P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux ri.fr/ b ousquet

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux http://www.lab ri.fr/ b ousquet"

Transcription

1 Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ Õ٠عŠÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø

2 Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ

3 ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ Ö Öº ÓÑÔØ ÖÐ õø ºÁºÎºØÖº½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø µô ÖÐ ÐÙÐ ÑÓÙØÓÒ º A Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÕÙ A n Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ nô ØØ a n = A n. Ú ÐÙ Ö Ø Ñ Ö Ö Ø Ö ÖÐ ÒÓÑ Ö ÉÙ Ø ÓÒ

4 ÇÅÈÌ Ê κ ij ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô Ðغ Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ Ö Öº ÓÑÔØ ÖÐ õø ºÁºÎºØÖº½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø µô ÖÐ ÐÙÐ ÑÓÙØÓÒ º A Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÕÙ A n,p Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ nô ØØ ØpÓÖÒ a n,p = A n,p. Ú ÐÙ Ö Ø Ñ Ö Ö Ø Ö ÖÐ ÒÓÑ Ö ÉÙ Ø ÓÒ

5 ÒÓÑ Ö ÓÑ Ò ÓÒ p Ð Ñ ÒØ ÔÖ Ô ÖÑ n ÒÓÑ Ö ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð {1,2,..., n} Ý ÒØp Ð Ñ ÒØ C p n n) n! = p p!(n p)! = n(n 1) (n p + 1) p! ÓÙÐ ÓÑ Ò ØÓ Ö ÅÓÒ ÙÖÂÓÙÖ Ò Ä Ó ÒØ ÒÓÑ Ð Ü ÑÔÐ n = 4, p = 2 ( 4 ) = = 6. ( {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}

6 ÈÐ Ò ÜÔÓ ÓÑÔØ ÖÕÙÓ ØÔÓÙÖÕÙÓ ÉÙ³ Ø ÕÙ³ÙÒ ÓÒÒ µö ÔÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ø Ú Ö ÔÖ ÙÚ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ³ ÒØ Ø ÐÓ Ð ººº ÙØÓÙÖ Ð³ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ë Ö Ò Ö ØÖ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ºÉÙ ÐÕÙ ÑÝ Ø Ö Ð Ö ÕÙ º ÓÑÑ ÒØÓÑÔØ Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú ÔÔÖÓ Ø Ú Ü ÑÔÐ º ÍÒ ÖÓ µ Ü ÑÔÐ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ØÑ Ö Ò Ð ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò

7 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö

8 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ

9 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ØÐ Ó Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÐÝ ÒÑÓÝ ÒÒ º

10 ËØÓ ³ÙÒ Ð Ø Ð Ö Ö Ò Ö Ö Ö

11 ½¾ ¼ ¼ ËØÓ ³ÙÒ Ð Ø Ð Ö Ö Ò Ö Ö Ö

12 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

13 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

14 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö 75

15 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

16 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö 30

17 ½¾ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

18 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

19 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

20 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

21 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

22 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

23 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ØÐ Ó Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÐÝ ÒÑÓÝ ÒÒ º ÔÓ ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÖ Ø ÓÒ ÙÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÑ ÖÓ ÓÔ ÕÙ È Ý ÕÙ Ø Ø Ø ÕÙ ÑÓ Ð Ö Ø Ö Ú ÒØÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Óѹ

24 ÍÒÑÓ Ð Ö Ø Ð ÖÖÓÑ Ò Ø ÕÙ Ä ÒÞ Ð ÑÓ Ð ³Á Ò üùò ÐÐ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ººº Ó x ØÙÒÒÓÑ Ö Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÙÑ Ø Ö Ùº N ØÓÑ ÓÒ ºx ÓÑÑ Ø ÙØ ÐÙÐ ÖÐ ÓÑÑ Ù Ú ÒØ ÔÓÖØ ÒØ ÙÖØÓÙ Ð ÓÐÓÖ ÔÓ Ð Z(N) =,

25 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ØÐ Ó Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÐÝ ÒÑÓÝ ÒÒ º ÔÓ ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÖ Ø ÓÒ ÙÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÑ ÖÓ ÓÔ ÕÙ È Ý ÕÙ Ø Ø Ø ÕÙ ÑÓ Ð Ö Ø Ö Ú ÒØÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Óѹ ÈÓÙÖ ÐÙ ÖÐ ØÖÙØÙÖ Ó Ø

26 ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ µ n 3 a n 1 (17n n + 5)(2n + 1)a n + (n + 1) 3 a n+1 = 0 Ê Ð Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò ÓÐÙØ ÓÒ a n = 3 n 1 ÜÔÖ ÓÒ a n = n ( n k k=0 ) 2 ( n + k k )2 a m,n,p = det [( )] m+n m+i j ÑÔÐ Ø ÓÒ 1 i,j p Ú ÐÙ Ø ÓÒ a n κ( ) n n 3/2 Ø Ñ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ a n κ n n 11/32

27 Ú ÐÙ Ø ÓÒ m n 3 a n 1 (17n n + 5)(2n + 1)a n + (n + 1) 3 a n+1 = 0 Ê Ð Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò ÓÐÙØ ÓÒ a n = 3 n 1 ÜÔÖ ÓÒ ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ µ a n = n k=0 ( n k ) 2 ( ) n+k 2 k ÑÔÐ Ø ÓÒ a m,n,p = det [( )] m+n m+i j 1 i,j p n p i=1 j=1 k=1 i + j + k 1 i + j + k 2 a n κ( ) n n 3/2 Ø Ñ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ a n κ n n 11/32

28 ÓÒ ØÙÖ Ñ Ò ÙØÓ¹ Ú Ø ÒØ Ö Ù Ü ÓÒ Ð an κ n n 11/32

29 ÓÒ ØÙÖ an Ñ Ò ÙØÓ¹ Ú Ø ÒØ Ö Ù ÖÖ κ µ n n 11/32

30 Ø Ö Ô n ÓÑÑ Ø Øm Ö Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ µº A(t) = a n t n = n 0 Ë Ö Ò Ö ØÖ Ä Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö Ó Ø A ÓÑÔØ ÐÓÒÐ ÙÖØ ÐÐ Ø a A t a. A(t) = ÀºÏ Ð ÐÓØ Ð Ò ÓÒÛ Û Ò ÙÔ ÕÙ Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÔÐ Ý º Ä Ö Ò Ö ØÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ó Ø A ÓÑÔØ ÐÓÒÐ ÙÖØ ÐÐ n 0 t n a n n! = a A t a a!. A(x, y) = ÈÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð ÔÓ Ð Ø Ö Ñ ÜØ n,m 0 a n,m x n n! ym

31 = n 0 a n t nº (t) = na n t n 1º n 1 ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ Ú Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐ ÙÖÐ ÓÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö ¹ Ê Ñ ÖÕÙ Ð Ö ÓÒØÙÒÖ ÝÓÒ ÓÒÚ Ö Ò ØÖ Ø Ñ ÒØÔÓ Ø B(A(t)) ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ A Ö Ú Ð ÓÑÔÐ Ü º A(t) Ë Ö ÓÖÑ ÐÐ ËÓÑÑ ÈÖÓ Ù Ø A(t) + B(t) = (a n + b n )t n n 0 A(t).B(t) = n 0 t n i+j=n a i b j 1 1 A(t) = A(t) n a n 0 ÉÙ ¹ ÒÚ Ö 0 = 0µ = n 0 b n A(t) n a 0 = 0µ

32 ÓÐÙØ ÓÒ A(t) = 1 ÜÔÖ ÓÒ Ð Ö Ò Ö ØÖ 1 t t 2 A(t) = (1 t) 1 ÍÒ Ö ÔÓÒ ÙÜ Ñ Ô ÖØ µ ÓÒ µ (1+t)/(1 t)(1 t+ 1 6t+t 2 ) A(t) = 1 (1 t)(1 t 2 )(1 t 3 )(1 t 4 ) t 3 A(t) 4 + t 2 (3 + 4t)A(t) 3 + t(3 29t + 6t 2 )A(t) 2 + (1 7t + 29t 2 + 4t 3 )A(t) (1 t) 3 = 0 Ð Ö ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ (t 5)A(t) + (7t 2 112t + 1)A (t) + 3t(2t 2 51t + 1)A (t) + t 2 (t 2 34t + 1)A (3) (t) = 0. Ö ÒØ ÐÐ Ð Ò Ö µ

