21/10/2011. Introduction. Apprentissage : Rappel. 1. SVM principe de fonctionnement général
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- Arnaud Beauséjour
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1 SVM : Machines a Vecteurs de Support ou Separateurs a Vastes Marges 1. SVM principe de fonctionnement general 2. Fondements mathématiques 3. Cas non linéairement séparable Introduction SVM est une méthode de classification binaire par apprentissage supervise introduite par Vapnik en 1995 repose sur l existence d un classificateur linéaire dans un espace approprié problème de classification a deux classes, cette méthode fait appel a un jeu de données d'apprentissage pour apprendre les paramètres du modèle basée sur l'utilisation de fonction dites noyau (kernel) qui permettent une séparation optimale des données Apprentissage : Rappel Apprentissage par induction : permet d'arriver a des conclusions par l'examen d'exemples particuliers Apprentissage : supervisé ou non supervisé SVM : apprentissage supervisé Objectif: apprendre une fonction qui correspond aux exemples vus et qui prédit les sorties pour les entrées qui n'ont pas encore été vues Exemples de problèmes d'apprentissage Reconnaissance de formes Reconnaissance de chiffres manuscrits (après segmentation: codes postaux) Reconnaissance de visages Entrées: image bidimensionnelle en couleur ou en niveaux de gris Sortie: classe (chiffre, personne) Catégorisation de textes Classification d' s Classification de pages web Entrées: document (texte ou html) Sortie: catégorie (thème, spam/non-spam) Diagnostic médical Evaluation des risques de cancer Detection d'arythmie cardiaque Entrées: etat du patient (sexe, age, bilan sanguin, génome...) Sortie: classe (à risque ou non) 1. SVM principe de fonctionnement général Notions de base : Hyperplan, marge et support vecteur But de SVM : trouver un classificateur qui va séparer les données et maximiser la distance entre ces deux classes Ce classificateur est un classificateur linéaire appelé hyperplan On détermine un hyperplan qui sépare les deux ensembles de points Les points les plus proches, qui seuls sont utilises pour la détermination de l hyperplan, sont appelés vecteurs de support. 1
2 Notions de base : Hyperplan, marge et support vecteur Il existe une multitude d hyperplans valides Propriété des SVM : cet hyperplan doit être optimal celui qui passe «au milieu» des points des deux classes d exemples (= hyperplan le «plus sur»). Notions de base : Hyperplan, marge et support vecteur hyperplan dont la distance minimale aux exemples d apprentissage est maximale On appelle cette distance «marge» entre l hyperplan et les exemples L hyperplan séparateur optimal est celui qui maximise la marge. Comme on cherche a maximiser cette marge, on parlera de séparateurs à vaste marge. Notions de base : Hyperplan, marge et support vecteur Pourquoi maximiser la marge? Marge plus large => plus de sécurité lorsque l'on classe un nouvel exemple Idée: se comporte le mieux sur des données d'apprentissage => meilleur classement des nouveaux exemples Classification d un nouvel exemple (classe inconnue) Linéarité et non-linéarité modèles des SVM : cas linéairement séparable (classificateur linéaire facile à trouver) cas non linéairement séparable (la plupart des pb réels) 2
3 Cas non linéaire Idée des SVM : changer l espace des données séparation linéaire des exemples dans un nouvel espace changement de dimension Probabilité plus élevée de trouver un hyperplan séparateur Nouvelle dimension est appelée espace de re-description Exemple de transformation de cas non linéaire : le cas XOR cas de XOR: non linéairement séparable, Coordonnées des points : (0,0) ; (0,1) ; (1,0) ; (1,1) fonction polynomiale (x, y) (x, y, x.y) qui fait passer d'un espace de dimension 2 a un espace de dimension 3 problème en 3D linéairement séparable : (0,0) (0,0,0) (0,1) (0,1,0) (1,0) (1,0,0) (1,1) (1,1,1) Illustration de transformation de cas non linéaire : le cas XOR Cas non linéaire = Transformation d un problème de séparation non linéaire dans l espace de représentation