Études de cas en analyse des données

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1 Études de cas en analyse des données Bernard Colin (Éditeur) Départements de mathématiques et d informatique Faculté des Sciences Université de Sherbooke Rapport de recherche No 86 1

2 AVANT-PROPOS Ce rapport, présente les travaux réalisés, lors de la session de l automne 2009, par les étudiantes et les étudiants des départements de mathématiques et d informatique de l Université de Sherbrooke, dans le cadre de l activité pédagogique STT 707 Analyse des données, inscrite au programme de maîtrise en mathématiques et de maîtrise en imagerie. En très grande majorité, ces analyses portent sur des données directement issues de travaux de recherches en cours et je tiens, à cette occasion, à remercier très sincèrement Messieurs Maxime Descoteaux, François Dubeau, Pierre-Marc Jodoin et Ernest Monga qui, en tant que directeurs de recherche des étudiantes et étudiants participant à cette activité, ont accepté de m apporter leur support et leur collaboration. Mes plus sincères remerciements vont également aux étudiantes et étudiants qui, avec ardeur et enthousiasme, ont participé à cette activité pédagogique et qui n ont ménagé ni leur temps ni leurs e orts dans la réalisation de ces travaux. Sherbrooke, mars 2010, Bernard Colin Département de mathématiques Faculté des Sciences Université de Sherbrooke 2

3 Tables des matières [1] Anthony Adam : Analyse des techniques semi-automatiques de segmentation de l aorte humaine. [2] Arnaud Boré et Etienne Saint-Amant : Analyse des données issues de l imagerie médicale, signal de di usion et ODF estimées. [3] Pierre Clarot : Analyse d une séquence vidéo basée sur l activité. [4] Véronique Croteau : Analyse des données de mesures anthropologiques. [5] Jean-Christophe Houde : Analyse de l in uence de caractéristiques de mise en correspondance sur la vision stéréoscopique par ordinateur. [6] Youness Mir : Classi cation et caractérisation des rivières au Québec. [7] Julien Prémont : Segmentation par nuées dynamiques de nuages de points en plans. 3

4 COLLOQUE d ANALYSE des DONNÉES : Études de cas Date : Le mercredi le 17 février 2010 Heure : de 9 h à 15 h 30 Local : D Les exposés qui suivent, s inscrivent dans le cadre du cours STT 707 : Modèles Statistiques multidimensionnels et Analyse des Données et portent, pour l essentiel, sur des appplications en imagerie rencontrées dans le contexte de projets de recherches. Programme de la journée 8 h 45 à 9 h : Ouverture du colloque. 9 h à 9 h 30 Conférencier : Julien Prémont (Maîtrise en informatique). Titre : Segmentation par nuées dynamiques de nuages de points en plans Résumé : Embryonnaire il y a quinze ans, déjà bien établie cinq ans plus tard et omniprésente de nos jours, la 3D a rapidement fait sa place dans de nombreuses sphères d activités, des jeux vidéos et du cinéma, bien sûr, au design industriel, en passant par l architecture ou le génie civil. Dans bien des cas, des artistes sont chargés de créer à l aide d un ordinateur des modèles 3D, mais il est aussi fréquent d avoir à représenter en 3D, sur un ordinateur, des objets réels. Des capteurs (visuels ou non) sont généralement utilisés pour faire l acquisition des données sous forme d un nuage de points. Il su t alors d utiliser un algorithme pour reconstituer les objets (décomposés en primitives géométriques) à partir du nuage de points. À cette n, une méthode de détection de plans se basant sur l algorithme des nuées dynamiques est ici explorée. 9 h 40 à 10 h 20 Conférencière : Véronique Croteau (Maîtrise en mathémariques). Titre : Analyse de données des mesures anthropologiques. Résumé : Comment peut-on déterminer, à l aide de mesures anthropologiques (mesures prises sur le corps humain), si l individu que l on étudie est un homme ou une femme? Pour ce faire, il faut étudier quelles mesures sont utiles sans être toutefois redondantes. Nous allons partir de 24 variables, pour ensuite réduire le plus possible ces variables a n de diminuer le temps et le coût de prise de données. Cette étude ce fait en 2 étapes, tout d abord en e ectuant une analyse en composantes principales a n de trouver les variables qui sont pertinentes, ensuite en conduisant une analyse discriminante permettant d associer les individus à leur sexe à l aide des variables gardées en première partie du travail. 1

5 10 h 30 à 10 h 50 : Pause. 10 h 50 à 11h 20 Conférencier : Jean-Christophe Houde (Maîtrise en informatique). Titre : Analyse de l in uence des caractéristiques de mise en correspondance, sur la vision stéréoscopique par ordinateur. Résumé : L une des tâches les plus importantes de la vision par ordinateur est la mise en correspondance des pixels d une paire d images stéréoscopiques. Les résultats de cette mise en correspondance permettent d estimer la position 3D des points d une scène, et permettent donc à l ordinateur de «voir». La plupart des techniques de mise en correspondance utilisent des primitives, a n de trouver les parties les plus semblables des images. Dans notre travail, nous e ectuons une analyse expérimentale de l importance et de l utilité de certaines des primitives les plus utilisées. Cette analyse est faite à l aide de l analyse en composantes principales. Nous présenterons brièvement le domaine, les données de notre expérience, de même que les résultats et conclusions auxquelles nous sommes parvenus. 11 h 30 à 12 h Conférenciers : Arnaud Boré et Étienne Saint-Amant (Maîtrise en informatique). Titre : Analyse de données en di usion issues de l imagerie cérébrale. Résumé : Les données de di usion permettent une nouvelle approche de l imagerie cérébrale. Elle donne l information sur la façon dont les molécules d eau se déplacent dans le cerveau. Elle apporte donc un plus quant à l organisation des bres dans notre cerveau. Notre première analyse a pris comme jeu de données le signal de di usion a n de saisir le comportement global des bres dans une région donnée. A la suite de cette analyse, nous nous sommes penchés sur la reconstruction de cette di usion apparente, qui se fait grâce au Q-Ball Imaging et nous donne des objets représentant l orientation des bres (ODF). Ces données vivent sur la sphère. Notre première approche a été de voir s il existait une direction privilégiée dans une partie spéci que du cerveau appelé corps calleux et ceci, à l aide de l analyse en composantes principales. Dans un second temps nous avons cherché à savoir s il était possible de réduire la dimensionnalité de ces objets. Notre étude essaie donc de répondre à ces questions. Comment peut-on obtenir l information sur l anatomie cérébrale et plus particulièrement de la matière blanche? Existe-t-il une direction privilégiée des bres de la matière blanche dans le cerveau? Est-il possible de réduire le jeu de données, tout en conservant l information de di usion? 12h10 à 13 h 30 : Repas. 13 h 30 à 14 h Conférencier : Anthony Adam Duquette (Maîtrise en informatique). Titre : Analyse des techniques semi-automatiques de segmentation de l aorte humaine. Résumé : Les images par résonance magnétique et scan sont fortement utiles dans le domaine de la santé. Dans le cadre de ma recherche, des chirurgiens cardiaques les analysent a n de faire des choix judicieux pour leurs patients. Dans cette présentation, nous parlerons plus précisément de l aorte sortant du coeur et qui descend jusqu aux reins. Le but étant de montrer statistiquement que certaines techniques aideront à bien segmenter l aorte dans ces images. Pour ce faire, l utilisation d une MDS (positionement multidimentionnel) est de mise. 2

6 14 h 10 à 14 h 40 Conférencier : Pierre Clarot (Maîtrise en informatique). Titre : Analyse d une séquence vidéo à l aide de l activité détectée. Résumé : Le domaine de la vidéo-surveillance est actuellement en pleine expansion. Les caméras sont partout dans les villes à enregistrer nos moindres faits et gestes. Cependant la grande majorité des vidéos enregistrées ne sont pas utilisées. Elles sont justes sauvegardées sur un serveur a n d être visionnées ultérieurement en cas d incident. Malheureusement, visionner une très longue vidéo n est pas une chose agréable et facile à faire. Nous allons présenter une méthode consistant à analyser une séquence vidéo en utilisant le mouvement détecté dans chaque image, dans le but de déterminer les redondances temporelles d activités. Une vidéo peut alors être résumée en une suite de types ou de classes d activités. Il est aussi possible de détecter les images de la vidéo qui contiennent de l activité très di érente par rapport au reste de la séquence. Ces informations peuvent être utilisées pour alerter un opérateur humain en temps réel a n de véri er s il y a un problème. Il est aussi possible d annoter la séquence a n de permettre un visionnement ultérieur plus e cace. 14h 50 à 15 h 20 Conférencier : Youness Mir (Doctorat en mathématiques). Titre : Classi cation et caractérisation des rivières au Québec. Résumé : Le réseau hydrologique du Québec se caractérise par son étendue à l échelle de toute la province et compte une centaine de rivières dont le débit varie considérablement sur toute l année. Dans cet exposé, nous proposons de caractériser et de classi er les rivières selon leurs débits saisonniers. A n de résoudre ce problème, nous exploiterons la méthode d analyse en composantes principales. 15 h 30 : Fin du colloque. Organisateur : Bernard Colin, Département de mathématiques (poste 62012) 3

7 Analyse des données STT 707 : Rapport de recherche Anthony Adam 1 er mars 2010 Professeur : Colin Bernard Université de Sherbrooke Sherbrooke (Qc), Canada, J1K 2R1 1

8 Anthony Adam Analyse des techniques semi-automatiques de segmentation de l aorte humaine 1 Introduction De plus en plus, les gens souffrent de maladies cardiaques dans le monde. Parfois, c est le coeur luimême qui lâche, parfois c est ce qui y est connecté. Dans cette recherche, nous nous intéressons plus précisément à l aorte. Le présent rapport porte sur le problème de la segmentation d images de l aorte humaine. La segmentation d images consiste à diviser une image en deux parties. Dans ce cas-ci, il y a deux parties, soient les parois interne et externe de l aorte. L analyse des résultats est faite à partir de segmentations manuelles dessinées par des médecins et des segmentations semi-automatiques calculées à partir de diverses techniques de vision par ordinateur. Le but est de déterminer si des algorithmes développés avec la technique du «graph cut» [4] permettent d obtenir des résultats aussi précis que le ferait une personne qualifiée pour ce travail. Il s agit d un problème auquel font face des techniciennes et techniciens, car ils doivent segmenter plusieurs patients par jour. La segmentation de l aorte est faite avec des images par résonance magnétique. Pour l instant, la technique actuelle consiste en une segmentation manuelle, grâce à un ordinateur et un logiciel simpliste, du contour de l aorte par une personne assignée à cette tâche. Cela est long, fatiguant, sans oublier qu il y a toujours une probabilité d erreurs. 2 Position du problème (a) Segmentation manuelle interne (b) Segmentation manuelle externe FIGURE 2.1 Exemples de résultats de segmentations sur une même image d un patient. Pour chaque patient, il faut déterminer l avancement de ses problèmes. Cela s effectue en prenant les dimensions de son aorte au niveau du torse. Pour se faire, il faut segmenter les parois intérieures et 2

9 Anthony Adam extérieures de l aorte, comme le montre la figure 2.1. Ce qui crée un problème, c est qu il faut faire des segmentations sur plusieurs images afin d obtenir les dimensions sur toute l aorte d une personne. Bref, déterminer les dimensions de l aorte d un patient peu prendre beaucoup de temps. 3 Présentation des données 3.1 Données brutes FIGURE 3.1 Image d une «ciné 3D» Les données à analyser sont les sommes des différences entre les segmentations. Pour chaque patient, on a une série d environ vingt images sur le plan axial (voir figure 2.1) et une dizaine pour la «ciné 3D» (voir figure 3.1). La coupe axiale représente une tranche du corps sur sa largeur. Le devant du corps est au haut de l image et le derrière est au bas de celle-ci. La ciné en trois dimensions représente un peu la même idée, mais c est une tranche perpendiculaire à l aorte au lieu d être perpendiculaire au corps. Il faut remarquer que ce type d images est toujours plus flou et moins précis que la coupe sur le plan axial. C est donc un type d images plus difficile à segmenter. Chaque série d images est segmentée sur les parois interne et externe de l aorte. Il en résulte donc quatre séquences au total à segmenter pour chaque patient. Pour le présent rapport, il y a dix patients en tout. Afin de valider les résultats de la recherche, il y a une comparaison entre trois médecins et 32 techniques. Cela permet d analyser les différences de segmentations entre médecins, celles entre les médecins et les techniques et celles entre les techniques. Il faut donc voir les données comme suit : pour une séquence segmentée (que ce soit les résultats d un médecin ou d une technique), il faut la comparer aux 34 autres. Les calculs résultent donc en une matrice des distances 35 par 35. 3

10 3.2 Obtention des données Anthony Adam 3.2 Obtention des données (a) Différence entre les deux images binaires (b) Première image binaire (c) Seconde image binaire FIGURE 3.2 Résultat d un calcul de différence en valeur absolue entre deux images binaires I d (x, y) = I 1 (x, y) I 2 (x, y) (3.1) Afin de calculer la différence entre deux images de segmentation, il faut d abord savoir comment elles sont faites. Lorsqu une segmentation est terminée, elle est transformée, comme à la figure 3.2 b) et c). Il s agit d une image dite binaire. Elle ne contient que deux valeurs possibles soient des uns et des zéros. L étiquette 1 (blanc) indique que ce pixel se trouve à l intérieur et l étiquette 0 (noir) attribut un pixel à l extérieur. Une différence entre deux images est calculée avec la valeur absolue de la soustraction d une image à l autre (voir éq. 3.1). Il faut faire ce calcul sur tous les pixels (aux positions x et y) des deux images. Id (x, y) (3.2) D ij = nbp atients 1 nbimages 1 nbp ixels 1 I d (x, y) (3.3) La métrique de différence entre deux images est la somme des pixels étiquetés à 1 dans l image dite de différence, comme le montre l équation 3.2. Donc, pour deux techniques i et j données, il faut calculer la somme des différences pour toutes les séquences de tous les patients. Afin d assurer que la norme entre deux techniques soit euclidienne, il faut calculer la racine carrée de cette dernière somme (voir éq. 3.3). Après ces calculs pour toutes les techniques, on obtient la matrice des distances 35 par 35. Il y a donc quatre matrices de distances à représenter avec l analyse du positionnement multidimensionnel. 4

11 Anthony Adam 4 Modèle 4.1 Choix du modèle Comme mentionné précédemment, le modèle d analyse choisi est le positionnement multidimensionnel [2]. Cette analyse permet justement de traiter une matrice de similarité ou de dissimilarité afin de mieux l analyser et d en tirer des conclusions [3]. Puisqu il n y a pas beaucoup de médecins et de techniques, il est certain que les calculs ne prendrons pas beaucoup de temps. (a) Graphique des données de base (b) Graphique des données à dimensionnalité réduite FIGURE 4.1 Exemple de données avant et après projection par positionnement muiltidimensionnel 4.2 Présentation du modèle Le positionnement multidimensionnel prend en entrée une matrice de distances. Ensuite, il réduit la dimensionnalité des données de la matrice afin de mieux les représenter. Pour la présente recherche, le nuage de points est réduit à deux dimensions pour un affichage plus instinctif des données. Ce graphique permet de voir, avec beaucoup de facilité, les ressemblances et les distances entre chaque technique. De plus, la projection des données est faite de façon à optimiser la visibilité et la variance entre elles, comme le montre la figure 4.1. Les couleurs aident à remarquer que les données projetées en deux dimensions se «suivent» d une certaine façon. 4.3 Critique du modèle Il y a quand même des problèmes reliés à l utilisation de cette analyse. Les distances dans la matrice D doivent être dans un espace euclidien. Malgré que les calculs soient fais avec une norme euclidienne, il arrive que la matrice d entrée doive être modifiée. Cette situation se produit lorsqu on regarde les valeurs propres calculées avec la matrice de sortie Y. Si la matrice Y t Y n est pas semi-définie positive, 5

12 4.3 Critique du modèle Anthony Adam les résultats se sont pas représentés dans une espace euclidien. Il est possible de ne pas tenir compte des valeurs propres qui ont une amplitude négative quasiment nulles, cependant il faut s en occuper dans le cas contraire. Avant Après e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-12 TABLE 4.1 Valeurs propres de Y t Y avant et après modifications D ij = D 2 ij + c (4.1) c = 2λ min (4.2) Pour cela, il existe une technique [1] de réglage de la matrice d entrée. Il suffit de modifier toutes ses valeurs comme à l équation 4.1. Évidement, à l équation 4.2, il faut savoir que λ min représente la plus petite valeur propre de la matrice Y t Y. Le tableau 4.1 montre un exemple des valeurs propres avant et après ce réglage sur la matrice D. Il est possible qu il y ait encore des valeurs propres négatives, mais elles seront toujours à faible amplitude à force de refaire le même réglage. De plus, il existe une autre source de problème au positionnement multidimensionnel. Il s agit de la représentation des données dans le nouvel espace réduit à deux dimensions. Assurément, il est possible de réduire toute matrice de distance à la dimensionnalité voulue, mais à quel prix? Il ne semble pas y avoir de problème lorsque la dimension de départ est petite, mais c est quasi-impossible d avoir une bonne qualité de représentation lorsque la dimension de départ est grande. 6

13 Anthony Adam θ = arccos Y 1,2 / Y (4.3) Donc, pour savoir si la projection des données est bonne, il faut faire un calcul de qualité. Ce calcul de l angle entre les vecteurs à deux dimensions et celui avec toutes le dimensions de départ (voir éq. 4.3) permet de vérifier la qualité. Plus l angle est petit, meilleure est la réduction de dimensionnalité pour ce point. On peut donc faire confiance aux points bien projetés et en tirer des conclusions sans problème. 5 Analyse des résultats 5.1 Traitement informatique Pour le traitement des données, j ai utilisé le langage informatique Matlab. Il a une fonction appelée cmdscale qui prend une matrice de distances en paramètre et qui retourne la matrice des résultats Y. Le réglage de la matrice D est fait au besoin si Y t Y a des valeurs propres négatives. La qualité de représentation est donnée avec la couleur du point dans le graphique du nouveau nuage de points à deux dimensions. Un point rouge signifie qu il est très mal projeté et vert le contraire. Les segmentations des médecins sont les points 1, 30 et 31 pour les quatre graphiques. Les autres points représentent des techniques semi-automatiques. 5.2 Analyse des données et interprétation des résultats FIGURE 5.1 Nuage de points pour les segmentations internes sur le plan axial 7

14 5.2 Analyse des données et interprétation des résultats Anthony Adam Les segmentations semi-automatiques internes de l aorte pour le plan axial des IRM donnent les meilleurs résultats. Comme le démontre la figure 5.1, les médecins sont quasiment aussi distants entre eux que l est la pire technique. Même si la technique la plus près des médecins est rouge, ses segmentations sont bien bonnes lorsqu on regarde ses résultats. Cela prouve donc que les médecins 1 et 31 sont bien différents et qu on peut affirmer que j ai assurément une technique aussi bonne. FIGURE 5.2 Nuage de points pour les segmentations internes des images «ciné 3D» Les résultats de la segmentation interne des «ciné 3D» sont moins bons. Tel que mentionné plus haut, ce type d images est très difficile à segmenter. Les techniques tiennent toutes compte de l image avant et après celle courante pour la segmenter. Cependant, ces images sont faites sur des plans différents d une image à l autre. Cela explique les moins bons résultats des techniques. Par contre, la figure 5.2 montre que les résultats sont presque tous bien projetés. Il demeure que le trio de points composé des médecins 1, 30 et 31 a des résultats semblables et différents de tous les autres. Il y donc place à l amélioration pour ces segmentations. 8

15 Anthony Adam (a) Nuage axial externe (b) Nuage ciné 3D externe FIGURE 5.3 Nuage de points pour les segmentations externes des images axiales et «ciné 3D» Les pires résultats sont ceux des segmentations externes, peut importe le type d images. Les figures 5.3 a) et b) montrent que les nuages de points sont plus ou moins bien représentés, mais aussi que les médecins sont toujours dans un groupe séparé des autres. La difficulté des «ciné 3D» explique encore une fois ces mauvaises segmentations. Pour ce qui est du plan axial, il faut regarder les images et les résultats des médecins pour se rendre compte de la difficulté de ce type de segmentation. En effet, il faut segmenter à des endroits où il ne semble pas y avoir de contour. Il faut donc en déduire que les médecins semblent découper la paroi externe avec un «indice» de contour flou dans l image. Il faut donc complètement revoir les techniques pour imiter cette intuition. 6 Conclusion Le bilan de ce rapport est donc «à moitié positif». L analyse des données à l aide du positionnement multidimensionnel aide à déterminer si mes techniques de segmentations d images sont près de la réalité. Il semble qu il y ait du potentiel pour les segmentations internes de la paroi de l aorte, mais beaucoup de pain sur la planche pour obtenir d aussi bons résultats pour la paroi externe. Aussi, il serait intéressant d augmenter le nombre de médecins avec qui les résultats seraient comparés. Pour l avenir, il faut donc repenser les algorithmes de segmentation pour la paroi externe de l aorte, peu importe le type d images à segmenter. Finalement, afin d obtenir des résultats vraiment concluants, il faudrait qu il n y ait qu une seule technique qui donne des résultats semblables aux médecins pour tous les type d images. 9

16 BIBLIOGRAPHIE Anthony Adam Bibliographie [1] F. CAILLIEZ : The analytical solution of the additive constant problem. Psychometrika, 48: , [2] B. COLIN : Le positionnement multidimensionnel. Cours stt707 : Analyse des données, [3] D. DESBOIS : Introduction au positionnement multidimensionnel. MODULAD, 32, [4] Y. Boykov et M.-P. JOLLY : Interactive graph cuts for optimal boundary and region segmentation. Proceeding of ICCV, 1,

17 Ò ÐÝ ÓÒÒ Ù Ð³ Ñ Ö Ñ Ð Ò Ð Ù ÓÒ Ø Ç Ø Ñ ÖÒ Ù ÓÖ Ø Ø ÒÒ Ë Òع Ñ ÒØ ¾ ÚÖ Ö ¾¼½¼ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ ¾ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒÒ ¾ ÈÓ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÅÓ Ð Ò ÐÝ ÓÒÒ Ù ÓÒ º½ Ò ÐÝ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò ÐÝ Ù ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÐÝ ÓÒÒ Ç º½ Ò ÐÝ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò ÐÝ Ù ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Å Ø Ö Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ ÓÒ º½ È Ö Ô Ø Ú ³ Ú Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ó Ö Ô ½¼ ½

