Simulation d un fluide dans un camion citerne

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1 Université de Technologie de Compiègne Étude expérimentale Simulation d un fluide dans un camion citerne Daniel Fernex GSM02 Simon Chabot GI02 Sous la direction de : M. Mottelet Stéphane UTC (Enseignant référent) Printemps 2012 Document publié sous licence Creative-Commons BY-NC

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3 À nos mamans...

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5 Document publié sous licence Creative-Commons BY-NC Vous êtes libres de : Partager : reproduire, distribuer et communiquer l œuvre. Remixer : adapter l œuvre. Selon les conditions suivantes : Attribution : Vous devez attribuer l œuvre de la manière indiquée par l auteur de l œuvre ou le titulaire des droits (mais pas d une manière qui suggérerait qu ils vous soutiennent ou approuvent votre utilisation de l œuvre). Pas d utilisation commerciale : Vous n avez pas le droit d utiliser cette œuvre à des fins commerciales.

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7 Remerciements Nous tenons en premier lieu à remercier M. Mottelet pour sa disponibilité et son aide tout au long du projet. De nous avoir fait confiance et ainsi nous laisser une grande liberté dans les choix effectués. Mais aussi pour avoir fournis tous les scripts nécessaires à l étude de la méthode des éléments finis et ainsi que partagé ses connaissances dans ce domaine qui ont été pour Daniel une source précieuse d informations, tant pour ce projet que pour les connaissances générales sur la méthode. Un merci particulier à M. Le François qui nous a apporté des précisions pertinentes sur la méthode des éléments finis, en particulier sur les schémas de résolution de problèmes dynamiques. Nous pensons aussi à Martin Wicke, enseignant chercheur à Berkeley, qui nous a gracieusement autorisés à utiliser librement 1 son programme SPH comme base pour le notre. 1. Son programme a été placé sous licence BSD pour l occasion vii

8 Table des matières Table des matières viii Introduction 1 1 Méthode des éléments finis Introduction Modèle physique Modèle mathématique Conditions aux limites Transformation en un problème monodimensionnel Mise en œuvre des éléments finis Simulations avec SPH Description de la méthode Approximation de la solution de l équation Recherche de voisins par un arbre-kd Définition d un arbre-kd Construction de l arbre-kd Recherche des plus proches voisins dans un arbre-kd Implémentation des conditions limites Particules fantômes Solution choisie Comparaison des deux méthodes Sur un plan technique Sur un plan résultatif Contrôle Fonctionnement du contrôle Impact de α sur l amplitude des oscillations Présentation des résultats Choix de α Dépendance entre les critères de contrôle et le profil de vitesse Influence de la forme du réservoir Description de l étude Présentation des résultats Autre méthode Conclusion 33 viii

9 A Smoothed Particle Hydrodynamics 35 A.1 Convergence vers δ(x) A.2 Exemple de noyaux utilisés pour SPH A.2.1 Simulation normale A.2.2 Simulation à faible résolution Bibliographie 39 Liste des figures 39 ix

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11 Introduction Le phénomène de sloshing dans les camions citernes peut poser problème du fait de l interaction entre le fluide et le véhicule. En particulier, le conducteur peut être victime de troubles musculosquelettiques causés par les vibrations du fluide sur la paroi. Cela peut aussi présenter des risques dans le cas de virages ou freinages importants (basculement possible du véhicule). Cette étude a pour but de simuler, dans le cas d un mouvement rectiligne ce phénomène et de vérifier une solution active permettant de l atténuer. Nous emploierons deux méthodes différentes. Une première qui sera basée sur une approche Eulérienne, par les éléments finis. Puis une seconde, basée sur une approche Lagrangienne, Smoothed Particles Hydrodynamics. Nous confronterons ces deux méthodes pour s assurer de la cohérence des résultats. Et finalement, nous appliquerons un algorithme de contrôle dont nous étudierons l efficacité. Une dernière partie est consacrée à l étude de l influence de la forme du réservoir sur la réponse vibratoire du fluide. 1

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13 Méthode des éléments finis Introduction Nous allons dans cette partie détailler la résolution par éléments finis du problème de sloshing. En particulier, nous utiliserons une astuce mathématique permettant de transformer le problème initialement 2D en un problème 1D en spécifiant uniquement des conditions initiales. 1.2 Modèle physique Le modèle physique que nous allons étudier est celui représenté par la figure 1.1. Il représente la citerne du camion, mais la forme présentée ici peut changer, un des objectifs étant de déterminer la forme de la cuve limitant au plus l intensité du sloshing. Figure 1.1 Schéma du réservoir avec les différentes frontières On désigne par Ω le domaine de fluide. La surface libre est modélisée par Γ S, et l élévation de cette surface par rapport à sa position au repos est η(x, t). Les parois Γ f, Γ 1 et Γ 2 désignent respectivement le fond de la cuve, la paroi arrière et la paroi avant. Pour simplifier l étude, nous avons considéré les hypothèses suivantes : problème 2D : cela permet de simplifier grandement la résolution. On considère donc que le comportement du fluide est homogène dans la largeur. Cette hypothèse a été confirmée par la simulation 3D par la méthode SPH, qui montre que le mouvement est en effet relativement homogène dans la largeur, du moment que la vitesse est rectiligne (pas de virages). 3

14 4 Chapitre 1. Méthode des éléments finis fluide non-visqueux fluide incompressible : ceci s applique très bien à notre cas, car nous travaillons avec des vitesses très faibles par rapport à la célérité du son dans l eau (c eau 1480m.s 1 ) hypothèses des petits mouvements, ce qui permet d écrire que V 2 0. Il ne faudra donc pas travailler avec des amplitudes trop élevées. 1.3 Modèle mathématique Étant donné qu en plus du moment du fluide dans le réservoir, il y a le mouvement du camion, les hypothèses permettent de définir : Le champ de vitesse au sein du réservoir : V(x, y, t), qui dérive d un potentiel Φ(x, y, t), soit V = Φ La vitesse du camion : v(t) i, qui dérive également d un potentiel, car i = x, soit v(t) i = v(t) x avec x la fonction qui à x associe x. Il existe donc un potentiel ψ(x, y, t) tel que ou encore : V + v(t) i = ψ (1.1) ce qui revient à : Φ + v x = ψ (1.2) Φ + vx = ψ + cste (1.3) De plus, d après les hypothèses émises, on sait que ce potentiel vérifie l équation de Laplace, soit Conditions aux limites ψ = 0 dans Ω (1.4) Nous allons maintenant déterminer les différentes conditions aux limites du problème. La condition sur la surface libre est une condition aux limites dynamique (relation entre la dérivée temporelle et la dérivée normale de la solution d une équation différentielle). Pour l exprimer, nous utilisons la relation de Bernoulli en régime instationnaire P + ρg 0 η ρ ( ψ) 2 + ρ ψ = P a, dans Ω (1.5) avec : P la pression statique ρ la masse volumique du fluide g 0 la pesanteur (g 0 = 9.81m.s 2 )

