Ex1 Lignes de champ et équipotentielles

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1 Ex1 Lignes de champ et équipotentielles Figure 1: Identifier les signes des trois charges représentées sur la figure, ainsi que quelques lignes de champ, et tracer l allure de quelques équipotentielles Figure 2: L intersection du plan contenant trois charges ponctuelles et de quelques surfaces équipotentielles associées est représentée ci-dessous. Quelles sont les 2 charges de même signe? A-t-on un moyen d identifier le signe des charges? Tracer les lignes de champ en supposant que les deux charges de même signe sont positives. Existe-t-il une ligne de champ reliant les deux charges positives? Ex2 Lignes de champ et équipotentielles au voisinage d une montagne Préambule : Nous étions à un certain moment (l orage était menaçant) dans un champ électrique prodigieux. Il suffisait d écarter les doigts de nos gants pour qu à l extrémité de chaque doigt surgisse un effluve violet permanent de plusieurs centimètres. Les cagoules de mes amis étaient frangées de petits arcs grésillants. Entre mes semelles isolantes au potentiel zéro et ma tête, il y avait certainement plusieurs centaines de milliers de volts. (récit de Paul Beylier - Mergier, escalade du Cervin ; le Cervin est une montagne très pointue, isolée dans le massif des Alpes). Au voisinage du sol, se développe sur une hauteur de 500 m, une zone chargée positivement par ionisation de l air et par l effet de pointe que l on va illustrer sur un exemple particulier. On a tracé les équipotentielles au voisinage d une aspérité. Cette aspérité est supposée conductrice, donc sa surface est équipotentielle. 1

2 1. Représenter l allure de quelques lignes de champ au voisinage de l aspérité. 2. Dans quelles régions le champ est-il le plus intense? 3. Si on admet que loin de l aspérité le champ est de 5 kv/m, évaluer graphiquement le champ au sommet de chaque aspérité. 4. Commenter le texte donné en préambule à l aide des réponses aux questions précédentes et de la donnée du champ disruptif dans l air sec, soit 30 kv/cm. Ex3 Détermination de champs électriques 1. Calculer le champ électrostatique et le potentiel créé en tout point par une distribution volumique de charge qui occupe la région z a, de densité volumique uniforme ρ Un cylindre d axe (Oz), de rayon R, de très grande longueur L R porte une charge volumique µ uniforme, et est doté d une cavité cylindrique de longueur L, d axe (O z ), de rayon R, complètement incluse dans le premier cylindre. Déterminer le champ électrique régnant à l intérieur de la cavité. Les effets de bord seront négligés. 3. Une distribution volumique de charge, à symétrie sphérique de centre O, a pour valeurs : ρ = 0 pour r < a ; ρ = ρ 0 constante pour a r < b ; ρ = 0 pour r b. a. Déterminer le champ et le potentiel en tout point de l espace. b. En déduire le champ et le potentiel créés par une boule uniformément chargée, puis par une surface sphérique uniformément chargée. Ex4 Compteur Geiger-Müller La cellule détectrice d un compteur de Geiger-Müller (détecteur de particules ionisantes) est constituée d un cylindre creux (rayon R, longueur L), dont la surface latérale métallique est chargée négativement ( Q) et d un fil central fin (diamètre d) chargé positivement (+Q). L espace entre les cylindres est rempli d un gaz neutre sous basse pression. Le principe de détection est basé sur l ionisation du gaz lors du passage d une particule incidente, les électrons ainsi créés se dirigeant très rapidement (grâce au champ électrique présent dans la cellule) vers le fil central en ionisant sur leur passage, d autres atomes de gaz. Un signal est ainsi perçu par le compteur. 1. En supposant L R, déterminer le champ électrique dans la cellule en fonction de Q, L et r, distance à l axe de la cellule (avec r < R). On néglige dans ce cas les effets de bord. 2. Données : L = 25 cm ; R = 1, 5 cm ; d = 50 µm. Pour obtenir un fonctionnement correct de ce détecteur, il est nécessaire que le champ électrique maximum dans la cellule soit 3 x 10 4 V.m 1. Déterminer, puis calculer la différence de potentiel qu il est nécessaire d appliquer entre le fil central et le cylindre externe pour obtenir cette valeur. 2

3 Ex5 Champ gravitationnel Déterminer le champ de gravitation créé par une boule de rayon R, dont on suppose que la masse volumique est uniforme. 1. Vérifier la valeur du champ gravitationnel à la surface de la Terre. Données : constante de gravitation universelle G = 6, m 3 kg 1 s 2, masse de la terre M T = kg, rayon de la terre R T = 6, km. 2. Le rayon de Schwarzshild R S d un trou noir de masse M est la distance au centre du trou noir pour laquelle la vitesse de libération est égale à c. Calculer la valeur du champ gravitationnel à la distance R S du centre du trou noir supposé à répartition de masse sphérique et uniforme (de rayon inférieur à R S ). A.N. : R S = 150 km. Ex6 Champ créé par un cerceau chargé Une distribution linéique de charge de densité uniforme λ (λ > 0), présente une forme circulaire de centre A, de rayon R et d axe (Oz). Le point A est situé à la côte z sur cet axe par rapport à l origine O. 1. Déterminer le potentiel électrostatique V au point O résultant de cette distribution de charges. Montrer que ce potentiel est le le même que celui créé par une charge ponctuelle Q de même valeur que la charge totale de la distribution circulaire, située à la distance rdu point O (valeur de r à préciser). 2. Déterminer le champ créé par la distribution de charge en O. Ex7 Condensateur plan Soit un condensateur plan constitué de deux armatures identiques planes et parallèles d aire S, séparées d une distance e. Déterminer la force exercée par une armature sur l autres armature en fonction de S, e, de la tension aux bornes du condensateur et ε 0. Ex8 Condensateur terrestre L état électrique de l atmosphère par beau temps peut être modélisé comme suit: le sol et l ionosphère, parfaitement conducteurs, forment les deux armatures d un condensateur sphérique dont l atmosphère constitue le diélectrique assimilable à du vide. a) Calculer le champ électrique entre les deux armatures sphériques concentriques d un condensateur sphérique, de rayons R 1 et R 2 > R 1, en fonction de r et de la charge Q 1 portée par l armature intérieure 3