en un problème de séparation linéaire dans un espace de re-description de plus grande dimension Transformation non linéaire réalisée via une fonction noyau Quelques familles de fonctions noyau paramétrables sont connues il revient a l utilisateur de SVM d effectuer des tests pour déterminer celle qui convient le mieux pour son application. Exemples de noyaux : polynomial, gaussien, sigmoïde et laplacien 2. Fondements mathématiques Problème d'apprentissage phénomène f (éventuellement non déterministe) qui, a partir d'un certain jeu d'entrées x, produit une sortie y = f(x). But : retrouver cette fonction f a partir de la seule observation d'un certain nombre de couples entrée-sortie{(xi; yi) : i = 1,.., n} afin de «prédire» d autres événements Soit un couple (X, Y ) de variables aléatoires a valeurs dans X x Y. Seul le cas Y = {-1, 1} (classification) nous intéresse ici (on peut facilement étendre au cas card(y) = m > 2 et au cas Y = R). La distribution jointe de (X, Y ) est inconnue. Sachant qu on observe un échantillon S = {(X1, Y1),...,(Xn, Yn)} de n copies indépendantes de (X, Y ), on veut: construire une fonction h : X Y telle que P(h(X)!= Y ) soit minimale. 3
4 Illustration Trouver une frontière de décision qui sépare l'espace en deux régions (pas forcement connexes). trouver une frontière assez éloignée des points de différentes classes Sur et sous-apprentissage Classification a valeurs réelles Plutôt que de construire directement h : X {-1, 1}, on construit : f : X R (ensemble des réels). La classe est donnée par le signe de f : h = signe(f). L'erreur se calcule avec P(h(X)!= Y ) = P(Y.f(X) 0). Ceci donne une certaine idée de la confiance dans la classification. Idéalement, Y.f(X) est proportionnel a P(Y X). Y.f(X) représente la marge de f en (X,Y). Le but a atteindre est la construction de f et donc h. Nous allons voir comment y parvenir Transformation des entrées Il est peut être nécessaire de transformer les entrées dans le but de les traiter plus facilement. X est un espace quelconque d'objets. On transforme les entrées en vecteurs dans un espace F (feature space) par une fonction : Φ : X F Rq: F n est pas nécessairement de dimension finie mais dispose d'un produit scalaire (espace de Hilbert). La non-linéarité est traitée dans cette transformation, on peut donc choisir une séparation linéaire (on verra plus loin comment on arrive a ramener un problème non linéaire en un problème linéaire classique). Des lors, il s agit de choisir l hyperplan optimal qui classifie correctement les données (lorsque c'est possible) et qui se trouve le plus loin possible de tous les points a classer. l hyperplan séparateur choisi devra avoir une marge maximale Maximisation de la marge Dans un modèle linéaire (figure), on a f(x) = w.x + w0. L'hyperplan séparateur (frontière de décision) a donc pour équation: w.x + w0 = 0 La distance d'un point au plan est donnée par d(x) = w.x + w0 / w L hyperplan optimal est celui pour lequel la distance aux points les plus proches (marge) est maximale. Soient x1 et x2 deux points de classes différentes (f(x1) = +1 et f(x2) = -1) (w.x1) + w0 = +1 et (w.x2) + w0 = -1 donc (w.(x1 - x2)) = 2 D ou : (w/ w. (x1 - x2)) = 2/ w. On peut donc en déduire que maximiser la marge revient a minimiser w sous certaines contraintes (voir plus tard) Problème primal On cherche h sous forme d une fonction linéaire : h(x) = w.x + w0 La surface de séparation est donc l hyperplan : w. x w0 0 Elle est valide si i y i h( xi) 0 L hyperplan est dit sous forme canonique lorsque : ou encore : min w. x w0 1 i i y ( w. x w0) 1 i i 4
