularités principales d un écoulement turbulent peuvent être résumées par quelques grandeurs caractéristiques liées aux différentes échelles des tourbillons ainsi qu aux fluctuations moyennes du champ. Etude des corrélations longitudinales et transversales des fluctuations de vitesses entre deux points A et B distants de r A x u l (x) r B x+r u (x+r) l A x u t(x) r B x+r u (x+r) t f(r) g(r) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.30/188

23 Turbulence : corrélations Pour une turbulence homogène isotrope, u l (A)2 = u l (B)2 = u t (A)2 = u t (B)2 = u Coefficients de corrélations longitudinales f(r) et transversales g(r), f(r) = u l (x)u l (x + r) u 2 g(r) = u t (x)u t (x + r) u 2 La turbulence étant homogène et isotrope, la moyenne s effectue indifféremment dans Réveillon le -temps Université de Rouen -l espace. reveillon@coria.fr p.31/188

24 Turbulence : corrélations Courbe des corrélations 1 Surface equivalente a l integrale de f(r) f(r) Courbe des correlations longitudinales 0 λ Λ r f f Parabole osculatrice en 0 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.32/188

25 Turbulence : échelle intégrale Echelle liée à la taille des grosses structures de l écoulement : échelle intégrale Λ = Λ f = 0 f(r)dr Echelle liée au maximum du pic énergétique de la courbe spectrale située en K 0 L 0 = 1 K 0 Echelle liée à la production d énergie : l = u 3 ε Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.35/188

26 Turbulence : Reynolds turbulent Le nombre de Reynolds de la turbulence est déterminé à partir de l échelle l. Re t = u l ν Temps de retournement des tourbillons τ ov = Λ u Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.36/188

27 Turbulence : échelle de Kolmogorov L échelle de Kolmogorov correspond aux petites structures dissipatives. fréquence caractéristique τ de ces structures : τ = ( ν ε ) 1/2 vitesse caratéristique : υ = (εν) 1/4 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.37/188

28 Turbulence : échelle de Kolmogorov Par définition, le nombre de Reynolds lié à l échelle de Kolmogorov est de l ordre de l unité Et finalement Re η = υη ν 1 η = ν3/4 ε 1/4 Echelle correspondant au maximum K d du pic de dissipation l d = 1 K d Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.38/188

29 Turbulence : cascade énergétique La puissance dissipée ε par les plus petits tourbillons provient des grandes structures par interactions non-linéaires. Il existe un équilibre entre les forces d inertie (qui ont tendance à étendre le spectre de la turbulence) et les forces visqueuses qui vont agir comme un frein au niveau des grands nombres d onde. Arbitre : nombre de Reynolds Re. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.39/188

30 Turbulence : cascade énergétique Les grandes structures sont crées par le mouvement moyen et dépendent de la géométrie de l écoulement. anisotropes, instationnaire, longue durée de vie. La zone inertielle (transfert énergétique) sert de tampon entre les grandes et les petites structures. les petits tourbillons sont plus indépendants du mouvement moyen, isotropes avec un comportement stable mais une courte durée de vie. Augmenter le nombre de Reynolds ne modifierai pas les grandes structures mais élargirait la zone inertielle. (Si le nombre de Re est déjà important.) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.40/188

31 Turbulence : cascade énergétique Spectre énergétique log(e(k)) Grosses structures Zone inertielle Transfert Energetique Petites structures Production Energetique Dissipation log(k) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.42/188

32 Equations d évolution La détermination des équations d évolution du mouvement fluide se fait grâce à un raisonnement basé sur des particules fluides (niveau moléculaires) plus petites que les plus fines structures de l écoulement. En régime turbulent, les équations de Navier-Stokes représentent bien toutes les structures instantanées de l écoulement. Mais, si les équations sont connues, leur résolution analytique reste à faire... Solution de facilité : résolution numérique Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.43/188

