Rappel : Les unités de mesure de longueur et les figures semblables

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1 SAVOIRS Rappel : Les unités de mesure de longueur et les figures semblables Les unités de mesure de longueur Il existe diverses unités de mesure de longueur. Le tableau ci-dessous présente les unités de mesure de longueur du système international d unités (SI) dont le mètre est l unité de mesure de longueur de base. Nom de l unité de mesure de longueur Symbole Exemple de contexte d utilisation Millimètre mm Épaisseur d un ongle Centimètre cm Largeur d un doigt Décimètre dm Largeur d un ordinateur Mètre m Hauteur d un réfrigérateur Décamètre dam Largeur d une autoroute Hectomètre hm Hauteur d un immeuble de 50 étages Kilomètre km Largeur d un lac Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de longueur a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à sa gauche km hm dam m dm cm mm Exemples : 10 1) 714 mm 71,4 cm, car 1 mm 0,1 cm ) 62 km m, car 1 km 1000 m. Les figures semblables Deux figures sont semblables lorsque l une est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l autre. Le symbole signifie «est semblable à». Exemple : Si le triangle ABC est semblable au triangle DEF, on écrit : ABC DEF. Dans deux figures semblables : les angles homologues sont isométriques ; les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. Le rapport des mesures des côtés homologues de deux figures semblables est appelé rapport de similitude et s exprime de la façon suivante. Rapport de similitude k mesure d'un côté de la figure image mesure du côté homologue de la figure initiale 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Savoirs Rappel 65

2 Lorsque le rapport de similitude est : compris entre 0 et 1, la figure image est une réduction de la figure initiale ; égal à 1, la figure image est une reproduction exacte de la figure initiale ; supérieur à 1, la figure image est un agrandissement de la figure initiale. Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables. Figure initiale Figure image Le DEF est un agrandissement du ABC, car : E m DE m EF m DF B Rapport de similitude k 29 mm m AB m BC m AC A mm mm mm 111 mm D C 99 mm F 66 CHAPITRE 6 Savoirs Rappel 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

3 SAVOIRS 6.1 Les unités de mesure pour les volumes Le volume Le volume est la mesure de l espace occupé par un solide. On exprime le volume d un solide en unités cubes. Exemple : Le volume du solide ci-contre est de unités cubes, noté 6 u. Il existe diverses unités de mesure de volume. Le tableau ci-dessous présente les unités de mesure de volume du système international d unités (SI) dont le mètre cube est l unité de mesure de volume de base. Nom de l unité de mesure de volume Symbole Exemple de contexte d utilisation Millimètre cube mm Volume d un ongle Centimètre cube cm Volume d une calculatrice Décimètre cube dm Volume d un four à micro-ondes Mètre cube m Volume d une sécheuse Décamètre cube dam Volume d un immeuble Hectomètre cube hm Volume d un stade Kilomètre cube km Volume d une montagne Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de volume a une valeur qui est 1000 fois plus élevée que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 1000 fois plus petite que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à sa gauche km hm dam m dm cm mm Exemples : ) 528 mm 0,528 cm, car 1 mm 0,001 cm ) 17 m dm, car 1 m 1000 dm. 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Savoirs

4 La capacité La capacité d un solide ou d un récipient est le volume de la matière liquide, ou pouvant se manipuler comme un liquide, qu il peut contenir. Le tableau ci-dessous présente des unités de mesure de capacité. Nom de l unité de mesure de capacité Symbole Exemple de contexte d utilisation Millilitre ml Capacité d une cuillère à thé Centilitre cl Capacité d une éprouvette Décilitre dl Capacité d un verre Litre L Capacité d un bol Décalitre dal Capacité d un sac à dos Hectolitre hl Capacité d une machine à laver Kilolitre kl Capacité d une piscine Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de capacité a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à sa gauche kl hl dal L dl cl ml Exemples : 10 1) 48 ml 4,8 cl, car 1 ml 0,1 cl ) 0,2 kl 200 L, car 1 kl 1000 L. Il est possible de convertir les unités de mesure de volume en unités de mesure de capacité et vice versa d après les équivalences suivantes. 1 cm 1 ml 1 dm 1 L 1 m 1 kl Exemples : 1) 62 cm 62 ml 2) 7,1 L 7,1 dm ) 589 mm 0,589 cm 0,589 ml 68 CHAPITRE 6 Savoirs , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