15 1.3. Modèle mathématique 5 P a la pression atmosphérique, supposée constante car l altitude du véhicule ne varie pas Par conséquent, en exprimant cette relation au niveau de l interface (P = P a d après la continuité de la pression), on obtient g 0 η + 1 ( 2 ψ) + ψ = 0, sur Γ S (1.6) 2 De plus, d après l hypothèse des petits mouvements, on suppose que les perturbations du fluide par rapport à la position de repos (ψ = 0 et ( ) 2 η = 0) sont petites, ce qui permet d écrire que ψ 0, soit { g0 η + ψ = 0 sur Γ S η = 1 g 0 ψ sur Γ S (1.7) L objectif étant d avoir une équation aux dérivées partielles uniquement sur ψ, il faut une équation supplémentaire pour faire disparaître η. On utilise pour cela la condition cinématique qui exprime le fait que la composante verticale de la vitesse d une particule de fluide se trouvant sur Γ S est égale à la dérivée par rapport au temps de η(x, t), soit En combinant les équations 1.13 et 1.8, on a η = ψ n, sur Γ S (1.8) 1 g 0 ψ = ψ n sur Γ S (1.9) ψ + g 0 ψ n = 0 sur Γ S (1.10) Pour les conditions aux limites sur les autres parois, en définissant n la normale extérieure à Γ, on a : ψ n = n ψ = v sur Γ 1 n ψ = v sur Γ 2 (1.11) n ψ = 0 sur Γ f Au final, nous avons donc le problème suivant : ψ = 0 dans Ω ψ + g 0 n ψ = 0 sur Γ S n ψ = v sur Γ 1 n ψ = v sur Γ 2 n ψ = 0 sur Γ f (1.12) Nous allons montrer dans la suite comment obtenir un problème monodimensionnel, exprimé sur Γ S.

16 6 Chapitre 1. Méthode des éléments finis Transformation en un problème monodimensionnel L objectif est d exprimer le problème uniquement sur Γ s, en ayant comme seules conditions initiales ψ(0) = ψ 0 et ψ(0) = ψ 1 On a vu que V(x, y, t) + v(t) i = ψ. Donc si on reprend la relation vérifiée par ψ sur Γ S en remplaçant ψ par Φ + vx, on obtient : ψ + g 0 n (Φ + xv) = 0 sur Γ S ψ + g 0 n Φ = g 0 n xv sur Γ S (1.13) On peut ré-écrire ce système en posant ϕ = ψ Γs ϕ + g 0 Aϕ = g 0 (Ax) v sur Γ S (1.14) Avec A l opérateur défini tel que : Aϕ = n Φ Γs (1.15) où Φ est défini par : Φ = 0 dans Ω Φ = ϕ sur Γ S (1.16) n Φ = 0 sur Γ 1 Γ 2 Γ f Et : Ax = n ψ 0 Γs (1.17) où ψ 0 est défini par : ψ 0 = 0 dans Ω ψ 0 = 0 sur Γ S n ψ 0 = 1 sur Γ 1 n ψ 0 = 1 sur Γ 2 n ψ 0 = 0 sur Γ f (1.18) Cette formulation permet donc d obtenir un problème 1D exprimé sur Γ S, et il suffit de spécifier deux conditions initiales sur ϕ(0) et ϕ. Au final, le système a résoudre est le suivant : 1.4 Mise en œuvre des éléments finis (1.19) ϕ + g 0 Aϕ = g 0 Axv dans Ω ϕ(0) = ϕ 0 ϕ(0) = ϕ 1 Nous allons maintenant approximer la solution à l aide de la méthode des éléments finis. Pour cela, on multiplie l équation par une fonction test Ψ(x) : ϕ(t) + g 0 Aϕ(t) = g 0 (Ax) v(t) (1.20)

17 1.4. Mise en œuvre des éléments finis 7 On intègre sur Γ s : ˆ Γ S Ψ ϕ(t) d x + g 0 Ψ [ ϕ(t) + g 0 Aϕ(t)] = g 0 Ψ (Axv(t)) (1.21) ˆ Γ S ΨAϕ d x = g 0 ˆ Γ S Ψ (Ax) v(t) d x (1.22) On choisit d approximer la solution ϕ par des fonctions d interpolations linéaires de la forme n i (x) = a i x + b i définies telles que : { 1 si i = j n i (x j ) = 0 si i = j En notant φ = [ϕ 1, ϕ 2,... ϕ n ] T le vecteur des valeurs de ϕ aux nœuds Ψ v = [Ψ 1, Ψ 2,... Ψ n ] T le vecteur des valeurs de Ψ aux nœuds n v = [n 1 (x), n 2 (x),... n n (x)] le vecteur regroupant les fonctions d interpolations En remplaçant dans l équation 1.22, on obtient : ˆ ˆ ˆ Ψ t v n t vn v d x ϕ v + Ψ t vg 0 n t van v d xφ = Ψ t vg 0 (Ax) v(t) d x Γ S Γ S Γ S (1.23) Après avoir simplifié par Ψ v, on peut écrire l équation de la façon suivante : avec : M φ + g 0 Aφ = g 0 (Ax) v (1.24) ˆ M ij = n i (x)n j (x) d x (1.25) Γ S la matrice masse du problème 1D. Comme Γ s est divisé de façon régulière, les matrices élémentaires sont donc de la forme : [ ] 2 1 M e = Le avec L e la longueur d un élément. Et : ˆ A ij = n i (x)an j (x) d x (1.26) Γ s la matrice de raideur. La formule de Green permet d écrire que : ˆ (An i ) (x)n j (x) d x = Γ s Ω N i N j d Ω (1.27)

18 8 Chapitre 1. Méthode des éléments finis avec : N i = 0 dans Ω N i = n i sur Γ S (1.28) n N i = 0 sur Γ f Γ 1 Γ 2 Cette formulation permet donc d évaluer la matrice A. Le problème étant construit, nous avons choisi de le résoudre en utilisant une fonction toute prête de Scilab : ode.