33 Equations d évolution Cependant au delà d un nombre de mach de l ordre de 15, les échelles de Kolmogorov sont proches du niveau moléculaire. Les équations de Navier-Stokes ne sont plus valables Il faut passer aux équations de Boltzman qui décrivent le mouvement au niveau moléculaire. Les équations de Navier-Stokes, quoi qu étant déjà un modèle mathématique, seront considérées comme une représentation exacte de la réalité. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.44/188

34 Equations d évolution Masse ρ t + ρu i x i = 0 Quantité de mouvement ρu i t + ρu iu j x j = P x i + σ ij x j avec σ ij tenseur de cisaillement, σ ij = µ ( Ui x j + U j x i ) 2 3 µ u k x k δ ij Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.45/188

35 Equations d évolution Energie totale ρe t t + (ρe t + P ) U i x i = x i k T x i + σ iju j x i + ρ ω e Fraction Massique ρy t + ρy U i x i = x i [ ρd Y ] x i + ρ ω Y Exercice 2 : Normaliser les équations d évolution afin qu elles ne dépendent que de Re, nombre de Reynolds de référence, µ + viscosité normalisée, P r le nombre de Prandtl et Sc, le nombre de Schmidt. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.46/188

36 Equations d évolution, fluide incompressible Souvent, si le fluide est un liquide ou un gaz inerte, il est considéré comme étant incompressible ρ = constante simplification des expressions les seuls effets énergétiques qui entrent en jeu sont liés à l énergie cinétique. il y a donc séparation des effets cinétiques et thermiques Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.47/188

37 Equations d évolution, fluide incompressible Masse Quantité de mouvement U i x i = 0 U i t + U iu j x j = 1 ρ P x i + ν 2 U i x 2 j Ces deux équations sont suffisantes pour décrire la turbulence dans un écoulement incompressible (l aspect énergétique ou des espèces n est pas abordé pour l instant). Dans le cas d écoulements compressibles, les principes resteront les mêmes mais les équations sont légèrement plus complexes. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.48/188

38 Simulation numérique directe Il est possible de remarquer que les deux équations précédentes (masse, quantité de mouvement) se composent de dérivées d ordre 1 et d ordre 2, quantités que l on sait parfaitement bien calculer numériquement. On peut donc envisager de résoudre ces équations directement avec des méthodes numériques performantes. Il s agit de la Simulation Numérique Directe ou encore DNS (direct numerical simulation). Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.49/188

39 Simulation numérique directe AVANTAGES : Accès à toutes les informations sur la physique de l écoulement : structures, transferts énergétiques, vitesses, dissipations,... Pas de modèles à mettre en œuvre, on se concentre sur la physique des phénomènes étudiés. MAIS : limitations très rapide au niveau des taux de turbulence. N 3 d = (l/η)3 = Re 9/4 t limitations liées à la rapidité et la taille mémoire de l outil informatique. Un schéma numérique draconien, non-dissipatif et très précis est nécessaire. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.50/188

40 Simulation numérique directe Exemple : contraintes de maillage l : echelle representative des grosses structures η: echelle de Kolmogorov Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.51/188

41 RANS - Introduction Techniquement, il est donc impossible de résoudre un configuration industrielle ou expériementale de dimension importante avec la DNS. Il faut donc trouver un moyen plus rapide. Mais With every wich, there comes a curse. Puisque l on ne peut connaître tous les paramètres du fluide en tout point et à tout instant, on va essayer d obtenir une description statistique de ses propriétés à travers leur moyenne et leurs moments d ordre 2, 3 ou plus. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.52/188

42 RANS - Introduction Décomposition du signal turbulent U i entre sa moyenne U i, constante, et sa fluctuation autour de la moyenne u i : U i = U i + u i Exercice 3 : Ecrire les équations d évolution moyennes d un fluide incompressible. Masse Quantité de mouvement U i x i = 0 U i t + U iu j x j = 1 ρ P x i + ν 2 U i x 2 j u iu j x j Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.53/188

