Principes de la thermodynamique

Transcription

1 Feuille d exercices : révisions de thermodynamique P Colin 2016/2017 Principes de la thermodynamique 1. Bulle de savon et tension superficielle Une très fine couche de liquide (film d eau savonneuse formant une bulle) interagit avec l environnement extérieur en recevant, lors d une évolution réversible da de son aire A, le travail δw t = k da, où la constante k porte le nom de constante de tension superficielle. (a) On étudie une bulle de savon sphérique, de rayon r. La pression intérieure est notée p i et la pression extérieure est notée p e. Evaluer le travail total δw p des forces de pressions subies par la couche savonneuse au cours d une variation dr du rayon. On supposera qu au cours de cette évolution, les pressions p i et p e n évoluent pas. (b) On admet qu autour d une situation d équilibre, le travail des forces de pression est égale au travail reçu par la surface. Montrer que cet équilibre est caractérisé par une différence de pression entre l intérieur et l extérieur de la bulle, que l on calculera en fonction de k et r. (c) On étudie deux bulles de savon sphériques dans l atmosphère (pression p 0 ) reliées par un mince tube. Décrire l évolution de ce système. 2. N moles de gaz de Van der Waals Les expressions suivantes ont été décrites pour 1 mole de gaz de van der Waals : ( ) p + a V (V b) = RT, U = RT a 2 V Écrire ces relations pour n moles de ce gaz. + α, S = 3R ln T 2 + R ln (V b) + β. 3. Expérience de Clément et Désormes Un ballon de verre, muni d un robinet de fermeture, contient un gaz parfait dont la pression est très légèrement supérieure à la pression atmosphérique. La surpression initiale est notée δp. Le robinet est ouvert pendant un temps très court (une à deux secondes) et refermé. On admet que le ballon permet les transferts thermiques avec l extérieur. 1

2 On rappelle qu un transfert thermique par conduction est un processus lent, dont le temps caractéristique d évolution est très grand devant le temps caractéristique associé à la mise en équilibre mécanique d un gaz. (a) Analyser les phénomènes qui ont lieu durant l ouverture du robinet et après sa fermeture. (b) Caractériser les transformations thermodynamiques associées à ces phénomènes. (c) Représenter l évolution du gaz contenu dans le ballon sur un diagramme de Clapeyron. (d) Calculer la surpression δp dans le ballon lorsque le nouvel équilibre est atteint. On exprimera δp en fonction de δp et γ = cp c v. 4. Méthode de Rückhart pour mesurer γ Une enceinte surmontée d un tuyau vertical de section s est fermée par une bille de masse m qui peut osciller sans frottement dans le tuyau. L enceinte contient un gaz parfait, de coefficient γ. Au repos, la pression du gaz est P e = P 0 +mg/s et son volume V 0. Les oscillations de la bille sont assez rapides et d assez faible amplitude pour qu on puisse considérer les transformations du gaz comme adiabatiques et réversibles. (a) Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour la bille. (b) Déterminer la pulsation ω 0 des oscillations en fonction de P e, V 0, s, m et γ. 5. Variation d entropie lors d une thermalisation Deux solides de capacité calorifique c 1 et c 2, et de températures initiales T 1 et T 2, sont placés en contact dans une enceinte adiabatique. Calculer la température finale et la variation d entropie de l ensemble. 6. Système électrique Un résistor de volume invariable, de résistance électrique R, est maintenu par contact avec un thermostat à une température constante et uniforme T. Il est parcouru pendant un intervalle de temps τ par un courant électrique d intensité I constante délivré par une source de tension idéale de f.e.m E constante. (a) Calculer le travail et le transfert thermique reçus par le résistor pendant pendant la durée τ. (b) Calculer pour le résistor l entropie reçue et la variation d entropie totale. En déduire l entropie créée au cours de cette expérience. 7. Chauffage d un solide Dans une enceinte adiabatique, on fait passer un solide, de capacité thermique constante C, de la température T 1 à la température T 2 en deux étapes : contact et mise en équilibre thermique avec un thermostat de température T i ; 2

3 contact et mise en équilibre thermique avec un thermostat de température T 2. Déterminer T i pour minimiser l entropie créée. 8. Compresseur à deux étages Une masse m de gaz parfait de coefficient γ subit les transformations réversibles suivantes à partir de l état 0 (P 0, T 0 ) : adiabatique jusqu à l état 1 (P 1 > P 0, T 1 ) ; isobare de l état 1 à l état 2 (P 2 = P 1, T 2 = T 0 ) ; adiabatique de l état 2 à l état 3 (P 3 > P 1, T 3 ). (a) Représenter la suite des transformations en coordonnées de Clapeyron. (b) Exprimer le travail total de compression en fonction de m, M (masse molaire), T 0, γ, α = P 3 P 0 et x = ( ) γ 1 P1 γ P 0 (c) Comment choisir P 1 pour minimiser ce travail?. Machines thermiques 9. Cycle carré p p B B C p A A v A D v D v mol Figure 1 Cycle carré Une mole de gaz parfait monoatomique, de capacité calorifique molaire à volume contant c v,mol = 3 2R, est soumise à un cycle réversible constitué de deux isochores et de deux isobares. Ce cycle est décrit sur la figure 1. Au point A, la pression, le volume et la température valent respectivement p A,v A,T A. (a) De quelle type de machine s agit-il? 3

4 Figure 2 Cycle T-S Déterminer en fonction de T A, x = p B pa et y = v D va : (b) Les températures aux points B, C et D ; (c) L énergie thermique totale reçue par le gaz pendant un cycle ; (d) Le rendement d une machine fonctionnant avec un pareil cycle ; (e) Le rendement d une machine fonctionnant entre les mêmes températures extrémales, avec un cycle de Carnot. 10. Machine frigorifique tritherme Dans un réfrigérateur tritherme, un système fermé (Σ) décrit un cycle au cours duquel l énergie échangée est seulement thermique. Le système reçoit des transferts thermiques Q 1, Q 2, Q 3, en provenance de trois sources, la source chaude dont la température est T 1, la source intermédiaire dont la température est T 2 et la source froide dont la température est T 3 (T 3 < T 2 < T 1 ). La source intermédiaire est l atmosphère, de sorte que le transfert thermique Q 2 est sans intérêt économique. Le système est conçu pour refroidir la source froide, c est-à-dire pour avoir Q 3 > 0. (a) Définir l efficacité thermodynamique e de cette machine. (b) Montrer que l efficacité e est inférieure à une efficacité maximale e c atteinte pour un fonctionnement réversible. Exprimer e c en fonction des températures des trois sources (c) Comparer cette efficacité à celle d un réfrigérateur ditherme (celui présent dans la majorité des cuisines...). Quel peut-être l intérêt d un réfrigérateur triterme. 11. Cycle ditherme en diagramme T S On fait subir à un gaz le cycle réversible décrit sur la figure 2 dans le diagramme entropie S, température T. (a) Dans quel sens le cycle doit-il être parcouru pour que le cycle soit moteur? (b) Définir et déterminer alors son rendement ; comparer au cycle de Carnot correspondant aux mêmes températures extrêmes. 4

5 (c) Le gaz est un gaz parfait tel que γ est une constante. Donner l allure du cycle dans le plan p-v dans le cas où le volume dans l état (S 2,T 2 ) est inférieur au volume dans l état (S 1,T 1 ). 12. Cycle d un moteur diesel Une mole de gaz parfait subit les transformations réversibles suivantes : état (1) état (2) : compression adiabatique état (2) état (3) : dilatation à pression constante état (3) état (4) : Détente adiabatique état (4) état (1) : refroidissement à volume constant Chaque état est défini par la pression P i, la température T i et le volume V i, i variant de 1 à 4. On définit a = V 1 /V 2 et b = V 4 /V 3. (a) Représenter le cycle sur un diagramme de Clapeyron. (b) Donner les expressions de la pression, du volume et de la température pour les états (2), (3) et (4) en fonction de P 1, V 1, T 1, a et b. (c) Calculer les travaux et énergies thermiques échangés pour toutes les transformations subies, en précisant notamment le sens des échanges. (d) Proposer une expression pour le rendement η d un moteur fonctionnant suivant ce cycle, en fonction des travaux et énergies thermiques échangés. (e) Donner l expression du rendement η en fonction de γ, a et b. 13. Association de cycles dithermes On compare ici deux dispositifs de chauffage d une pièce maintenue à la température de 300 K, l extérieur de l habitation étant supposée à 270 K. (a) Un moteur réversible reçoit le transfert thermique Q d une chaudière à 600 K et fournit q à une source froide à la température de 270 K. Le travail fourni par le moteur sert à faire fonctionner une pompe à chaleur réversible qui pompe q à la source à la température de 270 K et fournit Q à la pièce à chauffer, à la température de 300 K. Calculer η 1 = Q /Q ; commenter. (b) On change le dispositif, le moteur étant maintenant placé dans la pièce à chauffer et utilise donc celle-ci comme source froide. On appelle maintenant Q le transfert thermique total fourni à la pièce par le moteur et par la pompe à chaleur. Calculer η 2 = Q /Q ; commenter. 5