Huu Minh MAI. Emmanuel TCHEMENI

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1 DISTRIBUTION STATISTIQUE DES VOLUMES DE TRANSACTION SUR LE MARCHE DES ACTIONS FRANÇAISES Huu Minh MAI CEREG - Université Paris Dauphine Emmanuel TCHEMENI Maître de Conférences à l'université de Paris Nord et CEREG - Université Paris Dauphine Conference Internationale de Finance, Bordeaux 95 RESUME L objectif de notre étude est d analyser certaines propriétés des distributions de volume de transactions. Alors que les rentabilités ont fait l objet d études et de conclusions systématiques par rapport à leurs distributions empiriques et à l élaboration des modèles de gestion de portefeuille fondés sur les rentabilités, relativement peu de résultats ont été établis concernant les volumes. Cette étude porte sur les données horodatées et quotidiennes de volumes dont la saisonnalité, les corrélations et la normalité sont étudiées. L étude de la saisonnalité porte sur l analyse de l évolution des volumes de transactions à l intérieur de la journée, selon les jours de semaine et les mois de l année. L étude des corrélations porte sur l analyse des autocorrélations et des corrélations entre le volume et les autres mesures de risque. Les autocorrélations sont examinées titre par titre et à l intérieur d une même classe de capitalisation. La corrélation des volumes des titres est étudiée titre par titre deux à deux et conjointement dans la même classe. Il est observé en général des autocorrélations individuelles supérieures à l ordre 1 dont l ampleur peut varier avec la capitalisation du titre. L étude des corrélations et de la normalité a des conséquences pour la définition de tests et modèles statistiques, notamment dans le cadre

2 2 Distribution statistique des volumes de transactions INTRODUCTION d études de contenu informatif d informations financières. La normalité est testée pour plusieurs variables de mesure de volume et leurs transformations logarithmiques. Alors que les distributions empiriques des rentabilités et des rentabilité anormales des actions ont été largement étudiées [Ex: Fama (1965), Brown et Warner (1980, 1985), Dyckman, Phylbrick et Staphan (1984) et Jain (1986),...], des études similaires sur les volumes de transactions sont encore relativement peu nombreuses et n'ont pas encore fait l'objet de résultats systématiques. Par contre, de nombreuses études ont analysé la relation entre volume et variations de prix et ont mis en évidence de résultats intéressants. Les premières études sont celles de Granger et Morgenstern (1963) et de Ying (1966); alors que Granger et Morgenstern ne trouvent aucune relation entre prix et volume, Ying trouve les résultats suivants:(i) un volume faible est souvent accompagné d'une baisse de prix, (ii) un volume important est souvent accompagné d'un accroissement de prix, (iii) un accroissement important de volume est souvent accompagné soit d'un accroissement important de prix, soit d'une baisse importante de prix. Alors que (i) et (ii) suggèrent que le volume (v) et la variation de prix ( p) sont positivement corrélés, (iii) est cohérent avec l'existence d'une corrélation entre v et la variation absolue de prix p. Les autres études vont être présentées en distinguant celles qui trouvent une corrélation positive entre v et p et celles qui trouvent une corrélation positive entre v et p. Corrélation entre volume (v) et p Une corrélation positive a été mise en évidence pour les contrats futures et pour les actions; nous ne rappelons que les résultats pour le marché des actions. Crouch (1970 ) a trouvé des corrélations positives entre les variations quotidiennes de prix pour les indices de marché et les actions individuelles. Westerfield (1977) a trouvé une relation positive entre les p et les volumes quotidiens, pour un échantillon de 315 actions. Epps et Epps (1976) ont trouvé, pour des données transactions de 20 titres, une relation positive entre p et v. Wood, McInish et Ord (1985) ont également trouvé une corrélation positive. Jain et Joh (1988) ont montré l'existence d'une corrélation positive pour des intervalles de temps d'une heure, sur des données d'un indice de marché. Richardson, Sefcik et Thompson (1986) ont montré que le volume de transaction augmente avec le carré d'une mesure de rentabilité anormale. Harris (1983) a trouvé, pour un échantillon de données quotidiennes relatives à 479 titres, une corrélation positive entre volume et carré de la variation de prix. Les corrélations mises en évidence sont presque toutes contemporaines, celles avance et retard étant statistiquement non significatives. Les corrélations