33 a n = n! = n (n 1) 2 1 Ü ÑÔÐ Ð ØÓÖ ÐÐ a n ( n e ) n 2πn ÕÙ Ò n Ë Ö Ò Ö ØÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ n a n t n n! = n t n = 1 1 t. Ë Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö n a n t n = t t 2t 2t 1 1 3t 1

34 º ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú ÓÑÑ ÒØÓÑÔØ Ö

35 ËÓ Øn ƺÍÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ nkô ÖØ ØÙÒk¹ÙÔÐ Øc = (n 1,..., n k ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ³ ÒØ Ö n i {1,2,...}ÔÓÙÖØÓÙØi Øn + + n k = nºä ÔÓ c Øw(c) nº )Ó 1 ËÓ Øa(n)Ð ÒÓÑ Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ nº := (1) (2) (1,1) (3) (2,1) (1,2) (1,1,1) (n 1,..., n k ) ÓÑÔÓ Ø ÓÒÖ ÙÖ Ú { (n1,..., n k 1, n k 1) n (n 1,..., n k 1 ) n a(n) = a(n 1) + a(n 1) k k > 1 = 1

36 Ö Ö Ò Ö 8ÒÓ Ù

37 ½ ¾ Ö Ö ½ ¾ ½ ¾ Æ Ö ÓÑÑ Ø n a n

38 Ö Ö Ò Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú k 1ÒÓ Ù a(n) ½º ØÓÖ Ø ÓÒ nòó Ù a(n) = n 1 k=0 n a(k)a(n k 1) a(0) = 1 kòó Ù

39 Ö Ö Ò Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú k 1ÒÓ Ù a(n) ½º ØÓÖ Ø ÓÒ nòó Ù a(n) = n 1 k=0 n a(k)a(n k 1) a(0) = 1 kòó Ù Ë Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö A(t) = n 0 a(n)t n A(t) = 1 + ta(t) 2

40 Ö Ö Ò Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú k 1ÒÓ Ù a(n) ½º ØÓÖ Ø ÓÒ nòó Ù a(n) = n 1 k=0 Ë Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö A(t) = A(t) = 1 + ta(t) 2 n a(k)a(n k 1) a(0) = 1 kòó Ù n 0 a(n)t n A(t) = 1 1 4t 2t ¾ºÊ ÓÐÙØ ÓÒ = n 0 1 ( 2n n + 1 n ) t n ÆÓÑ Ö Ø Ð Òº

41 Ü ÑÔÐ a 0 = 0µ ÍÒ ÓÒ Ó ÒØ A B (a n + b n )t n A(t) + B(t) = n Ø ÓÒÒ Ö Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö ÈÖÓ Ù Ø ÖØ ÒA (a, b) = a + b B A(t).B(t) = n t n i+j=n a i b j ËÙ Ø ³ Ð Ñ ÒØ A (a, b,, z) = a + + z 1 1 A(t) = A(t) k k 0 + A(t) = 1 + ta(t)a(t). {ǫ}

42 ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ

43 Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò

44 Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú = + + C(t) = 1 + tc(t) + tc(t) c n = 1 ( 2n + 2 n + 2 n + 1 ) + + t 2 C(t) 2

45 ½ ¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö ËÓ Øa(n, ØA(t, q) = n,k a(n, n! tn qkº k)ð ÒÓÑ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÐÓÒ Ù ÙÖnÑ Ò ÒØkÓÑÔ Ö ÓÒ A ÐÓÖ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÙ ¹ Ö Ö t Ø (t, q) = A(tq, q)2 = 1 1 t. A(t,1)

46 Ö Ô ÔÐ Ò Ö Ø ÕÙ Ø ¾ ½ ½½ ½¼ ½ ½ ½¾ a n,m n ÓÑÑ Ø m Ö Ø G Ë Ö Ò Ö ØÖ Ñ ÜØ 0 (x, y) = n,m 0 = x 1! a n,m x n n! ym + (1 + y)x2 2! + (1 + 3y + 3y2 + y 3 ) x3 3! +

47 ËÓ ÒØA A(x, y) ØB ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖÐ Ö Ô ÔÐ Ò Ö A = xy(1 + B) 2 Ø B(x, = y(1 + A) 2. y)ð Ö ÓÖÑ ÐÐ Òx Øy ÓÒÒ Ô Ö ( M(x, y) = x 2 y xy + y 1 + y (1 + A)2 (1 + B) 2 (1 + A + B) 3 Ä Ë Ö Ô ÔÐ Ò Ö 3¹ÓÒÒ Ü Ø ). B ËÓ ØY M(x, Y ) 2x 2 Y Y (x, y)ð Ö ÓÖÑ ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ ) log ( 1 + Y 1 + y + xy xy = 0. y ( 1 + Y (x, z) ) G 2 (x, y) = x2 Ä Ë Ö Ô ÔÐ Ò Ö 2¹ÓÒÒ Ü Ø z 1 dz. ËÓ ØF F(x, F = xexp y)ð ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ( yf + G 2 x ) (F, y). G 1 (x, y) = du G 0 (x, y) = exp(g 1 (x, y)). Ä Ë Ö Ô ÔÐ Ò Ö ÓÒÒ Ü Ö Ôº Ò Ö Ùܵ Ø ÐÓÖ x F(u, y) 0 u

48 º ÔÔÖÓ Ø Ú ÓÑÑ ÒØÓÑÔØ Ö

49 Ö Ö Ò Ö 8ÒÓ Ù a n = 1 ( 2n n + 1 n )

50 nòó Ù Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò ÑÓØ µ Ý ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÅÓØ Ý n + 1 Ù ÐÐ µ 2n + 1Ô Ñ Ò Ý Ó aaaabbbabbaababb(b)

51 ( 2n Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ý a n = 1 n + 1 n ) = 1 2n + 1 ( 2n + 1 n ) 2n + 1Ô Ñ Ò Ý (2n + 1)a n = ( 2n + 1) n

52 Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ý Ô Ñ ÖÕÙ ( 2n + 1 n ) (2n + 1)a n

53 Ò Ñ ÙÜ ÙÖÖ Ù ÍÒ Ò Ñ Ð ÙÖÐ Ö Ù ÖÖ

54 ÓÒ ØÙÖ Ò Ñ ÙÜ ÙÖÖ Ù an κµ n n 1 ÍÒ Ò Ñ Ð ÙÖÐ Ö Ù ÖÖ

55 Ò Ñ ÙÜ ÙÖÖ Ù ÑÙÐØ ÐÐÙÐ ÖÐ Ú Ò Ò Û Ñ Ø ÒØ ÖÝÓÙÖÒ ØÑ Ö ÝÓÙÓÙÒØ ÇÒ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ñ Ð Ò Ø Ý Ú ÖØ Ò Ñ Ð Ö ØÝÛ Ø Ø ÑØÓÓÐÓÒ º Ì ÒÙÑ Ög ØÓØ ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛÑ ÒÝ Ö ÒØ Ô Ó ÑÙÐØ ÐÐÙÐ ÖÓÖ Ò Ñ Ò st Ð Ó ÐÐ Ø ÒÙÑ ÖÓ Ð ØØ µ Ò Ñ Ð Ò ØÖ Ö Æ ØÙÖ ÓÖÑÓÙØÓ s Ö ÒØ ÐÐ ºÌ ÛÓÖ Ù ØÓÀ Ê Ê º ºËÌ Í Ê ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒØÓÔ ÖÓÐ Ø ÓÒØ ÓÖÝ ºËÌ Í Ê Ë Ð Ò Ø ÓÖÝÓ Ô ÖÓÐ Ø ÓÒÐÙ Ø Ö

56 ÓÙÖ Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙÜ ÖÖ ØØÖ Ò ÙÐ Ö

57 ½ ¾ Ò Ñ ÙÜ Ö ½ ¾ ½¼ Æ Ö ÓÑÑ Ø n Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙØÖ Ò ÙÐ Ö a n