43 RANS - Tensions de Reynolds Apparition d un terme de corrélation double non-fermé : R ij = u i u j. (Le terme ρr ij représente les contraintes de Reynolds). Ce terme est issu du terme convectif, il représente la modification de la vitesse moyenne du fait des fluctuations de la turbulence. C est un terme non-fermé, c est à dire que l on ne peut le résoudre directement. Le principal objectif de la modélisation de la turbulence est de trouver un fermeture au terme R ij. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.54/188

44 Flashback : Transport moléculaire Considérons un écoulement cisaillé tel que U = U(y)i Une molécule traversant le plan y = 0 conserve ses propriétés initiales. Celles qui montent apportent un déficit de quantité de mouvement et vice-versa. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.61/188

45 Analogie : Transport moléculaire Schéma de la configuration : y Q U(y) 2 l lpm x P Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.62/188

46 Analogie : Transport moléculaire La vitesse est décomposée comme suit : U = U + u, avec U vitesse moyenne et u mouvement moléculaire stochastique. Le flux instantanée de toute variable à travers le plan y = 0 est proportionel à la vitesse normale au plan, soit v. le flux à travers y = 0 de quantité de mouvement selon x s écrit dp xy = ρ(u + u ) } {{ } 1 v }{{} 2 ds }{{} 3 avec (1) quantité de mouvement, (2) vitesse, (3) surface. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.63/188

47 Analogie : Transport moléculaire en effectuant une moyenne sur l ensemble des molécules, dp xy = ρu v ds le cisaillement en y = 0 est donné par t xy = dp xy /ds soit Forte ressemblance avec t xy = ρu v τ ij = ρu i u j Mais u sont des fluctuations turbulentes et u des fluctuations moléculaires. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.64/188

48 Analogie : Transport moléculaire Prandt (1925) a proposé l hypothèse de longueur de mélange qui est une analogie entre le transport moléculaire et turbulent. Nous avons vu (au niveau moléculaire) : Pourquoi ne pas écrire : t xy = 1 2 ρv thl lpm du dy = ρu v τ xy = 1 2 ρv mixl mix du dy = ρuv Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.72/188

49 Analogie : Transport moléculaire l mix est la longueur de mélange caractéristique des sauts effectués par les particules fluides du fait des mouvements tourbillonaires. v mix est une vitesse de mélange à spécifier. Prandtl proposa, en se basant sur l analyse dimensionelle v mix = cte l mix du dy L hypothèse de longueur de mélange mène donc à τ xy = µ t du dy avec µ t = ρl 2 mix du dy Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.73/188

50 Analogie : Transport moléculaire Justification des approximations. Approx. 1 - Au niveau moléculaire, nous avons toujours l lpm d2 U dy 2 du dy << 1 mais au niveau macroscopique turbulent l mix d2 U dy 2 du dy 0.41 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.74/188

51 Analogie : Transport moléculaire Justification des approximations. Approx. 2 - Au niveau moléculaire, nous avons toujours l lpm << v th du dy Comme précédemment, au niveau macroscopique turbulent l mix v mix du dy 1 1 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.75/188

52 Analogie : Transport moléculaire Hypothèse très limites d où les modèles développés sur cette base n ont pas un large éventail d application. la formulation entière est empirique donc tout va reposer sur les capacités du modèle (le modèle, si il est bon, peut rattraper les approximations grossières ou au moins limiter les erreurs). bonne surprise : si la théorie est limite, les résultats, comparés aux expériences peuvent être excellents. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.76/188

53 Analogie : Diffusion moléculaire Expérience de Couette y u=0 u Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.77/188

54 Analogie : Diffusion moléculaire τ sont les efforts de cisaillement τ = µ du dy avec µ = ρν La viscosité ν traduit l aptitude du milieu à effacer les hétérogénéités. ν s exprime en m 2 /s. Flux de quantité de mouvement q ρu = νgrad V Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.78/188

55 Analogie : Diffusion moléculaire viscosité ν en m 2 /s. flux de quantité de mouvement : q ρu = νgrad V diffusivité thermique a en m 2 /s. flux thermique : q T = agrad (ρc p T ) diffusivité moléculaire D en m 2 /s. flux moléculaire : q Y = Dgrad Y Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.79/188