3 H.M. Mai et E. Tchemeni 3 sont généralement faibles; par exemple, la valeur moyenne des coefficients de corrélation calculés par Crouch est de 0,20 pour les indices et 0,23 pour les sociétés individuelles. Corrélation entre volume (v) et p Des corrélations positives ont été mises en évidence sur les marchés d'obligations et d'actions, les études concernant les actions étant présentées. Utilisant des données par heure pour un indice de marché, Jain et Joh (1988) trouvent que le volume est plus sensible aux variations positives que négatives de prix. Les résultats de Epps (1977), Hanna (1978), Jain et Joh (1988) et certains résultats de Smirlack et Starks (1985) semblent impliquer une corrélation positive entre volume et variation de prix ( p); les résultats (i) et (ii) de Ying (1966) impliquent une telle corrélation. A partir des données mensuelles pour 10 actions et 10 warrants, Rogalski (1978) a trouvé une corrélation contemporaine entre p et v mais aucune corrélation retardée. Morgan (1976), Harris (1984), Harris et Gurel (1986), Richardson et al (1986) ont également trouvé une corrélation positive entre p et v. Comiskéy, Walking et Weeks (1984) ont trouvé des corrélations en coupe instantanée positives, entre mesures annuelles de taux de rotation des actions et p; mais James et Edminster (1983) n'ont pas trouvé de telles corrélations en coupe instantanée. Cependant, la plupart des résultats statistiques sont faibles; par exemple, les corrélations trouvées par Rogalski (1978) sont de 0,395 en moyenne pour les actions; en outre, plusieurs études ont conclu à une absence de corrélation. Trois principales théories expliquent la relation entre prix et volume, le mélange de distribution, l'arrivée séquentielle d'information et la discrétion du trader à réaliser des transactions lorsque les volumes sont importants. L'objectif de cet article n'est pas tester ces théories ou de trouver des explications alternatives. Cette étude voudrait apporter sa contribution à la systématisation des résultats en matière de distributions des volumes de transactions, par l'étude des données françaises horodatées. Les distributions statistiques de trois types de mesures de volumes de transactions, le nombre de titres échangés, le nombre de transactions et le volume d'échange en francs sont étudiés, de même que les distributions des transformations de ces trois variables. Les volumes anormaux correspondant à ces mesures sont également étudiés. En effet, cette analyse de la normalité constitue un préalable pour la définition de méthodologies pertinentes d'étude d'événement par les volumes, qui feront l'objet d'un prochain article. Les propriétés des distributions empiriques des volumes devraient permettre aux chercheurs de:

4 4 Distribution statistique des volumes de transactions mesurer la nature et l'ampleur des erreurs de spécification dans la définition des niveaux de significativité lorsqu'ils procèdent à des tests statistiques classiques fondés sur une distribution t des volumes sur les dates d événement; d'identifier les mesures de volume pour lesquels les volumes anormaux se rapprochent le mieux de la distribution normale. Des arguments pratiques montrent l importance des volumes de transactions pour le marché financier, la gestion de portefeuille et l évolution des prix. Selon une sagesse commune à Wall Street, «volume is the fuel for prices». Stickel et Verrecchia (1994) testent certaines hypothèses relatives à la relation entre volume et prix: les variations de prix qui ne sont pas le fait de faibles volumes sont plus susceptibles de s inverser (une hausse de prix soutenue par de faibles volumes est ainsi susceptible d être suivie d une baisse de prix), les variations de prix qui sont le fait de volumes importants sont susceptibles de ne pas s inverser et de continuer dans le même sens (une hausse de prix soutenue par des volumes importants est ainsi susceptible d être suivie d une hausse). Les motivations de ces deux hypothèses résultent de ce que les variations de prix reflètent la demande d un titre et des volumes importants reflètent une vraisemblance forte que la demande soit le fait de transactions d informés que de transactions de non informés (ou des transactions motivées par la liquidité). Par conséquent, à mesure que le volume augmente, la probabilité que la variation de prix soit induite par de l information augmente. La présence de transactions informées implique à son tour que les variations de prix sont moins susceptibles de s inverser. A l opposé, les investisseurs interprètent un volume faible comme le fait que la demande qui induit la variation de prix est non informée ou motivée par la liquidité. Donc les variations de prix accompagnées de faibles volumes sont plus susceptibles de s inverser, parce qu elles résultent d un certain effet transitoire sans relation avec l information; ainsi, les variations de prix sont plus susceptibles d être temporaires lorsque le volume est faible. Donc, le volume distingue les variations de prix causées par les effets d information de celles induites par les effets de liquidité. Les résultats de Stickel et Verrecchia (1994) sont conformes à ces hypothèses. Ils ont montré que les variations importantes sur les jours de bourse où le volume est faible, ont tendance à s inverser en partie le jour suivant. Une augmentation importante de prix avec un volume important

5 H.M. Mai et E. Tchemeni 5 DONNEES a tendance à être suivie par une autre augmentation de prix sur le prochain jour. La sagesse commune sur Wall Street et les résultats mis en évidence par différentes études, suggèrent que les investisseurs doivent interpréter avec précaution les variations importantes de prix qui sont sous-tendues par des volumes faibles. Les variations importantes de prix, lorsqu elles ne sont pas induites par de volumes importants, ne constituent pas un bon indicateur de la modification de la valeur d une société. Stickel et Verrecchia (1994) indiquent néanmoins que l aptitude à prévoir les rentabilités du jour suivant à partir de volume de transaction, ne confirme ou n infirme l existence d une opportunité d arbitrage profitable. Ils suggèrent une extension intéressante de leur étude qui pourrait consister à analyser si le volume intra-jour peut permettre: de prédire les variations intra-jour subséquentes de prix, de générer des opportunités d arbitrage profitables Notre étude, au delà des propriétés et caractéristiques mises en évidence, peut apporter certaines réponses aux extensions suggérées. La base de données contient les données de transaction: cours et volumes horodatés principalement des valeurs de l'indice SBF250 sur la période allant de Janvier 91 à Mars 94. Elles comportent plus de 15 millions d enregistrements. Les données quotidiennes et mensuelles sont extraites à partir de ces données horodatées. Les variables calculées sont le nombre de transaction, le volume de transaction et la transaction (en montant). Par exemple, pour un jour j et pour un titre donnés, le nombre de transaction est le nombre de séquences de transactions pour ce titre pendant toute cette journée, le volume est le cumul des nombres de titres échangés et la transaction est le montant total (en francs) des transactions. L analyse des données est faite globalement en empilant des données, et particulièrement en distinguant les valeurs de l indice CAC40 et ceux qui n'en sont pas. L effet taille est également étudié par la formation de cinq classes équiprobables, par capitalisation croissante (classe 1 des plus faibles capitalisations et classe 5 des plus fortes capitalisations). Ces classes sont formées à la fin de la période d étude (en Mars 94), et cette classification des titres est valable pour l ensemble de la période d étude. Les données sont enfin analysées individuellement titre par titre. Le tableau 1 présente les statistiques des différentes variables selon les secteurs, la classe de capitalisation et l appartenance ou pas à l indice CAC40. La formation des classes de capitalisation permet d apprécier l effet taille éventuel sur les volumes. Les plus fortes capitalisations (classe 5)

