Chapitre 11 : Atomes et solides

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1 Chapitre : Atomes et solides Exercices E. La valeur du module du moment cinétique orbital d un électron dépend de la valeur du nombre quantique orbital. (a) Pour l état 3, selon le tableau., les nombres quantiques sont 3et Avec l équation., on obtient p ( +)} p () ( + )} } (b) Pour l état, selon le tableau., les nombres quantiques sont et 3,cequi donne p (3) (3 + )} } E. Au moyen de l équation., on calcule p ( +)} p ( +) } (365 3 ) ( +)(36) + ( +)( 3) La seule racine positive est 3. E3. Selon le tableau., l état implique que et Les valeurs possibles pour sont ± ± et ±.Autotal,ilyadonc états possibles. E. Selon le tableau., pour la sous-couche de sorte que ± Selon l équation.3, les valeurs possibles pour sont ± }. E5. Si les valeurs possibles de sont et celles de sont ± (a) Selon l équation.3, les valeurs possibles pour sont ± }. (b) Pour, il n y a donc aucun vecteur à décrire. Pour }, etles valeurs possibles de l angle sont données par l équation. et ± : } cos } arccos arccos ou arccos ± On cherche l angle que forme le vecteur L avec l axe des positifs; comme sa valeur doit se situer entre et 8 les valeurs possibles sont E6. Si 3 les valeurs possibles de sont et celles de sont ± ± E7. (a) La valeur maximale de est max. (b) La valeur maximale de correspond à ; la valeur maximale de est donc 96 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides v5

2 max 5 E8. (a) Si 3 les valeurs possibles de sont et celles de sont ± ± (b) On utilise l équation 9.7 et on obtient ( 36 ev) 3 E9. (a) On utilise l équation 9.7 et on obtient ( 36 ev) 3 ( 36 ev)() (3) 6 ev ( 36 ev)(3) () 36 ev (b) Si les valeurs possibles de sont et celles de sont ± E. On obtient la valeur minimale possible de l angle entre L et lorsque Si on a } } et p ( +)} } de sorte que cos min } } min arccos 66 E. Au moyen de l équation., on calcule p ( +)} p ( +) } (583 3 ) ( +)(8) ( +3)( ) Laseuleracinepositiveest et la valeur maximale de est max La valeur maximale de max est alors max max } }. E. Pour chaque niveau, les nombres quantiques et varient selon... ± ± ± ± Le tableau. donne les valeurs possibles de ces nombres pour allant de à Pour 5 on a 3 Pour chaque valeur de les valeurs de et de sont ± ± ± ± ± ± 3 ± ± ± 3 ± ± ± ± 3 ± ± v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides 97

3 Pour chaque valeur de d après le tableau. et celui qui décrit 5 le nombre d états possibles est Nombre d états On compte donc états par niveau. E3. Puisque et sont déterminés avec exactitude et que est le module du vecteur L on peut déduire la somme quadratique +, mais non chacune de ces deux composantes individuellement. Si on utilise les équations. et.3, on trouve que la somme + correspond à + ( +)} } q q + ( +) } CQFD E. (a) Si est parfaitement connu, on a et lim lim } est complètement inconnu (b) Les conclusions de l exercice 3 demeurent vraies, chacune des composantes, prise isolément, est indéterminée, et et sont inconnus. E5. On donne 59 pour le rayon de Bohr. On utilise l équation.8 et on obtient ( ) ( ) ( ) 3 5 (59 9 ) m E6. On donne 59 pour le rayon de Bohr. On utilise l équation.9 et on obtient ( ) ( ) ( ) ( ) (59 9 ) m E7. On utilise l équation.8 et on obtient (a) ( ) ( ) 3 (b) ( ) ( ) 3 ( ) (59 9 ) E8. On utilise l équation.9 et on obtient (a) ( µ ) ( ) ) ( (59 9 ) m 55 9 m 3 65 (59 9 ) 86 8 m 98 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides v5