58 Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙØÖ Ò ÙÐ Ö Æ Ö ÓÑÑ Ø n Ò Ñ ÙÜ Ö ½ ¾ a n ½ ¾ ( 2) = ( 4) = ½¼ = 1 2 ( 6) 3 a Ä ÒÓÑ Ö ³ n ÐÐÙÐ Ø ( 2n n = 1 2 n ) = 1 2 ( 8) 4

59 n = 1 2 ( 2n Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙØÖ Ò ÙÐ Ö a Ä ÒÓÑ Ö ³ n ÐÐÙÐ Ø n ) a n = 1( 2n 2 n Ñ Ò ÒØÔ ÖÙÒÔ ÆÓÖ º Ö ) ÆÓÑ Ö Ñ Ò ÓÖÑ nô ÆÓÖ ØnÔ ËÙ Óѹ ÈÖ ÙÚ Ø Ú

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69 Ë Ö Ð Ö ÕÙ A(t)) = 0. P(t, ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð µ Ä Ö ÓÖÑ ÐÐ A(t) Ø Ð Ö ÕÙ ÙÖÉ(t)µ ÐÐ Ø ØÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ P(t, u, A(t, u)) = 0. Ò Ö Ð Ø ÓÒÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð

70 ÒØÙ Ø ÓÒÓÑ Ò ØÓ Ö Ë Ö Ò Ö ØÖ Ð Ö ÕÙ Ò ØÖ µ ÖÓ ÍÒ Ð ³Ó Ø ÙÒ Ö Ò Ö ØÖ Ð Ö ÕÙ Ó Ø ÓÒØÙÒ Ø Ò Ø ÓÒ ³Ó Ø Ñ Ñ ØÝÔ ÔÐÙ Ô Ø Ø º ØÖÙØÙÖ Ð Ö ÕÙ Ð Ñ ØØ ÒØÙÒ Ö ÔØ ÓÒÖ ÙÖ Ú ÙÖÐ ÓÒ¹ = ǫ + A(t) = 1 + ta(t) 2

71 Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú = + + C(t) = 1 + tc(t) + tc(t) c n = 1 ( 2n + 2 n + 2 n + 1 ) + + t 2 C(t) 2

72 ÉÙ ÐÕÙ ÑÝ Ø Ö Ð Ö ÕÙ

73 S(u, v, t) := i,j,n a(i, j, n)u i v j t n Ñ Ò Ò ÙÒÔÐ Ò Ò i j a(i, j, n) ÈÓÙÖÕÙÓ S(u, v; t) ع ÐÐ Ð Ö ÕÙ ËÓ Øū = ( ) 1/2 ( ) 1/2 1 2t(1 + ū) + 1 4t 1 + 2t(1 ū) t 1/u Ø v = nô 1/vº ÐÓÖ S(u, v; t) = 1 t(u + ū + v + v). ÈÓÙÖÕÙÓ S i,j (t) := n a(i, j; n)t a(1,0;2n + 1) = C 2n+1, a(0,1;2n + 1) = 4 n C n, a( 1,1;2n) = C 2n... n ع ÐÐ Ð Ö ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙ i Øj C n = 1 ( 2n) = n + 1 n n Ñ ÒÓÑ Ö Ø Ð Ò

74 Šż ÖÒ Ö ¼ ÒÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ ÃÖ Û Ö Æ Ö Ù Ò Ð Q(t) := a(n)t n n Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ò ÙÒÕÙ ÖØ ÔÐ Ò a(n) nô ÈÓÙÖÕÙÓ Q(t) ع ÐÐ Ð Ö ÕÙ ËÓ ØW= t(2 Q(t) = 2 (1/W 1) 1 W 2 1 3t + W 3 1 t. )º ÐÓÖ a(i,0;3n + 2i) = ÈÓÙÖÕÙÓ a(i,0; 4 n (2i + 1) n) Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò Ò ÒØ Ò(i,0) ع Ð ÑÔÐ ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n )

75 ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒÔÓÐÝ ÓÒ ½ ¾ ¾ A(u; t) = i,n a(i, n)u i t n ½ a(i, n) ÈÓÐÝ ÓÒ iø nøö Ò Ð ËÓ ØU U(t) ÈÓÙÖÕÙÓ A(u; = t + O(t 2 )ØÕºU t) ع ÐÐ Ð Ö ÕÙ = A(u; t) = 1 2 ( u t 1 t + 2U ( u 3º ÐÓÖ U 1 ) 1 4uU 2 /t ). ÈÓÙÖÕÙÓ a(i, a(i + 2,2n + i) = n) ع Ð ÑÔÐ 2 n (2i + 1) (n + i + 1)(2n + 2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i i n )

Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ

Plus en détail

Á ÏÓÖ Ò Ô Ô Ö ¾»¼ Ä ÒÒÓÒ Ð³ Ø Ú Ø Ø Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø ÙÖ Ð Ñ Ö Ò ÙÖÓ» ÓÐÐ Ö Ï Ð Ò ÇÑÖ Ò ½ ÄÙ ÙÛ Ò ¾ Ø È ÖÖ ÓØ Â ÒÚ Ö ¾¼¼ Ê ÙÑ Ô Ô Ö ØÙ Ð Ò Ð Ø Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ù Ø ÙÜ Ò ÙÖÓ» ÓÐÐ Ö Ò Ù Ø ÓÖ ³ Ú Ò Ñ ÒØ ÓÖÖ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ ß È Ö ÎÁ ÇÖ Ò Ø ÓÒ ËÓ Ø ³ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Î Ù Ð Ø ÓÒ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð ½ Ñ Ö ¾¼¼½ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ ¹ È Ö ÎÁ Ô Ð

Plus en détail

Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr

Contact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr AVERTISSEMENT Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle

Plus en détail

ÒÒ ¾¼¼¾ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÙÑ Ö ÄÝÓÒ ÁÁ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓØ ÙÖ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Ö ÅÙ Ð Ò Ð ½ Ñ Ö ¾¼¼¾ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ð Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÓÙ ÐÐ ÓÒÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ò Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÊÁ ÓÙ

Plus en détail

Î ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ

Plus en détail

Æ Æ ³ÓÖ Ö ÁË Ä ¼½½¾ ÒÒ ½ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ä³ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä Ë Ë Á Æ Ë ÈÈÄÁÉÍ Ë Ä ÇÆ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ä Ê Ç Ì ÍÊ ËÈ Á ÄÁÌ ÁÆ ÇÊÅ ÌÁÉÍ Ô Ö ÒÒ ÈÊÁ ÅÓ Ð Ø ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð Ò ËØÖ Ø ÁÒØ ÖÓÒÒ Ø Ô Ö Ð ÒÒÓØ Ø ÓÒ

Plus en détail

ÁÒ Ø ØÙØ Æ Ø ÓÒ Ð ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ ÄÓÖÖ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓØÓÖ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Á Å Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ Ð Ø ÖÚ ÔÓÙÖ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö Ð ÌÀ Ë ÓÙØ ÒÙ Ð ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÓØÓÖ Ø Ð³ÁÒ

Plus en détail

ÉÍ ÄÉÍ ËÊ ÈÈ ÄËÁÆÌÊÇ Í ÌÁ Ë ÄÊÁ¹ÍÒ Ú Ö Ø È Ö Á ÇÖ Ý Æ ÓÐ Ó Ø Ó ØÐÖ º Ö ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ËÙ Ë˹ÁÁ¹ ÓÒÒ Ú Ò Ë ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ø ØÈÖ Ò Ô ÍÒËÝ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ë µ ÉÙ³ ØÕÙ³ÙÒ ÓÒÒ ÈÓÙÖÕÙÓ Ô ÙÒËÝ Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ÈÓÙÖÕÙÓ Ö À ØÓÖ

Plus en détail

Ò ÐÝ ÓÒÒ Ò ÓÖ ÐÐ ÙÒ ÔÔÖÓ ÓÖ Ò Ð Ó٠Ⱥ¹ º À ÖØ À ÙÖ Ø ÕÙ Ø ÒÓ Ø ËÝ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ÍÅÊ ÆÊË ÍÒ Ú Ö Ø Ì ÒÓÐÓ ÓÑÔ Ò È ¾ ¹ ¹ ¼¾¼ ÓÑÔ Ò Ü ¹ Ö Ò ÖØ ºÙغ Ö Ñ Ö ¾¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð³ Ò ÐÝ Ò ÓÖ ÐÐ

Plus en détail

À Ð Ø Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÙÔ Ö ÙÖ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö ÒÒ ¹Å Ö Ã ÖÑ ÖÖ «Ù ÓÒ Ð Ð Ö ¹ ÐÐ ËÓÙØ ÒÙ Ð ¾¼ Ñ Ö ¾¼¼¾ Ú ÒØ Ð ÙÖÝ ÓÑÔÓ Åº Å Ð Ê Æ Ä ÈÖ ÒØ Åº

Plus en détail

ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Î ÓÙ Å ÖÓ Ó Ø Ü Ð Å Ø Ù È ÐØ Ö ¹Å Ð Å Ø ÙºÈ ÐØ ÖÒ ØÓÙÖÖ ÖºÓÑ ÀÓÑ Ô ØØÔ»» ÐØ ÖÒºÓÖ»Ô ÐØ ÖÑ»Û ÐÓÑ º ØÑ Å ÓÙÖ Ù»¾»¾¼¼¼ ÌÝÔÓ Ö Ô Ä Ì ¾ Ù Ø ÙÒ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ù ÒØ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Î ÓÙ

Plus en détail

Æ Ó ³ÓÖ Ö ¾ ½ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø Ê ÒÒ ½ Å ÒØ ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ô Ö Ë Ö ÊÓÙÚÖ ÕÙ Ô ³ Ù Ð ÁÊÁË ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å ÌÁËË ÓÑÔÓ ÒØ ÙÒ Ú Ö Ø Ö Á ËÁ Ì ØÖ Ð Ø ÍØ Ð Ø ÓÒ ³

Plus en détail

Une infrastructure pour middleware adaptable

Une infrastructure pour middleware adaptable ÁÒ Ø ØÙØ Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Æ ÒØ Une infrastructure pour middleware adaptable È ÖÖ ¹ ÖÐ Ú Ò Ö Ô Ö Ì ÓÑ Ä ÓÙÜ ÓÐ Å Ò Æ ÒØ ÁÒ Ø ØÙØ Ê Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Æ ÒØ ¾ ÖÙ Ð ÀÓÙ Ò Ö ºÈº ¾¾¼ ¹ ¾¾ Æ ÆÌ Ë Ê ÔÔÓÖØ ËØ Ë ÔØ

Plus en détail

Ê ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º

Plus en détail

Ï Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ

Plus en détail

ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ Ì Å ÊÁ ÍÊÁ ËÔ Ð Ø ÁÇÈÀ ËÁÉÍ ÅÇÄ ÍÄ ÁÊ ÈÖ ÒØ Ô Ö Ù ÐÐ ÙÑ Ë ÆÌÁÆÁ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ÎÁ ËÙ Ø Ð Ì Î ÊË Ä ÈÊ Á ÌÁÇÆ Ä ËÌÊÍ ÌÍÊ ÌÊÁ ÁÅ ÆËÁÇÆÆ ÄÄ Ë ÈÁÆ Ä Ë ü

Plus en détail

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille ÓÒÒ Å Ö Â µ È Ð ÔÔ Å Ø Ù Î Ö ÓÒ ½º Ð ½»¼»½ ÁÍ̹ Ä ÐÐ ÄÁ Ä ÍËÌÄ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ë Ë Á Æ Ë Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á Ë ÄÁÄÄ Íº ºÊº ³Áº º º º غ Å ß ÎÁÄÄ Æ ÍÎ ³ Ë É Ì Ðº ¼ ¾¼

Plus en détail

ÈÖÓ Ø ÊÆÌÄ Á Ç ËÓÙ ÈÖÓ Ø ¾ ÔÔÖÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ð ¹ Ä ÚÖ Ð ¾º½ Ø Ø Ð³ ÖØ ¹ Î Ö ÓÒ Ö Ø ¼º½ Ñ ¾¼¼¾ Ê ÙÑ ÓÙÑ ÒØ ÔÓÙÖ Ó Ø ÔÖ ÒØ Ö Ö ÒØ Ø Ò ÕÙ Ñ Ò ÙÚÖ Ò Ø Ø ÓÒ ³ ÒØÖÙ ÓÒ Ò Ð Ö Ð³ ÔÔÖÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ð º Ê Ø ÙÖ ÓÒØÖ

Plus en détail

Ä ÇÆ Á Æ Ó ³ÇÊ Ê ¹¾¼¼¾ Ä Èȹ̹¾¼¼¾»¼¾ ÓÐ ÓØÓÖ Ð È Ý ÕÙ Ø ³ ØÖÓÔ Ý ÕÙ ÄÝÓÒ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ð³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ä Í ÊÆ Ê ¹Ä ÇÆ ½ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÁÈÄÇÅ Ç ÌÇÊ Ì ÖÖ Ø Ù ¼ Ñ Ö ½ ¾µ ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ Ô Ö Ä ÓÒ

Plus en détail

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille

Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille Laboratoire d'informatique Fondamentale de Lille ÓÒÒ Å Ö Â µ È Ð ÔÔ Å Ø Ù Î Ö ÓÒ ½º Ð ¼»¼»½ ÁÍ̹ Ä ÐÐ ÄÁ Ä ÍËÌÄ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ë Ë Á Æ Ë Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á Ë ÄÁÄÄ Íº ºÊº ³Áº º º º غ Å ß ÎÁÄÄ Æ ÍÎ ³ Ë É Ì Ðº ¼ ¾¼

Plus en détail

Oscillateur. Etireur Amplificateurs Compresseur. Source laser de pompe pour crée une inversion de population dans les milieux amplificateur.

Oscillateur. Etireur Amplificateurs Compresseur. Source laser de pompe pour crée une inversion de population dans les milieux amplificateur. Ä Ð Ö ÑØÓ ÓÒ º Æ ÓÐ ÄÄÁ ÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ Â Ò Í Ø Â Ò È ÖÖ ÏÇÄ Ù Ä ÓÖ ØÓ Ö ËÔ ØÖÓÑ ØÖ ÁÓÒ ÕÙ Ø ÅÓÐ ÙÐ Ö ÄÝÓÒ½º Ì Ð Ñ Ø Ö Ê Ñ Ö Ñ ÒØ ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ÈÖ Ò Ô ³ÙÒ Ò Ð Ö ÑØÓ ÓÒ ÑÔÐ º ½º½ Ä³Ó ÐÐ Ø ÙÖº º º º º º º

Plus en détail

Nanolithographie par anodisation locale en microscopie à force atomique sur le phosphore d'indium pour des applications optoélectroniques

Nanolithographie par anodisation locale en microscopie à force atomique sur le phosphore d'indium pour des applications optoélectroniques Année 2005 N d'ordre : 2005 ISAL 0096 THÈSE Nanolithographie par anodisation locale en microscopie à force atomique sur le phosphore d'indium pour des applications optoélectroniques Jury : Par Edern TRANVOUEZ

Plus en détail

POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan

POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan Cahiers GUTenberg GUT POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan Cahiers GUTenberg, no 35-36 (2000), p. 133-155.

Plus en détail

Fermilab FERMILAB-THESIS-2003-15

Fermilab FERMILAB-THESIS-2003-15 Fermilab FERMILAB-THESIS-2003-15 ÈÈŹ̹¾¼¼ ¹¼ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ä Å ÁÌ ÊÊ Æ Á ¹Å ÊË ÁÄÄ ÁÁ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÄÍÅÁÆ ½ Ú ÒÙ ÄÙÑ ÒÝ ½ ¾ Å ÊË ÁÄÄ Ü ¼ Ê Æ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Å Ø Ñ Ø ÕÙ È Ý ÕÙ È ÖØ ÙÐ Ø ÅÓ Ð Ø ÓÒ

Plus en détail

Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements mobiles

Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements mobiles Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements mobiles Ouahiba Fouial To cite this version: Ouahiba Fouial. Découverte et fourniture de services adaptatifs dans les environnements

Plus en détail

ÆËÅ ÓÐ Æ Ø ÓÒ Ð ËÙÔ Ö ÙÖ Å Ò ÕÙ Ø ³ ÖÓØ Ò ÕÙ ÄÁËÁ Ä ÓÖ ØÓ Ö ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë ÒØ ÕÙ Ø ÁÒ Ù ØÖ ÐÐ ÌÀ Ë ÈÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö ÓØ ÙÖ Ð³ÍÒ Ú Ö Ø ÈÓ Ø Ö ÇÄ Æ ÌÁÇÆ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ Å ÆÁÉÍ Ø ³ ÊÇÌ ÀÆÁÉÍ ² ÙÐØ Ë Ò ÓÒ Ñ

Plus en détail

ËÓÙ ¹ÈÖÓ Ø ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÕÙ ÔÖ ÙÚ Ì ØÖ Ð ÓØ ÕÙ ÓÕ Ø Á ÐÐ ¹ÀÇÄ ÔÓÙÖ Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ô¹ ÙØÓÑ Ø Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ö Ø Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð ÓØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ô¹ ÙØÓÑ Ø Ø Ý Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ø ÒØ

Plus en détail

Æ Æ ³ÓÖ Ö ÍÒ Ú Ö Ø È ÊÁË ¹ Ò ÖÓØ Í Ê ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù ÔÐÑ Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø Å Ø Ó È Ý ÕÙ Ò Ì Ð Ø Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Ö ÓÙÖ Ð Ñ Ö ¾¼¼½ ÇÆÌÊÁ ÍÌÁÇÆ Ä Ì ÊÅÁÆ

Plus en détail

ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ö ÒÓ Ê Ð ÌÓÙÖ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Ë ÒØ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ ÒÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ö ¾¼¼¾¹¾¼¼ BLOIS CHINON ÌÀ Ë ÈÇÍÊ Ç Ì ÆÁÊ Ä Ê Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÇÍÊË ÔÐ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ô Ö Æ ÓÐ Ä ÊÇ À Ð Ñ Ö

Plus en détail

Ì ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ

Plus en détail

ÓÒ ÔØ ÓÒ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÙØ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓØÓÓÐ Ø ÓÒ Ð ÑÙÐØ Ø ÃÅÈ ÃÓÙ Ò ¼»¼»¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½º½ ÓÒØ ÜØ Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ö Ù Ø º º

Plus en détail

DÉVELOPPEMENT ET VALIDATION DE MÉTHODES DOSIMÉTRIQUES EN LIGNE POUR LE TRAITEMENT DU CANCER DE LA PROSTATE

DÉVELOPPEMENT ET VALIDATION DE MÉTHODES DOSIMÉTRIQUES EN LIGNE POUR LE TRAITEMENT DU CANCER DE LA PROSTATE DÉVELOPPEMENT ET VALIDATION DE MÉTHODES DOSIMÉTRIQUES EN LIGNE POUR LE TRAITEMENT DU CANCER DE LA PROSTATE THÈSE N O 3267 (2005) PRÉSENTÉE À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE Institut de physique de l'énergie

Plus en détail

Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition

Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition Université defranche-comté École doctorale Sciences Pour l Ingénieur et Microtechniques U.F.R. des Sciences et Techniques Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition THÈSE présentée

Plus en détail

Na +, - OOC COO -,NH 4. NH 4 +, - OOC COO -,Na + La chance ne sourit qu'aux esprits bien préparés Louis Pasteur

Na +, - OOC COO -,NH 4. NH 4 +, - OOC COO -,Na + La chance ne sourit qu'aux esprits bien préparés Louis Pasteur ÍÒ Ø ³ Ò Ò Ñ ÒØ Ä ¾¼ +, - -, 4 + 4 +, - -, + L chnc n sourit qu'ux sprits bin préprés Louis Pstur ÓÙÑ ÒØ ³ ÓÑÔ Ò Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ò ÕÙ ¾¼¼ µ ÈÖ Ñ Ö Ô ÖØ ËØÖÙØÙÖ Äº ÂÙÐÐ Ò ¾ ÈÖ Ñ ÙÐ ÓÙÑ ÒØ Ø Ò Ú Ò Öº ÁÐ Ò Ð Ö

Plus en détail

ËÓÙ ¹ÈÖÓ Ø ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÕÙ ÔÖ ÙÚ Ì ØÖ ÁÒØ Ö ÒØÖ ÓÕ Ø Ä Æ Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ö Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö ÓÒ Ð ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Ý Ø Ñ ÓÕ Ø Ä Æ Ø Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ð Ù Ö ÔÖ ÙÚ ³ Ð Ø Ô Ö Ö Ö ØÙÖ º ÙØ ÙÖ µ Ù ØÐ Ù ÐÚ Ö Ó È ÖÖ

Plus en détail

¹ËÁÊ ¹ Ê ÔÔÓÖØ Ø ÈÖÓ Ø Ä Ò Ø Ê Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ö Ò Ó Ò Æ Ó Ò Ö Ñ ÒØ ÀÙ ÖØ Æ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ¾ Ì Ð Å Ø Ö ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ Ø Ø Ð³ ÖØ ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ä ÙÐØ Ë Ò ÔÔÐ ÕÙ ÓÐÐ ÓØÓÖ Ø Ë Ò Ð³ÁÒ Ò ÙÖ Ö Ø ØÙÖ ÓÐÓ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ä Ú ÐÓÖ Ø ÓÒ Ê Ù ÖÓÝ Ø Å Ø ÐÐ ÕÙ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ ÒØ Ö Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö ÓØ ÙÖ Ò Ë Ò Ð³ÁÒ Ò ÙÖ Ô Ö È ÖÖ ¹ Ö ÒÓ Ê

Plus en détail

ÍÒ Ú Ö Ø Ð Å Ø ÖÖ Ò Ü¹Å Ö ÐÐ ÁÁ Ä ÓÖ ØÓ Ö Ù ÒØÖ È Ý ÕÙ È ÖØ ÙÐ Å Ö ÐÐ ØØ Ø ÒØ ØÙÐ ØÙ Ò Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ËÝ Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ò ÐÐ ÁÊ ¹ ØÖ ÙØ ÁÒ Ö ØÖÙØÙÖ Û Ø Ê ÑÓØ ÒØ ÓÒØÖÓÐ ÔÖ ÒØ Ô Ö Î Ò ÒØ ÖÓÒÒ ÁÒ Ò ÙÖ Ê

Plus en détail

ÇÆ ÈÌÁÇÆ Ì Ê ÄÁË ÌÁÇÆ ³ÍÆ ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ËÌÁÇÆ Ê Ë Í Ë ÇÅÈÇË ÆÌË Ê È ÊÌÁË Ô Ö ÅÓ Ñ Ö Þ Ñ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö Ñ ØÖ Ò ÅºËºµ ÍÄÌ Ë Ë Á Æ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ËÀ Ê ÊÇÇÃ

Plus en détail

ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ò Â Ú Ü Ò Ö Å ½ ÔØ Ñ Ö ¾¼½ Ì Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÙÖ ¾ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ À Ó ÏÓÖ º º º

Plus en détail

Études de cas en analyse des données

Études de cas en analyse des données Études de cas en analyse des données Bernard Colin (Éditeur) Départements de mathématiques et d informatique Faculté des Sciences Université de Sherbooke Rapport de recherche No 86 1 AVANT-PROPOS Ce rapport,

Plus en détail

TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM

TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM 2010 Année scolaire 2010-2011 Cours / Exercices Auteurs de la Ressource Pédagogique Charnay Michel Dubois Gérard Jai Mohammed Tutorat Electronique en

Plus en détail

Ð Ø Ò Ð ÙØÓÑ Ø Ø ÑÔÓÖ Å ÑÓ Ö Å Ø Ö¾ ÙÜ ÓÖÐÓ ËÓÙ Ð Ö Ø ÓÒ È ØÖ ÓÙÝ Ö ØÆ ÓÐ Å Ö Ý ÙÝ Ð ÒÆ Ú ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Ò Ö ÔÔÓÖØ ÒÓÙ ØÙ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ø ³ÙÒ Ø Ø Ò Ð Ê ÙÑ Ú ÙÒ ÙÐ ÓÖÐÓ ºÆÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ Ð ØÆȹÓÑÔÐ ØÔÓÙÖÙÒ