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19 ÈÓ Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÆÓØÖ ÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝ ÔÖ ÓÑÑ Ù ÓÒÒ Ð Ò Ð Ù ÓÒ Ò Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÐÓ Ð Ö Ò ÙÒ Ö ÓÒ ÓÒÒ º ü Ð Ù Ø ØØ Ò ÐÝ ÓÒ ³ Ø Ô Ò ÙÖ Ð Ö ÓÒ ØÖÙ¹ Ø ÓÒ ØØ Ù ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ ÕÙ Ø Ö Ù É¹ ÐÐ ÁÑ Ò Ø ÓÒ ÓÒÒ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð³ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ç ÇÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒµº ÓÒÒ Ú Ú ÒØ ÙÖ Ð Ô Ö º ÆÓØÖ ÔÖ Ñ Ö ÔÔÖÓ Ø ÚÓ Ö ³ Ð Ü Ø Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ò ÙÒ Ô ÖØ Ô ÕÙ Ù ÖÚ Ù ÔÔ Ð ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ Ø Ð³ г Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð º Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔ ÓÒ Ö ÚÓ Ö ³ Ð Ø Ø ÔÓ Ð Ö Ù Ö Ð Ñ Ò ÓÒÒ Ð Ø Ó Ø º ÆÓØÖ ØÙ ÓÒ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ Ø ÓÒ º ÓÑÑ ÒØ Ô ÙعÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð³ Ò ØÓÑ Ö Ö Ð Ø ÔÐÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ö Ð Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ð ÖÚ Ù Ø¹ Ð ÔÓ Ð Ö Ù Ö Ð Ù ÓÒÒ ØÓÙØ Ò ÓÒ ÖÚ ÒØ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù ÓÒ ÅÓ Ð Ä ÑÓ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ð³ Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ö ÓÖØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð ³ Ò ÖØ ÒÓ ÔÓ ÒØ º Ô ÖÑ ØØÖ ÚÓ Ö Ð³ Ò Ñ Ð Ö ÒØ ÙØ Ð ÓÒØ ÒØ Ö ÒØ Ø ÒØ ÖÚ ÒÒ ÒØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ð Ñ º ij ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓ Ø Ø Ø Ñ ØØÖ Ò ÐÙÑ Ö Ð³ÙØ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö Ö ÒØ ÐÓÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ñ º ij Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ô ÖÑ Ø Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÒØ ÐÐÓÒ ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ô Ö Ú ¹ Ö Ð ØÖÓÙÚ Ö Ð Ú Ö Ð ÕÙ Ö Ø Ö ÒØ Ù Ñ ÙÜ Ð³ ÒØ ÐÐÓÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒº ÈÓÙÖ Ð ÓÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ú Ö Ð º Ò Ù Ø ÓÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ Ü ÔÖ Ò Ô Ð ³ Ò ÖØ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÜÔÐ ÕÙ Ö ÙÒ ÔÓÙÖ ÒØ Ú Ð ÙÖ ÜÔÐ ÕÙ º Ä ÙØ Ø ÒØ ³ ÚÓ Ö ÙÒ Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ú ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ³ Ü ÔÖ Ò Ô Ùܺ ÆÓØÓÒ Ð³ ÒØ ÐÐÓÒ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ½ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ½µº ÇÒ ÔÖ Ò Ö Ù Ú ÒØ ÒÓ ÙÜ ÓÒÒ ½¼¼¼ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ò Ö Ð ØÓ Ö º ij Ò Ñ Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ð ÕÙ ÐÐ Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ ½ Ø Ö Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ö ÒØ Õ٠гÓÒ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ð³ Ñ º ÇÒ Ù Ð Ñ ØÖ ÔÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÒØ Ø ÙÙÒ ÒÓ Ö ÒØ Ø ÔÖ ÔÓÒ Ö ÒØ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÒ ÙØÖ µº ÇÒ Ó Ø ÒØ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ú Ö Ò ¹ÓÚ Ö Ò Î t XDX Ò Ù Ø Ð ÙØ ÓÒÒ ØÖ Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ñ ØÖ Î ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÖÓÒØ Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ò Ø Ùܺ ÆÓØÖ ÒØ Ö Ø Ò Ö ÔÓ Ô ÙÖ Ð ÕÙ Ð Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ñ Ð ÙØ Ð ÔÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ø Ò ÓÒ ÔÓÙÖÖ ÚÓ Ö ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ö Ò Ð Ñ Ø Ö Ð Ò ÓÙ ÔÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖÔ ÐÐ Ùܺ ij Ò Ñ Ð ÐÙÐ Ø Ö Ô ÓÒØ Ø Ø٠г Ù ÐÓ Ð Å ØÐ º

20 Ò ÐÝ ÓÒÒ Ù ÓÒ º½ Ò ÐÝ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò ÆÓØÖ Ò ÐÝ ÓÒÒ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ º ½ ÈÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖ Ò Ô ÙÜ ÇÒ ÚÓ Ø Õ٠г Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð ÓÒÒ ÔÖ ¼ % г Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÕÙ Ø ÚÖ Ñ ÒØ ÒØ Ö ÒØ Ø ÔÓÙ ÖÓ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ò Ð ÖÚ Ùº Ò ÓÒ ÖÑ Ö ÒÓØÖ ÓÒ Ú ØÙ Ö Ð Ñ Ñ Ò ÐÝ Ñ ÓÒ Ú ÔÖ Ò Ö ÙÒ Ù ÓÒÒ ÔÐÙ Ö ØÖ ÒØ Ò Ð³ Ò ÖÓ Ø Ù ÓÖÔ ÐÐ Ùܺ º¾ Ò ÐÝ Ù ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ ÆÓØÖ Ò ÐÝ ÓÒÒ Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØ º ¾ ÁÒ ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖ Ò Ô ÙÜ Ä³ Ò ÐÝ ÙÖ Ð ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ Ò ÓÒÒ Ô ØÖ ÓÒ Ö ÙÐØ Ø Ñ ÓÒ ÒØ ÙÒ Ø Ò Ò Ö Ð Ø Ú ÔÖÓ ÐÐ ÚÓÜ Ð Ð Ñ Ø Ö Ð Ò º

21 º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ Ø Ø Ö ÙÐØ Ø Ô Ò ÒØ ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ³ Ð Ý ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ º Ò Ø Óѹ Ñ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Ö Õ٠г Ò ÖØ Ó Ø ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð Ñ Ø Ö Ð Ò Ó Ð Ö Ø ÓÒ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ò Ð ÖÚ Ù ÓÒØ Ò ØÓÙ Ð Ò ÕÙ Ò Ð ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ Ð Ó ÓÒ Ð Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ö º ÈÓÙÖ Ð Ð ÙØ Õ٠гÓÒ Ö Ú ÒÒ Ð Ò Ø ÓÒ ÒÓ ÓÒÒ Ò Ø Ð º ij Ñ Ö Ù ÓÒ ÓÒÒ Ñ Ò Ö Ö º Ò Ñ ÔÐÙ Ð Ù ÓÒ Ø Ö Ò ÔÐ٠г Ñ Ø ÒÓ Ö ÐÓÖ Ð Ú Ð ÙÖ ÒÓ Ô Ü Ð Ø ØÖ Ô Ø Ø º ÇÖ Ð³ Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð ØÖ Ú ÐÐ ÙÖ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒØ Ö Ò Ú Ð ÙÖ ÙÖ Ú Ö Ð Ô ÖØ ÙÐ Ö ÐÓÖ ÕÙ ÕÙ³ÓÒ Ú ÙØ ³ Ø ØÓØ Ð Ñ ÒØ Ð³ ÒÚ Ö º ÇÒ Ó Ø ÓÒ Ö Ö ÙÒ ÒÓÙÚ Ð Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÚÓ Ö Ú Ð ÙÖ Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ Ð Ù ÓÒ Ø Ö Ò º Ø Ó Ø Ü Ø Ð ³ ÔÔ ÐÐ Ð³Ç ÇÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒµº Ä³Ç Ø Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ ¹Ê ÓÒ ÕÙ ÓÒÒ Ð³ ÒØ Ö Ð ÙÖ Ð ÓÒØÓÙÖ Ù Ò Ðº Ä³Ç Ø ÙÒ Ó Ø ÕÙ Ú Ø ÙÖ Ð Ô Ö Ö ½ Ó ÒØ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ ÕÙ ÓÖÑ ÒØ Ð Ô Ö Ù Ú ÒØ Ð³ ÒØ Ò Ø Ó ÒØ º ÓÑÑ ÒÓØÖ Ò ÐÝ ÔÓÖØ ÙÖ Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÒÓØÖ ÖÚ Ù ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ø Ö ÒÓ Ç Ù Ú ÒØ Ð Ö ÒØ ÙØ Ð ÐÓÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓ Ñ Ø Ò Ù Ø Ö ÒÓØÖ Ò ÐÝ ÙÖ ÒÓÙÚ Ù Ù ÓÒÒ º Ë Ò Ð Ù ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÙÐ Ö Ø ÓÒ Ç Ö ÙÐØ ÒØ º Ä ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ ¹Ê ÓÒ Ô ÖÑ Ø Ô Ö Ù Ò Ð Ð³Ç

22 Ò ÐÝ ÓÒÒ Ç º½ Ò ÐÝ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò Á ÓÒ Ò ÐÝ ÙÒ Ù ÓÒÒ ½¼¼¼ ÚÓÜ Ð Ó Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ñ Ø Ö Ð Ò º º ÈÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖ Ò Ô ÙÜ ÇÒ ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ô Ø ÔÐÙ ÔÖÓ ÕÙÓ ÓÒ ÔÓÙÚ Ø ØØ Ò Ö Ù ÙØ Ð³ Ò ÐÝ Ô Ò ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÒØ Þ ÑÔÖ ÓÒÒ ÒØ Ù Ø ÕÙ³ Ú ÙÐ Ñ ÒØ ½ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ô Ð ³ ÜÔÐ ÕÙ Ö ½¼¼ % ÓÒÒ º º¾ Ò ÐÝ Ù ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ ÇÒ Ó Ø ½¼¼¼ ÚÓÜ Ð Ð ØÓ Ö Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖÔ ÐÐ Ùܺ º ÈÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð Ú Ø ÙÖ ÔÖ Ò Ô ÙÜ º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ËÙÖ Ð Ö Ô ÕÙ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ø Ö ÙÖ ÙÖ Ð ÔÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÔÙ ÕÙ Ð ÔÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ø ÔÐÙ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÓÒÒ Ù ÓÖÔ ÐÐ ÙÜ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ò Ö Ð º ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö ÓÒ Ø Ô Ð Ö ÙÔ Ö Ö ¼ % г Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÐ Ñ ÒØ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÒÓ Ö ÒØ Ò Ø ÙÜ ÕÙ Ö Ú ÒØ ÓÒÒ Ö ÒÓÙÚ ÙÜ Ö ÒØ º ÇÒ Ö Ñ ÖÕÙ Ù ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÖØ Ô Ð Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ º г ½ ÓÑ Ò ÓÒ ÓÒ Ø Ô Ð Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ½¼¼ % Рг Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº

23 º Ê ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÒÒ Ä³ Ø Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ÖØ Ò Ç Ò ÚÓ Ö Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö ØÖ ÒØ Ö ÒØ ÓÒ Ø Ô Ð Ö ÙÔ Ö Ö Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÐÓ Ð ÒÓ Ö º ÈÓÙÖ ÙÒ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ÔÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ØÙ ØØ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙÖ ÙÜ ÓÒÒ Ö ÒØ ÔÔ Ö ÒØ Ð Ñ Ø Ö Ð Ò ÓÙ Ù ÓÖÔ ÐÐ Ùܺ º º½ Å Ø Ö Ð Ò Ç ³ÓÖ Ò Ö ÒØ ½¼ Ö ÒØ ½ Ö ÒØ º Ç Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Ù Ú ÒØ ÒÓÑ Ö Ö ÒØ Ö ÒØ ÓÑÑ ÓÒ Ô ÙØ Ð ÚÓ Ö Ð Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ç Ð Ñ Ø Ö Ð Ò Ò³ Ø Ô ÓÒÒ Ð³ÓÒ ÙØ Ð ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ö ÒØ º Ò Ø Ñ Ñ Ð ÔÓÙÖ ÒØ ³ Ò ÖØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ö ÒØ Ø ÔÐÙ ¼ % ÓÒ Ø Ò Ô Ð Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð ÖÓ Ñ ÒØ Ö Ò Ø Ðº Ç ³ÓÖ Ò Ö ÒØ ½¼ Ö ÒØ ½ Ö ÒØ º Ç Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Ù Ú ÒØ ÒÓÑ Ö Ö ÒØ Ö ÒØ Á Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð Ò Ô ÔÓ Ö ÔÙ Õ٠гÓÒ ÙÒ ÙÐ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ØØ Ö Ø ÓÒ Ø Ú Ð Ð Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ô ÖØ Ö Ö ÒØ º

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25 ÓÒÐÙ ÓÒ ÆÓ Ò ÐÝ ÙÖÓÒØ Ô ÖÑ ÚÓ Ö ÕÙ Ð ÓÒÒ Ò Ù ÓÒ ÖÙØ Ò ÓÒØ Ô ÜÔÐÓ Ø Ð Ô Ö Ð³ Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÓ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ò Ø Ð Ú Ð ÙÖ ÒØ Ö ÒØ ÓÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ð ÔÐÙ Ð º Ä ÓÑÔÖ Ð Ø Ç Ò³ Ø Ô ÚÖ Ñ ÒØ ÜÔÐÓ Ø Ð ÔÙ Õ٠г Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÓ Ñ ÒØ ØÖÓÙÚ ÒØ Ò Ð ÙØ Ö ÕÙ Ò ÐÓÖ Ð ÙØ ÓÐÙÑ ÒØ Ð ½ Ö ÒØ Ò Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ½¼¼ % ÒÓ ÓÒÒ ³ÓÖ Ò º Ú ¼ % г Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÇÒ ØÖÓÙÚ Ò Ô Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÖÓ ¹ Ñ ÒØ Ö º Ô Ò ÒØ ÓÒ ÓÙÚ ÖØ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ Ñ Ñ Ò ÓÒÒ Ð Ø ÕÙ Ð Ç Ñ Ò Ô Ö ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ò Ø Ùܺ Ö ÒØ ÓÒØ Ö Ð Ø Ù Ù Ø ÙÜ Ô Ö Ñ ØÖ ³ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ø ÙÒ Ò ÐÝ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ù Ù Ø Ø ÒÓÒ Ò Ö Ð Ð º º ½¼ Ø Ô ØÖ Ú Ð º½ È Ö Ô Ø Ú ³ Ú Ò Ö ÁÐ Ù Ö Ø ØÓÙØ ³ ÓÖ Ú Ö Ö Ò Ð Ò ÕÙ Ú Ð ÒÓÙÚ ÙÜ Ö ÒØ ØÖÓÙÚ ÐÓÖ ÒÓ Ò ÐÝ Ð³ÓÒ Ô ÙØ Ö ÐÐ Ñ ÒØ Ö ØÖÓÙÚ Ö ØÓÙØ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÓ Ö º ÍÒ ÙØÖ Ô Ö Ô Ø Ú ØÖ Ú Ð Ö Ø Ö Ö Ð³ Ò ÐÝ ÙÖ ³ ÙØÖ Ù Ø Ò ÓÒ ÖÑ Ö ÒÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ º

26 Ð Ó Ö Ô Åº Ø ÙÜ À Ò ÙÐ Ö Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÓÒ ÅÊÁ ÖÓÑ ÄÓ Ð Ø Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÌÖ ØÓ Ö Ô Ýº È Ì ÍÒ Ú Ö Ø Æ ¹ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ Ù ÖÝ ¾¼¼ º º ÓÐ Ò ÓÙÖ ³ Ò ÐÝ ÓÒÒ ËÌÌ ¼ ÍÒ Ú Ö Ø Ë Ö ÖÓÓ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ ¹ Ø ÕÙ ÙØÓÑÒ ¾¼¼ º ½¼

27 Analyse d une séquence vidéo basée sur l activité Pierre Clarot 3 mars Introduction. Le domaine de la vidéo-surveillance est actuellement en pleine expansion. Les caméras sont partout dans les villes à enregistrer nos moindres faits et gestes. Mais quelle est la véritable utilisation de ces vidéos? Certaines d entre elles sont parfois visionnées en temps réel par un opérateur humain. Cependant un opérateur humain n est pas infaillible, il se fatigue, s ennuie rapidement et peut facilement omettre une information importante dans une vidéo. De plus, avec la multiplication des caméras avoir du personnel pour visionner toutes caméras coute très chères. Finalement une grande majorité des vidéos ne sont pas utilisées. Elles sont juste sauvegardées sur un serveur afin d être visionnée ultérieurement en cas d incident. Par exemple, lors d un cambriolage il peut être intéressant de visionner les vidéos du cambriolage afin de reconnaître les malfaiteurs. Mais il est aussi intéressant de visionner les vidéos des caméras dans les rues adjacentes pour voir si les voleurs ont fait du repérage dans les jours précédents le méfait. On peut aussi vouloir retrouver le parcours du véhicule utilisé par les malfaiteurs en cherchant la voiture dans le réseau de caméras de surveillance de la ville. Malheureusement visionner et rechercher des informations dans une très longue vidéo n est pas une chose agréable et facile à faire. Généralement la recherche consiste à avoir un opérateur qui visionne la vidéo en vitesse rapide. On retrouve alors les mêmes problèmes que pour la surveillance en temps réel. L opérateur coute chère et n est pas parfait. Puisque le visionnement n est pas efficace même en cas d incident les vidéos ne sont pas toujours utilisées. Finalement, la majorité des informations contenues dans les séquences vidéos ne sont pas exploitées. Nous allons présenter dans cet article une ébauche de réponse à ce problème en analysant l activité des vidéos. 2 Position du problème. Nous allons présenter une méthode consistant à analyser une séquence vidéo en utilisant le mouvement détecté dans chaque image, afin de déterminer les redondances temporelles d activité. Une vidéo est alors résumée a une suite de types ou classes d activités. À partir de cet ensemble de classes d activité il est possible de détecter les images de la vidéo qui contiennent des choses inhabituelles. En effet, si l activité dans une ou plusieurs images ne correspond pas à une des classes détectées précédemment alors ces 1

28 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne images ne font pas partie de l activité normale qui a été perçue par la caméra. Il y a de fortes chances que la caméra perçoit une activité problématique. On peut alors afficher les images enregistrées par la caméra a un opérateur humain afin qu il dise si il y a effectivement un problème. On diminue alors le nombre d opérateurs nécessaires pour surveiller un réseau de caméras puisque seulement les caméras qui sont susceptibles de contenir une information intéressante seront affichées aux yeux des opérateurs. De la même façon la création de ce résumé permet d optimiser un visionnement ultérieur de la vidéo. 3 Présentation des données. 3.1 Présentation des séquences vidéos. Les données initiales sont composées de plusieurs séquences vidéos comprenant de l activité dite normale et des évènements inhabituels. Les séquences peuvent être classées dans deux groupes différents. Le premier groupe contient des vidéos que l on peut qualifier de simple. Elles sont constituées d une activité faible ou moyenne presque constante, et puis a des moments bien particuliers il y a beaucoup d activité dans le champ de la caméra. Par exemple une des vidéos a été générée en filmant un plan d eau. Le mouvement de l eau crée de l activité et puis d un seul coup on a un bateau qui passe. Une autre des séquences consiste à filmer une fontaine et des piétons qui passent devant la fontaine. Ce premier groupe de vidéos est considéré comme simple car il serait facile de détecter l activité inhabituelle juste en regardant l activité moyenne à un moment donnée. La méthode développée doit impérativement marcher avec ces séquence, c est le minimum requis. Le deuxième groupe comprend deux vidéos où il est plus difficile de différencier l activité problématique. La première est une vidéo d un croisement à Boston. Il y a donc une succession d activité, puis de non-activité. Pour cette vidéo on cherche à détecter les virages en U qui sont illégaux sur ce croisement. La deuxième vidéo a été filmé sur un trottoir de l université de Sherbrooke. Il y a des piétons qui marchent le long du trottoir dans les deux sens, puis on a un piéton qui dépose un sac, et quelques temps plus tard quelqu un d autre le ramasse. Avec cette vidéo on cherche à détecter le fait qu un sac a été abandonné. Ces vidéos sont moins simples car l activité dite normale ne se résume pas à un type d activité mais plusieurs. De plus, on cherche a détecter des activités inhabituelle complexe. Le but de ce projet est de trouver une méthode qui fonctionne avec ces vidéos. 3.2 Extraction des données à partir des séquences vidéos. L extraction de l information et la création de nos observations se fait a l aide de plusieurs étapes. Il faut tout d abord estimer quels sont les pixels qui ont vu du mouvement pour chaque image de chaque caméra (Figure 3.1). Pour cela il faut estimer la couleur des pixels du fond de la scène pour chaque caméra. Cette estimation se fait très bien avec un filtre médian sur la séquence lorsque il y a moins de 50% d activité. Il suffit ensuite de faire la soustraction entre cette image du fond et une image de la séquence. Si la différence est grande alors il y a de fortes chances qu il y ait un objet en mouvement entre la caméra et le fond de la scène. Par contre, si la différence est faible alors il y a de fortes chances que ce pixel est en train de voir le fond de la scène. Afin d être robuste aux changements d illumination l image du fond est régulièrement mit a jour lorsque l on parcours la séquence. 2

29 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne FIGURE 3.1 Détection de mouvement avec algorithme de soustraction de fond FIGURE 3.2 Volume 3D binaire Comme le montre la figure 3.2 dès que la détection de mouvement est effectuée on obtient un volume 3D binaire pour chaque séquence. Il faut maintenant sélectionner un ensemble de sous volumes de taille fixe dans ce grand volume afin d avoir notre ensemble d observation (Figure 3.3). Dans notre cas on a fixé la position du volume spatialement, puis on l a décalé au fur à mesure sur l axe temporelle. On a donc pour chacun de ces décalages une observation qui contient l activité que la caméra a perçut dans une région donnée entre deux instants. FIGURE 3.3 Sélection de sous-volumes Afin de réduire la taille des données et la durée des calculs une dernière étape est utilisée. Pour un certain voisinage 3D dans la volume on garde la moyenne de l activité. La figure 3.4 illustre cette étape 3

30 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne avec un exemple en deux dimensions. FIGURE 3.4 Exemple de réduction de la taille des données avec une moyenne sur un voisinage 4 Modèle. 4.1 Présentation du modèle Description de la méthode On a donc une série de volumes 3D qui résument l activité dans différentes parties de la séquence vidéo. Le but du projet est de trouver une fonction de coût qui permettra de discriminer les volumes qui contiennent de l activité différentes, et de regrouper les volumes similaires. Pour cela la méthode comprend les étapes suivantes : Extraction des caractéristiques des différents volumes. Calcul d une distance euclidienne entre les volumes à partir des caractéristiques. Construction d une matrice de distance. Utilisation du positionnement multidimensionnel pour visualiser les résultats. Calcul de la qualité de la représentation. Utilisation du spectral clustering pour segmenter le nuage de points Explication du positionnement multidimensionnel Le positionnement multidimensionnel permet de projeter dans un espace euclidien des points à partir des distances entre eux. Par exemple, à partir des distances entre des villes il permet de retrouver à une rotation près la carte d une région. Dans notre cas on va l utiliser afin de retrouver la projection de nos volumes 3D après avoir mesuré une distance entre nos volumes à l aide d une certaine fonction de coût. Il nous permettra aussi de réduire le nombre de dimensions de notre nuage de points afin de pouvoir visualiser les résultats et vérifier si les volumes ont été convenablement discriminés et regroupés. Pour calculer le positionnement multidimensionnel on utilise la fonction MATLAB suivante : 4

31 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne [Y, e] = cmdscale(d); Avec : D matrice carré symétrique euclidienne des distances de taille N par N. Y coordonnées des points. Matrice de taille N par P. e valeur propres de Y Y. Lorsque D est euclidienne les premiers P éléments de e sont positifs, le reste est nulle. Si les premiers k éléments de e sont beaucoup plus grands que les (N k) restant, alors le nuage de points peut être raisonnablement réduit a k dimensions. Si D n est pas euclidienne certains des éléments de e vont être négatifs. La fonction cmdscale va choisir p comme étant le nombre de valeurs propres positives. La réduction à p ou moins de dimensions est alors un raisonnable approximation de D seulement si l amplitude des valeurs propres négatives est faible par rapport aux positives. Si vous désirez plus de détails sur le fonctionnement du positionnement multidimensionnel veuillez regarder les références [5] et [6] Calcul de la qualité de la représentation Comme dit ci-dessus nous allons utiliser le positionnement multidimensionnel afin de visualiser nos résultat dans une dimension plus faible que leur dimensions d origine et vérifier si notre fonction de coût est approprié. Une fonction de coût est bonne si les volumes contenant de l activité normale sont regroupés sur notre plan, et que les volumes avec les évènements problématiques sont loin de tout les autres. On va donc regarder les distances entre les points sur notre plan de projection et faire des conclusions a partir de ce que l on voit. Ces conclusions sont valides seulement si les distances entre les points sur le plan sont les mêmes que celles dans la matrice de distance. C est-à-dire qu il faut vérifier pour chaque point si la réduction à deux dimensions est valide. Pour cela on calcule l angle entre nos points dans l espace à N dimensions et leur projection sur le plan. Si l angle est petit alors la réduction à deux dimensions pour ce point est valide et on peut faire des conclusions en regardant la distance entre ce point et d autres points avec une bonne représentation. Par contre si l angle est grand alors on ne peut faire aucune conclusion. La figure 4.1 montre un exemple de résultat de calcul de la qualité de le représentation. Les points en rouge sont mal représentés et les points en vert sont bien représentés Segmentation du nuage de points à l aide du spectral clustering Comme on peut le voir sur la figure 4.1 de nombreux points sont mal représentés. Normalement pour pouvoir faire l analyse de nos résultats il faudrait pour chacun de ces points aller regarder les valeurs dans la matrice des distances lorsque l on veut faire une conclusion sur leur distance par rapport aux autres points. On a généralement environ la moitié des points qui sont mal représentés. Pour l exemple de la figure 4.1 cela correspond à 350 points mal représentés sur 700. Aller vérifier les valeurs dans la matrice de distance pour ses points afin de faire l analyse est une tâche longue et laborieuse. C est pour cela que l on a ajouté une dernière étape dans notre méthode. Cette étape consiste a utiliser un algorithme de 5

32 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne FIGURE 4.1 Qualité de la représentation : rouge = mauvaise, vert = bonne segmentation sur notre nuage de points dans N dimensions, puis ajouter l information renvoyé par cette algorithme sur notre affichage. Les points qui sont proches seront dans des classes communes quelque soit la qualité de leur représentation. La figure 4.2 est un exemple de résultats obtenus en segmentant le même nuage de points que de la figure 4.1 en trois classes. Les points sont colorés en fonction de leur appartenance à une classe. Les deux figures peuvent sembler être totalement différente, mais ce n est pas le cas, il y a juste une rotation entre les deux. Si vous désirez plus de détails sur le fonctionnement du spectral clustering veuillez regarder les références [2] et [1]. L implémentation utilisée du spectral clustering est celui qui a été développé par [8] pour leur article. Leur implémentation MATLAB de leur technique est disponible sur internet. 4.2 Limite du modèle Comme vu ci-dessus si la matrice des distances n est pas euclidienne e va contenir des valeurs propres négatives. La réduction du nombre de dimensions est alors valide si l amplitude des valeurs propres négatives est faible par rapport aux positives. Malheureusement ce n est pas toujours le cas, si la distance entre nos volumes n est pas euclidienne, il y aura des valeurs propres négatives avec une forte amplitude. Pour régler ce problème on peut comme le préconise [4] modifier la matrice de distance afin d obtenir une matrice euclidienne. Dans notre cas l utilisation de cette méthode n aura pas été efficace. Elle a 6

33 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne FIGURE 4.2 Segmentation 3 classes à l aide du spectral clustering tout simplement généré d autres problèmes que nous ne détaillerons pas dans ce document. Il aura fallu retourner à la base de notre problème, c est-à-dire le fait que notre fonction de coût n était pas euclidienne. Il a fallu légèrement modifier la fonction de coût pour qu elle soit euclidienne. Mais c est une des grosses contraintes de la méthode, il faut être sûre d avoir bien une matrice euclidienne sinon les résultats ne correspondent pas à la réalité des données. L autre limite de la méthode est la nombre de dimensions. N points définissent un espace à N 1 dimensions. Pour chaque séquence on a toujours plusieurs centaine de points. On a donc à chaque fois des espaces avec énormément de dimensions. Par conséquent on a toujours beaucoup de points qui sont mal représentés dans un plan. C est pour cela que l on a été obligé de rajouter une étape de segmentation à notre méthode pour pouvoir faire l analyse. Puisque l on ne peut pas faire confiance à la projection sur un plan on est obligé de faire confiance à un algorithme de segmentation. Mais l utilisation d un autre algorithme pourrait changer les résultats finaux et l analyse que l on fait. La multiplication des dimensions et le fait que l on ne puisse pas visualiser nos résultats facilement avec notre méthode nous crée une dépendance à un autre outil. 7

34 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne 5 Analyse des résultats. 5.1 Fonctions de coût implémentées Distance euclidienne directement entre les volumes : La première fonction de coût est juste une distance euclidienne entre les volumes 3D. Cette fonction est invariante a rien du tout et ne fonctionne pas du tout. Elle a été rapidement éliminé. Fonction basée sur les transformées de Fourier rapides (FFT) : Comme l article [3] nous avons voulu utiliser les transformées de Fourier rapides pour extraire des caractéristiques de nos volumes. Pour cela on vectorise le volume, puis on applique une transformé de Fourier rapide sur le vecteur. On a donc pour chaque volume un vecteur de coefficient de la FFT. La fonction de coût est ensuite une distance euclidienne entre les vecteurs de coefficient des différents volumes. Moment invariant à deux dimensions : En nous inspirant de l article [9] de reconnaissance de mouvement nous avons implémenté une méthode basée sur des moments invariants à deux dimensions. Pour cela, pour chaque volume on génère deux images qui indiquent quels sont les pixels qui ont vu du mouvement et comment par rapport à l axe temporelle les pixels ont vu du mouvement. Puis on calcule une série de moments invariants à deux dimensions sur les deux images. Les moments invariants sont placés dans un vecteur. Il suffit ensuite de calculer une distance euclidienne entre les vecteurs pour avoir notre distance entre les volumes. Moment invariant à trois dimensions : Nous avons aussi essayé des moments invariants à trois dimensions comme le propose une partie de cette article [7]. Il suffit de calculer directement les moments invariants sur le volume 3D, puis placer les résultats dans un vecteur. Comme pour les fonctions précédentes on calcule ensuite une distance euclidienne entre les vecteurs des volumes pour construire la matrice des distances. 5.2 Exemple d analyse de résultat Dans cette section nous allons présenter comment nous analysont les résultats de la méthode. Nous allons faire l analyse de la séquence du cours d eau avec un bateau. La fonction de coût utilisée sera celle basée sur les transformées de Fourier rapides. Tout d abord pour une séquence donnée on numérote les volumes 3D en ordre croissant au niveau temporelle. Puis on note quels sont les numéros des volumes qui contiennent l activité inhabituelle. Pour la séquence du bateau ce sont les volumes de 240 à 250 environ. Nous calculons ensuite la matrice des distances à partir de la fonction de coût et de l ensemble de volumes. Comme indiqué précédemment on utilise ensuite le positionnement multidimensionnel, et on calcule la qualité de le représentation pour obtenir la figure 4.1. Puisque de nombreux points sont mal représentés on ne peut pas conclure avec seulement cette figure. Mais elle nous indique cependant une 8

35 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne idée générale de l efficacité de la fonction de coût. Il est intéressant de voir que les volumes que l on voulait détecter sont loin de tout les autres points. C est plutôt rassurant. On remarque aussi un autre groupe de points qui sont légèrement éloignés du gros groupe de points. Ces points correspondent aux volumes de 620 à 640 environ. Si on regarde les images de la séquence qui correspondent à ces volumes on se rend compte qu il y a eu un changement de luminosité dans la scène. C est surement dû à un nuage qui passe devant le soleil. Il est logique de les détecter différents du reste de la séquence car ils contiennent de l activité inhabituelles. Par contre puisqu il se passe rien de vraiment étrange dans le champ de la caméra ces volumes sont considérés comme étant des faux positifs. Pour pouvoir vérifier si les points mal représentés au niveau du gros conglomérat de points sont tout de mêmes proches les uns des autres on utilise le spectral clustering avec un différent nombre de classes. On affiche ensuite le résultat (voir figures 5.1, 4.2, et 5.2 ). Il suffit ensuite de voir si il y un nombre de classes telle que l on différencie les points contenant l activité normale de ceux contenant l activité inhabituelle. La figure 4.2 est particulièrement intéressante. En effet l activité dite normale est regroupée dans deux classes (mauve et vert). Par contre tout les volumes contenant de l activité inhabituelle comme le changement de luminosité et le bateau sont dans une classe à part (bleu clair). Ce résultat est vraiment très bon, on peut donc conclure que la fonction de coût fonctionne bien avec cette séquence. Par contre notre système d affichage ne nous permet pas de savoir facilement si le résultat est cohérent au niveau temporelle. Pour cet exemple on voit parfaitement qu on a réussie à détecter ce que l on voulait, mais il peut être intéressant d utiliser une autre forme d affichage pour conforter nos conclusions. La figure 5.3 nous permet de visualiser les transitions entre les différentes classes par rapport à un axe temporelle. Cela fonctionne parce que l on a numéroté nos volumes en ordre croissant. Si notre fonction de coût marche bien alors il ne devrait pas avoir énormément de transition. Et effectivement lorsqu on regarde la figure il y a quelques transitions entre les classes 1 et 3 que l on peut ignorer, car elles correspondent toutes les deux a l activité normale. Et puis on a deux petits paliers pour la classe 2 correspondant aux volumes que l on cherchait à détecter. Cette figure nous conforte sur le fait que la fonction de coût marche bien. 9

36 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne FIGURE 5.1 Segmentation 2 classes à l aide du spectral clustering FIGURE 5.2 Segmentation 4 classes à l aide du spectral clustering 10

37 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne FIGURE 5.3 Transition des classes par rapport à l axe temporelle 5.3 Analyse des résultats des différentes fonction de coût Distance euclidienne directement entre les volumes : Cette méthode ne marche pas du tout. Fonction basée sur les transformées de Fourier rapides : Donne de bon résultats avec les séquences simples mais ne fonctionne pas du tout avec les deux séquences complexes. Moment invariant à deux dimensions : Ne donne pas de bon résultats. Moment invariant à trois dimensions : Ne fonctionne pas. 6 Conclusion Finalement, seulement la méthode basée sur les transformées de Fourier rapide donne des résultats acceptables. Malheureusement, cette méthode ne fonctionne pas avec les séquences complexes. Comme cela a été indiqué dans les présentation des données il est possible d avoir de bon résultats avec les 11

38 DI, Université de Sherbrooke Présentation interne séquences simples juste en regardant la quantité d activité. L utilisation des transformées de Fourier a donc ajouté de la complexité sans avoir de meilleurs résultats. Les fonctions implémentées sont pourtant utilisées dans le domaine de le reconnaissance de mouvement. Mais à la différence du domaine de la reconnaissance de mouvement nous ne travaillons pas dans une environnement totalement contrôlée. Dans leur domaine ils ont peu de bruit dans les images, peu d objets en mouvement et pas de changement de luminosité durant la vidéo. De plus, lorsque plusieurs objets sont en mouvement ils arrivent à les différencier pour les traiter de façon indépendante. Nous, nous avons du bruit, et un nombre arbitraire d objets en mouvement et souvent des changement de luminosité. Une autre grosse différence est la normalisation temporelle. La plupart des techniques de reconnaissance de mouvement détectent le début et la fin d un mouvement, puis ils génèrent un volume normalisé de taille fixe. Un volume contiendra donc à chaque fois un mouvement complet. À la différence de nous qui échantillonnons notre séquence régulièrement. C est a dire que deux mouvements identiques mais à deux vitesses différentes auront des signatures différentes avec notre technique. En conclusion les techniques développées dans le domaine de la reconnaissance de mouvement manque de robustesse pour pouvoir bien fonctionner dans le domaine de la vidéo surveillance. Références [1] F.R. BACH et M.I. JORDAN : Learning spectral clustering. Computer, [2] P. BIELA et D. HAMAD : Introduction to spectral clustering. [3] A.F. BOBICK et J.W. DAVIS : The recognition of human movement using temporal templates. IEEE Trans. on Pattern Anal. and Machine Intell, [4] F. CAILLIEZ : The analytical solution of the additive constant problem. Psychometrika, 48(2): , [5] F. CAILLIEZ et J.P. PAGES : Introduction à l analyse des données. Smash, [6] D. DESBOIS : Une introduction au positionnement multidimensionnel. Revue MODULAD, 32:28, [7] L. GORELICK, M. BLANK, E. SHECHTMAN, M. IRANI et R. BASRI : Actions as space-time shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 29(12):2247, [8] Y. SONG, W.Y. CHEN, H. BAI, C.J. LIN et E.Y. CHANG : Parallel spectral clustering. In Proc. of ECML/PKDD. Springer, [9] D. WEINLAND, R. RONFARD et E. BOYER : Free viewpoint action recognition using motion history volumes. Computer Vision and Image Understanding, 104(2-3): ,

39 1. Introduction Analyse des données de mesures anthropologiques par Véronique Croteau Comment peut-on déterminer le sexe d un individu, à l aide de ses mesures anthropologiques (mesures prises sur le corps humain)? L étude suivante portera uniquement sur des hommes et des femmes actifs âgés dans la vingtaine et la trentaine. Pour ce faire, il faut sélectionner les mesures qui sont utiles sans toutefois être redondantes. À partir de 24 variables différentes, nous diminuerons au maximum le nombre de variables afin de réduire le temps et les coûts reliés à la prise de données. Cette étude se fait en deux étapes, la première consistant en l application de l analyse en composantes principales pour déterminer les variables qui sont pertinentes. Puis, une analyse discriminante permet d associer les individus à leur sexe à l aide des variables sélectionnées préalablement. 2. Présentation des données Les données utilisées pour la présente étude ont été recueillies par les auteurs de l article «Exploring relationships in body dimensions» (2003) apparu dans la revue «Journal of statistics Education». L étude a été faite sur 507 individus (247 hommes et 260 femmes) de 20 à 40 ans et en bonne condition physique. Les variables étudiées sont : le diamètre de l os au niveau des épaules (biacromial), le diamètre de la crète iliaque (au niveau du bassin) (biiliac), le diamètre de l os au niveau de la hanche (bitrochanteric) (ces variables sont représentées sur l image 1 de l annexe 1), l épaisseur de la poitrine, le diamètre du squelette au niveau de la poitrine, du coude, du poignet, du genou et de la cheville, la circonférence de l épaule, de la poitrine, de la taille, du corps au niveau du nombril, de la hanche, de la cuisse, du biceps, de l avant-bras, du genou, du mollet, de la cheville et du poignet, l âge, le poids, la taille et le sexe (voir annexe 2 pour l abréviation des variables). Il est à noter que toutes les mesures de diamètre, de circonférence et la taille sont exprimées en centimètres, le poids en kilogrammes, l âge en années et le sexe est représenté par 1 ou 0 selon qu il s agit d un homme ou d une femme. Les données sont inscrites de façon à ce que chaque colonne représente une variable classée dans le même ordre où elles ont été énumérées précédemment et chaque ligne représente un individu. Vous trouverez ci-dessous les données portant sur les trois premiers individus. Cependant, dans le cas suivant, nous ne pouvons mettre toutes les données d un individu sur une seule ligne Par exemple, d après ces données, on remarque que le deuxième individu est un homme mesurant 174,0 centimètres et la circonférence de ces cuisses est de 51,5 centimètres.

40 Pour les données recueillies sur le squelette, on utilise un grand et un petit vernier (voir l image 2 de l annexe 1). Quant aux données portant sur la circonférence, on utilise un ruban en s assurant de ne pas faire de compression sur les membres étudiés. 3. Modèle 3.1. Choix du modèle Afin de réduire le nombre de variables, tout en demeurant le plus précis possible dans notre étude, nous devons d abord déterminer les variables ayant une corrélation positive entre elles. C est principalement pour cette raison que nous utiliserons l analyse en composantes principales (ACP). Dans le but d obtenir une interprétation rigoureuse des résultats, il s avère nécessaire d appliquer l ACP sur tous les individus, peu importe le sexe, puis sur les hommes seulement et finalement sur les femmes. Une fois les trois analyses effectuées, l étude de la cohérence entre les groupes de variables permet de déterminer les variables que nous garderons. Dans la deuxième partie, nous associerons des données inconnues à l un des deux groupes de l étude, soit celui des hommes ou celui des femmes. C est exactement le but de l analyse discriminante à but prédictif, c est donc ce que nous allons utiliser après avoir fait l analyse en composantes principales Analyse en composantes principales Le but de l analyse en composantes principales est de simplifier l information que l on possède, afin d interpréter plus aisément les données. Cette technique permet d extraire l essentiel d un tableau de données. Dans le cas présent, l ACP permet de sélectionner les mesures pertinentes prises sur les 507 individus. Cela dit, elle réduit la dimension du tableau, soit en diminuant le nombre de variables, tout en conservant la meilleure représentation possible. Notons par X la matrice qui contient les n observations (soit 507 pour la totalité des individus, 247 pour les hommes et 260 pour les femmes) sur lesquelles on a mesuré p variables. Comme l analyse en composantes principales s applique seulement sur des variables quantitatives, nous devons supprimer la variable sexe. D autant plus qu il s agit de la variable dont nous tenterons de déterminer la modalité avec la seconde partie. La variable âge peut également être enlevée, puisque les variables restantes sont des mesures anthropométriques prises sur des individus étant tous adultes (pour plus de détails voir l analyse des résultats). C est pourquoi la valeur de p est réduite à 23. Comme il n y a aucune raison de favoriser un individu plus qu un autre, les observations ont toutes le même poids soit 1/507 pour les deux sexes ensemble, 1/247 pour les hommes et 1/260 pour les femmes. On note les observations x1, x2,..., x n selon la valeur de n et on note les variables x 1, x 2,..., x 23. Pour expliquer ce modèle, nous allons supposer que les données sont centrées, c est-à-dire que les moyennes sont nulles. Or, puisque c est rarement le cas, nous devons centrer les données tout simplement en faisant x1 x1, x2 x2,..., xn xn. Aux fins de cette analyse, nous n avons pas seulement centré les variables, mais nous les avons également réduites x µ (on divise également les observations par l écart type). Nous σ effectuons ce changement étant donné que d une variable à l autre l écart type varie énormément, pouvant atteindre un facteur de 10 (voir l annexe 3 pour les valeurs des écarts types). Pour simplifier la notation, nous utilisons également la notation x1, x2,..., x n

41 pour les observations ayant été centrées et réduites. Dans la situation présente, nous utilisons comme métrique A=I pour ne pas prioriser de variables. Notons également que j k V est la matrice d inertie dont le terme général est v = p x x où p i est le poids de ij i i i i l observation i. On remarque donc que V est tout simplement la matrice de variances covariances, lorsque les poids sont tous égaux. La première étape de l ACP est de rechercher les axes principaux d inertie de l ensemble des observations, aussi appelé nuage de points (noté N). Cette étape revient à rechercher une combinaison linéaire des variables initiales (,,..., ) 2 t norme 1 ( u uau 1) u x x x que l on note u 23 j = u j x avec le critère que u est de j= 1 = =. Ce problème est équivalent au problème d optimisation suivant : max t uavau sous la contrainte u 2 = 1. La solution de ce problème est donnée par u 1 le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre (λ 1 ) de la matrice VA, u 2 le vecteur propre associé à la deuxième plus grande valeur propre (λ 2 ) et ainsi de suite jusqu à ce qu on soit satisfait du pourcentage d inertie expliquée. Le pourcentage λl λl d inertie expliquée par l axe u l est donné par = et le pourcentage d inertie 23 tr( VA) λ expliquée de l espace λi i= 1 u,,..., 1 u 2 u l est donné par. 23 λ Ensuite, nous représentons les observations ainsi que les variables sur les axes principaux d inerties à l aide de projections orthogonales. Soit x une observation, sa projection k t t orthogonale sur l axe est donnée par zi = xi Auk = uk Axi. Donc, si on note par x ˆi la u k 1 2 k l représentation de ˆ i xi = zi, zi,..., zi,..., zi où l est le nombre d axes qui nous a permis d atteindre le pourcentage d inertie désiré. Une fois le x ˆi trouvé, nous voulons nous assurer qu il représente bien la vraie observation. Pour ce faire, nous devons calculer l angle entre x i et x ˆi, s il est petit, l observation est bien x dans le nouveau système, on obtient ( ) représentée. Notons cet angle α, il sera petit si plus de précision, voir l image ci-dessous. l i= 1 i i i= 1 i 2 t i xi Axi 2 t x i i Axi ˆ 2 x ˆ ˆ cos α = x = est près de 1. Pour

42 Étudions maintenant la représentation des variables. Encore une fois, la représentation des nouvelles variables est faite à l aide de projections. Notons les nouvelles variables par ˆ ξ = u j λ, u j λ,..., u j λ. La proximité entre les ˆj ξ où j est la j e variable, on a alors j ( l l ) nouvelles variables (c est-à-dire la projection) nous indique qu il y a probablement corrélation entre ces variables. De plus, si une variable est près du cercle des corrélations cela implique qu elle est bien représentée Analyse discriminante à but prédictif. Commençons d abord par l analyse discriminante en général et concentrons-nous ensuite sur le cas particulier de l analyse discriminante à but prédictif. Cette analyse permet d expliquer, de décrire et de prédire un ensemble de variables, plus précisément p variables quantitatives et une qualitative, sur un ensemble d observations. La variable qualitative permet d associer les observations à m différents groupes, où m est le nombre de modalités de la variable qualitative. Dans notre cas, la variable qualitative est le sexe de l individu, il y a donc seulement deux groupes possibles : soit les hommes et les femmes. Nommons le groupe des hommes G 1 et le groupe des femmes G 2. Pour l analyse discriminante, nous avons besoin du nombre d observations dans chaque groupe, le poids de chaque observation et de chaque groupe, le centre de gravité de chaque groupe, la matrice d inertie totale, la matrice d inertie de chaque groupe, la matrice d inertie intraclasse, la matrice d inertie inter-classe et d une métrique symétrique définie positive. Encore une fois, il est important que les variables soient également centrées sur l ensemble des observations. Le nombre d observations pour le groupe k est noté par n k, ici on a donc n 1 =247 et n 2 =260. Le poids de chaque observation est donné par 1/507 (1/n) puisque toutes les observations occupent la même importance. Quant aux poids des groupes, ils sont donnés par n k /n, donc 247/507 pour le groupe G 1 et 260/507 pour le n k 1 groupe G 2. Le centre de gravité de chaque groupe est donné par : g = k xi, k i= 1 n où x i, k k est la i e observation du groupe k et 1/n k est le poids de la i e observation dans le k e groupe. m n k = k = 1 i= 1 t La matrice d inertie totale est donnée par: T x, x, n k i k i k, la matrice d inertie du t groupe k est : Wk = ( xi, k gk ) ( xi, k gk ), la matrice d inertie intra-classe est : k = 1

43 W m = Wk et la matrice d inertie inter-classe est : k = 1 m t = k k k. Puis, pour les mêmes k = 1 B n g g raisons que l analyse en composantes principales, la métrique A est la matrice identité. Pour l analyse discriminante à but prédictif, on ajoute une observation anonyme «a» que l on affecte à l un de nos groupes. On cherche alors à déterminer s il s agit d un homme ou d une femme. Pour cette partie, nous considérons une nouvelle métrique T -1. On affecte «a» au groupe le plus «proche», c est-à-dire que nous devons résoudre le 2 problème d optimisation : arg min d ( a, y) où y1 y { y1,, y k },..., y k sont les centres de gravité 2 t 1 t 1 t 1 t 1 1 des k groupes et d ( a, y) = ( a y) T ( a y) = yt y 2 yt a + at a comme t at a est une constante on peut réécrire le problème de la forme suivante : arg min V ( ) { 1,, y a y y yk } 1 1 où ( ) t t V a = yt y 2 yt a. Dans le cas de deux classes, on peut effectuer quelques y t 1 calculs pour trouver comme solution que si ( y y ) T ( y a) est positif on affecte 2 1 l observation anonyme au groupe 1, sinon on l affecte au groupe 2. Notons que y 2 est le centre de gravité du 2 e groupe, y 1 est le centre de gravité du 1 er groupe et y m est la y1 + y2 moyenne des deux centres de gravité ym =. Dans le cas présent, si le résultat est 2 positif, c est un homme sinon il s agit d une femme Critique du modèle Lors de l analyse des données, nous avions qu un nombre limité de choix. Pour la première partie, nous avions le choix entre l analyse en composantes principales et l analyse discriminante pas à pas. Pour la deuxième partie, on utilise l analyse discriminante à but prédictif avec une approche géométrique plutôt qu avec une approche probabiliste. Pourquoi avoir choisi ces deux techniques? L analyse en composantes principales a été favorisée à l analyse discriminante pas à pas, car cette dernière a un temps de calcul beaucoup plus élevé. Ce qui fait croître le temps de réalisation de cette technique qui se situe principalement au niveau du calcul du pourcentage de bien classé pour les p variables à l itération 1, pour les p-1 variables à l itération 2 et ainsi de suite de sorte qu à la m e itération on calcule le pourcentage sur p- (m-1) variables. Le pourcentage de bien classé est calculé à l aide d un tableau de contingence. De plus, avec nos données, il serait intéressant d effectuer une régression linéaire du poids en fonction des autres variables, qui nécessite que les variables ne soient pas corrélées, donc l ACP serait utile dans ce cas. Notre méthode privilégiée pourrait alors être réutilisée au détriment de l analyse discriminante pas à pas. Pour la seconde partie, l analyse discriminante à but prédictif avec une approche géométrique a été préférée à l approche probabiliste par manque d informations sur le sujet. Il nous aurait fallu avoir le coût qu engendre une mauvaise classification, la fonction de densité qui nous donne la probabilité d affecter une observation de la classe k à la classe l ainsi que la probabilité à priori de chacune des classes. Nous n avons pas accès à ces données puisqu on ne sait pas à quoi sert exactement la détermination du sexe d un individu. m

44 4. Analyse des résultats 4.1. Traitement informatique Le traitement informatique des données a été fait à l aide du logiciel R. Vous trouverez dans l annexe 4, le code pour l analyse en composantes principales sur l ensemble des individus. Puisqu il s agit exactement du même code pour le groupe des hommes et le groupe des femmes, ce code n a pas été mis. Dans la même annexe, vous trouverez également le code pour l analyse discriminante à but prédictif Analyse des données et interprétation des résultats Pour vérifier que la variable âge n était pas nécessaire à l analyse, nous avons fait le graphique de la projection des variables sur les axes c1 et c2, pour observer la position de la variable âge. De ce fait, puisque la variable âge était suffisamment près du centre (voir annexe 5), nous en avons déduit qu elle ne variait pas beaucoup et l avons effectivement enlevée de l analyse. Pour compléter l analyse, nous étudierons les résultats de l analyse en composantes principales sur l ensemble des individus, puis sur les hommes seulement et sur les femmes, pour ensuite faire l analyse discriminante. Mentionnons que la première étape de l analyse en composantes principales consistait à calculer les valeurs propres de la matrice V. Une fois ce calcul effectué, nous avons calculé les inerties partielles et totales pour créer nos axes principaux. Nous avons trouvé pour tous les individus ensemble que les trois premiers axes nous donnent une inertie cumulée de 80,36 %, ce qui est excellent. Nous avons donc fait notre étude sur les trois premiers axes principaux reliés aux valeurs propres 14,93, 2,48 et 1,07 qui ont une inertie partielle respective de 64,93 %, 10,80 % et 3,96 %. Pour connaître toutes les valeurs propres ainsi que leurs inerties partielles et cumulées, consultez l annexe 6. Une fois les valeurs propres trouvées, nous avons représenté les individus et les variables sur des graphiques comportant deux axes, soit un graphique avec la première et la deuxième composante (c1, c2) et un avec la première et la troisième composante (c1, c3). Les graphiques des individus (annexe 7) nous montrent que les observations sont assez homogènes. Par conséquent, elles ne causent pas de problèmes sauf peut-être pour l individu 124. En regardant les valeurs de cet individu, on remarque que ce n est pas une donnée extrême. On constate également que les observations sont bien représentées. Cependant, considérant le nombre élevé d observations, on ne fournit pas les valeurs de 2 cos α. Pour les variables, les projections nous donnent les coordonnées sur les trois axes que vous pouvez consulter à l annexe 8. Pour mieux observer les variables qui sont projetées les unes près des autres, on étudie les graphiques des variables (annexe 9). Les variables des deux graphiques se situent assez près du cercle de corrélation, ce qui veut dire que les variables sont généralement bien représentées. Ainsi, nous pouvons faire une étude plus approfondie des relations entre les variables. En regardant le graphique de la projection des variables avec les axes c1 et c2, nous pouvons regrouper les variables entre elles de la façon suivante : le premier groupe est constitué de BL, CDI, WD, ED, AD, WRG, SG, FG, CHG, BG et HHT, le deuxième groupe est composé de CDE, KD, AG, WAG, WHT et le troisième groupe contient CAG, KG, BC, PB, NG, HG, TG. Considérant que la proximité entre deux variables, lors d une projection, indique qu en réalité elles doivent se comporter semblablement, nous en déduisons que les variables de chaque groupe sont probablement corrélées. Nous pouvons vérifier cette hypothèse à l aide de la matrice des corrélations, dont un résumé pour les

45 variables de chaque groupe a été fait dans l annexe 10. Avec ces résultats, on peut garder le premier groupe tel quel, puisque les coefficients de corrélation sont tous assez élevés. Pour le deuxième groupe, on doit le modifier pour garder seulement CDE, WAG et WHT. Pour le troisième groupe, on doit former deux petits groupes de variables, soient KG avec CAG ainsi que TG, HG et NG. Étudions maintenant le graphique avec les axes c1 et c3. Comme les variables sont toutes très proches les unes des autres, nous allons former deux groupes seulement. Le premier groupe est composé de PB, HHT, BC, KD, AD, BL, ED, WD, KG, AG, CAG et WRG. Le deuxième groupe est formé de WHT, CDI, HG, FG, SG, NG, TG, CHG, WAG, BG et CDE. Nous vérifierons les coefficients de corrélation de ces groupes avec les tableaux de l annexe 11. Après cette analyse, nous formons quatre groupes au lieu de deux. Nous avons tout d abord le groupe composé de ED, AD, KD, WD, WRG et BL. Le second groupe contient AG, KG et CAG. Le troisième est formé de CDE, CHG, WAG, WHT, BG, FG, CDI et SG. Puis, nous avons le trio HG, NG et TG. Une fois l étude de ces deux graphiques effectuée, on peut former les groupes finaux de l analyse en composantes principales sur l ensemble des individus. Comme il y a plusieurs possibilités pour les groupes de départs sur les graphiques, on peut apporter quelques modifications après avoir comparé les résultats pour les deux premiers axes et pour le premier et troisième axe. On a donc le groupe formé de KG, CAG, AG en changeant la variable AG de groupe dans le graphique c1, c2. On a également celui composé de NG, HG et TG. CDI, CHG, BG, SG et FG sont également corrélés entre eux. Ensuite vient le groupe de CDE, WAG et WHT. Puis, nous avons l ensemble qui contient ED, AD, BL et WD. Étudions maintenant l analyse en composantes principales chez les hommes. Pour les hommes, on a calculé que les trois premiers axes ont un pourcentage satisfaisant d inertie expliquée de 68,00 %. Donc, étudions les trois premiers axes d inertie associés aux trois plus grandes valeurs propres, c est-à-dire 11,96, 1,95 et 1,72 qui ont un pourcentage d inertie partielle respectif de 52,01 %, 8,49 % et 7,50 %. Pour plus de détails sur les valeurs propres et leurs inerties partielles et cumulées, consultez l annexe 12. Nous avons également calculé la projection des individus et des variables sur les axes principaux. Les deux graphiques des individus (annexe 13) nous indiquent qu il y a possiblement une observation extrême, soit l individu 124. Vérification faite, on remarque qu il s agit effectivement d une donnée extrême que nous éliminerons donc pour le reste de l analyse. 2 Les observations ont bien un cos α près d un, ce qui signifie qu elles sont bien représentées. Les composantes de la projection des variables sur les axes principaux d inertie (voir annexe 14) nous permettent d étudier la corrélation des variables sur les graphiques à l annexe 15. Encore une fois, les deux graphiques ont leurs variables assez près du cercle de corrélation. Donc, les variables sont généralement bien représentées. Regardons le graphique avec les axes c1 et c2. Nous formerons les groupes suivants : le premier contient KD, AD, ED, WRG, WD, HHT et BL, le deuxième est constitué de AG, BC, KG, CAG, FG et PB, le troisième est formé de BG, CDI, WHT, SG, TG, HG, CHG, CDE, NG et WAG. Pour nous assurer qu il existe bien une corrélation, nous avons regardé les coefficients de corrélations deux à deux entre les variables de chaque groupe que vous pouvez retrouver à l annexe 16. On obtient alors de plus petits groupes, soient le duo BC et PB, le trio KG, CAG et AG, la paire CDI SG et celui composé de HG, NG, WAG, WHT, CHG et CDE.

46 On répète le même principe pour le graphique c1, c3. À première vue, on forme les groupes (BG, FG, SG, CHG, WRG, WD, ED), (CDI, TG, CDE, AD, WHT, CAG, AG, KD, WAG, NG, KG, HG) et (BL, HHT, BC, PB). Ensuite, nous comparons les coefficients de corrélation dans le tableau de l annexe 17 pour former les nouveaux groupes : (BG, FG, CHG, SG), (CDE, WHT, WAG, NG, HG), (TG, CAG, KG) et (BC, PB). Avec ces informations, on crée les groupes finaux pour l ACP chez les hommes. Considérant que nous avons formé intuitivement les groupes initiaux, nous devons donc les modifier en changeant de groupe CHG et FG dans le graphique de c1, c3. On obtient alors la paire BC et PB, le groupe composé de CDE, WHT, NG et HG, celui formé de AG, CAG et KG et finalement celui qui contient BG, FG, CHG et SG. Pour l analyse en composantes principales chez les femmes le pourcentage d inertie expliquée de 72,63 %, pour les trois premiers axes est très bien. Nous devrons donc, encore une fois, faire la projection sur les trois premiers axes d inertie, où le premier axe possède un pourcentage d inertie partielle de 58,51 % et une valeur propre de 13,46. Pour le deuxième axe, la valeur propre est 1,90 et le pourcentage d inertie partielle est de 8,25 %. Quant au troisième axe, la valeur propre est de 1,35 et le pourcentage d inertie partielle est de 5,88 %. Pour connaître toutes les valeurs propres avec leur inertie partielle, voir l annexe 18. La projection des individus sur les axes nous donne les graphiques à l annexe 19 qui nous permettent d identifier deux valeurs extrêmes, soit les individus 112 et 227. Nous éliminerons ces derniers de notre échantillon. Encore une fois, les observations sont bien représentées. Cela dit, nous pouvons donc continuer notre analyse. Les coordonnées de la projection des variables sur les axes sont inscrites à l annexe 20. Les graphiques de la représentation des variables se retrouvent à l annexe 21. Pour les femmes également, les variables sont bien représentées, à cause de leur proximité avec le cercle des corrélations. Suite à l étude du graphique des axes c1 et c2, nous formons trois groupes, celui composé de WAG, CDE, BG, NG, CHG, TG, HG, WHT, SG et FG, celui qui contient KG, CAG, CDI, KD, BC, AG, PB et WRG et puis le groupe ED, WD, AD, BL et HHT. Grâce aux tableaux des coefficients de corrélations de l annexe 22, nous conservons le premier groupe presque intact (on enlève seulement la variable CDE), le groupe formé de KD, KG, CAG, WRG et AG et finalement le duo WD, ED. Pour le graphique des axes c1 et c3 nous avons les groupes : (BC, NG, HG, AD, CDE, WAG, TG, WHT, KD) et (KG, ED, BL, CHG, CAG, BG, AG, WD, CDI, FG, SG, WRG) ainsi que les variables PB et HHT qui ne sont dans aucun groupe. Pour une dernière fois, nous regardons les coefficients de corrélations (annexe 23) pour modifier les groupes initiaux afin d obtenir les ensembles suivants : le groupe formé de NG, HG, WAG, TG et WHT, celui composé de CDI, CHG, SG et BG, puis le groupe qui contient KG, CAG, AG, FG et WRG. Les groupes finaux pour les femmes sont exactement les mêmes que pour le premier et le troisième axe, en modifiant un peu les groupes initiaux du graphique des deux premiers axes d inerties. Plus précisément, on va changer de groupe les variables FG et CDI du premier graphique pour obtenir les groupes du deuxième graphique tout en gardant PB et HHT seuls.

47 Dans le but de regrouper les variables le mieux possible, nous avons comparé les groupes finaux, soit celui de tous les individus, celui des hommes seuls et celui des femmes seules. Une fois cette comparaison effectuée, nous obtenons les groupes finaux : (NG, HG, TG), (AG, CAG, KG), (CHG, SG, BG, CDI, FG), (WAG, WHT, CDE), (WRG, ED, WD), (BC, PB) et les variables suivantes BL, AD, KD, HHT sont seules. Nous pouvons alors choisir une variable par groupe pour identifier les mesures que nous prendrons sur nos individus. Les groupes formés représentent assez bien ce que l on aurait pu prédire au début de l analyse. Tout d abord, le premier groupe, qui contient la circonférence au niveau du nombril, de la hanche et de la cuisse s explique par le fait que ces parties sont toutes assez près l une de l autre. Si un individu prend du poids à l un de ces endroits, il va généralement prendre également du poids aux deux autres places. Il en est de même pour les muscles, une personne va muscler toutes ces parties en même temps. De ce fait, on peut dire que le premier groupe représente le milieu du corps humain. Le deuxième groupe contient la circonférence de la cheville, du genou et du mollet. On y retrouve une composition tout à fait logique, pour les mêmes raisons que pour le premier groupe. Pour sa part, le second groupe représente la partie inférieure du corps. Le troisième groupe formé du diamètre de la poitrine, de la circonférence de la poitrine, des épaules, des biceps et des avant-bras représente la partie supérieure du corps. Le quatrième groupe, quant à lui, considère le poids, la profondeur de la poitrine et la circonférence de la taille. Ce qui est tout à fait normal, puisque la prise de poids se constate généralement davantage à ces deux endroits. C est pour cette raison que le poids est associé à ces deux variables plutôt qu à un groupe quelconque. Le cinquième groupe constitué du diamètre, du coude et du poignet, ainsi que la circonférence du poignet est également logique, puisque ce sont tous des endroits sans muscles et dont la chair est directement sur les os. Le dernier groupe, composé du diamètre des épaules et des hanches, trouve tout son sens, puisque le corps humain est fait pour que ces os soient pratiquement de la même longueur pour bien former le bassin. Pour sa part, la taille se retrouve seule, car c est une mesure de longueur alors que les autres sont des mesures de diamètre et de circonférence, sauf le poids. Le poids est corrélé à une variable, mais pas la taille, puisque le poids est très influencé par la graisse et, par conséquent, il est corrélé avec les circonférences. Alors que la taille affecte la longueur des os seulement, qui elle n est pas prise en considération ici. Le diamètre des épaules se retrouve seul, probablement parce qu il varie beaucoup d une personne à l autre, sans vraiment changer le reste du physique. Le diamètre de la cheville et du genou sont seuls pour une raison peu évidente. Par contre, on ne rejette pas l idée que la prise de données puisse avoir été légèrement défectueuse, ce qui peut avoir biaisé les résultats. En effet, en effectuant le test du sexe sur une personne nous avons conclu que le diamètre de la cheville devait en fait être le diamètre des deux chevilles ensemble, tout comme le genou, ce qui rend les données moins précises. On choisit les variables de chaque groupe de façon à faciliter la prise de données. Pour le premier groupe, on garde la circonférence au niveau du nombril puisque c est l endroit où il y a moins de possibilités d erreur lors de la prise de données. Pour illustrer ce fait, prenons par exemple la circonférence de la cuisse, elle peut être prise à différents endroits, c est donc difficile de rester constant. Pour cette même raison, nous avons choisi la circonférence de la cheville pour le deuxième groupe. Pour le troisième groupe, on élimine sans contredit le diamètre du squelette au niveau de la poitrine, car il est difficile de prendre une mesure sur le squelette. On choisit ensuite parmi celles qui restent de la même façon que les deux premiers groupes. On choisit donc la circonférence du biceps. Pour le quatrième groupe, on prend le poids, puisque c est très simple à mesurer et il y a très peu de marge d erreur. Pour le groupe suivant, on calcule la circonférence du poignet

48 étant donné qu il s agit de la seule mesure qui n est pas prise sur le squelette. Pour le dernier groupe, on choisit le diamètre du squelette au niveau de la hanche, car il y a généralement moins de gras à cet endroit, donc il est plus facile de repérer l os pour prendre le diamètre de celui-ci. Cela dit, on retient donc les dix variables suivantes : la circonférence du corps au niveau du nombril, la circonférence de la cheville, la circonférence du biceps, le poids, le diamètre du squelette au niveau de la hanche, la circonférence du poignet, le diamètre du squelette au niveau des épaules, le diamètre de la cheville, le diamètre du genou et la grandeur. Pour avoir la matrice des corrélations de toutes les variables ensemble, voir l annexe 24. Étudions maintenant la deuxième partie du travail portant sur l analyse discriminante à but prédictif. Maintenant que nous avons choisi les variables, nous pouvons les étudier plus en profondeur. Nous avons trouvé toutes les informations nécessaires à l analyse discriminante soit la moyenne et l écart type de tous les individus ainsi que les hommes et les femmes séparément (voir l annexe 25). La matrice d inertie totale inverse (T -1 ) est donnée à l annexe 26. Nous avons tout d abord créé un individu imaginaire, en supposant que les mesures anthropologiques suivent une loi normale, différente pour chaque variable. Les moyennes et les écarts types sont ceux calculés avec tous les individus donnés à l annexe 25. Les résultats de l individu test sont donnés par a= ( ) dont nous avons obtenu la valeur finale qui nous a permis d affirmer que c est une femme. Rappelons que si la valeur finale est supérieure à 0 nous avons un homme sinon c est une femme. Nous avons également fait le test avec une femme qui possédait les mesures a = ( ). Nous avons obtenu la valeur finale qui nous a confirmé qu il s agissait effectivement d une femme. Nous avons également fait le test sur un homme ayant comme mesures a=( ). Nous avons obtenu la valeur finale qui malheureusement nous affirme qu il s agissait d une femme. Finalement, nous avons fait le test avec un homme de l échantillon de départ, soit l individu 40 qui a comme mesures a = ( ) et qui est vraiment un homme puisque la valeur finale donne La raison possible pour laquelle ça n a pas fonctionné avec l homme test, c est qu il a de petits os, qui est souvent une caractéristique que l on retrouve chez les femmes, d autant plus que nos variables étudiées mettent en valeur cette caractéristique. L étude n est donc pas 100 % fiable. Cette erreur est possiblement due au fait que le centre de gravité des hommes et celui des femmes sont assez près l un de l autre, donc nous donne de petites valeurs finales qui sont plus sensibles au signe. 5. Conclusion Suite à cette analyse, nous pouvons affirmer qu il n est pas nécessaire de prendre vingt-quatre mesures anthropologiques sur une personne pour connaître son sexe, mais seulement dix. Parmi ces dernières nous retrouvons les variables suivantes : la circonférence du corps au niveau du nombril, la circonférence de la cheville, la circonférence du biceps, le poids, diamètre du squelette au niveau de la hanche, la circonférence du poignet, diamètre du squelette au niveau des épaules, diamètre de la cheville, diamètre du genou et la grandeur. La problématique de cette analyse est que dans l analyse en composantes principales on utilise notre jugement pour créer les groupes de variables de départ pour trouver celles corrélées ensemble. Il est possible que si nous avions commencé avec d autres groupes, nous ayons eu des variables finales qui auraient été légèrement différentes. Il aurait donc probablement été