4 (b) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 3 ( ) E9. Pour démontrer que la fonction d onde de l état fondamental est normalisée, on doit vérifier que l intégrale de la probabilité sur tout l espace est égale à Chaque élément infinitésimal de volume est une mince coquille d épaisseur de sorte que : µ R q 3 3 En appliquant la méthode d intégration par partie, on obtient µ 3 () + R () 3 De nouveau, on intègre par partie : µ () R + CQFD E. Soit le volume d une sphère de rayon On reprend l intégrale de l exercice 8, mais en changeant l une des bornes d intégration : R µ R q 3 R 3 En appliquant deux fois la méthode d intégration par partie, on obtient R µ 3 + R () R µ 3 () + R R µ 3 () 3 R R R 3 CQFD E. L énergie acquise par les électrons est. Oncalculeladifférence de potentiel au moyen de l équation. : (666 3 )(3 8 ) (6 9 )(5 9 ) 8 kev E. L énergie acquise par les électrons est. On calcule la longueur d onde au moyen de l équation. : (666 3 )(3 8 ) 96 (6 9 )(5 3 ) m E3. Les données conduisant à la loi de Moseley pour la fréquence de la raie sont présentées à la figure.9. La constante de l équation. correspond à la pente de la droite qui apparaît dans le graphe. On l évalue directement pour obtenir 5 7 Hz. v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides 99

5 E. Si les électrons subissent une différence de potentiel la longueur d onde minimale des rayons X émis s écrit aussi sous la forme (666 3 )(3 8 ) 3 nm V CQFD (6 9 ) E5. La figure.8 illustre comment les raies caractéristiques des rayons X sont désignées d après le niveau le plus bas dans la transition. Les énergies, et donc les fréquences, des raies émises en cascade et s additionnent, et ainsi, pour le molybdène, les fréquences des raies et permettent de calculer celle de la raie : 63 nm 7 nm 559 nm E6. À l aide la loi de Moseley, on peut exprimer les rapports de longueur d onde des raies en termes de rapports de numéros atomiques : p ( ) p ( ) ( ) ( ) Pour le molybdène ( ), on donne 7 nm. (a) Pour l argent ( 7), ontrouve 6 (7 nm) 56 nm (b) Pour le fer ( 6), ontrouve 5 (7 nm) 9 nm E7. Au moyen de l équation., on calcule l énergie nécessaire à chacune des transitions : (666 3 )(3 8 ) ev (7 9 ) 6 9 J 78 ev (666 3 )(3 8 ) ev 97 ev (63 9 ) 6 9 J On détermine ensuite l énergie des niveaux voisins au moyen de la figure.8 : ( 87 ev) (78 ev) 3 + ( 68 ev) + (97 ev) 6 kev 6 kev E8. La configuration de l atome d argon [Ar] indique que le niveau 3 est possède 3 électrons dans la sous-couche 3 La configuration électronique 3 3 obéit donc à l ordre de remplissage normal décrit à la figure., car la sous-couche est remplie (elle contient électrons). D après le tableau périodique de l annexe D, cette configuration est celle du Vanadium. E9. Un atome d oxygène possède la configuration électronique et contient 8 électrons auxquels on associe les nombres quantiques suivants : Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides v5

6 ( ) ± ± ± ± E3. En ne considérant pas le nombre quantique de spin, on arrive à 3 à 5 6 à 5 ± ± ± Les éléments nobles sont ceux qui présentent des sous-couches complètes, soit les numéros 5 et donc le groupe hydrogène, bore, silicium. E3. On donne 3 On utilise l équation. et le module de l équation., et on obtient } p (6 ( +) 9 )(666 3 ) (9 3 )() 3 3 J/T L E3. L atome d argent possède un moment cinétique orbital nul ; son moment magnétique orbital est donc nul, et on ne peut que lui associer un moment magnétique de spin. Les deux valeurs possibles de sont B ± B (a) On donne B k T; selon l équation.3, les deux valeurs possibles de l énergie potentielle sont B ± B () ± 97 () ±37 J (b) La différence d énergie entre les deux niveaux détermine la fréquence du photon de transition : + (37 ) ( 37 ) GHz E33. En présence d un champ magnétique, le sodium de configuration électronique 3 émet un doublet de raies à 589 nm et à 5896 nm lors de transitions vers le niveau fondamental. (a) La différence d énergie entre les états excités est de ev 6 9 J mev (b) Comme à l exercice 3, les deux valeurs possibles de sont B ± B,et v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides

7 la relation entre la différence d énergie et la composante du champ magnétique selon est encore B ± B Le résultat obtenu en (a) correspond à la différence entre les deux valeurs de Ainsi + B ( B ) B µ 6 9 J ( mev) ev B (97 ) 85 T E3. L atome d argent possède un moment cinétique orbital nul L ; son moment magnétique orbital est donc nul, et on ne peut que lui associer un moment magnétique de spin. Les deux valeurs possibles de sont B ± B La composante de force selon que subit l atome de masse 8 5 kg en mouvement sous l action du champ magnétique non uniforme est ± B ± 97 () ± N (a) m/s 5 (b) On calcule l amplitude de la déviation verticale pour un parcours horizontal sur Problèmes cm en considérant que l accélération agit de façon constante pendant le temps de vol horizontal à la vitesse m/s dans le champ magnétique : 5 s mm P. On obtient la valeur la plus probable en calculant la valeur de pour laquelle () au moyen de l équation.9. Comme deux maxima sont visibles à la figure.5, on ne conserveraquelemaximumabsolu. Dans le logiciel Maple, on définit l expression de () et on calcule la dérivée de cette expression par rapport à. On résout ensuite l équation () : restart; Ps:(r^/(8.*r^3))*(-r/r)^*exp(-r/r); dps:diff(ps,r); solve(dps,r); Le logiciel donne valeurs de Pour identifier le bon résultat, on doit faire un graphique de () et localiser la valeur de qui correspond au maximum absolu : r:; Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides v5

8 plot(ps,r..7*r); Le graphe confirme que la valeur à conserver est 5 CQFD P. La dépendance radiale de la fonction d onde pour l état dans l hydrogène s exprime par () On obtient la valeur la plus probable en calculant la valeur de pour laquelle () au moyen de () () 3 µ 3 () µ + 3 Cette égalité est vraie pour, ou encore pour CQFD P3. On reprend la même solution qu à l exercice, mais en changeant les bornes d intégration : R R R 3 3 Ã () R 3 76 CQFD q P. On donne 3 et, etoncalcule hi µ R q 3 3 3! 3 + En appliquant la méthode d intégration par partie, on obtient µ hi 3 3 R 3 hi 3 3 µ + 3 µ L intégrale qui reste entre parenthèses représente la distribution de probabilité sur tout l espace, et, comme on l a vu à l exercice 9, cette inégrale vaut de sorte que hi 3 () hi 5 CQFD P5. L énergie cinétique gagnée par l électron provient de l accélération que provoque la différence de potentiel kv, soit, et l expression relativiste de cette énergie pour l électron est ( ) ( ) + (6 9 )( 3 ) +78 (9 3 )(3 8 ) v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides 3

9 Au moyen de l équation 8.7, on trouve ensuite q µ 3 8q 37 (78) Finalement, avec l expressionrelativistedumoduledelaquantitédemouvement, on trouve la longueur d onde de Broglie : (78)(9 3 )(37)(3 8 ) 6 pm P6. Dans le logiciel Maple, on définit l expression de () et () On donne une valeur arbitraire à et on trace le graphe demandé : restart; Ps:*r^*exp(-*r/r)/r^3; Ps:(r^/(8.*r^3))*(-r/r)^*exp(-r/r); r:; plot([ps,ps],r..*r,color[red,blue]); Ondes, optique et physique moderne, Chapitre : Atomes et solides v5