19 Simulations avec SPH Description de la méthode Pour simuler le mouvement d un fluide avec SPH, on cherche à approximer la solution de l équation de bilan de conservation de la quantité de mouvement de Navier-Stokes : ρ D u D t = P + µ 2 u + F (2.1) L idée de la méthode SPH est de remplacer le fluide par en ensemble de particules qui, individuellement, vont approximer le mouvement du fluide étudié. La dérivée de la vitesse de chaque particule est régie par l équation 2.1. La méthode de SPH est basée sur le fait que l on cherche à évaluer une fonction (inconnue) en un point à partir d un ensemble de points connus de la fonction. La distribution de Dirac δ(x) étant l élément neutre du produit de convolution, nous avons f = f δ, soit : ˆ f (x) = f (y)δ(y x) d y (2.2) On approxime alors la distribution de Dirac par une fonction de poids W. On a donc : ˆ f (x) = f (y)w( y x, h) d y (2.3) où f (x) est l évaluation approchée de f (x) et où W( x, h) est la fonction de poids, qui est choisie de sorte qu elle ait certaines propriétés communes avec la distribution de Dirac. Notamment que 1 : W( x, h) 0, ˆ W( x, h) d x = 1, supp(w( x, h)) ] h; h[ (2.4) Des exemples de noyaux utilisés sont donnés en annexes A.2. Le paramètre h permet de contrôler l influence des points voisins. Les propriétés du produit de convolution nous permettent de définir également le gradient et le laplacien de f. Nous avons donc : 1. On montre en annexe A.1 qu une fonction ayant ces propriétés converge vers δ(x) 9

20 10 Chapitre 2. Simulations avec SPH f (x) = ˆ ˆ 2 f (x) = f (y) W( y x, h) d y (2.5) f (y) 2 W( y x, h) d y (2.6) De plus, nous avons : W( y x, h) = y x y x W ( y x, h) 2 W( y x, h) = W ( y x, h) Étant donné qu avec SPH, le fluide étudié est assimilé à un nombre fini N de particules de fluide, nous devons discrétiser les expressions que nous venons de définir. Ainsi, on pose : f i = f(r i ) W ji h = W( r j r i, h) V j = m j ρ j car m j = V j ρ j Nous avons ainsi les propriétés suivantes : f i = fi = 2 f i = Approximation de la solution de l équation 2.1 N m j f j W ji ρ h (2.7) j j N m j ji f j W ρ h (2.8) j j N m j f j 2 W ji ρ h (2.9) j j L équation 2.1 peut être mise sous la forme suivante : où on a : D u D t = 1 ρ (fp + f v + f e ) (2.10) f p = P f v = µ 2 u f e = F La force liée à la pression La force liée à la viscosité Les forces extérieures On peut alors calculer la densité de chaque particule de fluide : ρ i = j m j ρ j ρ j W ji h = j m j W ji h (2.11) On peut ensuite en déduire la pression (ADAMS et WICKE 2009) :

21 2.2. Recherche de voisins par un arbre-kd 11 P i = K (ρ i ρ 0 ) (2.12) où ρ 0 est la densité au repos. Il s agit maintenant de calculer les forces liées à la pression et à la viscosité. Pour symétriser les relations, on remarque que l on a ( ) P ρ P ρ 2 ρ, on en déduit que : f p i ρ i = j m j ( Pj ρ 2 j + P i ρ 2 i = P ρ ) W ji h (2.13) Concernant la force de viscosité, on peut remarquer que 2 (ρu) = ρ 2 u + u 2 ρ + 2 u ρ et u = 0 (conservation de la masse), d où l on déduit que : Ainsi : 2 u = 1 ρ ( (ρu) u 2 ρ) fi v m j ( ) = µ ρ i uj j ρ 2 u i 2 W ji h (2.14) i Les forces appliquées à une particule de fluide sont maintenant connues à l instant t, on peut en déduire l accélération en les sommant. Pour calculer ensuite la vitesse et la position des particules, nous avons utilisé un schéma d intégration Leapfrog, qui est un schéma du second ordre (alors que celui d Euler n est que du premier ordre). Nous avons donc : u i+ 1 = u 2 i 1 + D u i 2 D t d t (2.15) r i+1 = r i + u i+ 1 d t (2.16) 2 Étant donné qu il est nécessaire de connaitre u i+1 pour le calcul ) de l accélération à la prochaine itération, on pose u i+1 = 1 2 (u i + u 12 i Recherche de voisins par un arbre-kd Comme nous venons de le voir, la méthode SPH est théoriquement assez simple. Le principal problème réside dans la complexité de l algorithme. Une implémentation naïve serait en O(n 2 ), où n est le nombre de particules de fluides utilisées pour la simulation. Pour avoir une simulation qui soit un tant soit peu réaliste, le nombre de particules doit être élevé ; ce qui implique alors un long temps de calcul. Or pour calculer les forces appliquées à chaque particule, seules les particules j telles que r j r i h ont un impact sur le résultat ; les autres sont tout bonnement ignorées puisque que le support de la fonction de poids est ] h; h[. Ainsi, l algorithme peut être amélioré en optimisant la recherche des billes voisines. Pour ce faire, nous utilisons la recherche de voisins par arbre-kd.

22 12 Chapitre 2. Simulations avec SPH Définition d un arbre-kd Définition 2.1 Un arbre kd (ou kd-tree, pour k-dimensional tree) est une structure de données de partition de l espace permettant de stocker des points, et de faire des recherches (recherche par plage, plus proche voisin, etc.) plus rapidement qu en parcourant linéairement le tableau de points. (Wikipédia 2 ) Techniquement, un arbre-kd est un arbre binaire où à chaque niveau la clé de tri change selon l axe. Dans l exemple ci-dessus, les discriminations se fait selon l axe des abscisses, puis l axes des ordonnées, etc. C est le même raisonnement pour un cas en 3 dimensions. Figure 2.1 Représentation d un arbre-kd ( K-d_tree) Construction de l arbre-kd Considérons un ensemble E de points de R 3 à stocker dans un arbrekd. Chaque feuille de l arbre i contiendra un ensemble e i E, qui contient au maximum B points. La première étape consiste à parcourir tout E pour définir le domaine maximum de recherche. C est à dire, construire un pavé qui englobe tous les points. Puis, ce pavé est découpé récursivement en plus petits pavés, jusqu à ce que chacun ait au plus B points. À chaque découpage, l axe change. Les algorithmes 1 et 2 illustrent cette méthode. La figure 2.2 illustre le procédé en deux dimensions. À chaque étape, le plan divisant le pavé en deux parties est calculé de sorte que chacune ait (environ) le même nombre d éléments. Remarque 2.1 Bien qu un ensemble mathématique soit non-ordonné, informatiquement un ensemble étant représenté par un tableau. Ainsi, les éléments sont arbitrairement ordonnés et il y a un premier élément, un second, et ainsi de suite. C est pourquoi dans le pseudo-code présenté ci-dessus, E.begin fera référence au premier élément de E, E.mid à l élément du milieu, etc. 2. Juillet