6 6 Distribution statistique des volumes de transactions représentent un peu plus de 68% de l ensemble de la capitalisation boursière de l échantillon, 74,3% des données horodatées mais seulement 20,6% des données quotidiennes. La distinction de deux sous-échantillons selon l appartenance ou non à l indice CAC40 permet d observer que le CAC40 représente près de 60% de l échantillon (les plus fortes capitalisations ne comprennent donc pas uniquement des sociétés du CAC40). Les variables de volume pour le CAC40 sont très supérieures à celles du Hors CAC40. D autre part, ce tableau montre: Que le secteur de l énergie est celui qui connaît l activité boursière 1 la plus importante, pour les trois variables considérées. Les deux secteurs les plus importants sont ensuite le secteur «automobile», puis «les services financiers». Une relation positive apparaît entre la capitalisation et les trois variables (nombre, volume, et transaction); plus la capitalisation est importante, plus le titre connaît une activité importante. La classe 5 de capitalisation est à peu près 30 fois plus active que la classe 1 (339 comparé à 12), les titres du CAC40 sont près de 10 fois plus actifs que les autres. Par contre, au niveau du montant de transaction (colonne transaction), il n est que de l ordre de 100 contre 1 respectivement pour les classe 5 et 1 de capitalisation: cela montre que les valeurs de transaction sur titres des plus fortes capitalisation sont proportionnellement plus importantes que celles des plus faibles capitalisation. Plusieurs éléments de théorie financière explicitent la spécificité de la taille: Une des explications de l effet taille est que les résultats annuels publiés des sociétés de taille plus petites peuvent être plus difficiles à prévoir, ce qui se traduit par une fraction anticipée (surprise) plus importante que pour les sociétés plus importantes. Une autre explication est que les informations publiées par des sociétés plus petites constituent une proportion importante de l information totale disponible relative à ces sociétés. Par conséquent, leurs publications peuvent entraîner des volumes de transactions relativement importants. 1 l activité boursière est définie comme le nombre moyen quotidien de séquences de transaction (colonne nombre dans le tableau 1).

7 7 Distribution statistique des volumes de transactions SECTEUR Tableau 1 Statistiques descriptives élémentaires Nb valeurs Nb données Capitalisation Transactions horo. % quot. % Somme % Nombre Volume Transaction Energie % % % Produits de base % % % Construction % % % Biens d'équipement % % % Automobile % % % Autres biens de consommation % % % Industrie agro-alimentaire % % % Distribution % % % Autres services % % % Immobilier % % % Services financiers % % % Sociétés d'investissement % % % CLASSE DE CAPITALISATION Classe % % % Classe % % % Classe % % % Classe % % % Classe % % % CAC40 Hors CAC % % % CAC % % % TOTAL % % %

8 H.M. Mai et E. Tchemeni 8 SAISONNALITE Cette partie permet d étudier les particularités de certaines périodes de la journée (intra-jour), de la semaine (jour de semaine), du mois (mois de l année). L objectif est de mettre en évidence l existence éventuelle de ces effets. Intra-jour Pour étudier le comportement des volumes de transaction à l intérieur d une journée, nous agrégeons, par tranche de 5 minutes, les nombres de transaction, les volumes de transaction et les montants de transaction. Le comportement des volumes de transaction pendant la journée est représenté sur les graphiques 1.a à 1.c respectivement selon l appartenance au CAC40, selon la classe de capitalisation, selon le jour de la semaine et pour une valeur particulière CANAL+. Les représentations des volumes de transactions ont une forme en U. Ce phénomène est observé pour tous les jours de la semaine et est plus prononcé pour les plus fortes capitalisations et pour le sous échantillon CAC40. Les volumes de transaction font un grand bon peu après l ouverture et peu avant la fermeture de la bourse, puis rechutent après. Cette forme en U a été mise en évidence dans des études sur la microstructure des marchés, dont Hamon et Jacquillat (1992), Jain et Joh (1988), Foster et Viswanathan (1993) et Berry et Howe (1994); ces derniers définissent le volume comme le nombre d'actions échangés sur le NYSE par intervalle de 30 mn. La courbe en U est quasiment identique sur tous les jours de la semaine. Les volumes importants à la première heure s'expliquent peut-être par le fait que les investisseurs font des transactions sur la base d'informations collectées la nuit et le matin avant l'ouverture du marché. L'accroissement des volumes avant la fin de la journée peut traduire la fermeture ou la couverture des positions ouvertes des investisseurs, qu'ils ne peuvent contrôler ou changer pendant la nuit. La spécificité des plus fortes capitalisations et du CAC40 s explique au moins en partie par le fait que les sociétés les plus importantes seraient les plus suivies par les analystes financiers, d où une plus grande attention de la part des investisseurs, ce qui expliquerait l activité plus importante sur les fortes capitalisations. L évolution des transactions pour la classe 5 présente une forme en U plus prononcée que pour les autres classes de capitalisation, à l exception de la classe 4 qui présente cependant une différence peu prononcée, la courbe de la répartition des transactions n a pas une forme en U mais est plutôt plate. La forme en U est d autant plus prononcée que la capitalisation est importante.