49 plus précis de faire l analyse discriminante pas à pas. La précision aurait été accrue, si on avait utilisé l approche probabiliste plutôt que géométrique, pour associer les individus au bon sexe, puisque les centres de gravités des hommes et des femmes sont assez près l un de l autre. Mais pour utiliser ces deux méthodes, il faudrait faire une étude plus approfondie sur l utilité de connaître le sexe d une personne de cette façon. Il serait également intéressant de faire d autres études, telles qu une régression linéaire du poid d un individu en fonction de ses mesures anthropologiques. 6. Bibliographie 1_ Grete H., Louis J.P, Roger W.J., Carter J.K., Exploring relationships in body dimensions, Journal of Statistics Education, vol 11, 2, _Bernard COLIN, Notes de cours d analyse des données, Université de Sherbrooke, _Philippe BESSE, Programmation en R, Université de Toulouse, _ Ricco RAKOTOMALALA, analyse en composantes principales avec R, Université de Lyon 2,

50 ANNEXE 1 Image 1 Image 2

51 ANNEXE 2 Nom de la variable diamètre du squelette au niveau des épaules diamètre du squelette au niveau de la crète iliaque diamètre du squelette au niveau de la hanche épaisseur de la poitrine diamètre du squelette au niveau de la poitrine diamètre du squelette au niveau du coude diamètre du squelette au niveau du poignet diamètre du squelette au niveau du genou diamètre du squelette au niveau de la cheville circonférence de l épaule circonférence de la poitrine circonférence de la taille circonférence du corps au niveau du nombril circonférence de la hanche circonférence de la cuisse circonférence du biceps circonférence de l avant-bras circonférence du genou circonférence du mollet circonférence de la cheville circonférence du poignet âge poids taille sexe Abréviation BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG AGE WHT HHT MF

52 ANNEXE 3 Tableau des moyennes et écart types des variables Variables Moyennes Écart types BL 38,80 3,06 PB 27,83 2,21 BC 31,95 2,00 CDE 19,23 2,52 CDI 27,97 2,74 ED 13,39 1,35 WD 10,54 0,94 KD 18,78 1,30 AD 13,86 1,25 SG 108,20 10,37 CHG 93,33 10,03 WAG 76,98 11,01 NG 85,51 9,24 HG 96,68 6,68 TG 56,86 4,45 BG 31,13 4,22 FG 25,94 2,83 KG 36,20 2,62 CAG 36,08 2,85 AG 22,14 1,85 WRG 16,08 1,37 AGE 30,18 9,61 WHT 68,91 13,03 HHT 171,1 9,43

53 ANNEXE 4 Code pour l analyse en composantes principales : #Analyse avec les données des hommes et des femmes #Répertoire de travail setwd("c:/documentsandsettings/véronique/mesdocuments/ maitrisesession1/stt707/corps") #chargement des données corps01<- read.table("donnees01.txt") #changement de nom des variables colnames(corps01)<c("bl","pb","bc","cde","cdi","ed","wd","kd","ad","sg","chg","wag","ng","hg","tg","bg","fg","kg","cag","ag","wrg","age","wht","hht","mf") #calcul de la moyenne, du minimum, du maximum, de l'écart type et de la variance de chaque variable summary(corps01) sd(corps01$bl); sd(corps01$pb); sd(corps01$bc); sd(corps01$cde); sd(corps01$cdi); sd(corps01$ed); sd(corps01$wd); sd(corps01$kd); sd(corps01$ad); sd(corps01$sg); sd(corps01$chg); sd(corps01$wag) sd(corps01$ng); sd(corps01$hg); sd(corps01$tg); sd(corps01$bg); sd(corps01$fg); sd(corps01$kg); sd(corps01$cag); sd(corps01$ag); sd(corps01$wrg); sd(corps01$age); sd(corps01$wht); sd(corps01$hht) var(corps01$bl); var(corps01$pb); var(corps01$bc); var(corps01$cde); var(corps01$cdi); var(corps01$ed); var(corps01$wd); var(corps01$kd); var(corps01$ad); var(corps01$sg); var(corps01$chg); var(corps01$wag) var(corps01$ng); var(corps01$hg); var(corps01$tg); var(corps01$bg); var(corps01$fg); var(corps01$kg); var(corps01$cag); var(corps01$ag); var(corps01$wrg); var(corps01$age); var(corps01$wht); var(corps01$hht) #début de l'analyse en composantes principales (on doit enlever la variable sexe et la variable âge) #chargement des données sans la variable sexe et sans la variable âge corps<- read.table("donnees.txt") #changement de nom des variables colnames(corps)<c("bl","pb","bc","cde","cdi","ed","wd","kd","ad","sg","chg","wag","ng","hg","tg","bg","fg","kg","cag","ag","wrg","wht","hht") #calcul du coefficient de corrélation entre chaque variable coefficient<-cor(corps) sink("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps/coeffcor.txt") coefficient sink(null) #centrer et réduire les variables acp.corps <- princomp(corps, cor = T, scores = T) print(acp.corps) print(summary(acp.corps)) print(attributes(acp.corps)) #calcul des valeurs propres val.propres<-acp.corps$sdev^2 print(val.propres)

54 #Calcul de l'inertie partielle et totale inertie<-function(lambda) { for(i in 1:23) { somme.lambda<-lambda[1] k<-2 inertie.partielle2<-lambda[i]/sum(lambda) if(i==1) { inertie.totale2<-inertie.partielle2 } else { while(k<=i) { somme.lambda<-somme.lambda+lambda[k] k<-k+1 } inertie.totale2<-somme.lambda/sum(lambda) } print(paste("l'inertie partielle de",i,"est",inertie.partielle2,"et l'inertie totale est",inertie.totale2)) } } inertie(val.propres) #corrélation variables-facteurs c1 <- acp.corps$loadings[,1]*acp.corps$sdev[1] c2 <- acp.corps$loadings[,2]*acp.corps$sdev[2] c3 <- acp.corps$loadings[,3]*acp.corps$sdev[3] correlation <- cbind(c1,c2,c3) print(correlation,digits=2) print(correlation^2,digits=2) sink(null) print(t(apply(correlation^2,1,cumsum)),digits=2) #*** cercle des corrélations - variables actives *** plot(c1,c2,xlim=c(-1,+1),ylim=c(-1,+1),type="n") abline(h=0,v=0) text(c1,c2,labels=colnames(corps),cex=0.5) symbols(0,0,circles=1,inches=f,add=t) saveplot("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps/correlationc1c2","jpeg") #*** cercle des corrélations - variables actives *** plot(c1,c3,xlim=c(-1,+1),ylim=c(-1,+1),type="n") abline(h=0,v=0) text(c1,c3,labels=colnames(corps),cex=0.5) symbols(0,0,circles=1,inches=f,add=t) saveplot("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps/correlationc1c3","jpeg") #graphique des individus

55 plot(acp.corps$scores[,1],acp.corps$scores[,2],type="n",xlab="comp.1-65%",ylab="comp.2-11%") abline(h=0,v=0) text(acp.corps$scores[,1],acp.corps$scores[,2],labels=rownames(corps),cex=0.75) saveplot("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps/repindc1c2","jpeg") plot(acp.corps$scores[,1],acp.corps$scores[,3],type="n",xlab="comp.1-65%",ylab="comp.3-5%") abline(h=0,v=0) text(acp.corps$scores[,1],acp.corps$scores[,3],labels=rownames(corps),cex=0.75) saveplot("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps/repindc1c3","jpeg") #qualité de la représentation #calcul du carré de la distance d'un individu au centre de gravité d2 <- function(x){return(sum(((x-acp.corps$center)/acp.corps$scale)^2))} #appliquer à l'ensemble des observations all.d2 <- apply(corps,1,d2) #cosinus^2 pour une composante cos2 <- function(x){return(x^2/all.d2)} #cosinus^2 pour les composantes retenues (les 3 premières) all.cos2 <- apply(acp.corps$scores[,1:3],2,cos2) print(all.cos2) Code pour l analyse discriminante à but prédictif : #Répertoire de travail setwd("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps") #chargement des données corpsad<- read.table("donneesad.txt") #changement de nom des variables colnames(corpsad)<-c("bl","bc","kd","ad","ng","bg","ag","wrg","wht","hht") #calcul de la moyenne, du minimum, du maximum, de la médiane, de l'écart type et de la variance de chaque variable summary(corpsad) sd(corpsad$bl); sd(corpsad$bc); sd(corpsad$kd); sd(corpsad$ad) sd(corpsad$ng); sd(corpsad$bg); sd(corpsad$ag); sd(corpsad$wrg); sd(corpsad$wht); sd(corpsad$hht) var(corpsad$bl); var(corpsad$bc); var(corpsad$kd); var(corpsad$ad) var(corpsad$ng); var(corpsad$bg); var(corpsad$ag); var(corpsad$wrg); var(corpsad$wht); var(corpsad$hht) #chargement des données des hommes seulement corpsadm<- read.table("donneesadm.txt") colnames(corpsadm)<c("bl","bc","kd","ad","ng","bg","ag","wrg","wht","hht") # transformer corpsadm en matrice et vérifier que c'est bien une matrice xmen<-as.matrix(corpsadm) is.matrix(xmen) #calcul des écart types des hommes sd(corpsadm$bl); sd(corpsadm$bc); sd(corpsadm$kd); sd(corpsadm$ad)

56 sd(corpsadm$ng); sd(corpsadm$bg); sd(corpsadm$ag); sd(corpsadm$wrg); sd(corpsadm$wht); sd(corpsadm$hht) #calcul du centre de gravité des hommes graviteh<-apply(xmen,2,mean) graviteh #chargement des données des femmes seulement corpsadf<- read.table("donneesadf.txt") colnames(corpsadf)<-c("bl","bc","kd","ad","ng","bg","ag","wrg","wht","hht") # transformer corpsadm en matrice et vérifier que c'est bien une matrice xwomen<-as.matrix(corpsadf) is.matrix(xwomen) #calcul des écart types des femmes sd(corpsadf$bl); sd(corpsadf$bc); sd(corpsadf$kd); sd(corpsadf$ad) sd(corpsadf$ng); sd(corpsadf$bg); sd(corpsadf$ag); sd(corpsadf$wrg); sd(corpsadf$wht); sd(corpsadf$hht) #calcul du centre de gravité des femmes gravitef<-apply(xwomen,2,mean) gravitef #calcul de la matrice T^(-1) #calcul de t_h t_h<-t(xmen)%*%xmen t_h #calcul de t_f t_f<-t(xwomen)%*%xwomen t_f t_havect_f<-t_h+t_f t_inverse<-solve(t_havect_f) sink("c:/documents and Settings/Véronique/Mes documents/maitrise session1/stt707/corps/tinverse.txt") t_inverse sink(null) #calcul pour affecter l'observation a aux hommes ou aux femmes #créer a à partir de la loi normale de chaque variable a<c(rnorm(1,38.80,3.06),rnorm(1,31.95,2.00),rnorm(1,18.78,1.30),rnorm(1,13.86,1.25),rnorm(1, 85.51,9.24),rnorm(1,31.13,4.22),rnorm(1,22.14,1.85),rnorm(1,16.08,1.37),rnorm(1,68.91,13.0 3),rnorm(1,171.1,9.45)) #femme test #a<-c(34.5,31.5,19.0,13.0,77.5,27.0,23.0,17.0,56.5,165.0) #homme de l échantillon (numéro 40) #a<-c(42.1,32.4,21.0,16.4,78.0,37.7,23.3,18.7,80.1,184.2) #homme test #a<-c(40.0,30.0,20.0,14.5,87.0,33.0,26.0,18.0,70.5,176.0) #calcul final, si la réponse (sexe) est supérieur à 0 c'est un homme sinon c'est une femme g1_g2<-graviteh-gravitef moyenne<-(graviteh-gravitef)/2 sexe<-g1_g2%*%t_inverse%*%a-g1_g2%*%t_inverse%*%moyenne sexe

57 ANNEXE 5 Graphique des variables (dont l âge) sur les deux premiers axes principaux pour tous les individus.

58 ANNEXE 6 Tableau des valeurs propres pour tous les individus Valeur propre Inertie partielle Inertie cumulée 1 14,9335 0,6493 0, ,4832 0,1080 0, ,0653 0,0463 0, ,9116 0,0396 0, ,4808 0,0209 0, ,4336 0,0189 0, ,3383 0,0147 0, ,3220 0,0140 0, ,2780 0,0121 0, ,2723 0,0118 0, ,2479 0,0108 0, ,2032 0,0088 0, ,1764 0,0077 0, ,1574 0,0068 0, ,1451 0,0063 0, ,1218 0,0053 0, ,1024 0,0045 0, ,0864 0,0038 0, ,0804 0,0035 0, ,0558 0,0024 0, ,0464 0,0020 0, ,0373 0,0016 0, ,0207 0,0009 1,0000

59 ANNEXE 7 Graphique de tous les individus sur les deux premiers axes d inerties. Graphique de tous les individus sur le premier et troisième axe d inertie.

60 ANNEXE 8 Tableau des composantes des variables suite à la projection pour tous les individus. c1 c2 c3 BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT

61 ANNEXE 9 Graphique des variables sur les deux premiers axes principaux pour tous les individus. Graphique des variables sur le premier et troisième axe d inertie pour tous les individus.

62 ANNEXE 10 Tableau des corrélations pour le premier groupe de variables pour tous les individus (C1,C2) BL ED WD AD CDI WRG BG CHG SG FG HHT BL 1,00 0,77 0,72 0,66 0,77 0,77 0,70 0,72 0,79 0,75 0,75 ED 0,77 1,00 0,84 0,82 0,76 0,85 0,80 0,80 0,82 0,86 0,74 WD 0, ,00 0,77 0,73 0,86 0,76 0,77 0,78 0,81 0,68 AD 0,66 0,82 0,77 1,00 0,67 0,76 0,69 0,71 0,69 0,74 0,69 CDI 0,77 0,76 0,73 0,67 1,00 0,76 0,79 0,87 0,87 0,81 0,63 WRG 0,77 0,85 0,86 0,76 0,76 1,00 0,85 0,82 0,84 0,90 0,69 BG 0,70 0,80 0,76 0,69 0,79 0,85 1,00 0,91 0,90 0,94 0,59 CHG 0,72 0,80 0,77 0,71 0,87 0,82 0,91 1,00 0,93 0,89 0,62 SG 0,79 0,82 0,78 0,69 0,87 0,84 0,90 0,93 1,00 0,89 0,67 FG 0,75 0,86 0,81 0,74 0,81 0,90 0,94 0,89 0,89 1,00 0,66 HHT 0,75 0,74 0,68 0,69 0,63 0,69 0,59 0,62 0,67 0,66 1,00 Tableau des corrélations pour le deuxième groupe de variables pour tous les individus (C1,C2) CDE KD AG WAG WHT CDE 1,00 0,55 0,59 0,80 0,80 KD 0,55 1,00 0,65 0,62 0,77 AG 0,59 0,65 1,00 0,66 0,76 WAG 0,80 0,62 0,66 1,00 0,90 WHT 0,80 0,77 0,76 0,90 1,00 Tableau des corrélations pour le troisième groupe de variables pour tous les individus (C1,C2) PB BC CAG KG NG HG TG PB 1,00 0,67 0,41 0,47 0,58 0,56 0,41 BC 0,67 1,00 0,59 0,62 0,62 0,75 0,53 CAG 0,41 0,59 1,00 0,80 0,52 0,67 0,63 KG 0,47 0,62 0,80 1,00 0,61 0,73 0,64 NG 0,58 0,62 0,52 0,61 1,00 0,83 0,60 HG 0,56 0,75 0,67 0,73 0,83 1,00 0,83 TG 0,41 0,53 0,63 0,64 0,60 0,83 1,00

63 ANNEXE 11 Tableau des corrélations du premier groupe de variables pour tous les individus (C1,C3) BL PB BC ED AD KD WD KG AG CAG WRG HHT BL 1,00 0,31 0,49 0,77 0,66 0,64 0,72 0,51 0,60 0,51 0,77 0,75 PB 0,31 1,00 0,67 0,32 0,37 0,44 0,28 0,47 0,34 0,41 0,26 0,38 BC 0,49 0,67 1,00 0,53 0,50 0,61 0,47 0,62 0,54 0,59 0,48 0,49 ED 0,77 0,32 0,53 1,00 0,82 0,73 0,84 0,59 0,66 0,58 0,85 0,74 AD 0,66 0,37 0,50 0,82 1,00 0,72 0,77 0,54 0,68 0,54 0,76 0,69 KD 0,64 0,44 0,61 0,73 0,72 1,00 0,71 0,73 0,65 0,69 0,73 0,59 WD 0,72 0,28 0,47 0,84 0,77 0,71 1,00 0,58 0,65 0,58 0,86 0,68 KG 0,51 0,47 0,62 0,59 0,54 0,73 0,58 1,00 0,74 0,80 0,64 0,53 AG 0,60 0,34 0,54 0,66 0,68 0,65 0,65 0,74 1,00 0,76 0,75 0,57 CAG 0,51 0,41 0,59 0,58 0,54 0,69 0,58 0,80 0,76 1,00 0,65 0,45 WRG 0,77 0,26 0,48 0,85 0,76 0,73 0,86 0,64 0,75 0,65 1,00 0,69 HHT 0,75 0,38 0,49 0,74 0,69 0,59 0,68 0,53 0,57 0,45 0,69 1,00 Tableau des corrélations du deuxième groupe de variables pour tous les individus (C1, C3) CDE CDI SG CHG WAG NG HG TG BG FG WHT CDE 1,00 0,67 0,74 0,81 0,80 0,62 0,56 0,36 0,73 0,72 0,80 CDI 0,67 1,00 0,87 0,87 0,79 0,50 0,52 0,31 0,79 0,81 0,83 SG 0,74 0,87 1,00 0,93 0,82 0,52 0,53 0,32 0,90 0,89 0,88 CHG 0,81 0,87 0,93 1,00 0,88 0,62 0,58 0,36 0,91 0,89 0,90 WAG 0,80 0,79 0,82 0,88 1,00 0,75 0,69 0,42 0,80 0,78 0,90 NG 0,62 0,50 0,52 0,62 0,75 1,00 0,83 0,60 0,56 0,48 0,71 HG 0,56 0,52 0,53 0,58 0,69 0,83 1,00 0,83 0,56 0,51 0,76 TG 0,36 0,31 0,32 0,36 0,42 0,60 0,83 1,00 0,41 0,34 0,56 BG 0,73 0,79 0,90 0,91 0,80 0,56 0,56 0,41 1,00 0,94 0,87 FG 0,72 0,81 0,89 0,89 0,78 0,48 0,51 0,34 0,94 1,00 0,87 WHT 0,80 0,83 0,88 0,90 0,90 0,71 0,76 0,56 0,87 0,87 1,00

64 ANNEXE 12 Tableau des valeurs propres pour les hommes seulement Valeur propre Inertie partielle Inertie cumulée 1 11,9614 0,5201 0, ,9536 0,0849 0, ,7249 0,0750 0, ,1694 0,0508 0, ,0060 0,0437 0, ,7042 0,0306 0, ,6434 0,0278 0, ,5705 0,0248 0, ,4696 0,0204 0, ,3995 0,0174 0, ,3575 0,0155 0, ,3265 0, , ,3046 0,0132 0, ,2588 0,0113 0, ,2351 0,0102 0, ,1896 0,0082 0, ,1837 0,0080 0, ,1568 0,0068 0, ,1183 0,0051 0, ,0926 0,0040 0, ,0814 0,0035 0, ,0585 0,0025 0, ,0341 0,0015 1,0000

65 ANNEXE 13 Représentation des hommes sur les deux premiers axes d inerties. Représentation des hommes sur le premier et troisième axe d inertie.

66 ANNEXE 14 Tableau des composantes des variables suite à la projection pour les hommes c1 c2 c3 BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT

67 ANNEXE 15 Représentation des variables pour les deux premiers axes d inerties pour les hommes. Représentation des variables sur le premier et troisième axe d inertie pour les hommes.