5 RENFORCEMENT 6.1 Les unités de mesure pour les volumes 1 Dans chaque cas, indique l opération mathématique à effectuer pour convertir l unité de mesure. a) Centilitre en décilitre. b) Mètre cube en hectomètre cube. c) Kilomètre cube en décamètre cube. d) Décilitre en décalitre. e) Décamètre cube en décimètre cube. f) Hectolitre en centilitre. g) Centimètre cube en millimètre cube. 2 Dans chaque cas, complète l égalité. a) 56,9 dam m b) 5200 ml dl c) 5,009 kl dal d) ,9 cm m e) dal kl f) 605 dam km g) 45,1 dal ml h) 0,008 km m Dans chaque cas, indique le symbole approprié : <, > ou. a) 12,89 mm 0,172 ml b) 12,98 kl 0,088 dam c) 0,654 dam L d) 4,09 km 4521 hm e) 0,08 km kl f) 4,99 mm 0, dm 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement

6 4 Dans chaque cas, effectue l opération et exprime le résultat en mètres cubes ou en litres, selon qu on additionne des unités de mesure de volume ou de capacité. a) 5600 dm cm 0,9 dam b) 0,87 hm 0,0498 dam 0,0009 km c) 420 ml 7120 cl 90,97 dl d) 8,76 dal 0,9 hl 0,01 kl 5 Certaines activités quotidiennes requièrent une utilisation importante d eau courante. Place les activités suivantes dans l ordre décroissant de leur consommation d eau. Activité Activité Activité Activité Utiliser 5 fois la chasse d eau de la toilette : 0,0 kl d eau. Prendre une douche de 5 min : 750 dl d eau. Faire un lavage à la machine : ml d eau. Prendre un bain : 1,76 hl d eau. 6 Un réservoir d eau de pluie est rempli à 80 % de sa capacité, qui est de 0,06 kl. La pluie qui tombe permet au réservoir de se remplir à un débit moyen de 500 cm /h. Pendant combien de temps doit-il pleuvoir, au même débit, pour que le réservoir d eau de pluie soit complètement rempli? 70 CHAPITRE 6 Renforcement , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

7 ENRICHISSEMENT 6.1 Les unités de mesure pour les volumes 1 Un camion-citerne peut contenir 2,5 m de lait. Ce lait est destiné à être embouteillé dans des contenants de 2 L et de 4 L. Si l on veut utiliser 1600 contenants de 4 L de plus que de contenants de 2 L, combien de contenants de chaque format obtiendra-t-on? 2 Dans chaque cas, détermine l expression algébrique manquante et exprime-la en mètres cubes. a) 46,9x m 2800x dm 0,019x dam 2x 81,7x m b) ax 2 cm 4504ax dm 0,0099ax 2 dam (4 504ax 981ax 2 ) dm 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement

8 SAVOIRS 6.2 Le calcul des volumes Voici les formules pour le calcul du volume des principaux solides : Solide Formule Exemple Prisme droit V prisme aire de la base hauteur A b h 5 9 V m 5 m 8 m 9 m Cylindre circulaire droit V cylindre aire de la base hauteur r 2 h V m 452,9 m 9 m 4 m Pyramide droite aire de la base hauteur V pyramide A b h V 112 m 8 m 6 m 7 m Cône circulaire droit aire de la base hauteur V cône r 2 h V m 80 m 251, m 4 m Boule V boule 4 r 4 6 V m 904,78 m 6 m 72 CHAPITRE 6 Savoirs , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

9 RENFORCEMENT 6.2 Le calcul des volumes 1 Dans chaque cas, calcule le volume du solide. a) Pyramide régulière à base carrée b) Prisme droit à base rectangulaire c) Cône circulaire droit 21 mm 11,2 m 2,7 cm 9 m 18,1 mm 21,8 m 1,9 cm d) Cube e) Cylindre circulaire droit 6,8 dm f) Boule 111 cm 2,5 m A b 0,6 km 2 g) Pyramide régulière à base pentagonale h) Prisme droit à base trapézoïdale i) Cône circulaire droit 5 mm 2,1 m 12,9 cm,9 mm P b 28 mm 8,5 m 17 m 12 m 7,1 cm 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement 6.2 7

10 2 Une boule a un volume de cm. Quelle est la mesure de son diamètre? Une pyramide régulière à base octogonale a un volume de 275,52 mm. Sachant que la hauteur de la pyramide est de 21 mm et que l apothème de sa base mesure 10,1 mm, calcule le périmètre de la base de ce solide. 4 Un cône circulaire droit a un volume de 24 m. Si la hauteur du cône est de 8 m, quel est le rayon de sa base? 5 Une boîte de chocolat a la forme d un prisme régulier. Le volume total de la boîte est de 22,56 cm. Les côtés de ses bases mesurent chacun,2 cm, l apothème des bases mesure 2,8 cm et la hauteur, 12 cm. Quelle est la longueur du ruban qui a été fixé sur toutes les arêtes de la boîte? 74 CHAPITRE 6 Renforcement , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

11 ENRICHISSEMENT 6.2 Le calcul des volumes 1 Détermine la formule qui permet de calculer le volume d un octaèdre régulier à partir de la mesure x d une des arêtes. 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement

12 SAVOIRS 6. Les solides semblables Deux solides sont semblables si l un est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l autre. Par exemple, les homothéties et les reproductions à l échelle produisent des solides semblables. Dans deux solides semblables : les angles homologues sont isométriques ; les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles. Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport de similitude et s exprime de la façon suivante. Rapport de similitude k mesure d'une arête du solide image mesure de l'arête homologue du solide initial Dans deux solides semblables : le rapport des aires est égal au carré du rapport de similitude (k 2 ) ; le rapport des volumes est égal au cube du rapport de similitude (k ). Exemple : Les prismes rectangulaires A et A' sont semblables. Solide initial A Solide image A' 4 cm 5 cm 6 cm 18 cm 15 cm 12 cm mesure d'une arête du solide image Rapport de similitude mesure de l'arête homologue du solide initial 18 6 Rapport des aires aire totale du solide image aire totale du solide initial 2( ) 2( ) Rapport des volumes volume du solide image volume du solide initial CHAPITRE 6 Savoirs , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

13 RENFORCEMENT 6. Les solides semblables 1 Complète chacun des tableaux suivants. a) Mesure d un côté du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A' Rapport de similitude Rapport des aires Rapport des volumes 16,6 mm 41,5 mm 24 mm 1 mm b) Mesure d un côté du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A' Rapport de similitude Rapport des aires Rapport des volumes 4,8 m 2,8 m 6,96 m 1,44 5,2 m c) Mesure d un côté du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A' Rapport de similitude Rapport des aires Rapport des volumes 5 cm 8 7 cm cm 2 Tous les cubes sont-ils semblables entre eux? Explique ta réponse. Vrai ou faux? a) Deux solides sont semblables même s ils ont seulement deux paires d arêtes homologues dont les mesures sont proportionnelles. b) Le rapport des volumes est égal au rapport des aires auquel on a affecté l exposant. 2 c) Le rapport des angles homologues de deux solides semblables est toujours égal à 1. d) Le rapport de similitude est égal à la racine carrée du rapport de l aire du solide image par l aire du solide initial. 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement 6. 77

14 4 Parmi les solides suivants, lesquels sont semblables? A B C D 10 cm 15,2 cm 11,4 cm 7,2 cm A b 129,96 cm 2 V 820,8 cm 22,8 cm 9,12 cm 5 Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante. a) b) 7,6 cm 15 m 9 m A T 221,8 m 2 A T? V,5 cm V 28 cm a? 6 Une canette de boisson gazeuse a la forme d un cylindre circulaire droit. L entreprise qui les fabrique désire produire une canette semblable dont l aire sera augmentée de 21 %. Si le volume du petit format de cannette est de 250 cm, quel sera le volume du grand format? 78 CHAPITRE 6 Renforcement , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

15 ENRICHISSEMENT 6. Les solides semblables 1 Dans chaque cas, détermine si les solides suivants sont semblables ou non. S ils sont semblables, détermine le rapport de similitude, le rapport des aires et le rapport des volumes. Toutes les mesures sont en centimètres. a) Prisme droit à base carrée 7,5x + 5x 2,5x 9x 4 + 6x 2 x 2 b) 5x x 5 + 2x 2 2x 2 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement 6. 79

16 SP 6 Deux blocs de béton Un fabricant propose deux modèles de blocs de béton pour soutenir un abri d auto. Modèle A Modèle B 1 dm Le modèle A est formé à partir d un grand cône circulaire droit que l on a coupé au tiers de sa hauteur, parallèlement à sa base. Avant que le grand cône soit coupé, son volume était de 10,8 dm. Le modèle B est formé à partir d une pyramide régulière à base carrée que l on a coupée parallèlement à sa base. Avant que la grande pyramide soit coupée, son volume était de 46,8 dm. Sachant que les deux blocs sont fabriqués avec la même quantité de béton, lequel des deux modèles est le plus haut? Démarche et calculs 6 dm 80 CHAPITRE 6 SP 6 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

17 Réponse 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 SP 6 81

18 SR 6 Une réception Lors d une réception, les organisateurs préparent un cocktail pour 85 invités. Le cocktail sera servi dans un verre formé d un cylindre circulaire droit et d une demi-boule. 4 cm 4,8 cm Le cocktail sera préparé dans des pichets ayant la forme d un prisme régulier à base hexagonale. On doit prévoir 1,8 portion par personne et chaque verre sera rempli à 80 % de sa capacité. À l aide de ces informations, démontre que si l on veut utiliser seulement 6 pichets, chacun doit avoir une hauteur approximative de 16,97 cm et être rempli à 90 % de sa capacité. 16,2 cm 14 cm Démarche et calculs 82 CHAPITRE 6 SR 6 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

