Traitement de signal TP 3 : Densité spectrale de puissance de signaux aléatoires stationnaires ergodiques

Transcription

1 Université du Maine Master Ingénierie Mécanique et Acoustique Traitement de signal TP 3 : Densité spectrale de puissance de signaux aléatoires stationnaires ergodiques 1. Evaluation d estimateurs spectraux Objectif : Il s agit de comparer plusieurs estimateurs de la densité spectrale de puissance d un signal aléatoire stationnaire et ergodique. Le signal dont on cherche la représentation fréquentielle est issu du filtrage linéaire d un bruit blanc gaussien. Les coefficients du filtre étant connus, la densité spectrale théorique l est aussi. Les performances des divers estimateurs sont alors évaluées en déterminant expérimentalement leurs biais et leurs variances. Référence : Traitement numérique des signaux (M. Kunt), Presses polytechniques romandes, Mots-clés : Estimateurs de DSP, périodogrammes simple, moyenné, modifié (Welch), corrélogramme, biais, variance Fonctions Matlab : sig aleat2.m, freqz.m, mean.m, var.m, psd.m, xcor.m Indications : La fonction sig aleat2.m fournie, permet de générer les signaux aléatoires à étudier, obtenus par filtrage passe-bas, au moyen d un filtre de Chebyshev, d un bruit blanc gaussien de variance paramétrable. La fonction retourne également les coefficients du filtre. La densité spectrale de puissance théorique d un tel signal issu du filtrage d un bruit blanc par un système linéaire de fonction de transfert H[m] est: S X [m] = T e σ 2 H[m] 2 où σ 2 est la variance du bruit blanc et T e la période d échantillonnage. 1

2 Le périodogramme simple, estimateur de la densité spectrale de puissance (DSP) d une séquence discrète {x[n]} échantillonnée sur N points avec une période d échantillonnage T e s écrit : Ŝ X (f) = X(f) 2 N T e où X(f) est la transformation de Fourier de la séquence {x n } : N 1 X(f) = T e n=0 x[n] e 2jπfn T e En pratique, le périodogramme simple s obtient à partir d un algorithme rapide (FFT) de Transformée de Fourier Discrète (TFD) retournant la séquence {X[m]} à partir de la suite temporelle {x[n]}. Il s écrit alors : Ŝ X [m] = T e X[m] 2 Les divers périodogrammes peuvent être obtenus à l aide de la fonction psd.m. L utilisation suivante permet de déterminer la DSP ŜX[m] en utilisant le périodogramme simple : N [Ŝ, f] = psd(x, N, f e, ones(1, N), 0); Ŝ X = T e Ŝ; Le premier argument contient le signal à étudier, le deuxième indique le nombre de points pour l algorithme FFT, le troisième, la fréquence d échantillonnage, le quatrième stipule la fenêtre de pondération utilisée avec son nombre de points, le cinquième, le nombre de points de recouvrement entre les tronçons lorsqu ils sont plusieurs. La fréquence d échantillonnage n est pas utilisée dans le calcul du périodogramme mais permet de retourner l axe des fréquences dans la variable f : l intervalle [0, f e /2] (N/2+1 échantillons). C est pourquoi l obtention du périodogramme théorique nécessite la multiplication par la période d échantillonnage T e. 2