9 9 Distribution statistique des volumes de transactions Graphique 1 Evolution des volumes de transaction durant la journée volume moyen quotidien par titre HORSCAC CAC volume moyen quotidien par titre Classe1 Classe2 Classe3 Classe4 Classe temps (HHMM) temps (HHMM) volume moyen quotidien par titre Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi volume moyen quotidien CANAL PLUS temps (HHMM) temps (HHMM)

10 H.M. Mai et E. Tchemeni 10 Jour de semaine La représentation des volumes moyens de transaction selon le jour de la semaine permet de tester l existence d un effet lundi ou autre jour de la semaine. On observe sur le graphique 2a une progression des transactions suivant l avancée de la semaine: le lundi est le jour de plus faible transaction comme dans Jain et Joh (1988); les fortes transactions sont observées à la fin de semaine, le vendredi. Ce dernier résultat est différent de celui de Jain et Joh (1988) qui décèlent une baisse de volume sur jeudi et vendredi, la mesure de volume étant représentée par le taux de rotation. En ce qui concerne les titres en dehors de l indice CAC40, il y a peu de différences entre les volumes des différents jours de semaine. Pour vérifier ces effets de lundi et de vendredi, nous distinguons les transactions du lundi, du vendredi et le reste de la semaine. Les statistiques de comparaison de moyennes, reportées à la colonnes z confirment l effet du lundi mais pas celui du vendredi: à la ligne "lundi", z est égale à -4.67, est supérieure en valeur absolue à 1.64 (seuil unilatéral à 5%), signifie que les volumes de transaction du lundi sont significativement inférieurs au reste de la semaine (Mardi-Jeudi), ce n'est pas le cas pour le vendredi (z=1.39). Mois de l'année La représentation graphique des volumes moyens de transactions sur différents mois de l'année permet de visualiser l'importance relative des différents mois, et d'analyser l'existence de certains effets mis en évidence pour les rentabilités, l'effet janvier notamment. La variable représentative de volume dans cette section est le nombre moyen de titres échangés par mois, pour chacun des deux souséchantillons, les sociétés hors indice CAC40 et les sociétés de l'indice CAC40. L analyse des données mensuelles montre que les transactions sont plus importantes pour le début de l année (janvier et février). Elles le sont également pour la fin de l année (novembre et décembre). L'importance des mois de novembre et décembre peut s'expliquer par des motifs fiscaux en fin d'année, notamment la réduction des plus values imposables ou la génération des moins values. L'activité des mois de janvier, février peut s expliquer par les ajustements de portefeuille une fois passée la fin de l'année Les transactions de "début de l'année" (Janvier et Février) sont significativement supérieures au milieu de l'année (Mars-Octobre), comme l indique les résultats du tableau 2 ci-dessous, ce n'est pas le cas pour la fin de l'année (Novembre-Décembre).

11 H.M. Mai et E. Tchemeni 11 Tableau 2 Effet de lundi et début de l année Type Nombre Moyenne Ecart Z-normal Lundi Vendredi Autres jours Début Fin Milieu Graphique 2a Jour de la semaine volume moyen Hors CAC CAC L M M J V jour

12 12 Distribution statistique des volumes de transactions Graphique 2b Mois de l année volume moyen Hors CAC CAC mois CORRELATIONS Autocorrélations L existence d une autocorrélation dans les volumes et les volumes anormaux doit être prise en compte pour la définition des tests statistiques, d'où l'utilité d examiner l'existence de ce phénomène. Les autocorrélations dans les volumes peuvent survenir lorsque tous les traders ne réalisent pas en un seul jour toutes leurs transactions nécessitées par la détention d'une information donnée. Certains investisseurs peuvent ajuster leurs portefeuilles plus tard que d'autres, soit parce qu ils ont connaissance avec retard d'une information, soit parce qu ils choisissent de réaliser leurs transactions seulement périodiquement, afin de minimiser les coûts de transaction. Ajinkya et Gift (1989) ont montré que contrairement aux rentabilités, les volumes bruts et les volumes anormaux sont significativement autocorrelés. Karpoff (1987) a développé un modèle dans lequel un accroissement de volume de transaction persiste au-delà d'une période lorsque les investisseurs réagissent de manière hétérogène à l'information. Huffman (1987) a développé un modèle d'équilibre dynamique dans lequel des chocs exogènes provoquent une corrélation sérielle des volumes de transactions. Cette corrélation survient parce que les décisions de gestion de portefeuille prises sur une période se traduisent par des

13 H.M. Mai et E. Tchemeni 13 transactions sur plusieurs périodes consécutives. En général, même en l'absence d'une théorie bien élaborée de transactions multipériodes, les scénarios et comportement de bon sens sont cohérents avec l'hypothèse d'autocorrélation de volumes. Stickel et Verrecchia (1994) ont montré que les variations importantes de prix sur les jours de bourse où les volumes sont faibles, ont tendance à s'inverser le jour suivant. Une augmentation importante de prix avec un volume important a tendance à être suivie par une augmentation de prix sur le prochain jour. Selon Stickel et Verrecchia (1994), les variations importantes de prix, lorsqu'elles ne sont pas induites par de volumes importants, ne constituent pas un bon indicateur de la modification de la valeur d'une société. Les graphiques 3a et 3b présentent les coefficients autorégressifs de la variable Log(1+volume) pour deux sous-échantillons, CAC40 et classe 1 des plus faibles capitalisations. Pour le CAC40, les coefficients de AR(1) sont systématiquement et significativement différents de zéro; les coefficients de AR(2), AR(3),..., AR(5) sont peu importants par rapport à ceux de AR(1). Graphique 3a Coefficients autoregressifs de Log(1+volume) - CAC % 42.5% 32.5% 17.5% 77.5% amplitude AR(1) AR(2) AR(3) AR(4) AR(5) coefficients