56 Analogie : Diffusion moléculaire ϕ x ϕ x x PSfrag replacements 2 ϕ x 2 x Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.80/188

57 Analogie : Diffusion moléculaire Soit l équation de diffusion pure où α est la diffusivité de ϕ. dϕ dt = div(αgradϕ) Dans le cas d un problème monodimensionnel : ϕ t = x ( α ϕ x La diffusion laminaire dépend des propriétés physiques du fluide et non pas des conditions de l écoulement. ) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.81/188

58 Analogie : Diffusion moléculaire/turbulente Equation généralisée ϕ t + x j ( ϕuj ) = x j ( α ϕ x j ) ( ) ϕ x u j j ϕ u j représente le transfert de ϕ par les fluctuations turbulentes. Introduction du concept de viscosité turbulente. l effet moyen des fluctuations peut être considéré comme une diffusion à l échelle des tourbillons. cette diffusion turbulente dépendra non pas des propriétés physiques du fluide mais des paramètres de l écoulement (R e, géométrie). Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.82/188

59 Analogie : Diffusion moléculaire/turbulente Diffusion laminaire Moyenne Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.83/188 ANALOGIE

60 Analogie : Diffusion moléculaire/turbulente Expression formelle avec α t égal à µ t, D t, a t. ϕ u j = α t ϕ x j Problème : estimation correcte de α t. Pour modéliser correctement la turbulence, il y a donc deux solutions :. Modéliser ϕ u j directement (équation de transport ou modèles élaborés). Estimer correctement α t Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.84/188

61 Modèle à longueur de mélange (0 équation) Prandtl 1925 ν t = l 2 m U i + U j x j x i soit, avec ϕ fraction massique ou température (scalaire), ϕ u j = l 2 m U i + U j x j x i ϕ x j ou, dans le cas de la quantité de mouvement, u i u j = l 2 m l m longueur de mélange. U i + U j x j x i ( U i x j + U j x i ) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.85/188

62 Modèle à longueur de mélange (0 équation) Pour une même taille l m de tourbillon, l énergie correspondante peut être variable. Plus l énergie des tourbillons est importante plus les gradients de vitesse en présence seront forts d où le modèle de ν t qui dépend non seulement de l 2 m mais aussi du gradient. lm lm Cas 1 Cas 2 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.86/188

63 Modèle à longueur de mélange (0 équation) Nouveau problème : détermination de l m? exemple du jet turbulent : l m = C x, C : constante dépendant du régime et des conditions d injection. écoulements cisaillés (δ tel que U(y) = 99% de U( ). C. de mélange jets plan jets ronds sillage l m /δ Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.87/188

64 Bouquet Final: Modèle k ε (2- équations) Rappel: tout ce qui nous intéresse c est de connaitre u i u j = ν t ( U i x j + U j x i ) avec ν t = C µ k 2 ε Determination de k k t + U j k x j = x i ( (ν + ν t ) k ) x i + P ε avec P = ν t ( U i x j + U j x i ) U i x j Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.110/188

65 Bouquet Final: Modèle k ε (2- équations) Determination de ε ε t + U jε,j = x k [ ] νt ε σ ε x k + ε k (C 1εP C 2ε ε) Valeurs classiques des constantes, (Ecoulements simples). C µ = 0.09 σ ε = 1, 3 C 1ε = 1, 44 C 2ε = 1.92 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.111/188

66 Rôle du modèle de la turbulence Prévisionnel, pas analytique Objectif : prévision numérique des écoulements turbulents et/ou de leur conséqunces. Description approchée Souvent dédiés à une configuration donnée. Un modèle n est pas universel (mais on s en approche) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.112/188

67 Cahier des charges pour le choix d un modèl Ecoulement / Géométrie Précision des données initiales Temps de mise en œuvre Coût calcul Objectifs de résultats Universalité Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.113/188

68 Couche limite turbulente Equations de la couche limite. ρu u x u x + v y = 0 u x + v y = 0 + ρv u y = dp dx + 2 y 2 ( µ u y ρu v ) Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.118/188