19 Réponse 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 SR 6 8

20 6 Le volume des solides Le volume Le volume est la mesure de l par un solide. On exprime le volume d un solide en. Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de volume a une valeur qui est 1000 fois plus élevée que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à et 1000 fois plus petite que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à km hm dam m dm cm mm La capacité La d un solide ou d un récipient est le volume de la matière, ou pouvant se manipuler comme un liquide, qu il peut contenir. Dans la représentation ci-dessous, chaque a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à et 10 fois plus petite que la valeur de l unité de mesure placée immédiatement à kl hl dal L dl cl ml Il est possible de convertir les unités de mesure de volume en unités de mesure de capacité et vice versa d après les équivalences suivantes. 1 1 ml 1 dm kl 84 CHAPITRE 6 Carnet 6 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

21 Le calcul du volume Voici les formules pour le calcul du volume des principaux solides : Solide Cylindre circulaire droit Pyramide droite Exemple h r h Formule Vprisme aire de la base hauteur Ab h Vcylindre aire de la base hauteur h Vpyramide aire de la base hauteur A b h Solide Cône circulaire droit Exemple h r r Formule Vcône r 2 h hauteur Vboule 4 r Les solides semblables Dans deux solides semblables : les angles sont isométriques ; les mesures des arêtes homologues sont. Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport de similitude et s exprime de la façon suivante. Rapport de similitude k Dans deux solides semblables : mesure d'une arête du solide image mesure de l'arête homologue du solide initial le rapport des est égal au carré du rapport de similitude (k 2 ) ; le rapport des est égal au cube du rapport de similitude (k ). 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Carnet 6 85

22 6 Le volume des solides Questions à choix multiple Pour chacune des questions, encercle la bonne réponse Une arête d un cube mesure 0,1 mm. Quel est son volume? a) 0,001 mm b) 0,06 mm c) 0,1 mm d) 0,6 mm Si l on multiplie le diamètre d une boule par 10, par quel nombre sera multiplié le volume de la boule? a) 10 b) 100 c) 1000 d) Quelle est la capacité d un contenant dont le volume est de 6,7 dm? a) 6700 ml b) 67 L c) 0,067 kl d) 6,7 ml Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies? Affirmation 1 Pour convertir des mètres cubes en centimètres cubes, on doit les multiplier par Affirmation 2 Le volume d une boule ayant un rayon de 6 cm est d environ 905 dm. Affirmation Une arête d un cube dont le volume est de 2744 m mesure 1400 cm. a) 1 et 2. b) 1 et. c) 2 et. d) 1, 2 et. 5 Un cône circulaire droit a un volume de 2,8 mm et une hauteur de 15,6 mm. Quelle est la circonférence de sa base? a) 29,02 mm b) 8 mm c) 21, mm d) 16 mm 6 Le solide ci-contre est formé d un prisme régulier surmonté d une pyramide régulière à base carrée. Quel est son volume? a) V mm b) V ,5 mm c) V ,25 mm d) V ,25 mm 9 mm 8,5 mm 24 mm 7 On verse 1,5 L d eau dans 8 verres ayant la forme d un cylindre circulaire droit. Les verres sont remplis à 75 % de leur capacité. Si l aire de la base de chacun des verres est de 10 cm 2, quelle est la hauteur d un de ces verres? a) 18,75 cm b) 14,0625 cm c) 25 cm d) 0,15 dm 86 CHAPITRE 6 Test 6 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

23 Questions à réponse courte 8 Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante. a) b) 87,04 cm 12,8 cm r? r,8 cm V 15 m V 9 5 m A T 11,7 m 2 A T? 9 Dans chaque cas, calcule la capacité (en L) du solide. a) Demi-boule b) Prisme droit 16,8 dm c) Cône circulaire droit 4,1 m 21 cm 28 dm 0 dm C m 10 Une pyramide régulière a un volume de 4546,56 cm. La hauteur de la pyramide est de 2 cm, chaque côté de sa base mesure 12,8 cm et l apothème de sa base mesure 11,1 cm. Quelle est la forme de la base de la pyramide? 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 87

24 Questions à développement 8,2 cm 11 CD 2 Un récipient formé de deux cylindres circulaires droits est illustré ci-contre. On verse dans ce récipient l équivalent de 1,2 L de liquide. Montre que moins de 2 % de la capacité du récipient est inutilisée. 2 cm 24,5 cm 12 CD 1 On veut placer trois balles de golf les unes à côté des autres dans une boîte. Une balle de golf a un volume total équivalant à celui d un cube dont chaque arête mesure 6 mm. Quel est le volume de la plus petite boîte en forme de prisme régulier à base carrée pouvant contenir les trois balles? 88 CHAPITRE 6 Test 6 201, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée