Test du khi-2 (Test de conformité) Comparer un pourcentage observé à un pourcentage de référence

Transcription

1 Fiche n 01 sur le test du khi-2 1 Test du khi-2 (Test de conformité) Comparer un pourcentage observé à un pourcentage de référence Situation La valeur d un pourcentage est connue dans une population qui fait référence. On souhaite comparer à cette référence la valeur du pourcentage observé sur un échantillon de la population. En 2011, dans une région de France, 87,7% des étudiants qui ont intégré la première année d étude en soins infirmiers étaient des filles. Dans cette région de France, en 2012, un travail a été mené dans les lycées pour encourager les garçons à envisager une orientation vers les carrières paramédicales. Dans un IFSI de cette région, il y avait, en 2013, 85 étudiants en première année de soins infirmiers dont 68 filles. Que penser de l efficacité du travail menée par la région en 2011? Approche descriptive On calcule le pourcentage de filles inscrites en 1 re année dans l IFSI : 68/85 = 80%. Ce pourcentage est plus faible que celui constaté deux années auparavant. Mais cette baisse peut-elle être attribuée aux fluctuations d échantillonnage ou doit-elle être considérée comme une évolution de l orientation des garçons vers les carrières paramédicales? Méthode statistique La méthode statistique pour répondre à cette question comporte différentes étapes qui sont réalisées de manière automatique, mais dont il faut comprendre la signification pour interpréter le résultat produit par le logiciel. 1. On organise les données pour faire apparaître la distribution des effectifs empiriques c està-dire des effectifs observés sur l échantillon étudié. 2. On calcule les effectifs de la distribution théorique qu on obtiendrait sur un échantillon théorique de même taille que l échantillon étudié, et où les pourcentages de référence sur la population parente s appliqueraient exactement à cet échantillon. 3. On détermine l écart entre cette distribution théorique et la distribution empirique effectivement observée. La méthode de calcul de cet écart est choisie en fonction de l exploitation attendue : celle qui convient ici est la méthode du khi On formule l hypothèse de départ (notée H0 et dite hypothèse nulle car on cherche à la réfuter to nullify en anglais) que l échantillon observé est issu d un échantillonnage aléatoire au sein de la population où les tirages successifs des individus sont indépendants. Selon cette hypothèse, l échantillon observé est assimilé à un échantillon aléatoire qui n aurait donc aucune caractéristique particulière liée à la situation étudiée. La distribution empirique serait une issue 1 de la distribution aléatoire associée à l échantillon alétoire. 5. On détermine la probabilité p d obtenir, sous l hypothèse nulle, un écart entre une distribution aléatoire et la distribution théorique égal ou supérieur à celui obtenu entre la distribution empirique et la distribution théorique. Cette étape repose de manière sousjacente sur des résultats mathématiques de probabilité, des conditions sur les effectifs théoriques doivent être remplies pour que la méthode soit valide : ils doivent être au moins égaux à Si cette probabilité est faible (c est-à-dire inférieure à un seuil décidé à l avance qui est généralement de 1% ou de 5%), on rejette l hypothèse nulle : cela accrédite le fait que l échantillon observé possède des caractéristiques particulières liées à la situation étudiée. On dit alors que la différence de pourcentage est significative au seuil de 1% ou de 5%, on 1 En probabilité, «issue» a le sens de réalisation, produit, résultat.

2 Fiche n 01 sur le test du khi-2 2 peut préciser le degré de signification p. Sinon, on ne rejette pas l hypothèse nulle, et on admet donc que l échantillon observé puisse ne pas posséder ces caractéristiques particulières, la différence de pourcentage est attribuée aux fluctuations d échantillonnage. On dit que la différence de pourcentage n est pas significative. Le pourcentage de filles en 1 re année dans l IFSI est 80%. Le test du khi-2 de conformité montre une différence de pourcentage significative au seuil de 5%. On interprète ce résultat en disant que le travail effectué par la région a eu un effet significatif au seuil de 5% sur l orientation des garçons vers les carrières paramédicales. Avec le classeur d outils statistiques, on obtient automatiquement : Le détail de la méthode statistique repose sur la constitution du tableau de la distribution observée et du tableau de la distribution théorique, du calcul distance entre les tableaux selon la méthode du khi-2, et de l évaluation de la probabilité de cette valeur du khi-2. La distribution «empirique» des résultats 2013 est : Filles Garçons Total ESI Sur un échantillon de même taille, la distribution «théorique» est : Filles Garçons Total ESI 74,5 10,5 85 Calcul de la distance selon la méthode du khi-2 : Filles Garçons Total ESI 0,574 4,097 4,671 Le nombre de degré de liberté du tableau de la distribution observée est 1. Selon la loi de khi- 2 à 1 degré de liberté, la probabilité d obtenir une valeur supérieure ou égale à 4,671 est 3,07% 2. 2 La valeur du khi-2 à 1 degré de liberté qui correspond à 5% est 3,84, c est le khi-2 théorique.

3 Fiche n 02 sur le test du khi-2 3 Test du khi-2 (Test d homogénéité) Comparer deux pourcentages observés sur deux échantillons indépendants Situation On souhaite comparer deux proportions observées sur deux populations étudiées, les résultats concernant les deux populations étant indépendants. «Paraplus» est un établissement privé de formation aux concours paramédicaux. En 2013, il a présenté 98 étudiants dont 17 ont été recalés. «Parasup» est un autre établissement privé de formation aux concours paramédicaux. En 2013, il a présenté 153 étudiants dont 17 ont été recalés. Que penser de ces deux établissements? Méthode statistique La méthode statistique pour répondre à cette question comporte différentes étapes qui sont réalisées de manière automatique, mais dont il faut comprendre la signification pour interpréter le résultat produit par le logiciel. Paraplus a présenté 98 étudiants, 17 ont échoué soit 17,35% Parasup a présenté 153 étudiants, 17 ont échoué soit 11,11% Il apparaît une différence favorable à Parasup qui légitime le test. 7. On organise les données pour faire apparaître en un tableau de contingence la distribution des effectifs observés sur chaque échantillon étudié. Puis on calcule les marges. Intégrés Recalés Présentés Paraplus Parasup Total On prend comme proportion théorique de référence des recalés, celle qu on obtient à la lecture des marges du tableau de contingence. La proportion de référence est 34/251 = 0,135 = 13,5% 9. On calcule les effectifs théoriques qu on obtiendrait sur chaque échantillon dans le cas où la proportion de référence s appliquerait exactement à chacun des deux. On obtient le tableau théorique des effectifs. Intégrés Recalés Présentés Paraplus 84,73 13,27 98 Parasup 132,27 20, Total On détermine l écart entre le tableau de contingence et le tableau théorique. La méthode de calcul de cet écart est choisie en fonction des possibilités d exploitation : celle qui convient ici est la méthode du chi². Intégrés Recalés Paraplus 0,16 1,05 Parasup 0,10 0,67 Le chi² empirique est la somme des valeurs, c est-à-dire 1,98.

4 Fiche n 02 sur le test du khi On formule l hypothèse (notée H0 et dite hypothèse nulle) que le tableau de contingence est obtenu par deux échantillonnages aléatoires indépendants au sein d une même population parente où les fréquences sont celles des marges du tableau théorique. Selon cette hypothèse, les deux échantillons n ont aucune caractéristique liée à la situation étudiée qui les différencie. 12. On détermine la probabilité p d obtenir, sous l hypothèse nulle, un écart égal ou supérieur à celui obtenu entre le tableau théorique et le tableau de contingence. Cette étape repose de manière sous-jacente sur des résultats mathématiques de probabilité, des conditions sur les valeurs du tableau théorique doivent être remplies pour que la méthode soit valide. Elles doivent être au moins égales à 5 ; en outre les échantillons sont supposés être indépendants Si cette probabilité est faible (c est-à-dire inférieure à un seuil décidé à l avance qui est généralement de 1% ou de 5%), on rejette l hypothèse nulle : cela accrédite le fait que les deux échantillons observés possèdent des caractéristiques particulières liées à la situation étudiée et qui les différencient. On dit alors que la différence entre les pourcentages observés est significative au seuil de 1% ou de 5%, on peut préciser le degré de signification p. Sinon, on ne rejette pas l hypothèse nulle, et on admet donc que les échantillons étudiés puissent ne pas posséder de caractéristiques particulières qui les différencient, la différence entre les proportions observées est attribuée aux fluctuations d échantillonnage. On dit que la différence n est pas significative. Le nombre de degré de liberté du tableau de contingence est 1. Selon la loi de chi² à 1 degré de liberté, la probabilité d obtenir une valeur supérieure ou égale à 1,98 est 15,90% 4. La différence entre les établissements n est pas significative au seuil de 5%. Un test du chi² d homogénéité a été réalisé, il montre que la différence des pourcentages d échec n est pas significative au seuil de 5%. Avec le classeur d outils statistiques, on obtient automatiquement : 3 Cela n est le cas si l on compare, par exemple, la répartition d un même groupe d individu à deux dates différentes, par exemple un groupe d étudiant avant et après un enseignement. 4 La valeur du chi² à 1 degré de liberté qui correspond à 5% est 3,84, c est le chi² théorique.

5 Fiche n 03 de statistique inférentielle 5 Test du khi-2 (Test d indépendance) Tester l indépendance de deux variables nominales Situation Deux variables sont étudiées sur une même population, on se demande si les valeurs de l une dépendent de celles de l autre, autrement dit si pour un individu donné le fait que lui soit associé telle valeur pour l une des variables modifie les probabilités des valeurs pour l autre variable. Des étudiants en 3 e année de soins infirmiers reviennent d un stage qui s est déroulé dans l un ou l autre des deux types de services : la réanimation ou la néonatalogie. Ces étudiants ont résolu un problème de calcul de dose médicamenteuse dans le cadre de leur formation l IFSI. Il s agissait d administrer un traitement continu à l aide d une seringue électrique. Trois méthodes peuvent être distinguées suivant que l étudiant privilégie dans son raisonnement, le débit, la dose ou la concentration. Les étudiants ayant fait leur stage en réanimation étaient 63 et ceux qui l ont fait en néonatalogie étaient 67. Le raisonnement a été relevé : 13 «débit» dont 10 en réanimation et 3 en néonatalogie, 59 «dose» dont 32 en réanimation et 27 en néonatalogie, et 58 «concentration» dont 21 en réanimation et 37 en néonatalogie. La méthode de résolution du calcul de dose est-elle indépendante du lieu de stage? Méthode statistique Les différences concernant les raisonnements axés sur le «débit» et la «concentration» légitiment la question posée sur l indépendance entre la méthode de calcul de dose et le service dans lequel a eu lieu le stage. La méthode statistique pour répondre à cette question ressemble beaucoup à celle de comparaison de deux distributions observées. 14. On organise les données dans un tableau de contingence des effectifs des valeurs de la première variable en fonction des valeurs de la seconde. Le tableau de contingence observé est : Stage en Raisonnement axé sur Débit Dose Concentration Total Réanimation Néonatalogie Ensemble On calcule les effectifs qu on obtiendrait si les deux variables étaient indépendantes. Pour cela, on répartit les effectifs proportionnellement aux marges du tableau observé. Stage en Raisonnement axé sur Débit Dose Concentration Total Réanimation 6,3 28,6 28,1 63 Néonatalogie 6,7 30,4 29,9 67 Ensemble

6 Fiche n 03 de statistique inférentielle On détermine l écart entre le tableau théorique et le tableau observé. La méthode de calcul de cet écart est la méthode du khi-2. Stage en Raisonnement axé sur Débit Dose Concentration Réanimation 2,17 0,41 1,80 Néonatalogie 2,04 0,38 1,69 Cela fait un total de : 8,49. Cette valeur est le khi-2 observé (ou calculé). 17. On formule l hypothèse (notée H0 et dite hypothèse nulle) d indépendance des deux variables. Cela signifie que les échantillons correspondant aux différentes valeurs de la première variable sont des échantillons aléatoires issus d une même population où les tirages successifs des individus sont indépendants. Selon cette hypothèse, les différents échantillons n ont aucune caractéristique particulière liée à la situation étudiée. 18. On détermine la probabilité p d obtenir, sous l hypothèse nulle, un écart égal ou supérieur à celui obtenu avec le tableau observé. Cette étape repose de manière sous-jacente sur des résultats mathématiques de probabilité, des conditions sur les effectifs théoriques doivent être remplies pour que la méthode soit valide : ils doivent être au moins égaux à 5. Le nombre de degré de liberté du tableau de contingence est 2. Selon la loi de khi-2 à 2 degrés de liberté, il y a une probabilité de 1,43% d obtenir une valeur égale ou supérieure à 8, Si cette probabilité est faible (inférieure au seuil de 1% ou de 5%), on rejette l hypothèse nulle : cela accrédite le fait que certaines valeurs de la première variable influencent celles de l autre. On dit alors qu on constate un effet significatif de la première variable sur la seconde au seuil de 1% ou de 5%, on peut préciser le degré de signification p. Sinon, on ne rejette pas l hypothèse nulle, les données observées ne permettent pas de rejeter l indépendance des deux variables, la différence entre le tableau théorique et le tableau observé est attribuée aux fluctuations d échantillonnage. On dit que la première variable n a pas d effet significatif sur la seconde. On déduit du test un effet significatif au seuil de 5% du lieu de stage sur la méthode de calcul de dose. On précise le degré de signification : p = 1,43%. Avec le classeur d outils statistiques, on obtient automatiquement :