23 2.2. Recherche de voisins par un arbre-kd 13 Figure 2.2 Étape de construction d un arbre-kd en 2D Algorithme 1: kd-tree-contruction() Data : E, B Result : a kd-tree storing E s points bbox min (,, ) T ; bbox max (,, ) T ; for p E do if p.x < bbox min.x then bbox min.x p.x; else if p.x > bbox max.x then bbox max.x p.x; if p.y < bbox min.y then bbox min.y p.y; else if p.y > bbox max.y then bbox max.y p.y; if p.z < bbox min.z then bbox min.z p.z; else if p.z > bbox max.z then bbox max.z p.z; end return splitcell(e.begin, E.end, B, bbox min, bbox max, 0); Algorithme 2: splitcell() Data : E.begin, E.end, B, b min, b max, depth n sizeo f (E); if n B then return createfinalnode(e); end dim depth%3; mid n/2; Partitionner E par rapport au mid-ième élément selon dim; dmin bmin; dmax bmax; separator E.mid[dim]; dmin[dim] separator; dmax[dim] separator; return createnode(separator, dim, splitcell(e.begin, E.mid, B, bmin, dmax, depth + 1), splitcell(e.mid, E.end, B, dmin, bmax, depth + 1)); La fonction createfinalnode(), retourne un nœud qui contient tous les points qui lui ont été donnés en paramètre. La fonction createnode() construit, quant à elle un nœud avec deux fils, qui contiendront à leur

24 14 Chapitre 2. Simulations avec SPH tour soit deux fils soit un ensemble de points. Chaque nœud parent porte également deux informations : l axe selon lequel il coupe l espace (dim) et à quel endroit (separator). Pour effectuer le partitionnement, nous avons utiliser la fonction std::nth_element() de la bibliothèque standard qui permet de faire une partition selon une fonction de comparaison donnée en paramètre. Nous avons donc bien évidement donné une fonction qui compare selon la composante dim des points Recherche des plus proches voisins dans un arbre-kd Pour effectuer la recherche, nous avons deux paramètres avec lesquels nous pouvons jouer. Le point p pour lequel nous cherchons les billes voisines et la constante h qui est le support de la fonction de poids. Il s agit donc de rechercher dans l arbre les points qui sont dans la sphère de centre p et de rayon h. Pour ce faire, on descend l arbre en direction du point p. À chaque fois que l on avance dans la profondeur de l arbre, il s agit de vérifier si la sphère est entièrement continue dans le pavage restant. Si oui, alors on descend encore, sinon on arrête ici. Lorsque l on a fini de descendre l arbre, il ne reste plus qu à retourner les billes qui sont dans les feuilles restantes. Un petit schéma est sans doute nécessaire. Sur la figure 2.4(a), chaque point rouge représente un point qui est a stocker dans l arbre, chaque lettre représente une division et chaque rectangle de couleur représente un ensemble e i, tel que nous en parlions précédemment. En dessus, l arbre?? traduit la représentation des points telle qu enregistrée en mémoire 3. Le disque foncé représente la zone dans laquelle nous effectuons la recherche. Figure 2.3 Exemple d arbre-kd (a) Division de l espace b d e e 3 e 4 e 5 e 6 (b) Arbre-kd correspondant a c e 7 e 8 Les étapes de la recherche pour ce cas là, sont donc les suivantes : 3. S agissant d un arbre binaire de recherche, les éléments inférieurs à la clé se trouvent dans le fils gauche et les éléments supérieurs dans le fils droit.

25 2.3. Implémentation des conditions limites Le disque est entièrement contenu dans la zone de recherche, on poursuit. 2. On compare l ordonnée du centre du disque avec la valeur a, manifestement, il faut suivre le fils gauche. On vérifie également que le disque est entièrement contenu dans zone correspondant au fils gauche de a. 3. On compare l abscisse du centre du disque avec la valeur b, on poursuit avec le fils droit, on vérifie que le disque est entièrement contenu dans les fils. 4. On compare l ordonnée du centre du disque avec la valeur d, on devrait poursuivre sur le fils gauche ; sauf que le disque n est plus entièrement contenu dans le fils, donc l exploration s arrête ici. Il ne reste maintenant plus qu à rassembler les points qui se trouvent dans le disque, pour se faire on explore les enfants du nœud sur lequel on s est arrêté. Pour chacun des enfants, on va regarder s il intersecte avec le disque si oui alors on regarde les points qui sont dedans et on retourne ceux contenu dans le disque, sinon on continue jusqu à avoir explorer tous les enfants. 2.3 Implémentation des conditions limites Une des questions que l on doit se poser lorsque l on veut implémenter la méthode SPH (ou tout autre méthode Lagrangienne) est la suivante : Que faire lorsque l on a détecté qu une particule de fluide était en dehors de la zone autorisée? Bien que cette question puisse sembler triviale, il n y a pas encore de technique qui fonctionne efficacement. Une solution qui semble être utilisée est celle présentée par KELAGER (2006) qui consiste replacer la particule en question dans le domaine de validité et à modifier la vitesse de la particule selon la formule suivante : u i u i (1 c r ) (u i n) n Le coefficient c r permet de jouer sur la restitution. Pour supprimer la composante normale de la vitesse, on choisira c r = 0 ; ce qui modélise une condition de non glissement. Alors que choisir c r = 1, permet de modéliser un rebond parfaitement élastique 4. Cela dit, cette solution n a pas donnée dans notre cas des résultats satisfaisants. Les conditions aux limites ainsi implémentées menèrent à de nombreuses et rapides explosions du système. Ce qui est sans doute dû au fait que l on impose un déplacement totalement arbitraire des particules de fluide au moment où on les replace dans le domaine de validité (BRAUNE et LEWINER). Nous avons donc fait décidé d explorer d autres pistes. 4. Ce qu il faut à tout pris éviter pour que la simulation ne diverge pas!