3 Le périodogramme moyenné ŜB X[m] (ou de Bartlett) est un second estimateur de densité spectrale de puissance. Il consiste à découper le signal d étude en plusieurs tronçons adjacents et à moyenner les différents périodogrammes simples calculés sur chaque tronçon. L estimateur peut être calculé à l aide de la fonction Matlab psd.m utilisée ainsi : [ŜB, f] = psd(x, M, f e, ones(1, M), 0); Ŝ B X = T e Ŝ B ; Chaque tronçon comporte M points. Le nombre de moyennes effectué est ici N/M. L axe des fréquences [0, f e /2] comporte M/2 + 1 échantillons. Le périodogramme de Welch ŜW X [m] est une variante de l estimateur précédent. D une part les fenêtres de pondération ne sont pas rectangulaires, d autre part les tronçons se chevauchent. Le périodogramme modifié est normalisé par la puissance de la fenêtre de pondération utilisée. Il est obtenu par la commande suivante : [ŜW, f] = psd(x, M, f e, hanning(m), M/2); Ŝ W X = T e ŜW ; Ici, la fenêtre utilisée est celle de Hanning pour un recouvrement (préconisé par Welch) de 50 % du tronçon, soit M/2 échantillons. Le corrélogramme ŜC X [m] est également un estimateur de densité spectrale de puissance. Il consiste à calculer la transformée de Fourier de l estimateur biaisé ˆR X [n] de la fonction d autocorrélation du signal {x[n]} de N points pondéré par une fenêtre de Bartlett w B [n]. ŜX[m] C M 1 = T e n=1 M ˆR X [n] w B [n] e 2jπfn T e Le support temporel initial de l estimateur d autocorrélation [(1 N)T e (N 1)T e ] est ramené à [(1 M)T e, (M 1)T e ] avec M N. L estimateur biaisé de la fonction d autocorrélation est obtenue par la fonction xcorr.m avec l option biased en argument d entrée. 3

4 Il est également possible de faire de l analyse spectrale à partir d une interface graphique appelée par l instruction sptool. Dans ce cas, il faut exporter le signal se trouvant dans l espace de travail (menu file) puis déterminer sa densité spectrale de puissance (menu spectra, fonction create) en choisissant l estimateur (méthode FFT pour le périodogramme simple, méthode Welch pour les périodogrammes moyenné, modifié) sans oublier de paramétrer l analyse. Le biais bŝ et la variance σ 2 Ŝ d un estimateur Ŝ s écrivent : bŝ = E[Ŝ S] σ 2 Ŝ = E[(Ŝ E[Ŝ])2 ] Questions : Générez un signal aléatoire à l aide de la fonction sig aleat2.m. Déterminez la densité spectrale de puissance théorique S X [m] à l aide de la fonction f reqz.m et visualisez-là (utilisez une échelle logarithmique en ordonnée avec l instruction semilogy.m et limitez la visualisation sur l axe vertical à l intervalle [10 4 /f e, 10/f e ] par exemple avec axis.m). Vérifiez que les caractéristiques fréquentielles sont en accord avec vos paramètres: fréquence de coupure, fréquence d échantillonnage, variance du bruit blanc d entrée. Par la suite, il peut être pratique de travailler avec une fréquence d échantillonnage f e = 1 Hz (T e = 1 s). Superposez sur le graphe précédent la densité spectrale de puissance du signal aléatoire ŜX[m] obtenue par un périodogramme simple à partir de votre propre programme ou des fonctions Matlab dédiées. Calculez sur l intervalle [0, f e /2] le biais de l estimateur ainsi que sa variance à partir de votre réalisation ŜX[m] et de la densité spectrale théorique S X [m]. Faîtes varier le nombre de points du signal. Que remarquez-vous sur le biais et la variance de l estimateur? 4