14 14 Distribution statistique des volumes de transactions Graphique 3b Coefficients autoregressifs de Log(1+volume) - Classe 1 de capitalisation 93.7% 68.7% 41.7% 31.2% 37.5% amplitude AR(1) AR(2) AR(3) AR(4) AR(5) coefficients Pour les faibles capitalisations, la tendance est moins tranchée dans la mesure où pour AR(1), les coefficients sont dans leur grande majorité positifs et significativement différents de zéro. Pour AR(2) à AR(5), quelques coefficients positifs et négatifs sont observés, mais les coefficients sont en général beaucoup plus faibles que pour AR(1). La tendance observée pour les coefficients est moins nette que celle de l échantillon CAC40. Nous remarquons également que les pourcentages de siginificativité des coefficients autorégressifs, reportés en haut des graphiques, restent importants, même à l ordre 5, et peut-être au delà. Corrélations Dans cette partie, nous analysons aussi bien la corrélation des volumes entre les titres que celle entre les volumes, les mesures de risque (volatilité et le risque systématique) et la rentabilité. La corrélation des volumes entre les titres est vérifiée à la fois par les tests univariés des coefficients de corrélation classiques (entre deux titres) et par ceux multivariés tenant compte soit de tous les titres soit des classes et de leur interaction.

15 H.M. Mai et E. Tchemeni 15 Corrélation univariée 2 Les différentes études effectuées sur les rentabilités ont conclu à l'indépendance entre les rentabilités des titres d'un échantillon ou d'un portefeuille donné. Cette condition est nécessaire pour la définition de certains modèles financiers et pour les études du contenu informatif d'une information donnée. La construction des modèles de gestion basés sur les volumes et des tests de contenu informatif effectués à partir de ces variables nécessitent de procéder au test des corrélations entre sociétés de l'échantillon. Tableau 3 Pourcentage de rejet de l hypothèse d indépendance entre titres Classe Volume Log(1+volume) % 38.83% % 53.81% % 78.37% % 71.28% % 95.12% Pour la variable brute «volume», le taux de rejet de l hypothèse d indépendance des volumes entre les titres est croissant avec la capitalisation, comme le montre le tableau 3: il varie entre 12% et 86% respectivement pour les classes de capitalisation 1 et 5. Une relation similaire pour la variable transformée «Log(1+volume)» est également observée dans l ensemble; la seule exception étant la classe 4 de capitalisation où ce taux est légèrement inférieur à celui de la classe 3. D autre part, ce taux de rejet est moins dispersé et plus fort par rapport à la variable de «volume». Cet effet de taille est confirmé par les graphiques 4a et 4b, représentant la distribution des coefficients de corrélation respectivement des volumes et les volumes transformés par classe de capitalisation. En ce qui concerne les volumes, l histogramme montre que les coefficients de corrélation se répartissent en majorité entre et 0.30 (87.7%) pour la classe 1 des plus faibles capitalisations avec autant de coefficients négatifs (49.2%) que positifs (50.8%) 3. La distribution est plus décalée à droite pour la classe 5 des plus fortes capitalisations. En effet, 97.6% des coefficients sont positifs avec 80.7% entre 0.10 et La transformation par le logarithme donne plus de corrélations positives, et ceci est valable pour l ensemble des classes. Le pourcentage de corrélations positives varie maintenant entre 73.9% pour la classe 1 et 98.4% pour la classe 5. La distribution se concentre relativement sur les fortes valeurs de corrélations. Les fortes 2 Les statistiques de test sont présentées en annexe. 3 La répartition des corrélations par intervalle est disponible dans l annexe.

16 16 Distribution statistique des volumes de transactions fréquences sont obtenues sur l intervalle [0.10;0.30] pour les classes 1 à 4 (respectivement 29.5, 43.7, 53.0 et 59.2%) et sur [0.3;0.5] pour la classe 5 (52%). Graphiques 4 A. Distribution des coefficients d autocorrélation de volume par classe de capitalisation frequences (%) intervalles Classe 2 Classe 1 Classe 5 Classe 4 Classe 3 capitalisation B. Distribution des coefficients d autocorrélation de log(1+volume) par classe de capitalisation frequences (%) intervalles Classe 5 Classe 4 Classe 3 capitalisation Classe 2 Classe 1

17 H.M. Mai et E. Tchemeni 17 Corrélation multivariée Pour mettre en évidence l existence d une corrélation globale entre les titres, en particulier entre les titres d une même classe de capitalisation, nous utilisons le test de déterminant de corrélation (défini en annexe). Les résultats globaux et par classe des corrélations des volumes et leurs logarithmes sont présentés dans le tableau 4. Les résultats de corrélations sont plus probants pour les logarithmes de volumes que pour les volumes eux mêmes. Les corrélations sont fortement significatives aussi bien pour les classes de capitalisation que pour l ensemble des titres: les valeurs z sont largement supérieures à 2 (seuil à 5% pour la loi normale). D autre part, ces statistiques sont croissantes en fonction de la taille, ce qui confirme les résultats des autocorrélations univariées. La colonne p indique le nombre de titres pris en compte. Ces valeurs sont légèrement inférieures au nombre initial des titres par classe. A la différence du calcul des corrélations univariées, la statistique est fonction de plusieurs sommes des termes croisés, ce qui nécessite l élimination de quelques titres ayant trop de données manquantes 4. Tableau 4 Autocorrélations multivariées par classe VOLUME Concordance Classe log(det) p chi2 1 ν = p( p 1) z z Total LOG(1+VOLUME) Concordance 1 Classe log(det) p chi2 ν = p( p 1) z z Total Note : lorsque le nombre de degrés de libertés est grand (ν>30), qui est le cas d ici, on peut approximer 2 2χ 2ν 1 par la loi normale centrée réduite (colonne z). 4 Ce sont principalement les titres introduits longtemps après le début de la période d étude.

18 18 Distribution statistique des volumes de transactions Sur ce même tableau sont reportés les coefficients de concordance de Kendall 5. La notion de discordance n est pas exactement équivalente à l indépendance. Une application pratique classique de ce test non paramétrique de rangs est le classement des juges. Les juges «indépendants», c est à dire ne recevant pas de consignes exogènes, peuvent avoir un classement identique. La colonne z est l'approximation normale de ce coefficient. Ces tests rejettent largement l hypothèse de discordance des volumes et confirme l effet taille observé sur les corrélations classiques. Volume et les mesures de risque La littérature financière a largement mis en évidence la relation entre les prix et les mesures de risque. Etant donné l importance de la volatilité pour la prévision des rentabilités des actions et pour l évaluation des options, la prévisibilité de la volatilité ou de toute variable permettant de prévoir celle-ci, revêt une importance en théorie financière et en matière de gestion de portefeuille. Jones, Kaul et Lipson (1994) ont mis évidence une relation positive et statistiquement significative entre la volatilité et le nombre de transactions (fréquence de transaction); la relation entre la volatilité et le nombre moyen de titres échangés n est pas statistiquement positive. Les résultats résultent de l estimation d une régression avec pour variables expliquées le nombre de transactions et le nombre moyen de titres échangés, et pour variable explicative la volatilité. Les études de Easley et O Hara (1990) et de Harris et Raviv (1993) ont montré l impact du nombre de transactions pour la détermination des cours des titres. Easley et O Hara (1990) ont développé un modèle de microstructure qui incorpore explicitement le rôle du temps dans le processus d ajustement du cours. Dans leur modèle, le nombre total de transactions possède un contenu informationnel au regard des variations des cours parce que l existence de transactions ainsi que leur absence sont informatifs pour le market maker. Appliquant une approche différente, Harris et Raviv (1993) montrent également que le nombre de transactions est positivement corrélé avec les variations absolues de cours. Ils font l hypothèse que tous les traders reçoivent la même information mais diffèrent dans la manière dont ils interprètent cette information. Plus spécifiquement, tous les traders s accordent sur le caractère favorable ou défavorable d une information donnée mais divergent sur le degré d importance de cette information. La transaction est possible dans leur modèle si et seulement si l information 5 Voir la description du test en annexe.

19 H.M. Mai et E. Tchemeni 19 agrégée (cumulative information) d un groupe spécifique de traders bascule du favorable au défavorable ou vice versa. [Schwert (1989), Gallant, Rossi et Tauchen (1992), Karpoff (1987)] ont trouvé une relation positive entre la volatilité (mesurée comme la valeur absolue ou le carré de la variation de cours) et le volume pour des titres individuels et des portefeuilles. Dans la majorité des modèles théoriques qui ont permis d'analyser la relation entre volume et dynamique des cours, la transaction résulte d'une asymétrie d'information (ou différences d'opinion), et la taille des transactions (ou volume) reflète le degré de désaccord entre traders sur la valeur d'un titre. A partir des données quotidiennes, nous définissons la volatilité mensuelle d un titre par l écart-type des rentabilités quotidiennes, une mesure de bêta est donnée par le rapport de covariance entre les rentabilités du titre et celles de l indice SBF250 par le produit de leurs écart-types, et enfin une mesure de rentabilité par la moyenne des rentabilités quotidiennes sur le mois. Les corrélations de ces différentes mesures avec les volumes et leurs transformés logarithmiques sont présentées sur le tableau 5. Note : * indique un seuil de significativité inférieur à 1%. Tableau 5 Relation entre volume et les mesures de risque Volume Log(1+volume) Volatilité Bêta Rentabilité Volume * * * Log(1+volume) * * Volatilité * * Bêta Rentabilité Nous observons que aussi bien le volume que le logarithme de volume est significativement et positivement corrélé avec la volatilité et le bêta. Quant à la rentabilité, elle est corrélée négativement avec le volume, mais cette corrélation n est pas statistiquement significative. Le graphique 5 présente les relations par classe de capitalisation entre le volume et la rentabilité, la volatilité et le bêta. La relation entre capitalisation et le bêta est positive, le bêta étant d autant plus fort que la capitalisation est importante. La relation entre volume et bêta est également positive et encore plus prononcée pour les deux classes de capitalisation extrêmes: la valeur du bêta est croissante avec le volume de transaction.