68 ANNEXE 16 Tableau des corrélations du premier groupe de variables pour les hommes (C1,C2) BL AD KD ED WD WRG HHT BL 1,00 0,19 0,34 0,37 0,27 0,35 0,47 AD 0,19 1,00 0,55 0,61 0,49 0,51 0,42 KD 0,34 0,55 1,00 0,52 0,49 0,48 0,35 ED 0,37 0,61 0,52 1,00 0,60 0,59 0,49 WD 0,27 0,49 0,49 0,60 1,00 0,63 0,33 WRG 0,35 0,51 0,48 0,59 0,63 1,00 0,34 HHT 0,47 0,42 0,35 0,49 0,33 0,34 1,00 Tableau des corrélations du deuxième groupe de variables pour les hommes (C1,C2) BC PB KG CAG FG AG BC 1,00 0,72 0,56 0,52 0,36 0,37 PB 0,72 1,00 0,49 0,46 0,29 0,33 KG 0,56 0,49 1,00 0,76 0,53 0,69 CAG 0,52 0,46 0,76 1,00 0,55 0,70 FG 0,36 0,29 0,53 0,55 1,00 0,51 AG 0,37 0,33 0,69 0,70 0,51 1,00 Tableau des corrélations du troisième groupe de variables pour les hommes (C1,C2) CDI CDE BG SG TG HG CHG NG WAG WHT CDI 1,00 0,46 0,54 0,71 0,55 0,63 0,73 0,55 0,61 0,73 CDE 0,46 1,00 0,49 0,57 0,50 0,62 0,70 0,67 0,70 0,72 BG 0,54 0,49 1,00 0,76 0,66 0,57 0,78 0,47 0,47 0,69 SG 0,71 0,57 0,76 1,00 0,61 0,65 0,83 0,54 0,58 0,76 TG 0,55 0,50 0,66 0,61 1,00 0,79 0,60 0,55 0,56 0,77 HG 0,63 0,62 0,57 0,65 0,79 1,00 0,68 0,81 0,80 0,88 CHG 0,73 0,70 0,78 0,83 0,60 0,68 1,00 0,68 0,71 0,76 NG 0,55 0,67 0,47 0,54 0,55 0,81 0,68 1,00 0,88 0,78 WAG 0,61 0,70 0,47 0,58 0,56 0,80 0,71 0,88 1,00 0,81 WHT 0,73 0,72 0,69 0,76 0,77 0,88 0,76 0,78 0,81 1,00

69 ANNEXE 17 Tableau des corrélations du premier groupe de variables pour les hommes (C1, C3) ED WD BG FG CHG SG WRG ED 1,00 0,60 0,55 0,61 0,51 0,51 0,59 WD 0,60 1,00 0,47 0,52 0,48 0,48 0,63 BG 0,55 0,47 1,00 0,86 0,78 0,76 0,61 FG 0,61 0,52 0,86 1,00 0,70 0,70 0,71 CHG 0,51 0,48 0,78 0,70 1,00 0,83 0,55 SG 0,51 0,48 0,76 0,70 0,83 1,00 0,54 WRG 0,59 0,63 0,61 0,71 0,55 0,54 1,00 Tableau des corrélations du premier groupe de variables pour les hommes (C1,C3) CDI CDE TG AD WHT CAG AG KD WAG NG HG KG CDI 1,00 0,46 0,55 0,32 0,73 0,52 0,43 0,41 0,61 0,55 0,63 0,53 CDE 0,46 1,00 0,50 0,30 0,72 0,42 0,44 0,23 0,70 0,66 0,62 0,48 TG 0,55 0,50 1,00 0,30 0,77 0,70 0,52 0,43 0,56 0,55 0,79 0,66 AD 0,32 0,30 0,30 1,00 0,51 0,43 0,55 0,55 0,33 0,37 0,37 0,43 WHT 0,73 0,72 0,77 0,51 1,00 0,69 0,64 0,51 0,81 0,78 0,88 0,74 CAG 0,52 0,42 0,70 0,43 0,69 1,00 0,70 0,51 0,52 0,46 0,65 0,73 AG 0,43 0,44 0,52 0,55 0,64 0,70 1,00 0,46 0,48 0,51 0,59 0,69 KD 0,41 0,23 0,43 0,55 0,51 0,51 0,46 1,00 0,24 0,23 0,44 0,57 WAG 0,61 0,70 0,56 0,33 0,81 0,52 0,48 0,24 1,00 0,88 0,80 0,57 NG 0,55 0,66 0,55 0,37 0,78 0,46 0,51 0,23 0,88 1,00 0,81 0,56 HG 0,63 0,62 0,79 0,37 0,88 0,65 0,59 0,44 0,80 0,81 1,00 0,70 KG 0,53 0,48 0,66 0,43 0,74 0,73 0,69 0,57 0,57 0,56 0,70 1,00 Tableau des corrélations du troisième groupe de variables pour les hommes (C1,C3) BL BC PB HHT BL 1,00 0,46 0,35 0,48 BC 0,46 1,00 0,72 0,50 PB 0,35 0,72 1,00 0,42 HHT 0,48 0,50 0,42 1,00

70 ANNEXE 18 Tableau des valeurs propres pour les femmes seulement Valeur propre Inertie partielle Inertie cumulée 1 13,4566 0,5850 0, ,8967 0,0825 0, ,3527 0,0588 0, ,0482 0,0456 0, ,8585 0,0373 0, ,6254 0,0272 0, ,5024 0,0218 0, ,4366 0,0190 0, ,4357 0,0189 0, ,3436 0,0149 0, ,3059 0,0133 0, ,2849 0,0124 0, ,2503 0,0109 0, ,2119 0,0092 0, ,1911 0,0083 0, ,1645 0,0072 0, ,1515 0,0066 0, ,1271 0,0055 0, ,1265 0,0055 0, ,0827 0,0035 0, ,0733 0,0032 0, ,0457 0,0020 0, ,0280 0,0012 1,000

71 ANNEXE 19 Représentation des femmes sur les deux premiers axes d inerties. Représentation des femmes sur le premier et troisième axe d inertie.

72 ANNEXE 20 Tableau des composantes des variables suite à la projection pour les femmes c1 c2 c3 BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT

73 ANNEXE 21 Représentation des variables sur les deux premiers axes d inerties pour les femmes Représentation des variables sur le premier et troisième axe d inertie pour les femmes

74 ANNEXE 22 Tableau des corrélations du premier groupe des variables pour les femmes (C1,C2) CDE BG NG CHG TG HG WAG SG FG WHT CDE 1,00 0,57 0,63 0,62 0,54 0,57 0,63 0,48 0,48 0,61 BG 0,57 1,00 0,75 0,82 0,75 0,77 0,80 0,74 0,87 0,82 NG 0,63 0,75 1,00 0,77 0,70 0,83 0,84 0,61 0,64 0,80 CHG 0,62 0,82 0,77 1,00 0,68 0,74 0,86 0,83 0,77 0,84 TG 0,54 0,75 0,70 0,68 1,00 0,90 0,73 0,63 0,73 0,86 HG 0,57 0,77 0,83 0,74 0,90 1,00 0,81 0,68 0,75 0,90 WAG 0,63 0,80 0,84 0,86 0,73 0,81 1,00 0,73 0,71 0,86 SG 0,48 0,74 0,61 0,83 0,63 0,68 0,73 1,00 0,75 0,79 FG 0,48 0,87 0,64 0,77 0,73 0,75 0,71 0,75 1,00 0,83 WHT 0,61 0,82 0,80 0,84 0,86 0,90 0,86 0,79 0,83 1,00 Tableau des corrélations du deuxième groupe des variables pour les femmes (C1,C2) BC PB CDI KD KG AG WRG CAG BC 1,00 0,63 0,50 0,67 0,61 0,49 0,50 0,58 PB 0,63 1,00 0,27 0,49 0,44 0,28 0,29 0,34 CDI 0,50 0,27 1,00 0,52 0,49 0,45 0,56 0,47 KD 0,67 0,49 0,52 1,00 0,77 0,59 0,68 0,71 KG 0,61 0,44 0,49 0,77 1,00 0,70 0,70 0,80 AG 0,49 0,28 0,45 0,59 0,70 1,00 0,67 0,74 WRG 0,50 0,29 0,56 0,68 0,70 0,67 1,00 0,65 CAG 0,58 0,34 0,47 0,71 0,80 0,74 0,65 1,00 Tableau des corrélations du troisième groupe des variables pour les femmes (C1,C2) BL AD ED WD HHT BL 1,00 0,39 0,48 0,47 0,47 AD 0,39 1,00 0,65 0,60 0,40 ED 0,48 0,65 1,00 0,68 0,41 WD 0,47 0,60 0,68 1,00 0,40 HHT 0,47 0,40 0,41 0,40 1,00

75 ANNEXE 23 Tableau des corrélations du premier groupe de variables pour les femmes (C1, C3) BC CDE AD KD NG HG WAG TG WHT BC 1,00 0,35 0,53 0,67 0,59 0,75 0,55 0,64 0,69 CDE 0,35 1,00 0,31 0,43 0,63 0,57 0,63 0,54 0,61 AD 0,53 0,31 1,00 0,60 0,46 0,46 0,33 0,38 0,49 KD 0,67 0,43 0,60 1,00 0,59 0,71 0,60 0,67 0,78 NG 0,59 0,63 0,46 0,59 1,00 0,83 0,84 0,70 0,80 HG 0,75 0,57 0,46 0,71 0,83 1,00 0,81 0,90 0,90 WAG 0,55 0,63 0,33 0,60 0,84 0,81 1,00 0,73 0,86 TG 0,64 0,54 0,38 0,67 0,70 0,90 0,73 1,00 0,86 WHT 0,69 0,61 0,49 0,78 0,80 0,90 0,86 0,86 1,00 Tableau des corrélations du deuxième groupe de variables pour les femmes (C1,C3) BL CDI ED WD KG CHG CAG BG AG FG SG WRG BL 1,00 0,54 0,48 0,47 0,43 0,41 0,43 0,31 0,41 0,43 0,56 0,53 CDI 0,54 1,00 0,53 0,47 0,49 0,73 0,47 0,61 0,45 0,61 0,75 0,56 ED 0,48 0,53 1,00 0,68 0,57 0,57 0,53 0,54 0,48 0,66 0,58 0,64 WD 0,47 0,47 0,68 1,00 0,57 0,51 0,52 0,50 0,56 0,62 0,50 0,75 KG 0,43 0,49 0,57 0,57 1,00 0,62 0,80 0,68 0,70 0,75 0,65 0,70 CHG 0,41 0,73 0,57 0,51 0,62 1,00 0,58 0,82 0,51 0,77 0,83 0,64 CAG 0,43 0,47 0,53 0,52 0,80 0,58 1,00 0,67 0,74 0,74 0,63 0,65 BG 0,31 0,61 0,54 0,50 0,68 0,82 0,67 1,00 0,57 0,87 0,74 0,68 AG 0,41 0,45 0,48 0,56 0,70 0,51 0,74 0,57 1,00 0,64 0,56 0,67 FG 0,43 0,61 0,66 0,62 0,75 0,77 0,74 0,87 0,64 1,00 0,75 0,81 SG 0,56 0,75 0,58 0,50 0,65 0,83 0,63 0,74 0,56 0,75 1,00 0,66 WRG 0,53 0,56 0,64 0,75 0,70 0,64 0,65 0,68 0,67 0,81 0,66 1,00

76 ANNEXE 24 Matrice des corrélations : BL PB BC CDE CDI ED WD BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT KD AD SG CHG WAG NG HG BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT TG BG FG KG CAG AG WRG BL PB BC CDE

77 CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT WHT HHT BL PB BC CDE CDI ED WD KD AD SG CHG WAG NG HG TG BG FG KG CAG AG WRG WHT HHT

78 ANNEXE 25 Tableau des moyennes et écart types des variables pour tous les individus Variables Moyennes Écart types BL 38,80 3,06 BC 31,95 2,00 KD 18,78 1,30 AD 13,86 1,25 NG 85,51 9,24 BG 31,13 4,22 AG 22,14 1,85 WRG 16,08 1,37 WHT 68,91 13,03 HHT 171,1 9,43 Tableau des moyennes et écart types des variables pour les hommes Variables Moyennes Écart types BL 41,23 2,09 BC 32,51 1,85 KD 19,55 1,05 AD 14,74 0,94 NG 87,59 8,33 BG 34,38 2,97 AG 23,14 1,72 WRG 17,18 0,90 WHT 77,99 10,25 HHT 177,75 7,20 Tableau des moyennes et écart types des variables pour les femmes Variables Moyennes Écart types BL 36, BC 31, KD 18, AD 13, NG 83, BG 28, AG 21, WRG 15, WHT 60, HHT 164,

79 ANNEXE 26 Matrice T -1 : BL BC KD AD NG BL e e e e e-05 BC e e e e e-04 KD e e e e e-06 AD e e e e e-05 NG e e e e e-05 BG e e e e e-05 AG e e e e e-05 WRG e e e e e-05 WHT e e e e e-05 HHT e e e e e-06 BG AG WRG WHT HHT BL e e e e e-05 BC e e e e e-05 KD e e e e e-05 AD e e e e e-05 NG e e e e e-06 BG e e e e e-05 AG e e e e e-05 WRG e e e e e-04 WHT e e e e e-06 HHT e e e e e-05

80 Analyse de l influence de caractéristiques de mise en correspondance sur la vision stéréoscopique par ordinateur Jean-Christophe Houde 3 mars Introduction En informatique, le domaine de la vision par ordinateur est l ensemble des techniques développées afin de permettre à un ordinateur de «comprendre» ce qui est représenté dans une image. En effet, pour un ordinateur, une image n est qu une matrice de valeurs numériques. Les chercheurs de ce domaine tentent donc de trouver des techniques permettant, de manière mathématique, de découvrir le contenu d une image. 2 Position du problème L une des familles d approches permettant à un ordinateur de «voir» est la stéréovision. Dans cette famille d approches, qui est semblable à la vision binoculaire humaine, deux images de la scène sont captées de deux points de vue légèrement différents. Par la suite, les algorithmes tentent de mettre en correspondance les pixels des deux images. Ces correspondances permettent, en connaissant la géométrie des caméras, d estimer la profondeur des points associés aux pixels. Par la suite, grâce à ces informations, il est possible de trouver des informations importantes, comme la structure de l environnement. La plupart des techniques de mise en correspondance cherchent les correspondances entre les pixels de deux images, généralement notées I g et I d, pour l image de gauche et de droite respectivement. Cette recherche est souvent faite en cherchant les pixels minimisant la différence de valeur de différentes caractéristiques. On tentera d analyser l importance, l utilité et la qualité des correspondances obtenues à l aide de certaines des caractéristiques les plus utilisées. 3 Présentation des données Afin d effectuer l analyse, nous avons calculé la valeur de plusieurs caractéristiques sur plusieurs paires d images. Plus précisément, nous avons utilisé quatre paires d images provenant de l ensemble d images du Middlebury College ([2] et [3]). Pour l ensemble de données de 2001, les paires d images 1

81 utilisées sont les images im2.ppm et im6.ppm des séquences «Barn1» et «Sawtooth». De même, les images im2.ppm et im6.ppm sont utilisées pour les séquences «Cones» et «Teddy» de l ensemble de données de Pour chacune de ces paires d images, des pixels ont été régulièrement échantillonnés. Pour chacun de ces échantillons, les caractéristiques suivantes ont été calculées : Moyenne sur un voisinage Écart-type sur un voisinage Valeur minimale d un pixel du voisinage Valeur maximale d un pixel du voisinage Gradients en X et en Y pour le pixel courant Pour ce qui est des caractéristiques impliquant un voisinage, elles ont été calculées avec différentes grandeurs de voisinage. Les tailles de voisinages utilisées sont : 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, 11x11, 13x13 et 15x15. Pour ces voisinages, le pixel courant se trouvait toujours au milieu du carré. De plus, pour la caractéristique de la moyenne sur un voisinage, nous avons aussi testé avec un voisinage de 1x1, c est-àdire uniquement le pixel courant. Les caractéristiques étaient calculées pour chacun des échantillons de l image de référence. Par la suite, comme les paires d images sont fournies avec des images de véritéterrain, qui indiquent la vraie disparité pour chaque pixel d une image, il était possible de trouver le pixel correspondant dans l image de mise en correspondance. La valeur des caractéristiques était alors aussi calculée pour le pixel correspondant à chaque échantillon original. Finalement, comme on désire établir une correspondance entre les pixels d origine et les pixels de destination, la différence entre la valeur de la caractéristique pour l image de référence et la valeur pour l image de correspondance était calculée. Les variables à analyser sont donc les différences entre chacune de ces caractéristiques et les observations sont les pixels échantillonnés. 4 Présentation du modèle 4.1 Choix du modèle Comme le but de ce travail était d analyser l influence et les relations entre les différentes caractéristiques pour la mise en correspondance (et donc entre les variables), nous avons utilisé l analyse en composantes principales. Celle-ci nous a permis de voir si certaines variables sont meilleures que d autres pour expliquer l inertie des observations. 4.2 Analyse en composantes principales Le modèle utilisé pour analyser les données est l analyse en composantes principales. Cette méthode est utilisée pour tenter d obtenir un résumé simplifié des données d entrée. Elle est habituellement utilisée lorsque le problème est composé d un grand nombre de variables, ce qui implique une grande dimensionalité des observations. Le principe général de la méthode est le suivant : on a un nuage d observations dans un espace R p. On peut calculer une mesure d inertie sur ces observations. L inertie représente la «dispersion» des 2

82 données dans l espace. Une grande inertie indique que les données sont très dispersées, tandis qu une faible inertie indique que les observations sont rapprochées les unes des autres. Le but de l analyse en composantes principales est de trouver de nouveaux axes, formant une nouvelle base de l espace, et autour desquels l inertie est minimale. Ces nouveaux axes sont en fait des combinaisons linéaires des variables initiales. De façon résumée, la méthode pour trouver les axes principaux consiste à maximiser le produit de matrice u t AV Au sous la contrainte u t Au = 1, où V est la matrice de variances-covariances des observations et A est la matrice représentant la métrique associée à l espace de nos observations. Dans notre cas, A = I. On peut prouver ([1]) que cela revient à chercher les valeurs propres de V A. Les axes principaux seront alors les vecteurs propres associés aux valeurs propres trouvées. Par la suite, connaissant ces valeurs et vecteurs propres, il est possible de calculer le pourcentage d inertie expliquée par chaque axe principal, et ainsi avoir une idée de la représentativité de chaque axe. Présuppositions et hypothèses du modèle Afin de donner des résultats corrects, les données doivent être centrées. Pour chaque variable de chaque observation, on doit donc soustraire la moyenne de cette variable sur toutes les observations. De plus, si les données sont réduites, on pourra utiliser le cercle des corrélations lors de la représentation des variables sur le nouveau système d axes. Cela permet d établir des relations entre les projections des différentes variables, chose qui ne serait pas possible si les données n étaient pas réduites. De plus, afin que le modèle puisse être utilisé et qu il produise des résultats corrects, les variables doivent être indépendantes. 4.3 Critique du modèle L analyse en composantes principales a plusieurs avantages. Elle permet entre autres de visualiser plus facilement des données de grande dimension en les représentant à l aide de seulement deux ou trois axes. Elle permet aussi, dans les cas idéaux, de trouver des combinaisons de variables originales expliquant une grande partie de l inertie du nuage de points lié aux observations originales. À l aide de ces combinaisons, si on veut voir la proximité de deux observations dans le nouveau repère, il suffit de calculer la valeur des combinaisons linéaires et de comparer les deux résultats. Cette proximité ne permet cependant pas de conclure que les observations sont près dans l espace original. Bien sûr, l analyse en composantes principales possède aussi des désavantages. Parmi ceux-ci, notons le fait que, même si les projections de 2 observations sur un plan composé de 2 axes principaux sont rapprochées sur ce plan, on ne peut pas automatiquement conclure que ces observations sont proches dans l espace n-dimensionnel original. Un autre inconvénient majeur est qu il n y a aucune garantie que les axes principaux que l on trouvera seront très représentatifs des données. Par exemple, si l inertie du nuage de points original est très élevée, il est possible que l inertie totale expliquée par les 3 premiers axes principaux ne soit que 45 %, ce qui ne permet pas de bien représenter les observations initiales, ni de tirer de conclusions très fiables sur l influence des variables par rapport à l inertie du nuage. 3

83 5 Analyse des résultats Avant de passer à l analyse en tant que telle, il est important de bien situer la problématique et les variables impliquées, afin que l analyse soit bien comprise. Dans le cadre de notre problématique, nous recherchons les caractéristiques de mise en correspondance ayant le moins d inertie. En effet, une faible inertie des observations initiales implique que celles-ci sont assez regroupées dans l espace original. De plus, nos variables représentent toutes la différence entre la valeur d une caractéristique pour l image de gauche avec la valeur de cette même caractéristique pour l image de droite. Comme nous possédons les vérités-terrain pour nos paires d images, nous connaissons la meilleure mise en correspondance. Lorsque nous calculons la valeur d une caractéristique pour deux points correspondants, nous utilisons cette correspondance. Nous voulons donc que les deux valeurs de la caractéristique soient semblables, car la procédure de mise en correspondance cherche les points ayant les valeurs les plus semblables pour certaines caractéristiques. Comme nous calculons la différence entre les deux valeurs, plus une variable est près de 0, plus les valeurs de la caractéristique la composant seront près l une de l autre. Cela implique que si les observations ont une faible inertie autour d un certain axe, la variable liée à cet axe est un bon indicateur pour la mise en correspondance. 5.1 Traitement informatique Les données ont été obtenues à l aide d un programme que nous avons développé. Pour ce qui est de l analyse en composantes principales, elle a été effectuée à l aide de Matlab 2009a, et plus principalement, de la fonction princomp. 5.2 Résultats bruts Maintenant, comme nous avons analysé quatre paires d images différentes, et que nous analysions 31 variables, il serait malaisé et lourd de présenter l entièreté des résultats pour chaque paire d images. Nous présenterons donc les résultats importants et démonstratifs, puis nous tirerons des conclusions générales. Notons aussi que, pour chaque paire, nous avons effectué l analyse en calculant les variables pour une mise en correspondance de gauche à droite et pour une mise en correspondance de droite à gauche. Nous nous limiterons aux résultats pour la correspondance de gauche à droite, car les résultats sont très semblables pour l autre cas. Le premier élément permettant d analyser les résultats sont les valeurs des coefficients de corrélation entre les variables originales et les trois premiers axes principaux. Ces valeurs sont présentées aux tableaux 6.1 et 6.2. Comme ces valeurs sont un peu abstraites, nous présentons des graphiques permettant de visualiser les projections des variables en 3D. Nous avons choisi de ne pas mettre les projections 2D, car il y aurait eu trois graphiques pour chaque paire d images, et comme il y a quatre paires d images, le texte aurait été inutilement surchargé. Ces images sont présentées à la figure 5.1. De plus, afin d avoir une idée de l importance de chaque axe principal, nous présentons aussi les pourcentages d inertie expliquée pour les six premiers axes, pour chaque paire d images. Les pourcentages sont présentés au tableau

