Hommage à Benoît Mandelbrot, par Bernard Sapoval

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1 Hommage à Benoît Mandelbrot, par Bernard Sapoval Benoît Mandelbrot, né à Varsovie en 1924 est décédé à Cambridge (Massachusetts), en octobre Il a fait ses études à l École polytechnique, soutenu une thèse à l Université de Paris avant de partir faire un post-doc. à Caltech. Membre du CNRS, il est devenu enseignant à l Université de Lille et à l Ecole polytechnique. En 1958, il est parti pour effectuer un stage de quelques mois chez IBM, mais il y a finalement réalisé l essentiel de sa carrière avant de devenir Professeur à l Université de Yale. Il est devenu IBM Fellow en 1974, avant même que le mot de fractale ne se développe. C est dire l ampleur de son œuvre préliminaire. Mais l œuvre principale de Benoît Mandelbrot a été l invention du concept de géométrie fractale à partir des années 70. Introduction à la géométrie fractale Il est assez simple de comprendre le concept de géométrie fractale à partir des schémas ci-dessus. Vous coupez le premier segment horizontal du haut de l image en trois parties égales et ôtez la partie du milieu pour la remplacer par le petit chapeau que vous voyez. Vous obtenez quatre segments de longueur un tiers. La longueur de cette nouvelle ligne est donc plus grande que celle du segment initial. Si vous faites une itération (répétition) de cette opération sur chacun des nouveaux segments, vous multipliez à chaque fois la longueur de la courbe par 4/3. Si vous disposez d outils conceptuels qui permettent d effectuer une infinité d itérations, vous obtenez une courbe d une longueur 1

2 infinie dont vous pouvez pourtant regarder l image en bas de la figure. On peut associer à cet objet très irrégulier une notion de dimension qui est une extension de la dimension familière. Par exemple, un cube est un volume donc un objet de dimension 3. Vous prenez ce cube et le coupez en 8 parties égales. Si vous considérez le petit cube obtenu et que vous l agrandissez d un facteur 2, vous récupérez le cube initial. Cette hiérarchie toute simple, familière, s exprime par un rapport entre le facteur 2 et le nombre de parties. 8 ou 8 = 2 3, donc 2 D où D =3 est la dimension familière d un volume. C est pour cette raison que l on mesure les volumes en m 3. La notion de dimension est bien attachée à la façon dont on doit mesurer un objet. Vous pouvez effectuer la même opération sur cette courbe. On peut la séparer en quatre parties égales et pour récupérer l objet initial à partir d une des parties, vous la dilatez d un facteur 3. Entre 4 et 3, il existe une relation un peu plus compliquée. Quatre est égal à trois à une certaine puissance égale à (log4/log3). Cette puissance log4/log3 est donc la «dimension fractale» de cette courbe compliquée. Mais cette dimension est un nombre plus grand que 1. Ce n est ni 1 pour une ligne, ni 2 pour une surface, ni 3 pour un volume. Notons que la côte nord de la Bretagne ressemble vaguement à cette courbe avec ses golfes, ses baies, ses anses, ses criques. Une telle structure est dite invariante d échelle car une partie ressemble à l ensemble à une dilatation près, comme le cube. 2

3 Dans la nature, il existe de très nombreux objets fractals de toutes natures et de toutes tailles. Citons quelques exemples. Ci-dessus, un bassin fluvial en Chine composé de fleuves, de rivières et d affluents de plus en plus petits. L échelle globale est de 300 km. Chaque partie de ce bassin ressemble grossièrement à l ensemble. C est une géométrie fractale. Ci-dessus, une décharge électrique dans un bloc de résine acrylique. L échelle globale est de 10 cm. En rouge, les veines et les artères dans le foie d un enfant. C est aussi une structure arborescente. 3

4 Ci-dessus, notre système pulmonaire. Si vous regardez de plus près, vous voyez la morphologie de cette arborescence qui est identique chez l homme (en haut à droite) et le rat (en bas à droite). On peut d ailleurs démontrer que le meilleur arbre bronchique serait fractal. Le nôtre est presque parfait, mais nous comprenons la raison du «presque». Pourquoi et quand trouve-t-on des fractales dans la nature? Tout n est pas fractal mais beaucoup de structures naturelles sont fractales. La courbe de Koch, cette ligne irrégulière, présentait une longueur infinie. Si vous considérez par exemple un processus, soit industriel, soit vivant, qui nécessite d avoir un grand flux de matière ou d électricité à travers une surface et que vous ne souhaitez pas que la surface occupe plusieurs mètres cubes, vous avez besoin d objets qui ont beaucoup de surface dans un volume restreint, et une géométrie fractale fera l affaire. On trouve cette exigence pour les batteries mais aussi pour les racines des plantes qui ont besoin de beaucoup de surface pour échanger eau et sels minéraux avec leur environnement. Autre occurrence des fractales : - Les réseaux de distribution ou de collecte: Un bassin fluvial collecte l eau. Les bronches permettent à l air extérieur d arriver vers les alvéoles pulmonaires où se font les échanges gazeux (oxygène et gaz carbonique) avec le sang. - Les dimensions non entières sont des outils conceptuels très utiles dans l étude du chaos déterministe. - En physique, il apparaît que beaucoup de processus aléatoires fabriquent naturellement des structures hiérarchiques fractales. Si vous observiez la marche au hasard d un homme sur une place, vous verriez que son déplacement est fractal. Le mouvement brownien, la diffusion, les fluctuations financières sont fractales. Benoît Mandelbrot a été pionnier en montrant que les fluctuations financières ne suivaient pas les lois gaussiennes. Or, ces géométries construites par le hasard sont universelles. L universalité est un mot que l on utilise en physique statistique pour décrire l existence de systèmes de nature très différente qui finalement construisent des géométries de même dimension fractale. En voici quelques exemples : 4

5 A gauche, une simulation numérique où l on voit des particules, des atomes par exemple, qui diffusent à partir d une source située en haut de l écran à gauche. Quelques unes des particules en rose, dans leur marche au hasard, se sont éloignées. Si ces atomes sont métalliques, la géométrie du contact électrique est représentée par cette courbe jaune très compliquée. Nous avons conjecturé qu elle était fractale avec une dimension égale à 7/4= 1, Il est fascinant que cette courbe si complexe puisse être décrite par des nombres si simples. Cela a été réellement démontré par Stanislav Smirnov qui a reçu la médaille Fields en A droite, une image expérimentale. Richard Wool a mesuré sur cette expérience une dimension fractale non pas de 1,75 mais de 1,72. Je termine avec cette autre image d universalité. Benoît Mandelbrot a donné des outils qui permettent d observer que des choses sont identiques bien qu elles se présentent dans des contextes totalement différents. Telle est la puissance de son concept qui au fond est un concept mathématique. En haut, vous observez une figure de corrosion. La ligne qui sépare l espace corrodé en gris de l espace blanc avec les îlots noirs est une courbe fractale d une dimension fractale proche de 4/3. 5

6 En bas à droite, il s agit d une image de la côte nord-est de la Sardaigne qui a une dimension fractale mesurée égale à 4/3. En bas à gauche, il s agit d une simulation numérique où, par hasard, on a trouvé une sorte de pseudo Sardaigne de même dimension. Malgré les différentes échelles, ces images ont en commun leur dimension fractale égale à 4/3 et nous savons depuis peu précisément pourquoi. Mais Si Benoît Mandelbrot n avait pas existé, nous ne l aurions même pas imaginé. 6