69 Couche limite turbulente Décomposition en trois zones u/u lacements y/δ Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.119/188

70 Couche limite turbulente Zone 1 u, v, u, v tendent vers 0. Sous couche visqueuse. Uniquement cisaillement laminaire. Soit, quand y 0, les équations se résument à µ 2 u y 2 = 0 Ce qui nous donne u = Cy Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.120/188

71 Couche limite turbulente Cisaillement à la paroi τ p = µ u y = µc Introduction d une vitesse de frottement u τ telle que u τ = ( τp ρ ) 1/2 et C = τ p µ Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.121/188

72 Couche limite turbulente d où Posons u + = u u τ u = u τ y u τ ν Nous avons alors dans la zone 1 et y + = u τ y ν u + = y + Cette relation est valable pour y < 10. y + est un nombre de Reynolds. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.122/188

73 Couche limite turbulente Zone 2 Une équation du type u + = f(y + ) détermine le profil de vitesse dans ce domaine. Les 4 hypothèses de Prandtl sont utilisées.. Hyp. 1 : Le transfert de quantité de mouvement se produit principalement par la turbulence. y ( ρu v ) = 0 soit ρu v = cte d où τ t = ρu v = τ p = cte avec τ t les contraintes turbulentes. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.123/188

74 Couche limite turbulente PSfrag replacements y/δ 0,05 y/δ 1 ements y/δ τ τ p ρu v µ du dy ρu v µ du dy τ p τ 0,05 Les termes µ du dy et ρu v ont tous les deux une variation très rapide (et inverse) près de la paroi. D où τ p τ τ = µ du dy ρu v = cte pour 0 < y/δ < 0.05 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.124/188

75 Couche limite turbulente. Hyp. 2 Hypothèse (well known) de longueur de mélange. u(y) y + l u y v y - l l du dy Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.125/188

76 Couche limite turbulente Soit une particule fluide en mouvement selon y. Si la particule s éloigne de la paroi (sur une longueur l avant d être absorbée) du fait d une fluctuation v > 0, elle provoquera alors une pertubation u telle que Il en est de même si v < 0. u u(y) u(y l) l du dy Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.126/188

77 Couche limite turbulente. Hyp. 3 Ordres de grandeurs u et v. u x + v y = 0 implique que u et v sont du même ordre de grandeur. De plus ( ) 2 du τ t = ρu v = ρl 2 = τ p = cte dy Mais le signe de τ t doit varier avec celui de du dy donc τ t = ρl 2 du dy du dy et ν t = l 2 du dy Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.127/188

78 Couche limite turbulente. Hyp. 4 Expression de l. l est inconnue mais on sait que l va s accroitre avec la distance à la paroi. L hypothèse la plus simple à poser est Ceci implique l = Ky avec K 0.4 cte de Von Karman soit, en intégrant ( ) 2 du τ t = ρk 2 y 2 = cte dy u + = 1 K ln y+ + cte Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.128/188

79 Couche limite turbulente De manière plus classique, on réécrit le résultat en log base 10, u + = C 1 log y + C 2 où C et C selon les expériences. Bien sur toutes les hypothèses de Prandtl sont approximatives mais les comparaisons avec l expérience sont excellentes pour 30 < y + < 500. La limite supérieure diminuant avec le gradient de pression. La valeur y + = 500 correspond à 5 à 15 pour cent de la couche limite turbulente. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.129/188

80 Couche limite turbulente Zone 3 La distribution de vitesse est en grande partie conditionnée par la présence d un gradient de pression. De manière générale, on aura un profil de vitesse du type soit u u = y δ u + = Cy +1/n avec n = 7 ou n = 8 pour une plaque plane. Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.130/188

81 Couche limite turbulente Coefficient de frottement. En posant Re x = u x/ν, les coefficients de frottement turbulents et laminaires s écrivent : C f turb = 0.055Re 1/5 x C f lam = 0.664Re 1/2 x Cf log Lam Turb log Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.131/188 Rex