20 20 Distribution statistique des volumes de transactions En résumé, le bêta est d autant plus élevé que le volume de transaction est important, et est également d autant plus élevé que la capitalisation est importante. Concernant la volatilité, il n est pas observé de tendance systématique et forte: il est difficile de conclure à l existence d une relation positive entre volume ou capitalisation d une part, et volatilité d autre part. Ce résultat est différent de celui trouvé par Hamon et Jacquillat (1992) qui ont observé une forte corrélation entre le niveau d activité et la volatilité. Jones, Kaul et Lipson (1993) montre que la volatilité des rentabilités journalières présente relation plus forte avec le nombre de transactions qu'avec le volume. Le comportement de la rentabilité en fonction de la capitalisation indique que la classe de capitalisation la plus faible (classe 1) présente la rentabilité la plus élevée alors que la classe de capitalisation la plus forte (classe 5) présente la rentabilité la plus faible. Graphique 5 Volume moyen et autres variables Volume Rendement Volatilité Beta Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4 Classe 5 Classes Note: Pour chaque mois, les sociétés sont classées par ordre croissant de rentabilité, de volatilité, de bêta, et 5 classes sont constituées pour chacune de ces variables. Les classes respectives de rentabilité, de volatilité et de bêta ont été constituées indépendamment des volumes. En abscisse, les classes sont formées selon trois critères:- volatilité: définie comme l'écart type des rentabilités quotidiennes (sur le mois).- bêta: obtenue par les moindres carrés ordinaires sur rentabilités quotidiennes (sur le mois).- rentabilité: moyenne mensuelle des rentabilités quotidiennes. En ordonné, le volume représente la moyenne mensuelle des nombres quotidiens de titres échangés par valeur et par classes définies précédemment.

21 H.M. Mai et E. Tchemeni 21 NORMALITE De nombreux tests empiriques effectués sur les rentabilités des titres ont au préalable démontré ou supposé la normalité des rentabilités, notamment des rentabilités moyennes dans le cadre d'un portefeuille ou d'un échantillon. La condition de normalité est requise pour que certains tests et études empiriques puisse être réalisés sur les volumes. La normalité de différentes variables de volume va donc être testée afin de déceler celles qui se rapprochent le plus de la normalité; ces variables dites brutes vont ensuite subir des transformations par application du logarithme ou de la racine carrée. Tester la normalité de trois variables différentes, comme Ajinkya et Jain (1989), et de leurs transformées, permet de déterminer celle pour laquelle l'on s'écarte le moins de l'hypothèse de normalité, et donc la variable la plus pertinente à utiliser pour des tests empiriques. La normalité est étudiée à la fois : pour trois variable brutes: volume (nombre de titres échangés), transaction (montant en FF du volume échangé), et rotation (pourcentage du volume échangé sur la capitalisation du titre) et pour leur transformée 6 Log(1+volume), Log(1+transaction) et Log(1+rotation). Statistiques élémentaires Le tableau 6 contient les valeurs moyennes par classe de capitalisation, des skewness, kurtosis standardisés et test de chi2 pour l échantillon total. Les valeurs obtenues pour le skewness (moy et std) sont élevées par rapport à la valeur théorique zéro de normalité; en effet, celles-ci sont dans l ensemble supérieures à 4 pour les variables non transformées. Les valeurs du kurtosis sont également très largement supérieures à zéro, presque toutes au-dessus de 50. Les valeurs du χ 2 observées (colonne Chi2) extrêmement élevées par rapport à 6 (valeur du χ 2 de 2 degrés de libertés au seuil de significativité de 5%). La distribution de variables non transformées est très éloignée de la normalité qui est rejetée dans 100% des cas quelle que soit la mesure considérée. Les transformations logarithmiques des variables réduisent fortement l ampleur des valeurs obtenues pour les skewness, kurtosis et chi2, mais celles-ci demeurent différentes de zéro. La transformation a pour conséquence la diminution du taux de rejet de l hypothèse de normalité qui passe de 100% (variables non transformées) à des valeurs comprises entre 65 et 70% selon les variables Log(1+volume) et Log(1+transaction). 6 Pour rendre des variables normales, deux transformations sont possibles: le logarithme et la racine carée. Nous ne retenons ici que la transformation logarithmique.

22 22 Distribution statistique des volumes de transactions La variable la moins satisfaisante est Log(1+rotation) pour laquelle le taux de rejet est de 100%. Distribution comparative Pour illustrer l amélioration de la normalité par la transformation logarithmique, nous comparons les distributions empirique et théorique des deux variables Log(1+volume) et Log(1+transaction). Elles sont représentées sur les graphiques 6a et 6b. La distribution empirique est obtenue sur l ensemble des données quotidiennes. Comme le montrent ces graphiques, la distribution de ces variables transformées est déjà plus proche de la normalité; la transformation de la variable transaction (montant en F des transactions) semble être celle qui approxime le mieux la loi normale.

23 H.M. Mai et E. Tchemeni 23 Tableau 6 Normalité des volumes de transaction Variable Skewness Kurtosis Chi2 % Class Mean Std. Mean Std. Mean Std. rejection VOL LVOL TRA LTRA ROT LROT

24 24 Distribution statistique des volumes de transactions Graphique 6a Distribution comparative - Log(1+volume) 8% Frequences 7% 6% 5% 4% 3% Empirique Théorique 2% 1% 0% Log(1+volume) Graphique 6b Distribution comparative - Log(1+transaction) 8% 7% 6% Empirique Théorique Frequences 5% 4% 3% 2% 1% 0% Log(1+transaction)