84 TABLE 5.1: Pourcentages d inertie expliquée par axe pour 4 paires d images. Axe Barn1 Sawtooth Cones Teddy (36.739) (35.884) (45.674) (53.908) (52.169) (50.312) (64.443) (70.313) (67.301) (63.080) (77.046) (82.775) (73.983) (71.793) (82.369) (86.542) (79.523) (77.784) (86.130) (89.929) (83.742) (81.386) (89.036) (92.913) La première valeur de chaque colonne est le pourcentage d inertie expliquée par cet axe pour cette paire d images, et la valeur entre parenthèses est la valeur totale, comprenant cet axe. Plusieurs conclusions peuvent être atteintes avec les données que l on possède. Avant de signaler ces conclusions, il importe de signaler que les conclusions que l on tire des données présentes ne sont applicables que pour les paires d images que l on a analysées. Bien sûr, certaines généralisations sont possibles, mais comme une image peut représenter n importe quelle scène, aucune généralisation ne saurait être parfaite. De plus, de par la procédure d expérimentation, nous avons dû utiliser des images pour lesquelles nous avions des vérités-terrain. Or, pour s assurer que leurs vérités-terrain soient de grande qualité, les auteurs de ces images ont dû créer des images sur lesquelles ils avaient un contrôle absolu. Ce sont donc des images réelles, mais qui représentent un environnement contrôlé. Il n y a aucun bruit dans ces images. La validité de nos conclusions ne serait certainement pas la même avec des images prises à l aide d une caméra réelle, à l extérieur, avec des changements d éclairage, par exemple. 5.3 Remarques sur la dépendance linéaire Une première remarque, qui peut être vue comme une conclusion, est que, au cours de la recherche, une première itération des calculs a été faite sur un ensemble plus grand de variables. En effet, à la première itération de l expérience, nous avions aussi considéré la caractéristique de différence pixel à pixel entre les deux images, pour un certain voisinage. Cette caractéristique est définie comme P P Diff = n I g (i) I d (i + disp i ) i=1 où P P Diff est la valeur courante de la caractéristique, i est un indicateur de l index du pixel à considérer, n est la grandeur du voisinage, I g et I d sont respectivement les images gauche et de droite, et disp i est la valeur de disparité pour le pixel i à partir de l image de gauche vers l image de droite. Cette caractéristique était calculée sur les mêmes grandeurs de voisinage que les autres caractéristiques. En observant les résultats obtenus en ayant ces variables supplémentaires, nous avons constaté que les variables de cette famille étaient toujours projetées exactement au même endroit que les variables de la famille de la différence de moyenne sur un voisinage. Cela nous a indiqué que les variables de ces 5

85 deux familles sont linéairement dépendantes. Les variables de la famille «différence de moyenne» sont définies comme qui, en simplifiant, peut s écrire MoyDiff = 1 n n I g (i) 1 n i=1 n I d (i + disp i ) i=1 MoyDiff = 1 n n ( I g (i) I d (i + disp i )) i=1 Il est possible de constater que la seule différence entre les deux types de variables est le facteur 1 n, qui est constant pour une grandeur de voisinage. Les deux variables sont donc linéairement dépendantes, ce qui cause un problème lors de l analyse en composantes principales. Nous avons donc décidé de refaire l analyse en éliminant les variables de la famille «différence pixel à pixel». 5.4 Conclusions individuelles Similarité du comportement des variables de même famille Au point de vue des conclusions, remarquons tout d abord que, pour toutes les paires d images testées, les caractéristiques similaires (par exemple, la différence de moyenne calculée sur différentes grandeurs de voisinage) ont des valeurs de corrélations similaires par rapport à chaque axe. Autrement dit, elles ont une projection similaire dans les repères créés par les axes principaux. Elles ont donc une influence similaire lors de la création des axes. Variables basées sur l écart-type On remarque aussi que toutes les variables liées à la différence d écart-type sont extrêmement près l une de l autre, et ce, pour toutes les paires d images testées. De plus, en observant les coefficients de corrélation pour les variables de ce groupe, on remarque qu elles sont toujours très fortement corrélées avec le deuxième axe principal, quelle que soit la paire d images choisie. À l inverse, toutes les autres variables sont peu corrélées avec ce même axe. On conclut donc que les variables liées à la différence d écart-type sont utiles pour expliquer, en moyenne, % de l inertie du nuage de points initial. Variables basées sur le minimum et le maximum En observant les coefficients de corrélation, il est aussi possible de voir que les variables liées à la différence de minimum et celles liées à la différence de maximum sont toujours opposées par rapport au troisième axe principal. Autrement dit, si une variable liée à la différence de maximum a un coefficient de corrélation négatif par rapport au troisième axe principal, la variable liée à la différence de minimum sur un voisinage de même grandeur aura un coefficient de corrélation positif. Pour ce qui est des deux paires d images de 2001 (Barn1 et Sawtooth), les coefficients de corrélation pour les deux variables sur la même grandeur de voisinage n ont pas nécessairement le même ordre de grandeur. Cependant, pour les deux paires d images de 2003 (Cones et Teddy), 6

86 les deux variables opposées ont des coefficients de corrélation qui ont presque la même magnitude. De plus, on remarque, surtout pour les images de 2003, que ces variables sont celles avec les coefficients de corrélation les plus élevés avec cet axe, et que les autres groupes de variables sont faiblement corrélés avec ce même axe. Pour ce qui est des images de 2001, la différence entre les valeurs de coefficients de corrélation est moins marquée. L explication la plus plausible que nous ayons trouvé est que les images de 2001 possèdent plus de zones où la variation de couleur est petite. Cela implique que la différence entre les valeurs minimales et maximales du voisinage d un pixel sera moins grande que dans une image très texturée, comme les deux paires d images de Variables basées sur les différences de gradient Une autre observation est que les variables XGrad- Diff et YGradDiff (différences de valeur de gradient) sont très peu corrélées avec les trois premiers axes principaux. En fait, il faut souvent regarder le cinquième ou sixième axe principal avant de trouver un axe avec lequel ces deux variables ont une forte corrélation. En moyenne, le cinquième axe principal explique 4.67 % de l inertie des nuages de points initiaux, tandis que le sixième en explique 3.42 %. Ce que l on peut conclure de cette situation est que, comme XGradDiff et YGradDiff sont faiblement corrélées avec la plupart des premiers axes principaux, et qu elles sont très corrélées avec seulement un axe, ces variables n expliquent que peu d inertie du nuage initial. Cela implique finalement que les valeurs que prennent ces variables sur les observations sont toutes rapprochées, et donc, dans notre contexte, que les caractéristiques associées à ces variables sont semblables lorsque l on a de bonnes correspondances, ce qui correspond à l intuition utilisée par les processus de recherche de correspondances. 5.5 Conclusions générales Il est possible de tirer trois grands constats des conclusions individuelles énumérées ci-haut. Tout d abord, les deux variables basées sur le gradient sont celles qui expliquent le moins d inertie. Comme on a expliqué plus haut, cela montre que ce sont les deux variables qui sont les plus fiables lors de la mise en correspondance. Cela correspond à la connaissance générale en vision par ordinateur, c est-àdire que les caractéristiques basées sur la texture (mesurée entre autres à l aide du gradient) donnent habituellement de très bons résultats. Une autre tendance est que les variables basées sur les valeurs minimales et maximales dans un voisinage ont une influence très variable sur l inertie du nuage de points. On en déduit que ces deux familles de variables ne sont pas très fiables pour effectuer une mise en correspondance. La dernière tendance qui peut être identifiée est que, pour les variables basées sur la moyenne et l écart-type, les projections de ces variables sont en général assez près entre elles. Les variables de chaque famille ont donc toutes une influence semblable sur l inertie du nuage de points. Il serait donc possible de ne choisir qu une variable par famille pour représenter chaque famille. Cela simplifierait les calculs. 7

87 6 Conclusion En résumé, nous avons effectué l analyse en composantes principales de nuages de points représentant des observations liées à la problématique de la mise en correspondance dans le domaine de la vision par ordinateur. Les variables de notre problème étaient des caractéristiques calculées sur un voisinage et utilisées afin de mettre en correspondance les pixels de deux images. Nous avons constaté que, comme il est souvent admis dans le domaine de la vision par ordinateur, les caractéristiques basées sur le gradient de l image sont celles qui ont la meilleure fidélité lorsque la mise en correspondance est bonne. Cette constatation a été faite en considérant que c était la famille de caractéristiques expliquant le moins d inertie parmi toutes les familles étudiées. De plus, nous avons constaté qu il serait possible, afin de simplifier les calculs, d utiliser les caractéristiques basées sur la moyenne et celles basées sur l écart-type en ne calculant qu une seule grandeur de voisinage. Finalement, nous avons vu que les caractéristiques basées sur les valeurs minimales et maximales d un voisinage ne sont pas très fiables. Il serait intéressant de recommencer la procédure en utilisant d autres caractéristiques plus complexes. Le problème est qu il faudrait s assurer que celles-ci sont linéairement indépendantes des caractéristiques déjà utilisées. Il serait aussi utile, afin de pouvoir étendre les conclusions à d autres types d images, d effectuer les tests sur d autres banques d images. Le problème est qu il est difficile de trouver des banques d images ayant des vérités-terrain de qualité, ce qui est essentiel dans notre procédure. Finalement, il serait intéressant d étudier l influence d une erreur de mise en correspondance sur les résultats et les conclusions obtenues. Par exemple, est-ce que la famille de caractéristiques basées sur la moyenne est plus tolérante à une erreur d un ou deux pixels de disparité que la famille basée sur le gradient? 8

88 Projections des variables pour la paire Barn1 Projections des variables pour la paire Sawtooth PMiD 9PMiD 13PMiD 7PMiD 5PMiD 15PMiD 3PMiD Axe PECD 3PECD 13PECD 11PECD 15PECD 9PECD 15PMeD 13PMeD 3PMeD 1PMeD 11PMeD 9PMeD 7PMeD 5PMeD 3PMaD YGradD 5PMaD XGradD 15PMaD Axe PMeD 5PMeD 3PMeD 9PMeD 11PMeD3PMaD 5PMaD 13PMeD 7PMaD 15PMeD 9PMaD 11PMaD 13PMaD 15PMaD 3PMiD 5PMiD 7PMiD 9PMiD 11PMiD 13PMiD 1PMeD 15PMiD YGradD XGradD PMaD 7PMaD 11PMaD 9PMaD PECD 13PECD 11PECD 9PECD 7PECD 5PECD 3PECD Axe 1 Axe Axe Axe 2 (a) Projection Barn1 (b) Projections Sawtooth Projections des variables de la paire Cones Projections des variables de la paire Teddy Axe PMaD 9PMaD 11PMaD 15PMaD 7PMaD 5PMaD 3PMaD 13PMeD 15PMeD 7PMeD 9PMeD 11PMeD 5PMeD 3PMeD 1PMeD XGradD YGradD Axe PMiD 13PMiD 9PMiD 15PMiD 7PMiD 5PMiD 3PMiD 7PMeD 9PMeD 11PMeD 13PMeD 15PMeD 1PMeD XGradD YGradD 4 6 3PMiD 5PMiD 7PMiD 9PMiD 15PMiD 13PMiD 11PMiD 15PECD 13PECD 11PECD 9PECD 5PECD 3PECD 7PECD 4 6 3PMaD 5PMaD 7PMaD 9PMaD 11PMaD 13PMaD 15PMaD 15PECD 13PECD 11PECD 9PECD 7PECD Axe Axe Axe Axe 1 5 (c) Projections Cones (d) Projections Teddy FIGURE 5.1: Projections des variables originales sur l espace créé par les trois permiers axes principaux, pour chaque paire d images étudiées. 9

89 Annexe 1 Voici les tableaux montrant les coefficients de corrélation entre les variables originales et les 3 premiers axes principaux trouvés. TABLE 6.1: Coefficients de corrélation des variables originales et des trois premiers axes principaux pour les paires Barn1 et Sawtooth (ensemble d images de 2001). Barn1 Sawtooth Variables Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3 Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3 1PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff XGradDiff YGradDiff

90 TABLE 6.2: Coefficients de corrélation des variables originales et des trois premiers axes principaux pour les paires Cones et Teddy (ensemble d images de 2003). Cones Teddy Variables Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3 Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3 1PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMoyDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMinDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PMaxDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff PECDiff XGradDiff YGradDiff

91 Références [1] F. CAILLIEZ et J.-P. PAGES : Introduction à l analyse des données, chapitre 8, pages SMASH, [2] D. SCHARSTEIN et R. SZELISKI : High-accuracy stereo depth maps using structured light. In Computer Vision and Pattern Recognition, Proceedings IEEE Computer Society Conference on, volume 1, pages I 195 I 202 vol.1, June [3] Daniel SCHARSTEIN et Richard SZELISKI : A taxonomy and evaluation of dense two-frame stereo correspondence algorithms. International Journal of Computer Vision, 47(1-3):7 42, April ISSN (Print) (Online). URL edu/stereo/taxonomy-ijcv.pdf. 12

92 Classification et caractérisation des rivières au Québec Youness MIR Département de mathématiques Université de Sherbrooke 2500 Boulevard de l Université Sherbrooke (Qc), Canada, J1K 2R1 Résumé : Le réseau hydrologique du Québec se caractérise par son étendue à l échelle de toute la province et compte une centaine de rivières dont le débit varie considérablement sur toute l année. Dans ce travail, nous proposons de caractériser et classifier les rivières selon leurs débits saisonniers. À fin de résoudre ce problème nous exploiterons la méthode d analyse en composantes principales. Mots clés : Débits mensuels et saisonniers, analyse en composantes principales. 1. Introduction Le réseau hydrologique du Québec est unique au monde et compte une centaine de rivières réparti sur toute la province et trois grands bassins versants : le bassin de Saint-Laurent ( km 2 ), le bassin de Baies d Ungava ( km 2 ) et le bassin d Hudson ( km 2 ). La forte consommation de l eau, l électricité ainsi que plusieurs autres facteurs anthropiques modifie les conditions d écoulement d eau dans les rivières et par conséquent la vie de plusieurs espèces aquatiques et semiaquatiques. Dans ce travail, nous proposerons de classifier et caractériser les rivières du Québec en tenant compte de plusieurs particularités des débits au moyen de la méthode d analyse en composantes principales. Nous nous limiterons à analyser les rivières du fleuve Saint-Laurent, un des fleuves les plus grands d Amérique. Notons que la résolution numérique de ces problèmes est faite sur le logiciel de programmation R, qui est un logiciel libre. Finalement, nous espérons que le travail que nous amorcerons plaira aux spécialistes en hydrologie et en écologie en particulier. 2. Les données Dans ce travail nous avons analysé 76 rivières du fleuve Saint-Laurent. Les rivières étudient au cours de ce travail sont caractérisées par leur écoulement naturel et dont les débits sont continument mesurés sur une période d au moins 10 ans. Les noms des rivières et les abréviations sont groupés dans le Tableau 5 et 6. Nous classifierons ces rivières au moyen de 10 variables hydrologiques basées sur les débits mensuels et saisonniers (voir Tableau 4). 1

93 2 Ces variables hydrologiques peuvent être groupées en trois catégories dont les caractéristiques sont données par A.A. Assani (pour plus de détail voir [1] et [2] ) : Les variables relatives aux volumes d écoulement mensuels et saisonniers. Symbole Signification Méthode de calcul Hivers Coefficient saisonnier des débits Le rapport entre la moyenne de la somme des débits moyens hivernaux mensuels de janvier à mars et le débit annuel total Printemps Coefficient saisonnier des débits Le rapport entre la moyenne de la somme des débits moyens printaniers mensuels d avril à juin et le débit annuel total Coefficient saisonnier des débits Le rapport entre la moyenne de la somme des débits moyens Été estivaux mensuels de juillet à septembre et le débit annuel total Automne Coefficient saisonnier des débits Le rapport entre la moyenne de la somme des débits moyens automnaux mensuels d octobre à décembre et le débit annuel total Max Coefficient mensuel du débit Le rapport entre le débit mensuel maximum moyen mensuel maximum et le débit annuel total Mim Coefficient mensuel du débit Le rapport entre le débit mensuel minimum moyen mensuel minimum et le débit annuel total Les variables qui caractérisent l amplitude de la variabilité des débits (le taux de changement). Symbole Signification Méthode de calcul MaxMin Coefficient d immodéra- Le rapport entre les débits mensuels maximum -tion mensuel et minimum CV Coefficient de variation Le rapport entre l écart type et le débit mensuel moyen Les variables qui caractérisent la période d occurrence du débit mensuel maximum ou minimum. Symbole Signification Méthode de calcul Mmin Jour julien moyen du La moyenne des jours juliens correspondant à la date débit mensuel minimum médiane du débit moyen mensuel minimum Mmax Jour julien moyen du La moyenne des jours juliens correspondant à la date débit mensuel maximum médiane du débit moyen mensuel maximum 3. Résultats et discussions 3.1. La matrice de corrélation. Avant de procéder à une ACP de notre jeu de données et comme la matrice de corrélation représente les données de base sur lesquelles on effectue l ACP, il est important d examiner ses caractéristiques. Le tableau 1 présente les coefficients de corrélation entre les variables analysées. Hiver Printemps Ete Automne CV Mmin Mmax Mim Max MaxMin Hiver Printemps Ete Automne CV Mmin Mmax Mim Max MaxMin Table 1

94 3 En regardant le tableau 1 ligne par ligne et colonne par colonne, on remarque que, certains coefficients sont de tailles intéressantes et même particulièrement élevées, d autres coefficients sont petits et ne dépasse pas le seuil de 0.1, en plus, le déterminant de la matrice de corrélation est égale à 0, 001, on peut constater donc que les variables analysées ne sont pas fortement corrélées entre elles. Par conséquent, les variables ne sont pas redondantes Interprétation des axes factoriels. Dans le tableau 2 sont groupés les valeurs propres, le pourcentage de la variance expliquée associée à chacune des valeurs propres ainsi que le pourcentage de la variance expliquée accumulée. V. propres % de la variance % de la variance expliquée expliquée accumulée Table 2. Valeurs propres et variances expliquées Pour sélectionner le nombre d axes factoriels à retenir je me suis basé sur le critère de Kaiser (c.-à-d. retenir que les axes associés à des valeurs propres supérieures à 1) qui m a conduit à retenir 4 composantes principales qui représentent presque 87% de l inertie totale (donc, on est pour expliquer 87% de l information du tableau). Eboulis des valeurs propres en % % d'inertie Figure 1. Éboulis des valeurs propres.

95 4 Les composantes en fonction des valeurs propres. Valeurs propres Composante Figure 2. Les composantes principales versus les valeurs propres. L analyse de la figure 2 assure notre choix, on remarque une chute importante à partir du quatrième axe factoriel. Chaque nuage de points (variables et individus) est construit en projetant le nuage de points initial sur le plan factoriel défini par deux des 4 axes factoriels retenus. L examen de ces plans permettra de visualiser les corrélations entre les variables et déterminer les groupes d individus ayant pris des valeurs proches sur certaines variables Contribution des variables. Dans le Tableau 3 sont groupées les saturations des variables sur les quatre premières composantes principales. Les coordonnées Les contributions Axe.1 Axe.2 Axe.3 Axe.4 Axe.1 Axe.2 Axe.3 Axe.4 Hiver Printemps Ete Automne CV Mmin Mmax Mim Max MaxMin Table 3. Saturations des variables sur les quatre premiers axes principaux. On remarque que ce sont les variables MaxMin (saturation positive), Mim et Hiver (saturation négative) qui contribuent le plus à la construction de la première composante principale. Ces variables représentent le volume d écoulement hivernal et mensuel minimum, ainsi que le coefficient d immodération. Quant à la deuxième

96 5 composante principale, c est plutôt le volume d écoulement printanier et automnal qui présente les saturations les plus élevées pour cette composante. La dernière composante principale est fortement associée au mois d occurrence des débits mensuels minimum. Notant aussi qu on a pas pris en compte la quatrième composante principale puisque les saturations des variables hydrologiques sur cette dernière dépassent pas le seuil de 0.6 en valeur absolue. En conclusion, les trois caractéristiques des débits sont bien représentées par trois des quatre composantes principales : Le volume d écoulement par les deux premières composantes La variabilité des débits par la première. La période d occurrence par la troisième composante principale Contribution des individus. Une analyse du tableau des contributions des individus à la construction des axes factoriels (voir Tableaux 7 et 8 en Appendice C et D respectivement) ainsi que les graphes des projections des individus sur les plans factoriels (voir 7) nous ont conduits aux remarques suivantes. Le premier axe oppose les rivières caractérisées par des valeurs élevées du coefficient d immodération (MaxMin) et celles caractérisées par des grandes valeurs des coefficients saisonniers des débits hivernaux (Hivers) et les débits moyens mensuels minimum (Mim). La deuxième composante regroupe les rivières dont le volume d écoulement printanier et automnal est considérablement grand. Quant à la troisième composante, elle regroupe les rivières en fonction de la période d occurrence des débits mensuels minimum. L analyse du tableau de contribution des individus ainsi que leurs coordonnées sur chacun des axes principaux nous a permis de construire le tableau suivant : Les axes principaux Les variables hydrologiques Les rivières (abréviations) Premier axe principale Maxmin DARPD, YSB, GRO, MRLM, MPM CC, NPON, PACP, MOI, SPARB MAMI, NEIG,MARB, GOD,MIST,BAP Mim, Hivers NWS, RRF, CW, ROUGE, PPP AJOL, PNPN, EPSF, PPW, HARSL HREH, NRY, NICO, BPSS, PNPR BARP, MSMS, NSOA Deuxième axe principale Printemps, Automne MOI, CCM, ROM, MIST, CARCI RRF, MAMI, GARC, AGUA, SPARB DARPD, DSD, HARSL, YSB, HREH GRO, NEIG, DON Troisième axe principale Mmim AJOL, NSJ, MPSU, NWS, BARP BPSS, HREM,NICO, DSD, MOI, CCM PNPR, LARC, HARSL, NRY, NEIG PNPN, PPW, CW, RRF, CAR205 MSM, EPSF, AGUA, MSMS L analyse de ce tableau nous ramène à la conclusion suivante, 12 rivières sont caractérisées par des valeurs élevées du coefficient d immodération, 5 par des grandes valeurs des coefficients saisonniers hivernaux et mensuels minimums, 6 rivières,se caractérisent par un volume d écoulement printanier et automnal relativement grand, et enfin 4 rivières par la période d occurrence des débits mensuels minimum.