5 Problème primal La recherche de l hyperplan optimal revient donc à minimiser w, soit à résoudre le problème d optimisation suivant qui porte sur les paramètres w et w0 : Problème primal Le lagrangien est la somme de la fonction objectif et d une combinaison linéaire des contraintes. Les coefficients sont appelés multiplicateurs de Lagrange ou variables duales. Cette écriture du problème, appelée formulation primale, implique le réglage de d + 1 paramètres, d étant la dimension de l espace des entrées X. Cela sera inenvisageable pour des valeurs de d très élevées, quand on travaillera dans (X). Le problème primal et sa formulation duale ont la même solution qui correspond à un point-selle du lagrangien il faut : le minimiser par rapport aux variables primaires w et w0 le maximiser par rapport aux variables duales Problème primal Au point-selle, la dérivée du Lagrangien par rapport aux variables primaires doit s annuler. Ceci s écrit : Et conduit à : Solution (problème dual) On élimine les variables primaires et l on obtient la forme duale du problème d optimisation. C est un problème quadratique. Trouver les multiplicateurs de Lagrange tels que : Et à : Intuitif et remarquable En pratique, seuls les points qui sont sur les hyperplans frontière (xi.w) + w0 = ±1 jouent un rôle, car les multiplicateurs de Lagrange sont non nuls pour ces seuls points. Ils sont appelés vecteurs de support ou exemples critiques. Le vecteur solution w* a donc une expression en termes d un sous-ensemble des exemples d apprentissage : les exemples critiques. C est en même temps intuitivement satisfaisant puisque l on voit bien que l hyperplan solution est entièrement déterminé par ces exemples. Solution L hyperplan solution correspondant peut alors être écrit : où les sont solution de l équation précédente et w0 est obtenue en utilisant n importe quel exemple critique dans l équation : 5
6 Remarques sur la solution L hyperplan solution ne requiert que le calcul des produits scalaires (x. xi) entre des vecteurs de l espace d entrée X. La solution ne dépend plus de la dimension d de l espace d entrée, mais de la taille m de l échantillon de données et même du nombre mc d exemples critiques qui est généralement bien inférieur à m. Les méthodes d optimisation quadratique standards suffisent pour la plupart des cas. 3. Cas non linéairement séparable La majorité des cas!!! Cas d un échantillon non linéairement séparable Cas d un échantillon non linéairement séparable Passage par un espace de re-description Transformation non linéaire réalisée via une fonction noyau Plus la dimension de l espace de description est grande, plus la probabilité de pouvoir trouver un hyperplan séparateur entre les exemples et les contre-exemples est élevée. En transformant l espace d entrée en un espace de re-description de très grande dimension, éventuellement infinie, il devient donc possible d envisager d utiliser la méthode des SVM. Notons une transformation non linéaire de l espace d entrée X en un espace de re-description Φ (X) : Passage par un espace de re-description 6
7 Les fonctions noyau Les fonctions noyau La Fonction noyau polynomiale D autres fonctions noyau La mise en pratique Exemple : données d'apprentissage Il faut choisir : Le type de fonction noyau K Sa forme Ses paramètres La valeur de la constante C La sélection rigoureuse de ces paramètres exige une estimation de la dimension de Vapnik-Chervonenkis et l application de la borne de généralisation Dans le cas séparable, il est possible de déterminer ces paramètres Dans le cas non séparable, il faut tester avec des méthodes empiriques pour faire le meilleur choix 7
8 Effet des paramètres de contrôle Paramètres de contrôle : les fonctions noyau Apprentissage de deux classes exemples tirés uniformément sur l'échiquier SVM à fonctions noyau gaussienne K(x, x' ) e Ici deux valeurs de s En haut : petite valeur En bas : grande valeur Les gros points sont des exemples critiques Plus en haut qu'en bas Dans les deux cas : R emp = 0 2 x x' 2s exemples (22 +, 25 -) Exemples critiques : 4 + et 3 - Ici fonction polynomiale de degré 5 et C = Les SVMs (A. Cornuéjols) Les SVMs (A. Cornuéjols) Paramètres de contrôle : les fonctions noyau Ajout de quelques points exemples (22 +, 25 -) Exemples critiques : 4 + et 3 - (5-, 4+) (3-, 4+) (5-, 4+) Ici fonction polynomiale de degré 2, 5, 8 et C = exemples (30 +, 25 -) (10-, 11+) (8-, 6+) (4-, 5+) Exemples critiques : 5 + et 8 - Ici fonction Gaussienne de s = 2, 5, 10, 20 et C = Ici fonction polynomiale de degré 5 et C =
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