82 Exercice 2 Exercice 2 : Normaliser les équations d évolution afin qu elles ne dépendent que de Re, nombre de Reynolds de référence, µ + viscosité normalisée, P r le nombre de Prandtl et Sc, le nombre de Schmidt. Définition des grandeurs d adimensionnement : x = x 0 x + U i = U 0 U i + µ = µ 0 µ + ρ = ρ 0 ρ + e = U 2 0 e + T = U 2 0 /C p0 P = ρ 0 U 2 0 P + Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.167/188

83 Exercice 2 Nombres adimensionnels (basés sur les grandeurs physiques de l écoulement) : Nombre de Reynolds : Re = ρ 0U 0 x 0 µ 0 Nombre de Prandtl : P r = Cpµ λ Nombre de Schmidt : Sc = µ ρd Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.168/188

84 Exercice 2 - Masse L équation d évolution de la masse s écrit ρ t + ρu i x i = 0 Elle peut être directement adimensionnée sous la forme ρ 0 U 0 x 0 ρ + t + + ρ 0U 0 x 0 ρ + U + i x + i = 0 ρ + t + + ρ+ U + i x + i = 0 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.169/188

85 Exercice 2 - Qté de mouvement L équation d évolution de la quantité de mouvement : ρu i t + ρu iu j x j + P x i σ ij x j = 0 est, de même, rapidement adimensionnée tout en portant une attention spéciale au tenseur de cisaillement σ ij ( Ui σ ij = µ + U ) j 2 x j x i 3 µ u k δ ij x k ( ) [µ + σ ij = µ 0U 0 x 0 U + i x + j + U + j x + i 2 3 µ+ u+ k x + k δ ij ] Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.170/188

86 Exercice 2 - Qté de mouvement Tenseur de cisaillement suite : σ ij = ρ 0U 2 0 R e [µ + ( U + i x + j + U + j x + i ) 2 3 µ+ u+ k x + k δ ij ] σ ij = ρ 0U 2 0 R e σ + ij D où, en posant P = ρ 0 U 2 0 P + ρ + U + i t + + ρ+ U + i U + j x + j + P + x + i 1 R e σ + ij x + j = 0 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.171/188

87 Exercice 2 - Energie totale Détaillons l adimensionnement du flux de température : x i k T x i = U 2 0 C p0 x 2 0 = ρ 0U 3 0 x 0 = ρ 0U 3 0 x 0 = ρ 0U 3 0 x 0 x + i x + i x + i x + i k T + [ x + i µ 0 ρ 0 U 0 x 0 [ 1 k µ + C p + R e µc p [ 1 1 µ + C p + R e P r k T + ] µ 0 C p0 x + i T + ] x + i T + ] x + i Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.172/188

88 Exercice 2 - Energie totale Soit l équation complète de l évolution de l énergie totale : ρe t t + (ρe t + p) U i x i x i k T x i σ iju j x i ρ P = 0 que l on peut adimensionner : ρ + e + t t + + ( ρ + e + t + p +) U + i x + i x + i [ ] µ + C p + T + R e P r x + i 1 R e σ + ij U + j x + i ρ + P + = 0 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.173/188

89 Exercice 2 - Energie totale Si C p varie peu on a C p0 = C p et C + p P = U 2 0 t 0 P +. Equation finale : ρ + e + t t + + ( ρ + e + t + p +) U + i x + i x + i = 1 Nous avons [ ] µ + C p + T + R e P r x + i 1 R e σ + ij U + j x + i ρ + P + = 0 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.174/188

90 Exercice 2 - Fractions massiques Equation d évolution : ρy t + ρy U i x i x i [ ρd Y ] x i ρ ω Y = 0 L adimensionnement est immédiat : Avec ω Y = 1 t 0 ω + Y ρ + Y t + + ρ+ Y U + i x + i x + i [ µ + R e S c Y x + i ] ρ + ω + Y = 0 Réveillon - Université de Rouen - reveillon@coria.fr p.175/188