25 H.M. Mai et E. Tchemeni 25 Distribution des volumes anormaux La normalité et l indépendance des volumes implique nécessairement celle des volumes anormaux, mais la négation des ces hypothèses n entraîne pas forcément la non-normalité des volumes anormaux. Les volumes anormaux sont calculés pour 3 variables et 4 modèles: En résumé, voici les variables retenues et leur notation : VOL : nombre de titres échangés LVOL : Log(1+VOL) TRA : transaction en milliers de FF LTRA : Log(1+TRA) ROT : rotation (nombre de titres échangés/total) en % LROT : Log(1+TRA) / Log(1+capitalisation) Nous calculons la moyenne de ces variables à chaque date, aussi pour l ensemble de l échantillon que pour chaque classe de capitalisation. Le tableau 1 donne les principales caractéristiques statistiques de ces variables. Les modèles sont successivement, présentés ci-dessous: Marché (1), Moyenne (2), MC0 (3), Standardisé (4). Les périodes d'estimation et d'étude sont respectivement de 60 et 20 jours. Les résultats de test de normalité des volumes anormaux définis selon les modèles sont présentés dans le tableau 7. Le taux de rejet de la normalité des volumes anormaux et anormaux moyens est très élevé pour la variable brute. La transformation logarithmique n'a pas beaucoup d'influence sur les volumes anormaux mais permet d'obtenir des volumes anormaux moyens plus proches de la normalité. Les variables les plus pertinentes sont LVOL et LTRA. En résumé, la transformation par le logarithme réduit fortement le rejet de normalité. Par exemple, les volumes anormaux déduits par le modèle MCO donnent 98.3% pour les rotations et 18.7% pour les transformés logarithmiques; les logarithmes de volume donnent le plus faible taux de rejet parmis les transformés. Les taux de rejet différents entre volumes anormaux et anormaux moyens indiquent que les volumes anormaux des différents titres n ont pas les mêmes variances. Cette constatation nous a conduit à calculer les variances des rentabilités anormales des différents titres.

26 26 Distribution statistique des volumes de transactions Tableau 7 Tests de normalité des volumes anormaux Taux de rejet Volumes anormaux Variable Modèle empilés individuels moyens VA(i,t) VAi(t) MVA(t) VOL % 88.2% 87.8% % 98.9% 93.6% % 89.7% 52.7% % 95.8% 81.6% TRA % 88.6% 92.9% % 99.0% 94.0% % 85.6% 77.2% % 94.8% 85.8% ROT % 94.0% 97.3% % 98.9% 98.1% % 97.6% 98.3% % 98.7% 98.2% LVOL % 42.9% 4.6% % 44.2% 5.6% % 43.1% 6.4% % 47.3% 6.6% LTRA % 38.6% 4.3% % 39.6% 5.8% % 38.5% 5.9% % 43.4% 7.2% LROT % 48.6% 10.8% % 51.0% 18.2% % 49.5% 18.7% % 52.9% 20.8% CONCLUSION L étude avait pour objectif de tester certaines hypothèses relatives aux volumes de transactions, aux relations entre le volume et certaines mesures de risque, et à la nature de la distribution statistique des volumes. Les tests ont été effectués sur des données horodatées de l indice SBF250, et plusieurs "proxies" des volumes de transaction ont été définies: nombre de fois où des transactions sont effectuées sur une période donnée, montant en francs de la transaction et nombre de titres échangés. Les tests de normalité sont appliqués sur ces trois variables et sur leurs transformations logarithmiques. L étude a permis d apporter des réponses à ces hypothèses:

27 H.M. Mai et E. Tchemeni 27 Les début et fin de séance sont l objet de transactions beaucoup plus importantes que les autres plages horaires de la journée. Sur tous les jours de la semaine, l évolution des transactions dans la journée a la forme d une courbe en U lorsque l ensemble de l échantillon est considéré. Lorsque les classes de capitalisation sont distinguées, la forme en U est observée pour les classes les plus importantes mais n est pas observée pour les autres classes. Parmi les jours de la semaine, le lundi est celui sur lequel le volume est le moins élevé. Un effet janvier similaire à celui mis en évidence dans l étude des rentabilités n est pas perceptible ici, bien que des volumes parmi les plus importants sont observés sur les mois de janvier, février, mars, novembre et décembre. Nous avons avancé une explication aux volumes observés sur ces mois, par les besoins de réajuster les portefeuilles à la fin de l année civile et peu après, pour des motivations fiscales. En ce qui concerne la relation entre le volume et les autres variables de risque, de rentabilité et la capitalisation, nous observons une relation positive entre le bêta et le volume, entre le bêta et la capitalisation; les autres relations ne sont pas probantes. Par contre, la classe de capitalisation la plus faible présente la rentabilité la plus élevée et la classe de capitalisation la plus importante la rentabilité la moins élevée. Les tests de corrélation montrent d une part une autocorrélation d ordre un entre les volumes successifs de chaque titre et surtout pour les variables transformées, même lorsque l on contrôle le niveau de capitalisation. Les tests de normalité conduisent au rejet dans 100% des cas de l hypothèse de normalité pour toutes les variables de mesure de volume. Les transformations logarithmiques ne sont pas non plus absolument normales bien qu elles se rapprochent de la normalité: le taux de rejet est compris entre 65 et 70% selon les mesures transformées considérées. L existence d autocorrélation des volumes, de la corrélation entre les titres ainsi que la déviation à la normalité des volumes doivent être prises en compte dans la choix des tests statistiques, en particulier ceux d études d événement portant sur les volumes. Une extension de cette étude serait de déterminer, sur le marché des actions françaises, les variables de volumes les plus pertinentes (volume, transaction ou rotation ainsi que leur transformé) et les tests statistiques les plus adaptés pour mesurer l impact informationnel d un événement par les volumes.