97 6 Variables factor map (PCA) Dim 2 (24.35%) Mim Hiver Ete Printemps Automne Mmin Mmax MaxMin CV Max Dim 1 (40.52%) (a) Projection des variables sur le premier plan principal (1, 2) Variables factor map (PCA) Dim 3 (11.56%) Mim Hiver Ete Mmin Automne Max Printemps CV MaxMin Mmax Dim 1 (40.52%) (b) Projection des variables sur le deuxième plan principal (1, 3) On peut aussi remarquer que 3 rivières sont caractérisées par des valeurs élevées du coefficient d immodération et du volume d écoulement printanier et automnal,

98 7 Variables factor map (PCA) Dim 3 (11.56%) Max CV EteMaxMin Hiver Mim Mmin Mmax Automne Printemps Dim 2 (24.35%) (c) Projection des variables sur le troisième plan principal (2, 3) Variables factor map (PCA) Dim 4 (10.32%) Ete Hiver Max CV MaxMin Mim Mmin Mmax Automne Printemps Dim 2 (24.35%) (d) Projection des variables sur le quatrième plan principal (2, 4) 6 rivières par des valeurs élevées du volume d écoulement printanier, automnal et mensuel minimum.

99 8 Individuals factor map (PCA) Dim 2 (24.35%) RRF CCM ROM MOI MIST CARC1 MAMI GARC CPFC AGUA NWS ROUGE ROUMA SPARB EPEMB KINO MSMS MSM VPSM JCPSG CARC NAB ECO BPSS HA LPSP PERI PNPN NICO PNPR LARC SAA BARP ESHDL LR2 PARA OUR2 MABMN VAL PPW NRYNSJ MPSU SUAR BL ASCCAP BAP CW EPSF FSGGBSP TONN MARB PACP PPP ESCOU TP1 GOD MPM CAR205 AJOL NSOA RIMO1 DON BST NPON CC NEIG HREH HARSL DSD MRLM GRO YSB DARPD Dim 1 (40.52%) (e) Projection des individus sur le premier plan principale (1,2) Individuals factor map (PCA) AJOL Dim 3 (11.56%) NWS NSJ MPSU HREH BPSS BARP NICO MSMS DSD BST CCM NSOA DON BL ESHDL MIST SPARB GOD MAMI MRLM ROUGE YSB PPP EPEMB MPM ROUMA CPFCCARC VPSM HA EPSF MSM CAR205 RRF CW PNPN HARSL PPW NRY LARC PNPR MOI CARC1 SUAR FSG ECO ASC PARA GBSP VAL RIMO1 CAP MARB NPON GARC BAP CC JCPSG NAB KINO LPSP MABMN TP1 TONN ROMPACP SAA ESCOU LR2 PERI OUR2 AGUA NEIG GRO DARPD Dim 1 (40.52%) (f) Projection des individus sur le deuxième plan principale (1,3)

100 9 Individuals factor map (PCA) AJOL Dim 3 (11.56%) HREH DSD MPSU NSJ BARP BPSS NWS NICO DARPD MRLM DON BST NSOA GOD ESHDL BL SPARB MAMI MIST YSB CARC1 FSG GRO RIMO1 ROUGE GBSP GARC NPON PPP SUAR CC BAP CAP ECO ESCOU MPM TP1 MARB ASC PACP TONN PARA MABMN VAL CARCCPFC JCPSG NAB OUR2 LR2 LPSP SAA EPEMB HAPERI VPSM KINO MSMS ROUMA AGUA CAR205 EPSF HARSL NEIG CW NRY PPW PNPN LARC PNPR MSM RRF CCM ROM MOI Dim 2 (24.35%) (g) Projection des individus sur le troisième plan principale (2,3) Individuals factor map (PCA) Dim 4 (10.32%) HARSL DSD HREH CW CAR205 DON NRY NEIG DARPD EPSF PPW YSB GRO NSOA PPP AJOL BST PNPR MRLM CC MPM BL ESCOU FSG PNPN NPON RIMO1 BAP ESHDL GOD MARB LARC BARP GBSP TP1 SUAR ASC PACP TONN CAP OUR2 MSM MPSU NSJ NICO BPSS MABMN LR2 HA PARA LPSP VAL SAA MSMS PERI NAB ROUGE ECO EPEMB JCPSG VPSM ROUMA KINO MAMI RRF MIST SPARB GARC CARCCPFC AGUA NWS CARC1 CCM ROM MOI Dim 2 (24.35%) (h) Projection des individus sur le quatrième plan principale (2,4)

101 10 4. Conclusion Dans ce travail nous avons exploité la méthode d ACP afin de classifier 76 rivières dont l écoulement est naturel en fonction de quelques variables hydrologiques basées essentiellement sur les débits mensuels et saisonniers. Parmi les variables analysées 6 d entre elles caractérisent les rivières du Québec et représentent : Le volume d écoulement. La variabilité des débits. La période d occurence. Ces caractéristiques jouent un rôle important dans la survie des espèces aquatiques et semi-aquatiques ainsi que dans l organisation et le fonctionnement des systèmes écologiques. References [1] M. Matteau, A.A Assani, M. Mesfioui, Application of multivariate statistical analysis methods to the dam hydrologic impact studies, Journal of Hydrology, 371 (2009) [2] A.A Assani, S. Tardif. Classification, caractérisation et facteurs de variabilités spatiales des régimes hydrologiques naturels au Québec (Canada). Approche éco-géographique, Rev. sci. Eau, 18(2) (2005) Appendice A : Les données Source des données : Ali A. Assani Laboratoire d hydro-climatologie et de géomorphologie fluviale, Département des sciences humaines, Université du Québec à Trois-Rivières, 3351 boul. des Forges, C.P. 500, Trois-Rivières, Québec G9A 5H7, Canada.

102 Abre Hiver(%) Printemps (%) Ete (%) Automne(%) H/P P/E E/A A/H CV Mmin Mmax Mim (%) Max(%) Max/Min AGUA BST BL BARP BPSS BAP CC CAP CCM CARC CAR CW CPFC CARC DARPD DSD DON EPSF ECO ESCOU EPEMB ESHDL FSG GARC GOD GBSP GRO HA HREH HARSL JCPSG KINO AJOL ASC LR LARC LPSP MRLM

103 Abre Hiver(%) Printemps (%) Ete (%) Automne(%) H/P P/E E/A A/H CV Mmin Mmax Mim (%) Max(%) Max/Min 12 MPSU MPM MSMS MSM MIST MAMI MOI MARB MABMN NAB NEIG NICO NSOA NWS NRY NSJ NPON OUR PERI PNPN PNPR PPW PARA PACP PPP RRF RIMO ROM ROUGE ROUMA SAA SPARB SUAR TONN TP VAL VPSM YSB Table 4. Liste des données.

104 13 Appendice B : Listes des rivières RIVIÈRES NATURELLES Abrévation AGUANUS (RIVIERE) EN AMONT DE LA RIVIERE DANY BEAURIVAGE (RIVIERE) A SAINTE-ETIENNE BECANCOUR (RIVIERE) A LYSTER BECANCOUR (RIVIERE) EN AMONT DE LA RIVIERE PALMER BECANCOUR (RIVIERE) PRES DE SAINT-SYLVERE BONAVENTURE (RIVIERE) EN AMONT DU PONT CAP CHAT (RIVIERE) A CAP-CHAT CASCAPEDIA (PETITE RIVIERE) EN AMONT DU PONT CHAMOUCHOUANE (RIVIERE) A LA CHUTE A MICHEL CHAMOUCHOUANE (RIVIERE) EN AVAL DE LA RIVIERE DU CHEF CHATEAUGUAY (RIVIERE) EN AVAL DE LA ROUTE NO. 205 COATICOOK (RIVIERE) A WATERVILLE COULONGE (RIVIERE) PRES DE FORT-COULONGE CROCHE (RIVIERE) EN AVAL DU RUISSEAU CHANGY DARTMOUTH (RIVIERE) EN ANONT DU RUISSEAU DU PAS DE DAME DAVID (RIVIERE) A SAINT-DAVID DONCASTER (RIVIERE) EATON (RIVIERE) PRES DE LA RIVIERE SAINT-FRANCOIS-3 ECORES (RIVIERE AUX) ESCOUMAINS (RIVIERE DES) A ESCOUMAINS ETAMAMIOU (RIVIERE) PRES DE L EMBOUCHURE ETCHEMIN (RIVIERE) A SAINT-HENRI-DE-LEVIS FAMINE (RIVIERE) A SAINT-GEORGES GATINEAU (RIVIERE) AUX RAPIDES CEIZUR GODBOUT (RIVIERE) GOUFFRE (RIVIERE DU) A BAIE-SAINT-PAUL GRANDE-RIVIERE OUEST (LA) HA HA (RIVIERE) HALL (RIVIERE) PRES D EAST HEREFORD HURONS (RIVIERE DES) EN AVAL DU RUISSEAU SAINT-LOUIS-2 JACQUES-CARTIER (RIVIERE) PRES DE SAINT-GABRIEL KINOJEVIS (RIVIERE) A CLERICY L ASSOMPTION (RIVIERE) A JOLIETTE L ASSOMPTION (RIVIERE) A SAINT-COME LOUP (RIVIERE DU) A LA ROUTE NO. 232 LOUP (RIVIERE DU) EN AVAL DU RUISSEAU CARUFEL LOUP (RIVIERE DU) PRES DE SAINT-PAULIN MADELEINE (RIVIERE) A RIVIERE-LA-MADELEINE MASKINONGE (RIVIERE) PRES DE SAINTE-URSULE MATANE (RIVIERE) PRES DE MATANE MATAWIN (RIVIERE) A SAINT-MICHEL-DES-SAINTS MEKINAK (RIVIERE) PRES DE LA RIVIERE SAINT-MAURICE MISTASSIBI (RIVIERE) MISTASSINI (RIVIERE) EN AMONT DE LA RIVIERE MISTASSIBI MOISIE (RIVIERE) MONTMORENCY (RIVIERE) EN AMONT DE LA RIVIERE BLANCHE MONTMORENCY (RIVIERE) EN AVAL DU BARRAGE DES MARCHES NATURELLES NABISIPI (RIVIERE) NEIGETTE (RIVIERE) NICOLET (RIVIERE) EN AVAL DE LA RIVIERE BULSTRODE NICOLET SUD-OUEST (RIVIERE) PRES D ASBESTOS NOIRE (RIVIERE) A WALTHAM-STATION NOIRE (RIVIERE) PRES DE LA RIVIERE YAMASKA NORD (RIVIERE DU) A SAINT-JEROME NOUVELLE (RIVIERE) AU PONT OUELLE (RIVIERE) A LA ROUTE NO. 230 PERIBONCA (PETITE RIVIERE) PETITE NATION (RIVIERE DE LA) A PORTAGE-DE-LA-NATION PETITE NATION (RIVIERE DE LA) PRES DE RIPON PICANOC (RIVIERE) PRES DE WRIGHT PIKAUBA (RIVIERE) EN AMONT DE LA RIVIERE APICA PORTNEUF (RIVIERE) EN AMONT DES CHUTES PHILIAS PORTNEUF (RIVIERE) PRES DE PORTNEUF RICHELIEU (RIVIERE) AUX RAPIDES FRYERS RIMOUSKI (RIVIERE)-1 ROMAINE (RIVIERE) ROUGE (RIVIERE) ROUGE (RIVIERE) PRES DE LA MACAZA AGUA BST BL BARP BPSS BAP CC CAP CCM CARC CAR205 CW CPFC CARC DARPD DSD DON EPSF ECO ESCOU EPEMB ESHDL FSG GARC GOD GBSP GRO HA HREH HARSL JCPSG KINO AJOL ASC LR2 LARC LPSP MRLM MPSU MPM MSMS MSM MIST MAMI MOI MARB MABMN NAB NEIG NICO NSOA NWS NRY NSJ NPON OUR2 PERI PNPN PNPR PPW PARA PACP PPP RRF RIMO1 ROM ROUGE ROUMA Table 5. Liste des rivières.

105 14 RIVIÈRES NATURELLES Abrévation SAINTE-ANNE (RIVIERE) (BRAS DU NORD DE LA) EN AMONT SAINT-PAUL (RIVIERE) EN AVAL DE LA RIVIERE BUJEAULT SUD (RIVIERE DU) A ARTHURVILLE TONNERRE (RIVIERE AU) TROIS PISTOLES (RIVIERE DES)-1 VALIN (RIVIERE) VERMILLON (RIVIERE) PRES DE LA RIVIERE SAINT-MAURICE YORK (RIVIERE) A SUNNY BANK SAA SPARB SUAR TONN TP1 VAL VPSM YSB Table 6. Liste des rivières. Appendice C : Coordonnées des individus par rapport aux 5 premiers axes principaux. Axe.1 Axe.2 Axe.3 Axe.4 Axe.5 AGUA BST BL BARP BPSS BAP CC CAP CCM CARC CAR CW CPFC CARC DARPD DSD DON EPSF ECO ESCOU EPEMB ESHDL FSG GARC GOD GBSP GRO HA HREH HARSL JCPSG KINO AJOL ASC LR LARC LPSP MRLM MPSU MPM

106 15 Axe.1 Axe.2 Axe.3 Axe.4 Axe.5 MSMS MSM MIST MAMI MOI MARB MABMN NAB NEIG NICO NSOA NWS NRY NSJ NPON OUR PERI PNPN PNPR PPW PARA PACP PPP RRF RIMO ROM ROUGE ROUMA SAA SPARB SUAR TONN TP VAL VPSM YSB Table 7. Coordonnées des individus. Appendice D : Contribution des individus pour la construction des 5 premiers axes principaux. Axe.1 Axe.2 Axe.3 Axe.4 Axe.5 AGUA e e e BST e e e BL e e e BARP e e e BPSS e e e BAP e e e CC e e e CAP e e e CCM e e e CARC e e e CAR e e e CW e e e CPFC e e e

107 16 Axe.1 Axe.2 Axe.3 Axe.4 Axe.5 CARC e e e DARPD e e e DSD e e e DON e e e EPSF e e e ECO e e e ESCOU e e e EPEMB e e e ESHDL e e e FSG e e e GARC e e e GOD e e e GBSP e e e GRO e e e HA e e e HREH e e e HARSL e e e JCPSG e e e KINO e e e AJOL e e e ASC e e e LR e e e LARC e e e LPSP e e e MRLM e e e MPSU e e e MPM e e e MSMS e e e MSM e e e MIST e e e MAMI e e e MOI e e e MARB e e e MABMN e e e NAB e e e NEIG e e e NICO e e e NSOA e e e NWS e e e NRY e e e NSJ e e e NPON e e e OUR e e e PERI e e e PNPN e e e PNPR e e e PPW e e e PARA e e e PACP e e e PPP e e e RRF e e e RIMO e e e ROM e e e ROUGE e e e ROUMA e e e SAA e e e SPARB e e e SUAR e e e TONN e e e TP e e e VAL e e e VPSM e e e YSB e e e Table 8. Contribution des individus.

108 Segmentation par nuées dynamiques de nuages de points en plans Julien PRÉMONT Le 3 mars 2010 Département d informatique Université de Sherbrooke Sherbrooke (Qc), Canada, J1K 2R1 - Rapport de recherche -

109 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche Table des matières Liste des tableaux 3 Table des figures 3 1 Introduction 4 2 Méthode Voisinages Choix vorace des voisinages Nuées dynamiques Estimation des plans locaux Estimation des plans Expérimentation Paramètres Mesures Tests effectués Bruit Résultats et analyse Résultats Analyse Améliorations Conclusion 12 Références 13 2

110 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche Liste des tableaux 4.1 Résultats Table des figures 3.1 Exemples de nuages de points

111 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche 1 Introduction À la fin des années 1990, l infographie en 3D est apparue dans le monde du divertissement, principalement dans les jeux vidéos, mais également au cinéma, dans la publicité et pratiquement partout où un écran est disponible. Toutefois, l utilisation de la 3D ne se limite pas au monde du divertissement, bien au contraire. Dans plusieurs secteurs d activité, il est très utile d avoir un modèle 3D d une scène réelle. En génie civil, par exemple, une maquette 3D virtuelle peut permettre de repérer d éventuelles erreurs de conception avant même d entamer la construction, évitant ainsi d énormes coûts de réparations. De même, un modèle 3D d une ville ou d un quartier peut être d une grande utilité tant aux architectes urbanistes qu aux compagnies de télécommunications qui voudraient positionner leurs antennes adéquatement. La construction de tels modèles virtuels se fait généralement en deux étapes. D abord, des données brutes, sous forme d images ou plus souvent de nuages de points denses, sont acquises à l aide de capteurs photographiques aériens ou terrestres ou de capteurs de distance au laser (Laser Range Sensor). Ensuite, un algorithme est utilisé pour analyser ces données, c est-à-dire reconstruire les primitives géométriques qui composent les objets de la scène et les assembler en un modèle 3D. Les primitives géométriques les plus fréquemment rencontrées dans le monde industrialisé et urbain sont les plans, qui peuvent notamment être des murs, des toits, des tables, des rues. Ainsi, de nombreuses approches ont été proposées pour reconstituer des objets faits de surfaces planaires dans des scènes urbaines ou industrielles (par exemple [1], [2], [6], [7], [8]). La plupart des méthodes de détection de plans proposées récemment se basent sur des variantes en 3D de la transformée de Hough ([4]) ou sur RANSAC ([3]). Ce n est pas le cas de la méthode ici étudiée, qui utilise plutôt l algorithme des nuées dynamiques (aussi souvent nommé k-means). Les détails de cette méthode sont expliqués dans la section 2. La section 3 décrit les tests qui ont été effectués, puis la section 4 présente une analyse des résultats. Enfin, une synthèse est faite dans la section 5. 4

112 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche 2 Méthode 2.1 Voisinages La première étape est de décomposer le nuage de points en z voisinages locaux composés de h points chacun. Ces voisinages doivent être choisis de façon à ce que leur inertie par rapport à leur centre de gravité soit la plus faible possible. La difficulté ici réside dans le fait que, après avoir constitué plusieurs voisinages, il devient possible de voir de petits groupes de points isolés être jumelés à d autres points qui en sont relativement éloignés (et qui appartiennent potentiellement à une autre primitive) pour constituer un voisinage de taille suffisante, mais qui n est plus vraiment local. Malheureusement, selon [5], il n existe pas de façon générale pour trouver la configuration optimale de voisinages, mais l algorithme des nuées dynamiques s en approche généralement bien. Les deux possibilités explorées sont une méthode vorace et l algorithme des nuées dynamiques Choix vorace des voisinages Pour constituer le premier voisinage, un point du nuage est choisi aléatoirement et les h 1 points qui en sont les plus près sont trouvés. Les points de ce nouveau voisinage sont retirés du nuage de points. Cette procédure est répétée jusqu à ce que le nuage contienne moins de h points Nuées dynamiques Les voisinages peuvent alternativement être constitués en utilisant l algorithme des nuées dynamiques ([5]). Cet algorithme vise à séparer les données en k groupes dont l inertie par rapport au centre de gravité est faible. Il n est toutefois pas garanti que la configuration optimale soit trouvée. Le nombre de groupes k (comme la dimensionnalité du problème) doit être déterminé au préalable, faute de quoi le problème est NP-complet. L algorithme des nuées dynamiques fonctionne de la façon suivante : 1. Initialiser les centres de gravité des groupes (aléatoirement ou autrement) 5

113 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche 2. Associer chaque point au groupe dont le centre de gravité en est le plus près 3. Recalculer le centre de gravité de chaque groupe 4. Répéter les étapes 2 et 3 tant que la composition des groupes change. Remarque L algorithme des nuées dynamiques peut sembler approprié pour constituer les voisinages de points, car l objectif est de créer des groupes de faible inertie. Toutefois, son utilisation présente un inconvénient majeur. En effet, le temps de calcul de l algorithme des nuées dynamiques augmente exponentiellement avec le nombre de groupes z à former. Puisque dans ce cas-ci, z est plutôt grand (h étant généralement petit), le temps de calcul devient prohibitivement grand Estimation des plans locaux Une fois tous les voisinages constitués, un plan doit être estimé pour chacun. Deux méthodes ont encore une fois été étudiées ici. le plan qui minimise la distance (euclidienne) aux points de chaque voisinage est trouvé en utilisant une régression linéaire le plan local est trouvé avec l algorithme RANSAC [3] Dans les deux cas, z plans sont obtenus, chacun étant défini par son vecteur normal et sa distance de l origine (perpendiculairement). 2.2 Estimation des plans L algorithme des nuées dynamiques est enfin utilisé pour trouver l équation des n plans qui constituent le nuage de point à partir des z plans trouvés à l étape précédente. 6

114 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche 3 Expérimentation 3.1 Paramètres Il y a quelques paramètres desquels dépend l exécution de l algorithme. Les valeurs choisies sont présentées ici. n : Le nombre de plans dans la scène 1, 3, 5 h : Le nombre de points dans le voisinage d un autre point 3, 5, 8, 12, 20, 100 α : Le niveau de bruit (variance ou écart-type) 0, 1, 5, 10 V : L algorithme utilisé pour la création des voisinages Vorace L : L algorithme utilisé pour l estimation des plans locaux Minimisation des erreurs quadratiques (MEQ) RANSAC (RSC) Puisqu il est dans cas particulier NP-complet (voir 2.1.2), l algorithme des nuées dynamiques n a pas été retenu pour créer les voisinages locaux. Seul l algorithme vorace a donc été utilisé. 3.2 Mesures La première mesure d erreur utilisée (ξ) est la différence angulaire entre le vecteur normal du plan estimé et celui de la vérité-terrain. La seconde est la distance euclidienne ( d) moyenne entre les points du plan estimé et la vérité-terrain. Cette seconde mesure nécessite la génération aléatoire de points appartenant au plan estimé. Bien que les deux précédentes mesures dépendent directement de la juste estimation des équations 7

115 DI, Université de Sherbrooke Rapport de recherche des plans, le nombre de plans bien trouvés (k) est noté comme troisième mesure, car l ampleur ou la petitesse des erreurs importe peu si ne serait-ce qu un seul des plans n est pas bien retrouvé. 3.3 Tests effectués Les tests ont été effectués sur des plans dont les équations ont été générées aléatoirement. Pour chaque plan, points ont été générés aléatoirement dans une même région bornée de l espace. Les mêmes tests ont aussi été effectués en utilisant l algorithme RANSAC pour estimer les équations des plans plutôt que la méthode ici été étudiée. RANSAC est une méthode éprouvée dans le domaine de l estimation de primitives et fournit donc une bonne base de comparaison. (Voir [3] pour plus de détails sur RANSAC.) FIGURE 3.1 Exemples de nuages de points utilisés Bruit Le bruit utilisé est gaussien. Chaque point du plan non bruité est déplacé dans la direction de l axe des z d une valeur obtenue d une distribution aléatoire gaussienne de moyenne 0 et de variance σ 2. Le bruit est ainsi appliqué uniquement à l axe des z, plutôt que perpendiculairement au plan, car dans la plupart 8

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