5 Calculez les périodogrammes moyenné et modifié et visualisez les densités spectrales de puissance obtenues sur le même graphe que la DSP théorique. Etudiez l influence du nombre de tronçons, du type de fenêtre et du recouvrement (absence ou 50 %) sur le biais et la variance des estimateurs. Déterminez le corrélogramme et visualisez-le en comparant toujours avec la DSP théorique. Jouez sur la taille de la fenêtre de Bartlett (M = N/8, N/16...) et calculez le biais et la variance de l estimateur. 2. Extraction d information Objectif : Il s agit d être capable de remonter à certaines caractéristiques du signal à partir de sa densité spectrale de puissance, notamment la variance d un bruit et l amplitude d une composante harmonique. Ensuite, il s agit de comparer visuellement les densités spectrales de puissance obtenues à partir d estimateurs différents et d étudier l influence du type de fenêtre de pondération utilisée lorsque l analyse est confrontée au problème de distribution des fréquences (leakage). Référence : Traitement numérique des signaux (M. Kunt), Presses polytechniques romandes, Mots-clés : Amplitude d une harmonique, variance d un bruit, distribution des fréquences (leakage) Fonctions Matlab : sig aleat3.m Indications : La fonction sig aleat3.m permet de générer un signal aléatoire stationnaire ergodique constitué de deux signaux harmoniques pures et d un bruit blanc gaussien. Les amplitudes des sinusoïdes, la variance du bruit blanc sont paramétrables par l utilisateur. En ce qui concerne les fréquences, il est possible de choisir entre deux configurations : soit les fréquences correspondent à des points d échantillonnage de la TFD, soit non, dans le but d observer le phénomène de distribution des fréquences 5

6 (leakage) en fonction de la fenêtre de pondération utilisée. L utilisation suivante, avec uniquement trois arguments en entrée, permet d affecter aux amplitudes des signaux harmoniques et à la variance du bruit blanc des valeurs par défaut. Dans ce cas le signal possède une composante harmonique forte et une faible. [y, t] = sig aleat3(choix, N, fe); Afin de retrouver l amplitude d un signal harmonique à partir de la valeur d une raie obtenue sur la densité spectrale de puissance, il est important de détailler les différentes étapes conduisant à l obtention d un périodogramme. Tout d abord, il faut se référer à la théorie donnant l amplitude d une raie fréquentielle lorsque le signal temporel est harmonique. Ensuite il faut tenir compte de deux effets sur l amplitude du spectre produits par la discrétisation du signal temporel et sa troncature par une fenêtre de pondération. Enfin, il faut regarder la définition du périodogramme représenté. Afin de retrouver la variance d un bruit blanc à partir de sa représentation spectrale, il est nécessaire de se rappeler que le périodogramme simple est la transformée de Fourier de la fonction d autocorrélation du signal (résultat provenant du théorème de Wiener-Khintchine). En considérant que la fonction d autocorrélation R[n] d un bruit blanc discrétisé de variance σ 2 est T e σ 2 δ[n] et en comparant sa transformée de Fourier avec le périodogramme, la variance se déduit aisément. Questions : Générez un signal aléatoire avec une fréquence initiale f e = 1 Hz en utilisant la fonction aleat 3.m de manière à obtenir des fréquences en k/n. Choisissez un nombre de points N correspondant à une puissance de 2 dans l intervalle [128, 16384]. Visualisez la densité spectrale de puissance du signal en utilisant un périodogramme simple et un périodogramme modifié dont vous expliciterez les paramètres. Proposez une formule permettant de retrouver l amplitude du signal harmonique temporel à partir 6

7 de la valeur de la raie visible sur la DSP. Votre formule est-elle valable quelle que soit la fenêtre de pondération utilisée? Est-elle également valable si vous générez des signaux avec une fréquence d échantillonnage non unitaire? Sinon adaptez votre formule. Il s agit maintenant de retrouver la variance du bruit blanc à partir des densités spectrales de puissance. Comment procédez-vous? Vous allez maintenant comparer les estimateurs de DSP suivants : périodogrammes simple, moyenné et modifié à partir de deux signaux aléatoires générés par la fonction sig aleat3.m, l un pour des signaux harmoniques de fréquences k/n, l autre pour des fréquences quelconques. Les signaux harmoniques générés devront contenir une composante forte et une faible. Vous pouvez utiliser les amplitudes par défaut. Etudiez l influence de différentes fenêtres de pondération. Déduisez l estimateur de DSP le plus adapté qui permet de mieux représenter les caractéristiques fréquentielles des signaux. 7