26 16 Chapitre 2. Simulations avec SPH Particules fantômes SPH étant une méthode Lagrangienne, il peut être intéressant d utiliser une technique de gestion des conditions aux limites qui le soit aussi. Ainsi un choix qui est fait dans plusieurs articles de recherche est celui des particules fantômes. Comme nous allons le voir, comprendre cette technique est très simple, son implémentation n est guère plus difficile. Mais ce n est tout de même pas le choix que nous avons adopté pour ce projet. Principe L idée est de recouvrir le domaine de particules de fluide qui ont exactement les mêmes propriétés que le fluide étudié à la différence près qu elles ne changent pas de position au cours du temps 5. Ces billes fantômes que l on a placée arbitrairement sont chargées de «bloquer» la sortie aux autres particules. Pour empêcher une particule de fluide p de sortir, chaque particule fantôme p fi entrant en considération de le calcul des propriétés de p ajustera la direction et la valeur de sa vitesse (fictive) afin de la contrer. La direction sera calculée en sorte de simuler la condition de non glissement, c est à dire en sorte de supprimer la composante normale du vecteur vitesse de p par rapport à la paroi du domaine. Pour être efficace, il faut qu il y ait suffisamment de billes fantômes. Ainsi, on enveloppera le domaine de billes fantômes sur une épaisseur de h. Figure 2.4 Particules fantômes 5. Sauf si le domaine évolue, ce qui peut alors être intéressant.

27 2.3. Implémentation des conditions limites 17 Avantages Cette méthode a divers avantages. Un des principaux avantages que y avons trouvé est que la géométrie du domaine peut potentiellement être quelconque et peut également changer au cours du temps. En effet, pour que la géométrie change, il suffit de déplacer ces particules fantômes et naturellement, les particules représentant le fluide vont suivre le mouvement. Il existe aussi un autre avantage. Regardons les figures 2.5(a) et 2.5(b). (a) Recherche de voisins (b) Volonté d une densité constante Figure 2.5 (ADAMS et WICKE 2009) La figure 2.5(a) illustre très clairement le fait qu une particule de fluide se trouvant proche d une limite du domaine aura moitié moins de voisin qu une particule qui se situe au milieu du fluide. De ce fait, on assiste à une contraction des particules situées en limite du domaine pour faire en sorte que la densité soit constante et égale en tout point du fluide, comme l illustre la figure 2.5(b). La technique des particules fantômes permet de palier ce problème puisque même les particules en contact avec le domaine auront autant de voisines en moyenne que les particules situées au centre du fluide. Inconvénients Cette méthode semble ainsi très intéressante puisqu elle résout, comme nous venons de le voir un certain nombre de problèmes Cela dit, nous n avons pas choisi d implémenter cette méthode 6 car l utilisation de billes fantômes introduit d autres problèmes. Par exemple, comment faire pour recouvrir le domaine de bille sur une épaisseur donnée? Comment faire pour que les billes fantômes qui ne sont pas sensées bougées 7 soient placées d entrée de jeu en équilibre? Tant de questions auxquelles nous n avons pas trouvé de réponse. Nous avons quand même tenté le coup, en prenant une forme triviale sur laquelle il était facile de disposer les billes à intervalles réguliers sur une épaisseur donnée. Mais les résultats n étaient guère concluant puisque les calculs sont très très alourdis. En effet, ajouter de billes fantômes revient à ajouter autant de billes pour lesquelles il faudra calculer les interactions. De plus, l algorithme de recherche de voisins dans un arbre-kd tel que présenté ci-avant devient nettement moins efficace puisque le domaine maximum de recherche n évolue plus avec le fluide. Il devient constant et 6. Mais ce n est pas faute d avoir essayé sauf si le domaine bouge, bien évidement

28 18 Chapitre 2. Simulations avec SPH grand, puisqu il s agit ni plus ni moins de tout le domaine et non plus du fluide seulement. Ce sont ces raisons qui nous ont poussé à ne pas utiliser des billes fantômes dans notre projet Solution choisie C est finalement dans BRAUNE et LEWINER que nous avons trouvé une solution qui n alourdissait pas les calculs et qui donnait un résultat correct. La méthode qu ils proposent est d ajouter à chaque particule qui est en dehors du domaine, une force proportionnelle à la profondeur de pénétration. Cette force, perpendiculaire à la frontière de contact, a pour effet de pousser la particule à l intérieur du domaine. Cette force est de la forme suivante : F b = (S d D n u)n où S est une constante, correspondant à la dureté de la frontière, d la pénétration de la particule étudiée, D l amortissement qui est proportionnel à la normale de la vitesse par rapport à la frontière. Bien que cette méthode ne corrige pas le problème d agglutination aux frontières évoqué ci-dessus, elle a l avantage d être très rapide à calculer.

29 Comparaison des deux méthodes 3 Un des objectifs de cette étude est de confronter les deux méthodes mises en œuvre. Pour cela nous avons fait une comparaison sur un plan technique, c est-à-dire les hypothèses faites, le temps de calcul etc. Puis une autre sur l aspect visuel pour vérifier que le mouvement du fluide est identique dans les deux cas. 3.1 Sur un plan technique Pour synthétiser cette comparaisons nous avons créé le tableau 3.1. Critères SPH MEF Dimensions 3D 2D Temps de calcul 2h s Réalisme visuel Réaliste Schématique Hypothèses Fluide légèrement compressible Fluide parfait Fluide incompressible Fluide irrotationnel Mouvement homogène dans la largeur Petits mouvements Table 3.1 Comparaison Globalement, on s aperçoit que la MEF a un rendu moins réaliste que SPH ce qui se ressent d ailleurs au niveau du temps de calcul. 3.2 Sur un plan résultatif Afin de confronter le rendu des deux méthodes nous avons lancé les deux simulations avec le profil de vitesse suivante : Table 3.2 Profil de vitesse t v t 2t 0 Nous avons ensuite relevé des images sur les deux simulations aux temps t 0 = 1 s, t 1 = 2.5 s, t 2 = 7 s 19

30 20 Chapitre 3. Comparaison des deux méthodes (a) MEF (b) SPH Figure 3.1 t = 1s (a) MEF (b) SPH Figure 3.2 t = 2.5s (a) MEF (b) SPH Figure 3.3 t = 7s

31 3.2. Sur un plan résultatif 21 On constate donc que pendant le mouvement la forme de la surface libre est quasiment identique avec les deux modèles. Ce qui nous conforte dans notre hypothèse de mouvement homogène dans la largeur (pour la MEF). En revanche, nous ne sommes pas sans constater que quelques secondes après l arrêt du véhicule, les oscillations deviennent négligeables sur la simulation SPH, alors qu avec la MEF elles n ont pas diminué. Cela est dû au fait de la présence de la viscosité dans le modèle SPH alors qu elle est négligée dans la MEF.

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33 Contrôle 4 Lorsqu une personne conduit un camion citerne, le fluide présent à l intérieur bouge en fonction du mouvement du camion. Si le réservoir est plein, alors le mouvement du fluide est négligeable. En revanche, si le réservoir n est pas plein, alors le fluide va «ballotter» et peut introduire de multiples problèmes. Par exemple les vibrations ressenties par les conducteurs, qui à termes peuvent introduire des troubles musculosquelettiques ou encore le fait que lorsque le conducteur va freiner d urgence, le fluide va venir taper sur la paroi avant du réservoir, et potentiellement faire avancer le camion, puis va taper sur la paroi arrière et potentiellement faire reculer le camion. Figure 4.1 Illustration du ballant longitudinal et latéral (WIOLAND et al.) Il existe différents moyens de contrôler la stabilité du fluide. Certaines méthodes utilisées qui sont dites «passives» consistent, par exemple, à placer des obstacles dans le réservoir pour absorber l énergie que peut accumuler le fluide en se déplaçant. À ce problème, MOTTELET (2006) propose une méthode active. L idée est de placer une sorte d «ABS actif» qui permet de jouer sur la vitesse du camion, de sorte à ce que le fluide soit toujours le plus stable possible. C est cette méthode que nous avons utilisée pour réaliser nos simulations. Remarque 4.1 La méthode proposée ne fonctionne que pour un mouvement longitudinale, on supposera donc dans la suite de cette étude, que le mouvement ne se fait que selon l axe e x. 23

34 24 Chapitre 4. Contrôle 4.1 Fonctionnement du contrôle Cette méthode est dite «active» puisqu il s agit de jouer sur la vitesse du véhicule, en ajoutant au véhicule une vitesse v c qui est proportionnelle à l élévation du fluide par rapport à l état de repos. Il est donc nécessaire, en pratique, d avoir un capteur qui mesure l élévation de la hauteur de fluide. Soit η l élévation du fluide au niveau de la paroi avant du réservoir, et v la vitesse du camion. La vitesse v c à ajouter à v pour stabiliser le fluide est donc de la forme : v c = αη e x (4.1) Le paramètre α qui permet de réguler l effet du contrôle et la section 4.3 est consacrée à la recherche de ce paramètre. Remarque 4.2 Selon la méthode, (SPH ou la méthode des éléments finis), le paramètre qui permet de jouer sur le mouvement du réservoir n est pas le même. Avec la méthode des éléments finis, le paramètre est la vitesse alors qu avec SPH il s agit de l accélération. Ainsi, pour SPH on ajoutera la quantité a c à l accélération où : ce qui a un effet équivalent. a c = α d η d t e x 4.2 Impact de α sur l amplitude des oscillations Nous allons dans cette partie présenter les résultats des simulations mettant en œuvre l algorithme de contrôle. Dans le but de vérifier l efficacité de ce contrôle nous avons successivement fait des simulations avec et sans feedback et avons comparé les résultats. Nous avons effectué ce procédé pour les deux méthodes afin de voir si le comportement est identique dans les deux cas ou pas. Afin de quantifier cet amortissement nous avons mesuré l évolution de l élévation de la surface libre (η) à l arrière du réservoir (en x = 0), en fonction du temps Présentation des résultats Nous avons choisi arbitrairement α = 25, une étude plus poussée sur le choix de la valeur est présentée à la section 4.3, page 25. Les résultats sont présentés dans les figures 4.2 et 4.3 Sur la figure 4.3, les courbes bleu ciel et jaune représentent l évolution de la hauteur de la surface libre du fluide (l échelle est sur l axe vert), respectivement à l arrière et à l avant du réservoir. Les courbes bleu foncé et rouge correspondent quant à elles aux vitesses théorique et réelle, qui se lisent sur l axe blanc. Ces courbes mettent clairement en évidence l effet d amortissement. En effet, sans feedback on voit que les oscillations perdurent après l arrêt du véhicule et ne diminuent qu avec les frottements (pris en compte uniquement pour la méthode SPH). En revanche, avec le feedback les oscillations sont plus faibles d une part pendant le mouvement du camion et s atténuent d autre part après l arrêt.

35 4.3. Choix de α 25 Figure 4.2 Évolution de η et de la vitesse avec et sans amortissement en fonction du temps, par la MEF (α = 25) Figure 4.3 Influence de α pour SPH (α = 25) Malheureusement, le monde n étant parfait, on ne peut pas tout avoir. Par conséquent l avantage que l on a sur l amortissement se répercute en désavantage sur la vitesse. En effet, introduire α entraîne une différence entre la vitesse souhaitée par le conducteur et la vitesse réelle. En particulier, lorsqu il veut s arrêter, la distance d arrêt avec feedback est plus grande que celle sans. Cela présente donc une gêne pour la conduite et/ou un danger puisque le véhicule peut s arrêter trop loin. Nous allons donc chercher à minimiser ce phénomène dans la section suivante. 4.3 Choix de α Nous avons, dans cette partie, voulu déterminer la valeur de α optimale, c est-à-dire une meilleure stabilisation et un faible écart entre la vitesse réelle et la vitesse souhaitée par le conducteur (pour avoir le moins de dérangement possible pour la conduite). Nous nous sommes pour cela basés sur deux critères de contrôle : La différence du profil de vitesse réel et celui imposé par le conducteur. Pour le quantifier, nous avons calculé l intégrale de la différence

36 26 Chapitre 4. Contrôle entre les deux vitesses, soit : ˆ erreur = v theorique v reelle dt (4.2) T L objectif est d avoir le plus grand amortissement pour la plus petite erreur. La distance d arrêt, c est-à-dire la distance parcourue après que la vitesse théorique soit nulle (donc jusqu à ce que la vitesse réelle soit nulle). Nous avons estimé que c est un critère important, car d un point de vue sécuritaire, l arrêt du camion doit pouvoir être bien contrôlé (pour éviter toute collision). Afin d étudier ces deux critères, nous avons choisi le profil de vitesse résumé dans le tableau 4.1 t v t t 0 Table 4.1 Profil de vitesse Les résultats sont présentés dans la figure 4.4. (a) Distance d arrêt en fonction de α Figure 4.4 Critères pour le choix de α (b) Erreur en fonction de α On a vu auparavant que plus α est grand, plus les oscillations sont atténuées, on serait donc tenté de le choisir très grand. Cependant, on voit que la distance d arrêt et l erreur évolue linéairement en fonction de α. Ces résultats permettent donc de voir qu il ne suffit pas de choisir α très grand afin d atténuer au mieux les oscillations, car le mouvement réel du camion s éloignerait trop de celui souhaité par le conducteur. Il ne serait donc pas possible, dans ces conditions, de conduire sans être gêné. Il faudrait donc définir un critère de distance d arrêt et d erreur maximaux et choisir le α adapté. Cependant, les simulations ont montré une

