Atelier Algorithmique :

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Gauthier Jolicoeur
il y a 6 ans
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1 Atelier Algorithmique : Exercice 1 : (Terminale STMG) Un capital de 1500 est place a inte re ts compose s au taux de 3,7 % par an. Ecrire un algorithme qui permet de de terminer le rang de l'anne e pour laquelle le capital aura double. Exercice 2 : Évolution d'une population à long terme (chapitre sur les graphes probabilistes) Une re gion se divise en deux zones : une zone A a proximite de la mer et une zone B a proximite d'une grande agglome ration. Ainsi, 20 % des habitants de la zone A partent chaque anne e habiter dans la zone B et 5 % des habitants de la zone B partent habiter chaque anne e dans la zone A. On sait de plus qu'en 2009, le quart de la population se trouvait en zone A. On se propose de de terminer la re partition de la population entre ces deux zones a long terme 1. Avec l'état stable d'un graphe probabiliste a) De terminer le graphe probabiliste associe a la situation ainsi que la matrice de transition M correspondante. b) De terminer l'e tat stable du graphe. c) En de duire la re partition de la population dans la re gion a long terme. 2. Avec un algorithme a) Que repre sentent les nombres A et B dans l'algorithme ci-contre? b) Quelle est la signification des nombres affiche s en sortie? c) Comment choisir N pour conjecturer une re ponse au problème pose? d) Quelle est l'utilite de la variable Aprecedent dans l'algorithme? e) Programmer cet algorithme sous Algobox par exemple, et ve rifier que l'on retrouve bien les re sultats pre ce dents. Entrées Saisir A Saisir B Saisir N Traitement Pour i allant de 1 a N Aprecedent prend la valeur A A prend la valeur 0,8 A+0,05 B B prend la valeur 0,2 Aprecedent+0,95 B FinPour Sortie Afficher (A ;B) 3. Changement d'évolution A partir de l'anne e 2012, une nouvelle zone R dite «rurale» est prise en compte dans la re gion et on estime que chaque anne e : les e changes entre les zones A et B resteront dans les me mes proportions qu'avant 2012 ; la zone R attirera 10 % des habitants de la zone A et 5 % de la zone B ; 3 % des habitants de la zone R iront habiter en zone B et aucun en zone A. Modifier l'algorithme pre ce dent pour conjecturer la nouvelle re partition de la population entre ces trois zones a long terme (quelle que soit la re partition de la population initiale)

2 Exercice 3 : Méthode du point milieu pour l'approximation de l'aire sous une courbe. On suppose que les élèves ont étudié la méthode des rectangles, par exemple à l'aide du fichier 'Aire des rectangles' disponible sur la plateforme. Description de la me thode du point milieu : On considère la fonction de finie sur l'intervalle [0; a ] par f ( x )=x 2, a e tant un re el strictement positif. On subdivise l'intervalle [0; a ] en n intervalles de me me longueur. On de finit la suite (u n ) e gale a la somme des aires des n rectangles, comme ci-contre. Tous ces rectangles ont la me me largeur a et des hauteurs n de finies par les images par f des abscisses des centres de chaque intervalle de la subdivision. 1 ) Quel est l'abscisse du centre du premier intervalle? Du second? En de duire les formules suivantes : u n = ( a n )( f ( 0+ a 2n ) + f ( a n + a 2 n ) + f ( 2a n + a 2 n ) + + f ( ( n 1 ) a n u n = ( a n )( f ( a 2 n ) + f ( 3 a 2n ) + f ( 5a 2 n ) + + f (2 ( n 1 )+1 ) a ( 2n )). + a 2 n )) 2 ) Ecrire un algorithme, qui, pour une fonction f positive donne e, donne la valeur de u n. (les entre es seront a, n et f ). Indication : on pourra se servir de la première formule précédente pour concevoir l'algorithme. 3 ) Programmer cette algorithme, a l'aide d'algobox ou avec la calculatrice. 4 ) Quelle(s) diffe rence(s) peut-on commenter entre la me thode des rectangles e tudie e pre ce demment et la me thode du point milieu? Prolongement possible : pour a=10, un logiciel de calcul formel donne comme valeur exacte de l'aire sous la courbe Modifier l'algorithme pre ce dent pour demander de plus la pre cision souhaite e. 3

3 Exercice 4 : La planche de Galton 1) Construire un algorithme traduit en langage Algobox permettant de simuler une re alisation de la loi binomiale de paramètres n et p, n et p e tant demande s a l'utilisateur. 2) Il s'agit de simuler a 1000 reprises l'expe rience suivante : Une bille est lâche e au-dessus du système ci-contre (sche ma pour n = 4). Elle peut aller avec une probabilite p a droite et une probabilite e gale a 1 p a gauche du premier triangle, elle peut ensuite, toujours avec les me mes probabilite s, aller a gauche ou a droite des triangles des range es infe rieures. Il s'agit de de nombrer, après 1000 lâche s de billes le nombre de billes dans chacune des cases 1 ou 2 ou ou n + 1. Rappel : Si t est une variable de type liste (ou tableau), t[i] pour i 1 (syntaxe Algobox) permet de stocker plusieurs valeurs dans une me me variable et e vite de de signer par des lettres diffe rentes ces variables. L'utilisation des listes n'est pas exigible d'un élève mais peut être utile dans certaines résolutions de problèmes en classe. a) Modifier l'algorithme du 1) de façon a simuler la trajectoire d'une bille en donnant les positions finales dans la liste t et en re pe tant 1000 fois cette expe rience. On supposera la position la plus a gauche correspondant a l'indice 1 (et donc aucun de placement de la bille sur la droite au cours des n e tapes). b) Comple ter l'algorithme pre ce dent de façon a repre senter le diagramme en bâtons associe aux valeurs de la liste t. Il repre sente la distribution des positions finales des 1000 billes. Exe cuter ce programme pour plusieurs valeurs de n et p. Que remarquez-vous sur la distribution des positions finales? c) En conside rant un repère centre en x = np, le the orème de Moivre-Laplace assure que la distribution re duite ou "normalise e" obtenue est proche de celle de la loi normale N(0;1). Comple ter l'algorithme pre ce dent de façon a construire sur le me me graphique les images de tous les entiers entre 1 et n+1 par la fonction f de finie par f ( x )= π n p (1 p ) e ( ( x 1) np ) 2 2 np (1 p ) Après avoir expliqué la construction de cette fonction, le théorème de Moivre-Laplace est-il validé par cette expérience?