4 ( Les charges portées par les deux armatures sont opposées). En déduire la différence de potentiel V 1 V 2 entre les deux sphères ainsi que la capacité C du condensateur définie par C(V 1 V 2 ) = Q 1. A.N. pour R 1 = 6, km et R 2 R 1 = 15km. b) Diverses mesures montrent que le champ électrique au niveau du sol est de l ordre de 150V/m et que la terre est chargée négativement. Quelles sont la charge totale de la terre et la d.d.p. entre le sol et la haute atmosphère? Ex9 Modèle de Thomson de l atome d hydrogène Dans un modèle classique de l atome d hydrogène, dû à J.J. Thomson (1895), le noyau positif de charge totale q = e est modélisé par une sphère uniformément chargée de rayon a 0 = 50 pm. 1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression littérale et valeur numérique)? 2. Expliciter en tout point de l espace le champ électrostatique E at créé par cette distribution de charge? 3. Un électron de masse m et de charge e, supposé ponctuel, est placé au centre de cette distribution. Montrer que, si l on écarte l électron de cette position d une quantité r avec 0 < r < a 0, il est soumis à une force de rappel que l on explicitera. Quel sera le mouvement ultérieur de l électron s il est lâché, sans vitesse initiale, à partir d un point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par x = x 0, y = z = 0 avec 0 < x 0 < a 0? 4. On superpose au champ créé par le noyau, un champ uniforme E. Montrer que, si ce champ est suffisamment faible, l électron prend une nouvelle position d équilibre tout en restant lié au noyau. Quel est, dans cette position, le moment dipolaire p de la distribution de charge? Ce moment dépend-t-il du choix de l origine des coordonnées? On pose p = αε 0 E où α est la polarisabilité électronique. Quelle est la dimension physique de α? A quelle caractéristique physique de l atome peut-on la comparer? Quelle est sa valeur numérique pour le modèle de Thomson? Ex10 Champ créé par quatre charges Quatre charges électriques q 1, q 2, q 3, q 4 sont placées aux sommets d un carré ABCD (rotation dans le sens horaire) de côté a, de centre O. Données : q 1 = q, q 2 = 2q, q 3 = q, q 4 = 2q. Exprimer le potentiel et le champ électrostatiques en un point M de la droite AC situé à une distance r a du point O. Ex11 Jonction P-N On met en contact deux semi-conducteurs P et N de section commune S. La jonction (jonction PN) donne lieu à une modification de la densité volumique de charge dans les deux semi-conducteurs initialement neutres localement. Dans le semi-conducteur P, qui occupe la région x < 0, la densité volumique de charge ρ = 0 pour x < a, et ρ = ρ P > 0 pour x > a. Dans le semi-conducteur N, qui occupe la région x > 0, la densité volumique de charge ρ = 0 pour x > b, et ρ = ρ N < 0 pour x < b. - Traduire la neutralité électrique de l ensemble des deux semi-conducteurs par une relation entre a, b, ρ N, ρ P. - On rappelle la relation entre le champ électrique et le potentiel en régime indépendant du temps : E = V. S est suffisamment grande pour qu on puisse considérer que le potentiel ne dépend que de x. Déterminer le champ électrique et le potentiel en fonction de ρ P, a, b dans les semi-conducteurs. Loin de la jonction le champ électrique est nul dans les semi-conducteurs. 4

5 Ex12 Description de l atome d hydrogène par le potentiel de Yukawa On considère un point fixe O et un point variable M défini par OM=r. Une distribution de charges électriques crèe au point M un potentiel: q 4πε 0r e r a V (r) = ( potentiel de Yukawa) a) Déterminer le champ E(r) en utilisant l opérateur gradient en coordonnées sphériques. Comment varie ce champ au voisinage immédiat de O? Calculer le module du champ,pour r = a = 0, 1nm.; q = 1, C. b) Calculer le flux φ du champ électrique à travers la surface d une sphère de rayon R et de centre O. Que devient ce flux quand R 0 et quand R? c) On peut considérer que ce potentiel est créé par une charge ponctuelle q en O et une charge diffuse répartie dans tout l espace et de densité volumique ρ(r). Calculer par utilisation de l équation de Poisson, la densité volumique de charge ρ(r). d) Calculer le potentiel créé en O par cette distribution de charge. En déduire l énergie nécessaire pour séparer la charge ponctuelle en O de la charge diffuse qui l entoure. e) Le système précédent représente un modèle d atome. Quelle est l énergie d ionisation de cet atome? Ex13 Champ entre deux plaques On considère deux plaques parallèles identiques distantes de e, de surface S. La première, située en z = L/2 est au potentiel U/2. La seconde, située en z = L/2 est au potentiel U/2. Ces plaques se trouvent dans un milieu globalement neutre contenant des charges des deux signes et la répartition volumique des charges obéit à la loi ρ(z) = av (z) avec a > 0. On néglige les effets de bord en x et en y. 1. Déterminer V, E. Tracer leur allure en fonction de z. Comparer à ce qui se passe lorsqu il y a du vide entre les deux plaques. 2. Justifier la relation ρ = av avec la statistique de Boltzmann, sachant que V k BT e. 5