37 4.3. Choix de α 27 grande dépendance entre ces paramètre (distance d arrêt et erreur) et le profil de vitesse. Ainsi, les étudier pour un seul profil n est pas suffisant. Nous avons donc effectué une étude supplémentaire pour voir s il est possible de trouver une valeur optimale de α Dépendance entre les critères de contrôle et le profil de vitesse Pour déterminer cette dépendance, nous avons choisi arbitrairement une valeur de α, soit α = 25, et calculé, pour plusieurs profils de vitesse. Nous avons gardé le même schéma que dans le chapitre du choix de α, à savoir accélération constante pendant un temps T 2, décélération constante pendant le même temps T 2, puis arrêt du véhicule jusqu à t = T f inal. Le tableau 4.2 résume ce profil. t 0 T T 2 2 T T T f inal v t t 0 Table 4.2 Profil de vitesse Nous avons donc, pour α constant, fait varier T et observé les valeur de la distance d arrêt et de l erreur. Nous avons regroupé ces résultats dans le graphique 4.5. On remarque que la distance d arrêt varie beaucoup en fonction de la forme de la sollicitation. Cette étude, bien que n apportant pas de valeur précise pour α, permet de conclure qu il est nécessaire d avoir plus d éléments pour en déterminer la valeur optimale. Il faudrait en effet se placer dans des conditions réelles, éventuellement connaître des profils de vitesse types.

38 28 Chapitre 4. Contrôle (a) Distance d arrêt en fonction de T (b) Erreur en fonction de T Figure 4.5 Influence de T sur les paramètres de contrôle

39 Influence de la forme du réservoir Description de l étude Dans cette partie, nous allons présenter l étude pour trouver la forme optimale du réservoir. L objectif étant de définir, pour un profil de vitesse donné, la forme permettant d amortir au mieux les oscillations de la surface libre. Les formes que nous avons choisi d étudier sont regroupées dans la figure 5.1. (a) Rectangle (b) Demi-cercle (c) Triangle (d) Créneaux (e) Coins arrondis Figure 5.1 Formes géométriques choisies Nous les avons choisies de façon a obtenir une grande variétés de formes, même si la plupart ne sont pas technologiquement réalisables. Cependant, nous nous sommes aperçus que le profil de vitesse influence fortement le comportement du fluide, et qu une étude avec un unique profil ne permettrait pas de déterminer la meilleure géométrie de 29

40 30 Chapitre 5. Influence de la forme du réservoir réservoir. En particulier, pour un certain profil, un forme amortit mieux, tandis qu avec un autre profil c est une autre forme qui est plus avantageuse. Nous avons donc décidé de balayer plusieurs profils d accélérations, et d observer les oscillations de la surface libre. Le type de profil est le suivant : accélération constante pendant un temps t = T 2, décélération constante pendant le même temps, puis arrêt total. Le temps entre le début et la fin du mouvement est T, le temps total de la simulation (incluant l arrêt du camion), est T f inal. Ce profil est résumé dans le tableau 5.1. Table 5.1 Forme du profil de vitesse t 0 T T 2 2 T T T f inal v(t) t t 0 Nous avons fait varier T entre 4 et 22 (par pas de 2), et observé l évolution de l élévation η d un point à l extrémité gauche du camion (x = 0) en fonction du temps. L objectif étant de déterminer la géométrie entraînant des oscillations avec l amplitude la plus faible, mais aussi la période la plus longue, car plus les oscillations sont espacées, moins elles seront contraignantes pour le chauffeur. 5.2 Présentation des résultats Nous n allons pas ici présenter tous les résultats, mais suffisamment pour mettre en évidence l influence de T sur la réponse de la surface libre. L image 5.2 présente des résultats particuliers, pour T = 6s et T = 16s. On constate sur les image que η commence par augmenter, ce qui est cohérent car le point observé est à l arrière du véhicule. Sur l image 5.2(a), on remarque que la forme en créneaux induit la plus faible amplitude et la plus grande période, et donc est potentiellement la moins dérangeante pour le conducteur. Sur l image 5.2(b) au contraire, on se rend compte que la forme en créneaux est la moins performante (amplitude des oscillations maximale) Ces résultats permettent de mettre en évidence l influence du profil de vitesse sur la réponse du fluide. Il est difficile dans ce cas de déterminer quelle forme est optimale. Nous avons donc cherché à déterminer la meilleure forme par une autre méthode. 5.3 Autre méthode Nous avons cherché à quantifier l importance de l oscillation en fonction de T, et pour cela avons, pour chaque valeur de T, déterminé la valeur maximale de η pour chacune des formes. Nous avons donc établi le graphique de la figure 5.3 avec T en abscisses et η max en ordonnées. Ce graphique montre une évolution de forme sinusoïdale de η max en fonction de T. On remarque donc qu au final, les différentes formes n influent que peu sur l amplitude de l oscillation. En effet, toutes les formes

41 5.3. Autre méthode 31 (a) T = 6s Figure 5.2 Oscillations en x = 0 (b) T = 16s Figure 5.3 Évolution de η max en fonction de T

42 32 Chapitre 5. Influence de la forme du réservoir à l exception du triangle, ont un maximum d environ 0.07m selon les différents T. C est uniquement la période qui change. Nous aurons par exemple : Forme rectangulaire : maximal atteint pour T 7s, valant η rect.max = m Forme en créneaux : maximal atteint pour T 12s, valant η cren.max = m Ainsi les maximum sont atteints pour des T différents, mais leurs valeurs sont relativement proches. On remarque cependant que le triangle est particulièrement mauvais, car sont amplitude maximale dépasse largement celle de toutes les autres formes : η tri.max = , soit 32% de plus que le rectangle. Nous pouvons donc en conclure qu aucune des formes n est réellement avantageuse par rapport aux autres (triangle exclu), et que la réponse du fluide dépend principalement de la pulsation de la sollicitation. Chacune a en effet une valeur de T pour laquelle elle entre en résonance, les amplitudes maximales étant au final proches des autres. Une étude vibratoire plus fine permettrait sans doute de déterminer avec plus de précision et de réalisme la forme la plus avantageuse, en se basant sur des sollicitations davantage proches de la réalité, mais cela ne fait malheureusement pas l objet de ce rapport.