4 Ele ments de correction : Exercice 2 : Évolution d'une population à long terme : éléments de correction. On a M =( 0,8 0,2 0,05 0,95) et P=( 0,2 0,8 ) On a =( 0,7 0,05 0 ) M 0,2 0,9 0,03 et P=( 0,1 0,5 0,4) 0,1 0,05 0,97

5 Exercice 3 : 3 ) 2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 4 longueur EST_DU_TYPE NOMBRE 5 image EST_DU_TYPE NOMBRE 6 Somme EST_DU_TYPE NOMBRE 9 LIRE a 10 LIRE n 11 longueur PREND_LA_VALEUR a/n 12 Somme PREND_LA_VALEUR 0 13 POUR i ALLANT_DE 0 A n-1 14 DEBUT_POUR 15 image PREND_LA_VALEUR F1(i*longueur+longueur/2) 16 Somme PREND_LA_VALEUR Somme+image*longueur 17 FIN_POUR 18 AFFICHER Somme 19 FIN_ALGORITHME Fonction numérique utilisée : 22 F1(x)=x*x Exercice 4 : 1) 6 DEBUT_ALGORITHME 7 LIRE n 8 LIRE p 9 s PREND_LA_VALEUR 0 10 POUR k ALLANT_DE 1 A n 11 DEBUT_POUR 12 SI (random()<p) ALORS 13 DEBUT_SI 14 s PREND_LA_VALEUR s+1 15 FIN_SI 16 FIN_POUR 17 AFFICHER s 18 FIN_ALGORITHME 2) a) 6 t EST_DU_TYPE LISTE 9 LIRE n 10 LIRE p 11 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 12 DEBUT_POUR 13 t[k] PREND_LA_VALEUR 0 14 FIN_POUR 15 POUR i ALLANT_DE 1 A DEBUT_POUR 17 s PREND_LA_VALEUR 0 18 POUR k ALLANT_DE 1 A n

6 19 DEBUT_POUR 20 SI (random()<p) ALORS 21 DEBUT_SI 22 s PREND_LA_VALEUR s+1 //1 succès de plus 23 FIN_SI 24 FIN_POUR 25 t[s+1] PREND_LA_VALEUR t[s+1]+1 //la liste commence ses indices à 1 et les succès à 0!!! 26 FIN_POUR 27 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 28 DEBUT_POUR 29 AFFICHER t[k] 30 AFFICHER " " 31 FIN_POUR 32 FIN_ALGORITHME 2) b) 6 t EST_DU_TYPE LISTE 9 LIRE n 10 LIRE p 11 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 12 DEBUT_POUR 13 t[k] PREND_LA_VALEUR 0 14 FIN_POUR 15 POUR i ALLANT_DE 1 A DEBUT_POUR 17 s PREND_LA_VALEUR 0 18 POUR k ALLANT_DE 1 A n 19 DEBUT_POUR 20 SI (random()<p) ALORS 21 DEBUT_SI 22 s PREND_LA_VALEUR s+1 23 FIN_SI 24 FIN_POUR 25 t[s+1] PREND_LA_VALEUR t[s+1]+1 26 FIN_POUR 27 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 28 DEBUT_POUR 29 TRACER_SEGMENT (k,0)->(k,t[k]) 30 FIN_POUR 31 FIN_ALGORITHME

On retrouve la distribution de la binomiale 2) c) 6 t EST_DU_TYPE LISTE 9 LIRE n 10 LIRE p 11 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 12 DEBUT_POUR 13 t[k] PREND_LA_VALEUR 0 14 FIN_POUR 15 POUR i ALLANT_DE 1 A 1000

7 On retrouve la distribution de la binomiale 2) c) 6 t EST_DU_TYPE LISTE 9 LIRE n 10 LIRE p 11 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 12 DEBUT_POUR 13 t[k] PREND_LA_VALEUR 0 14 FIN_POUR 15 POUR i ALLANT_DE 1 A DEBUT_POUR 17 s PREND_LA_VALEUR 0 18 POUR k ALLANT_DE 1 A n 19 DEBUT_POUR 20 SI (random()<p) ALORS 21 DEBUT_SI 22 s PREND_LA_VALEUR s+1 23 FIN_SI 24 FIN_POUR 25 t[s+1] PREND_LA_VALEUR t[s+1]+1 26 FIN_POUR 27 POUR k ALLANT_DE 1 A n+1 28 DEBUT_POUR 29 TRACER_SEGMENT (k,0)->(k,t[k]) 30 TRACER_POINT_Rouge (k,exp(-(pow((k-1)-n*p,2))/(2*n*p*(1-p)))/sqrt(2*math.pi*n*p*(1- p))*1000) 31 FIN_POUR 32 FIN_ALGORITHME

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