Plus en détail

IDIAP IDIAP. Martigny - Valais - Suisse

IDIAP IDIAP. Martigny - Valais - Suisse R E S E A R C H R E P O R T IDIAP IDIAP Martigny - Valais - Suisse ÁÆØ Ö Ø Ò ËÈ ÓÙ Ø Ò Ð Ò Ù Ø ÓÒ ÌÖ ÒØ Ð Ò ËÝ Ø Ñ Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÙÐ ÖÒ Ö À ÖÚ ÓÙÖÐ Ö Å ÖØ Ò Ê Ñ Ò Â Ò¹ Ö ÔÔ Ð Ö Á Á ÈßÊÊ ¹¾½ ÆÓÚ Ñ Ö ½ Ë Ð Ó

Plus en détail

Ä Ù Ù ÊÇÇÌ Ö ÔÓÙÖ Ä ÒÙÜ Ö ÙÑ Ö º ÙÑ Ä ÒÙܺ ͺÇÖ Ö º ÙÑ Ö Ò ÜºÓÖ Î Ö ÓÒ ¾º ¾½ Ë ÔØ Ñ Ö ½ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖ Ñ ÙÐ ½ ½º½ À ØÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Plus en détail

4. Gestion des tâches

4. Gestion des tâches ÁÈ ¾ ÚÖ Ö ¾¼½¼ ½ Ü Ñ Ò Ý Ø Ñ Ø ÑÔ ¹Ö Ð È ÖØ Á ÙÖ ÓÒ ÐÐ ¼ Ñ Ò ÈÓÒ Ö Ø ÓÒ ½¼ ÔÓ ÒØ ÙÖ ¾¼ ÓÙÑ ÒØ ÓÙÖ Ø ÐÙÐ ØÖ ÙØÓÖ º Ä Ù Ø ³ ØÙ Ø Ð Ý Ø Ñ ³ ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ö Ð ÇË Ãº ÇÒ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ Ö Ø ÜØ Ò ÝÒØ Ü Ó Ð ÔÓÙÖ

Plus en détail

z x h ÙÖ ½ ÓÑØÖ Ù ÔÖÓÐѺ ½º ÁØÖÓÙØÓ ÁÐ Ø ÓÙ ÕÙ Ù ÓÙ Ó ÔÖÓÖ ÓØ Ý ØÑ Æ ÔÓÙÖ ÔÖ Ð³Ö ÚÙ Ð Ó ÂÖÐ ÂÖÐ ½½µ ÓØ ÐÖÑØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÑÓÖØÖ Ð ÐÔÓØ Ð ÔÓÖØ Ù ÔÖÓÖ ÓØ Ú ÓÑÑ Ý ØÑ ÔÖÓØØÓ ÓØÖ ÚÓÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÖÑ ² ÇÙÑÖ ½ ÓÙ ÐÙ ²

Plus en détail

Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides:

Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: Méthode de décomposition de domaine et conditions aux limites artificielles en mécanique des fluides: méthode Optimisée d Orde 2. Caroline Japhet To cite this version: Caroline Japhet. Méthode de décomposition

Plus en détail

Introduction au cours Pipeline logiciel Fusion de boucles. Sans contraintes de ressources. Optimisations des durées de vie

Introduction au cours Pipeline logiciel Fusion de boucles. Sans contraintes de ressources. Optimisations des durées de vie Outline Introduction au cours 1 Introduction au cours Compilation et optimisations de codes Des p'tites boucles, toujours des p'tites boucles Exemples de spécicités architecturales 2 3 Intérêts et problèmes

Plus en détail

ÅÁÅÁËÊ Ä³ËËÇÁÌÁÇÆ Ê ÊÌÁÇÆ ÆË ÍÆ ÌÄÍ ÊÇÁË ÐÖØ ÊÁÌËÀÊ ÑÐ º ÁÀ ÆÓÐ ÆÁÇÄÇÆÆÁË ½ ÊËÍŠijÒØÒ Ø Ð³ ÓØÓÒ ÒØÖ Ð ÚÖÐ ÐÒ Ø Ð ÚÖÐ ÓÐÓÒÒ ³ÙÒ ØÐÙ ÖÓ ÚÖ Ú Ð ÖÖÓÙÔÑÒØ ØÓÖ º Ò ÔÐÙ ÙÖ ÓÒØÜØ ÓÑÑ Ð ÖØ ØÓÒ ÑÙÐØÒ ÙÜ ÚÖÐ Ð ÑÔÓÖØ

Plus en détail

GeoProof. Manuel de référence. Copyright c 2006 Julien Narboux

GeoProof. Manuel de référence. Copyright c 2006 Julien Narboux GeoProof Manuel de référence Copyright c 2006 Julien Narboux Bienvenue dans le manuel de référence de GeoProof. Ce manuel est composé de neuf chapitres : 1. Le chapitre «Installation» décrit la procédure

Plus en détail

Programme et actes. 6 ème SYMPosium en Architectures nouvelles de machines Organisé conjointement avec RenPar'12 19-22 juin 2000, Besançon

Programme et actes. 6 ème SYMPosium en Architectures nouvelles de machines Organisé conjointement avec RenPar'12 19-22 juin 2000, Besançon ARP Sympa - Programme et actes Programme et actes 6 ème SYMPosium en Architectures nouvelles de machines Organisé conjointement avec RenPar'12 19-22 juin 2000, Besançon Pas d'utilisateur identifié Introduction

Plus en détail

Analyse de courbes de consommation électrique par

Analyse de courbes de consommation électrique par INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Analyse de courbes de consommation électrique par chaînes de Markov cachées Jean-Baptiste Durand Laurent Bozzi Gilles Celeux Christian Derquenne

Plus en détail

Æ Ó ³ÓÖÖ ¼ ½¼ Ì ÔÖ ÒØ ÚÒØ Ð³ÁÒ ØØÙØ ÆØÓÒÐ ËÒ ÔÔÐÕÙ ÊÒÒ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ Ð ØØÖ ÓØÙÖ ÔÐØ ÐØÖÓÒÕÙ ØÙ Ø ÓÔØÑ ØÓÒ ØÒÕ٠ŹŠÔÓÙÖ Ð ÙØÙÖ ÒÖØÓÒ Ý ØÑ ÓÑÑÙÒØÓÒ ÖØÞÒÒ ÔÖ ËØÔÒ ÆÇÁÄÌ ËÓÙØÒÙ Ð ¼ ÓØÓÖ ¾¼¼ ÚÒØ Ð ÓÑÑ ÓÒ ³ÜÑÒ

Plus en détail

ÄÓÖØÓÖ ³ÁÒÓÖÑØÕÙ ËÒØÕÙ Ø ÁÒÙ ØÖÐÐ ½¾ ¾ ÆËÅ Ø ÍÒÚÖ Ø ÈÓØÖ ÇÖÓÒÒÒÑÒØ ØÑÔ ÖÐ Ò¹ÐÒ ÓÒØÖÒØ ÓÒÔØÓÒ Ø ÒÐÝ ÀÐØØÓÒ ÖÖ ÖÖ ËÝÒØ ØÖÚÙÜ È Ð ÊÖ ÅØÖ ÓÒÖÒ Ð³ÁÍÌ ÈÓØÖ ½ ÙÒ ¾¼¼ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ù ÙÖÝ ÈÖº ÐÙ Ã Ö ÊÔÔÓÖØÙÖ Ö»ÆÅ ÈÖ

Plus en détail

Ä ÇÊ ÌÇÁÊ ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÈÁ ÊÊ ÌÅ ÊÁ ÍÊÁ ij ÇÄ ÆÇÊÅ Ä ËÍÈ ÊÁ ÍÊ ÌÀ Ë Ç ÌÇÊ Ì Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ËÔ Ð Ø ÈÀ ËÁÉÍ ÌÀ ÇÊÁÉÍ Ë Ö ÄÇÊ ÆË ÔÖ ÒØ Ô Ö Ç Ì ÍÊ Ä³ÍÆÁÎ ÊËÁÌ È ÊÁË ÔÓÙÖÓ Ø Ò ÖÐ Ö ÇÀ Ê Æ ÌÄÇ

Plus en détail

Un modèle à interactions distribuées

Un modèle à interactions distribuées ÈÊÇÂ Ì ÊÆÌÄ Ê º½ ¹ ËÔ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÑÓ Ð ³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ì¼ ½ ÒØ ÖÒ ¹ ̼ ÔÙ Ð Ä ÙÖ ÒØ Ö Ö Å Ö ÐÐ Ð Ý ÒÒ ¹Å Ö È ÒÒ ¹ ÖÝ Ø Å Ð ÊÚ ÐÐ ÍÒ Ú Ö Ø Æ» ËËÁ ¼ ÖÓÙØ ÓÐÐ ¼ ¼ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ Ü Ñ ¼¼ Ê ÙÑ ÓÙÑ ÒØ Ø ÓÑÔÓ Ò Ð Ô ÖØ ÔÖ

Plus en détail

ÍÆÁÎÊËÁÌ ÌÀÇÄÁÉÍ ÄÇÍÎÁÆ ÙÐØ ËÒ ÔÔÐÕÙ ÄÌÊÁÁÌ Ø ÅÆÌÁËÅ º Ù Ö Ø Êº ÈÖÐ ÇÍÊË Ë½¼¾ Àº ÙÝ ¹º Ù Ö ¹Êº ÈÖÐ ¹Âº ÎÖÚÖ «Ù ÓÒ ÍÒÚÖ ØÖ ÁÇ ÂÒÚÖ ½ ÎÊÌÁËËÅÆÌ Ä ÔÖ ÒØ ÒÓØ ÓÒØ ØÒ ÖÚÖ ÖÖÒ ÔÓÙÖ Ð ÓÙÖ ÈÝ ÕÙ ¾ ¹ ÐØÖØ ÔÒ Ò ÔÖÑÖ

Plus en détail

ÄÓÐ ØÓÒ Ø ÓÑÑÒ ÊÓÓØ ÖÒ ÅÒØÙÖ ÚÓÐÙÖ ØÓÙÖÒÒغ ÊÓÐÓ ÄÓÞÒÓ ÀÍÖ ØÕÙ Ø ÁÒÓ Ø Ë ØÑ ÓÑÔÐÜ ÀÍÁ˵ ÍÅÊ ÆÊË ÍÒÚÖ Ø ÌÒÓÐÓ ÓÑÔÒ È ¾¼¾ ¼¾¼ ÓÑÔÒ Ü Ìк ¼µ ¾ ¾ Ü ¼µ ¾ Ñк ÊÓÐÓºÄÓÞÒÓ ºÙØºÖ ËÔØÑÖ ½ ¾¼¼½ ½ ½ ÓÒØÜØ ÒØÕÙ Ä ÚÒ

Plus en détail

Etude, conception et réalisation d un capteur de micro et nano-forces. Application à la mesure d élasticité des ovocytes.

Etude, conception et réalisation d un capteur de micro et nano-forces. Application à la mesure d élasticité des ovocytes. Etude, conception et réalisation d un capteur de micro et nano-forces. Application à la mesure d élasticité des ovocytes. Mehdi Boukallel To cite this version: Mehdi Boukallel. Etude, conception et réalisation

Plus en détail

Å ÙÖ ÑÔ ÔÐÑÒØ ÔÖ ÓÖÖÐØÓÒ ³Ñ Ø ÔÔÐØÓÒ Ò ÑÒÕÙ ÓÐ ÖÒÓ ÀÐ ÆÓØ ÓÙÖ ÁÈËÁ ÁÒØØÓÒ Ù ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÑÒÕÙ ÑØÖÙÜ Ø Ø Ð ÖÙÔØÙÖ ØÖÙØÙÖ Ð³ ÑØÓ ÓÔØÕÙ ËÔØÑÖ ¾¼¼ ÄÅÌ¹Ò ÄÓÖØÓÖ ÅÒÕÙ Ø ÌÒÓÐÓµ ÆË Ò»ÆÊ˹ÍÅÊ»ÍÒÚÖ Ø ÈÖ ½ ÚÒÙ Ù ÈÖ

Plus en détail

Estimation du mouvement apparent majoritaire dans une séquence d images vidéo par accumulation de votes bimodaux sur un histogramme approché

Estimation du mouvement apparent majoritaire dans une séquence d images vidéo par accumulation de votes bimodaux sur un histogramme approché Estimation du mouvement apparent majoritaire dans une séquence d images vidéo par accumulation de votes bimodaux sur un histogramme approché Frédéric Comby To cite this version: Frédéric Comby. Estimation

Plus en détail

ÍÆÁÎÊËÁÌ ÄÁË ÈËÄ ÇÄ ÇÌÇÊÄ ËÁÆË ÈÇÍÊ Ä³ÁÆÆÁÍÊ ÄÊÅÇÆ̹ÊÊÆ ÌÀË ÔÖ ÒØ ÔÖ ÚÖ Ä ÁÒÒÙÖ ºÆºËºÈºËº ÓÖÑØÓÒ ÓØÓÖÐ ÐØÖÓÒÕÙ Ø Ý ØÑ ÈÓÙÖ ÓØÒÖ Ð Ö ÇÌÍÊ ³ÍÆÁÎÊËÁÌ ËÔÐØ Î ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÊÓÓØÕÙµ ÓÒØÖÙØÓÒ Ð ÒÚØÓÒ ÙØÓÒÓÑ ³ÙÒ ÚÙÐ

Plus en détail

Publication sur Internet

Publication sur Internet SÉANCE 3 Publication sur Internet 3.1 Edition d un site en HTML 3.1.1 Les différents types de documents Les documents présents sur Internet peuvent être de différents formats. Le format HTML est le premier

Plus en détail

ÍÆÁÎÊËÁÌ ÊÇÁÌ ³ÇÆÇÅÁ Ì Ë ËÁÆË ³Á¹ÅÊËÁÄÄ ÓÐ ÓØÓÖÐ ËÒ ÓÒÓÑÕÙ Ø ØÓÒ ³Ü¹ÅÖ ÐÐ ÒØÖ ³ØÙ Ø ÊÖ ÙÖ Ð ÇÖÒ ØÓÒ Ø Ð ØÓÒ ÁÆËÌÁÌÍÌ ³ÅÁÆÁËÌÊÌÁÇÆ Ë ÆÌÊÈÊÁËË ÌÀË ÇÌÇÊÌ Æ ËÁÆË ËÌÁÇÆ ÔÖ ÒØ ÔÖ ÐÜ ËÓÙÔÖ ÓÒ Ë Ä ÎÇÄÌÁÄÁÌ ËÌÇÀËÌÁÉÍ

Plus en détail

ÓÐÐ ÓØÓÖÐ Æ ØØÖÙ ÔÖ Ð ÐÓØÕÙ Ì À Ë ÔÓÙÖ ÓØÒÖ Ð Ö ÓØÙÖ Ð³ÓÐ ÅÒ ÈÖ ÔÐØ ÁÒÓÖÑØÕÙ ÌÑÔ ÊÐ ÊÓÓØÕÙ ÙØÓÑØÕÙ ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØÒÙ ÔÙÐÕÙÑÒØ ÔÖ Åº ÆÓÐ ÅÍËÍ Ð ¾¼ ÑÖ ¾¼¼½ Á Í ÈÄÅÆÌ ³ÈÈÄÁÌÁÇÆË ÌÊÁÌÅÆÌ Í ËÁÆÄ ËÍÊ ÅÀÁÆË ÈÊÄÄÄË

Plus en détail

méthodes numériques appliquées

méthodes numériques appliquées C O L L E C T I O N G R E N O B L E S C I E N C E S dirigée par jean bornarel méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l ingénieur Jean-Philippe GRIVET Méthodes numériques appliquées pour