43 Conclusion Ainsi se termine cette étude. Elle nous aura permis de mettre en lumière les avantages et inconvénients des deux méthodes mises en œuvre. En particulier, nous avons vu que la MEF est plus légère en calculs et permet donc une analyse plus rapide de l influence des différents paramètres (comme l influence de la forme ou de α). Il est également facile de faire apparaître des phénomènes vibratoires liés à la fréquence de la sollicitation (vitesse imposée au véhicule). D autre part, la méthode SPH est beaucoup plus lourde en calculs. Il est donc moins aisé de faire une recherche de l influence des différents paramètres. Mais, n oublions pas son avantage principal qui réside dans le rendu qu elle offre. C est d ailleurs pour cette raison que certains logiciels d animation (comme Blender) l utilisent. Nous avons également vu que le choix du paramètre α, de l algorithme de contrôle, qui permettait de jouer sur l amortissement était primordial. Plus α est choisi grand plus l amortissement est grand, il apparaît donc sensé de choisir un α grand. Toutefois cela se répercute sur la vitesse réelle du véhicule et entraîne donc un décalage avec la vitesse souhaitée par le conducteur. Il s agit donc trouver un compromis entre amortissement et respect de la vitesse voulue. Les résultats nous montrent que ce choix est dépendant de beaucoup de paramètres, notamment du profil de la vitesse, de la forme du réservoir, ce qui rend difficile l affectation d une valeur fixe et optimale. Nous pensons qu il serait judicieux d avoir un système de mise à jour instantanée de α. Bien que les objectifs initiaux, simulations et contrôle, aient été atteints, les possibilités de poursuivre cette étude sont très vastes. En effet, elle n est pas exhaustive, puisque nous avons consacré beaucoup de temps à la programmation sous Scilab et en C++ et à l acquisition des notions mathématiques nécessaires. Il serait en effet possible de s intéresser à une analyse vibratoire plus précise permettant de déterminer les fréquences et modes propres du système. Cela nous a permis d améliorer nos connaissances dans plusieurs domaines, que ce soit à propos des éléments finis ou de la programmation. Vivement la suite! 33

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45 Smoothed Particle Hydrodynamics A A.1 Convergence vers δ(x) Il s agit de prouver ici que toute fonction W(x, h) ayant les propriétés suivantes converge vers la distribution de Dirac δ(x), quand h tend vers 0 : ˆ W(x, h) 0 W(x, h) d x = 1, supp (W(x, h)) ] h; h[ Preuve. On dit qu une suite de distributions (T n ) converge vers T si et seulement : lim < T n, ϕ > = < T, ϕ > n ϕ D Puisque le support de W est bornée et que W(x, h) d x = 1, on en déduit que W appartient à L 1 loc, l espace des fonctions localement intégrables, et définie donc une distribution. On pose W n (x) = W(x, 1 n ). ˆ < W n, ϕ > = = ˆ 1 n 1 n = ϕ(c) W n ϕ d x W n ϕ d x ˆ 1 n 1 n W n d x } {{ } =1 c ] car supp (W n (x)) 1 n ; 1 [ n ] 1 n ; 1 [, (théo. de la moyenne) n Ainsi, lim n < W n, ϕ >= ϕ(0) =< δ, ϕ >, ϕ D. D où : lim W(x, h) = δ(x) h 0 A.2 Exemple de noyaux utilisés pour SPH Ces noyaux sont donnés par ADAMS et WICKE (2009). 35

46 36 Annexe A. Smoothed Particle Hydrodynamics A.2.1 Simulation normale Pour une simulation 3D ( ) W h (d) = d2 Si d < h 64πh 3 h 2 0 Sinon W h (d) = 945 d 1 d2 Si d < h 32πh 3 0 Sinon { ( ) ( ) 945 W h 1 = 1 d2 5 d2 1 Si d < h 32πh 3 h 2 h 2 h 2 0 Sinon h 2 ( h 2 ) 2 (A.1) (A.2) (A.3) Pour une simulation 2D ( ) W h (d) = d2 Si d < h πh 2 h 2 0 Sinon ( d h 2 W h (d) = 24 1 d2 Si d < h πh 2 0 Sinon { ( ) ( ) 24 W h 1 (d) = 1 d2 5 d2 1 Si d < h πh 2 h 2 h 2 h 2 0 Sinon h 2 ) 2 (A.4) (A.5) (A.6) A.2.2 Simulation à faible résolution ADAMS et WICKE (2009) suggèrent d utiliser pour les simulations à faible résolution les noyaux suivants, dits noyaux hérissés, afin d éviter un phénomène d agglutination. Pour une simulation 3D ) 3 15 (1 Ŵ h (d) = d πh 3 h Si d < h 0 Sinon ( ) 2 Ŵ h (d) = 45 1 πh 3 h 1 d h Si d < h 0 Sinon { ) 90 Ŵ h 1 (1 (d) = d πh 3 h 2 h Si d < h 0 Sinon (A.7) (A.8) (A.9)

47 A.2. Exemple de noyaux utilisés pour SPH 37 Pour une simulation 2D ) 3 10 (1 Ŵ h (d) = d πh 2 h Si d < h 0 Sinon ( ) 2 Ŵ h (d) = 30 1 πh 2 h 1 d h Si d < h 0 Sinon { ) 60 Ŵ h 1 (1 (d) = d πh 2 h 2 h Si d < h 0 Sinon (A.10) (A.11) (A.12)

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49 Bibliographie Bart ADAMS et Martin WICKE. Meshless approximation methods and applications in physics bases modeling and animation Lucas BRAUNE et Thomas LEWINER. An initiation to sph. Rapport technique, Departement of Mathematics, PUC-Rio, Rio de Janeiro, Brazil. Micky KELAGER. Lagrangian fluid dynamics, using smoothed particle hydrodynamics. Rapport technique, Departement of Computer Science. University of Copenhagen, Stéphane MOTTELET. Controllability and stabilization of a moving water tank system considering fluid-structure interaction. Dans Proceedings of IEEE International Conference on Control Applications, October Liên WIOLAND, Jean-François SCHOULLER, et Amanda ROSSI. Transport sur route : Comment les conducteurs intègrent-ils le phénomène de «ballant»? Rapport technique, INRS. Liste des figures 1.1 Schéma du réservoir avec les différentes frontières Représentation d un arbre-kd ( org/wiki/k-d_tree) Étape de construction d un arbre-kd en 2D Exemple d arbre-kd Particules fantômes (ADAMS et WICKE 2009) t = 1s t = 2.5s t = 7s Illustration du ballant longitudinal et latéral (WIOLAND et al.) Évolution de η et de la vitesse avec et sans amortissement en fonction du temps, par la MEF (α = 25) Influence de α pour SPH (α = 25)

50 4.4 Critères pour le choix de α Influence de T sur les paramètres de contrôle Formes géométriques choisies Oscillations en x = Évolution de η max en fonction de T