Liaisons équivalentes Page : 1

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1 iaisons équivalentes Page : 1 1- Hypothèses de l'étude a suite de ce cours est valable pour : des pièces modélisées par des solides indéformables des liaisons sans frottement des liaisons à contact bilatéral : c'est à dire des liaisons dans lesquelles le contact est supposé maintenu si le sens des actions mécaniques est inversé. Exemple : Pour une liaison ponctuelle entre les pièces 1 et 2, le z contact entre les pièces est supposé maintenu quel que soit le sens des actions mécaniques sur les deux pièces Graphe des liaisons d'un mécanisme Dans le graphe des liaisons d'un mécanisme les solides sont schématisés par des cercles (ou des carrés) et les liaisons par des arcs de courbes joignant ces cercles (ou ces carrés). Exemple : Dans le montage d'usinage ci-contre, les liaisons entre les différents solides sont les suivantes : (1) : glissière de direction x (2) : appui plan de normale x (3) : glissière hélicoïdale d'axe,x (4) : pivot glissant d'axe,y (5) : linéaire rectiligne d'axe I,y, de normale x (6) : appui plan de normale y 2 e graphe de liaison de ce mécanisme fait apparaître les quatre solides en présence réunis par six liaisons : Torseur d'action mécanique d'une liaison Soit une liaison () entre deux solides (S 1) et (S 2), on place un repère R,x,y, z sur la liaison () en tenant compte (pour faciliter l'étude) de ses éléments de symétrie. n peut définir, au point, le torseur d'action mécanique du solide (S 1) sur (S 2) par la liaison () { {T S 1 S 2 }= {X 1/ 2 /2 R S 1 S 2 = Y 1/2 M 1/ 2 M S 1 S 2 } 1/2 N 1/ 2}x,y,z Suivant la nature de la liaison () certaines composantes du torseur {T S 1 S 2 } sont nulles ou 4 6 2

2 iaisons équivalentes Page : 2 liées entre elles par des relations. Remarques : e torseur {T S 1 S 2 } est appelé torseur d'action mécanique de la liaison () es composantes X 1/2, Y 1/2, 1/2, /2, M 1/2, N non nulles sont appelées inconnues Exemple : pour l'exemple de la page précédente, on peut écrire les torseurs des six liaisons répertoriées : { { { T = T = T = { T = }x,y,z }x,y,z { T 5 = }x,y,z }x,y,z { T 6 = }x,y,z }x,y,z 4- iaison équivalente Supposons qu'il existe entre deux pièces (S 1) et (S 2) plusieurs liaisons réalisées avec ou sans pièces intermédiaires. a liaison équivalente à l'ensemble des liaisons situées entre les pièces (S 1) et (S 2) est la liaison théorique () qui a le même comportement que cette association de liaisons, c'est à dire qui transmet la même action mécanique et autorise le même mouvement. S2 S3 S2 41- iaisons en parallèle Définition : Des liaisons sont disposées en parallèle entre deux solides () et (S2) si chaque liaison relie directement ces 2 solides. e torseur d'action mécanique de la liaison équivalente () est égal à la somme des torseurs d'action mécanique de chaque liaison. n {T }= {T i } i=1 Pour le schéma ci-contre soit () la liaison équivalente : {T }={T }{T }{T }{T } S2 Pour qu'une composante du torseur d'action mécanique de la liaison équivalente ne soit pas nulle, il suffit qu'une seule composante correspondante d'une liaison ( i ) ne soit pas nulle. Exemples : Y S 1 S 2 n cherche la liaison équivalente aux liaisons () et () : (1) (2) X : liaison pivot glissant d'axe,x : liaison ponctuelle de normale P,x P

3 iaisons équivalentes Page : 3 es torseurs d'actions mécaniques de ces deux liaisons s'écrivent en dans la base x,y,z : { { T = T = }x,y,z }x,y,z Donc le torseur d'action mécanique de la liaison équivalente s'écrit : { T = }x,y,z Conclusion : les deux liaisons () et (2) sont équivalentes à : une liaison... d'axe... Hyperstatisme et mobilité Remarque : ce chapitre présente une étude simplifiée qui ne saurait être généralisée. e degré d'hyperstatisme h de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle est égale au nombre total N s d'inconnues des torseurs d'actions mécaniques des liaisons, moins le nombre r s de relations indépendantes entre ces inconnues. h=n S r S si h=0 => la liaison est isostatique si h>0 => la liaison est hyperstatique d'ordre h Mobilité : le degré de mobilité de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle est égale à 6 -moins le nombre r s m=6 r S si m = 0 la liaison équivalente est complète si m > 0 la liaison équivalente est dite mobile à m degrés de liberté Exemple : Pour l'exemple ci-dessus nous avons trouvé : { 0 0 { X 2 0 T = Y 1 M 1 T = N 1}x,y,z 0 0}x,y,z T = {X 2 0 Y 1 M 1 1 N 1}x,y,z Nombre d'inconnues dans {T } et {T } : X2, Y1, 1, M1, N1 => soit 5 inconnues => N s =... Nombre de relations indépendantes qu'il est possible d'écrire : 5 (c'est le nombre de composantes non nulle du torseur {T } ) : r s =... Degré d'hyperstatisme h de la liaison équivalente : h=n S r S => h = 5 5 = 0 => la liaison équivalente est... Degré de mobilité : m = 6... =... => la liaison équivalente a... degré de liberté (...)

4 iaisons équivalentes Page : iaisons en série Définition : n liaisons ( ), ( ),..., ( n ) sont en série entre deux solides (S 0 ) et (S n ) si elles sont disposées à la suite l'une de l'autre par l'intermédiaire de (n-1) solides. S0 S2 3 n Sn Pour déterminer la liaison équivalente, il suffit d'écrire que chaque solide situé entre (S 0 ) et (S n ) est en équilibre sous l'action des efforts transmissibles par les deux liaisons qui le concerne (en négligeant le poids du solide) Exemple : Déterminer le torseur statique de la liaison équivalente aux deux liaisons en série entre (S 0 ) et (S 2 ). 1 : iaison plane de normale,z 2 : iaison rotule de centre es torseurs statiques de ces deux liaisons s'écrivent en dans la base,x,y,z : { { T = T = }x,y,z }x,y,z Si on néglige le poids du solide par rapport aux efforts mis en jeu, on peut écrire qu'il est en équilibre sous l'action deux actions représentées par les deux torseurs T et T ; on peut donc écrire : T T =0 soit T = T. Cette égalité induit les six équations suivantes : /X : /Y : / : /N : /M : /N : Donc le torseur statique de la liaison équivalente s'écrit : { T = }x,y,z Conclusion : les deux liaisons ( ) et (2) sont équivalentes à : une liaison... de normale...

5 iaisons équivalentes Page : 5 5- Récapitulatif liaison B: base x,y, z iaisons iaison ponctuelle de centre et de normale x iaison rectiligne d axe x de normale y iaison linéaire annulaire de direction x et de centre iaison rotule de centre iaison appui plan de normale x iaison pivot glissant d axe x iaison pivot d axe x iaison hélicoïdale d axe x de pas h iaison glissière de direction x Schématisation Deg de lib. Torseur des actions mécaniques T S i S k }B 4 Y Y 0 0}B 3 Y 0 0}B 3 0 M 0 N }B 2 Y M 1 Y M { X Y M 1 Avec X=k. { 0 1 Y M Forme du torseur conservée,x,x, y Au point Au point l'espace,x,x,x l'espace