Plus en détail

ÍÒÚÖ Ø ØÓÐÕÙ ÄÓÙÚÒ ÙÐØ Ò ÔÔÐÕÙ ÔÖØÑÒØ ³ÒÒÖ ÑØÑØÕÙ Å ÙÖ Ö ÕÙ ÑÖ Ø ÔÖÖÐØ ÙÒÚÖ Ðк ÃÖÑ ÒÒ ÅÑÓÖ ÔÖ ÒØ Ò Ú٠гÓØÒØÓÒ Ù Ö ³ÒÒÙÖ ÚÐ Ò ÑØÑØÕÙ ÔÔÐÕÙ ÈÖÓÑÓØÙÖ Ú ËÑÖ ÄØÙÖ ÈÖÖ Ö Ø ÅÐ ÒÙØ ÄÓÙÚҹĹÆÙÚ ÆÓÚÑÖ ¾¼¼ ÊÑÖÑÒØ

Plus en détail

Conseils aux futurs préparationnaires

Conseils aux futurs préparationnaires Conseils aux futurs préparationnaires Vous venez de terminer votre scolarité en Lycée et entrez maintenant dans l enseignement supérieur, en classe préparatoire ECS. À partir de septembre, c est près de

Plus en détail

STATUTS DE L ASSOCIATION. Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901

STATUTS DE L ASSOCIATION. Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901 STATUTS DE L ASSOCIATION Association régie par par la Loi du 1 er juillet 1901 Statuts adoptés par l Assemblée Générale Extraordinaire du dimanche 1 er avril 2007 ËØ ØÙØ Ð³ Ó Ø ÓÒ ÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ò Ø

Plus en détail

ÅÁ ÆÆÌË ÌÀË ÇÌÇÊÌ Ä³ÍÆÁÎÊËÁÌ Í ÅÁÆ ËÔÐØ ÇÍËÌÁÉÍ ÖÓ ÊÍ ÊÆ ÎÄÍÌÁÇÆ Ë ÈÊÇÊÅÆË ³ÍÆ ÆÎÁÊÇÆÆÅÆÌ ÁÆÇÊÅÌÁÉÍ ³ÇÍËÌÁÉÍ ÈÊÎÁËÁÇÆÆÄÄ Ì ÓÙØÒÙ Ð ÚÒÖ ½ ÑÖ ½ ÚÒØ Ð ÓÑÑ ÓÒ ³ÜÑÒ ÓÑÔÓ º Ç ÈÖ ÒØ º ÊÁÆ ÊÔÔÓÖØÙÖ Âºº ÈÇÄà ÊÔÔÓÖØÙÖ

Plus en détail

2 20 e Journées Bases de Données Avancées (BDA 2004). 1. Introduction

2 20 e Journées Bases de Données Avancées (BDA 2004). 1. Introduction arxiv:0704.3501v1 [cs.db] 26 Apr 2007 Conception d un banc d essais décisionnel : ÖÓÑ º ÖÑÓÒØÙÒ Ú¹ÐÝÓÒ¾º Ö Jérôme Darmont Fadila Bentayeb Omar Boussaïd ERIC Université Lumière Lyon 2 5 avenue Pierre Mendès-France

Plus en détail

Administration Unix. Cas de GNU/Linux/Debian. Volume 4

Administration Unix. Cas de GNU/Linux/Debian. Volume 4 -1-0 Administration Unix Cas de GNU/Linux/Debian Volume 4 Ö Ò Ø ºÓÖ Ronan Keryell Novembre 2005 Version 1.2 Copyright (c) 1986 2037 byêóò Һà ÖÝ ÐÐ Ò Ø ºÓÖ. This material may be distributed only subject

Plus en détail

Treillis de Galois et ontologies de domaine pour la classification et la recherche de sources de données génomiques

Treillis de Galois et ontologies de domaine pour la classification et la recherche de sources de données génomiques Université HenriPoincaré NancyI Treillis de Galois et ontologies de domaine pour la classification et la recherche de sources de données génomiques MÉMOIRE soutenu le 21 Juin 2004 pour l obtention du DEA

Plus en détail

Un outil de prédiction dynamique de performances dans un environnement de metacomputing

Un outil de prédiction dynamique de performances dans un environnement de metacomputing RECHERCHE Un outil de prédiction dynamique de performances dans un environnement de metacomputing Martin Quinson LIP, UMR CNRS-ÉNS Lyon-INRIA 5668 École Normale Supérieure de Lyon 46, allée d Italie 69364

Plus en détail

ß ½ ±²» 7 ½±³ ± ² ¼» ª»«¼ ± ±² ½±««7» ¼ 7» ³ ò é ððð ³³ô ¼ ¼ ³»² ±² ±² ¼ ±² ¾» «¼»³ ²¼» ìëð ï îçí ³³. ̱ ³ 7 «¼» ½±² «½ ±² ¾»³»² «7 ± ª «¼ ² 7»«ò

ß ½ ±²» 7 ½±³ ± ² ¼» ª»«¼ ± ±² ½±««7» ¼ 7» ³ ò é ððð ³³ô ¼ ¼ ³»² ±² ±² ¼ ±² ¾» «¼»³ ²¼» ìëð ï îçí ³³. ̱ ³ 7 «¼» ½±² «½ ±² ¾»³»² «7 ± ª «¼ ² 7»«ò ÍÑÒ ÝÑ ïïð Ý ± ±² ³±¾» Ì» Ý ½ 8» ñß ½ ±² ͱ² ½± ïïð ß ½ ±²» 7 ½±³ ± ² ¼» ª»«¼ ± ±² ½±« «7» ¼ 7» Ü ³»² ±² ¼«²²» «æ Û»«Ø «Ô ¹»«Ð ²²» «¼» ±» ïïé ³³ ³ ò é ððð ³³ô ¼ ¼ ³»² ±² ±² ¼ ±² ¾» «¼»³ ²¼» ìëð ï îçí ³³

Plus en détail

k i MA i = 0. OM = n OM = 1 (a OA + b f( u + v ) = f( u ) + f( v ) i=1 i=1

k i MA i = 0. OM = n OM = 1 (a OA + b f( u + v ) = f( u ) + f( v ) i=1 i=1 (, ) (, ) (D, ) D () (D) = D (, ) (, ) (, ) k v (, ) k v (, ) () = k (, ) ( i ) i 1 n (k i ) i k i M n k i M i = 0. i=1 O M 1 n OM = n i=1 k k ioi i a b M OM = 1 (a O + b a+b O) (, a) (, b) (, c) (, a)

Plus en détail

! "# "$% %&# % *+&*'+&*# ' "'#" & -!"& + '1+ '45 %!! 3 " & + '1+ '4 3 ' "'# ''!1+ '# 3 !-"%&# ''!1+ ' +3

! # $% %&# % *+&*'+&*# ' '# & -!& + '1+ '45 %!! 3  & + '1+ '4 3 ' '# ''!1+ '# 3 !-%&# ''!1+ ' +3 ! "# "$% %&# %! "#"$%&&'"!&%("!)&*' " *&%"*#!*+#)& ", *+&*'+&*# ' "'#" & ''!&()*'+,--. +/!' +-*$0%1%23%!! 3 -!"& + '1+ '45 %!! 3 " & + '1+ '4 3 ' "'# ''!1+ '# 3 --"!. *#0%1+ '6!#3 "'"/**#'"#$ 71+ 63 -&&

Plus en détail

Manuel d installation SWING

Manuel d installation SWING Manuel d installation SWING Providing indoor climate comfort SWING-IOM-0206-F ÌßÞÔÛ ÜÛÍ ÓßÌ XÎÛ Í Ð 7½ «±² ¼ù ² ±²òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò ï Ô»«¼ù ²

Plus en détail

Monique Chenu Présidente de l EAC

Monique Chenu Présidente de l EAC aa 173 sur notre canton en août 2015. Certaines ont disparu d autres se sont créées récemment mais toutes témoignent de la forte activité associative de notre territoire et de la volonté des habitants

Plus en détail

LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE

LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE SEIZIÈME LEÇON LOI DE PROBABILITÉ DISCRÈTE Résumé Historiquement, les calculs de probabilités ont été tout d abord utilisés pour étudier l argent que pouvaient espérer gagner les princes au jeu. De nos

Plus en détail

Commande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr

Commande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande

Plus en détail

DELIBERATION N CP 13-639

DELIBERATION N CP 13-639 CONSEIL REGIONAL D ILE DE FRANCE 1 CP 13-639 DELIBERATION N CP 13-639 DU 17 OCTOBRE 2013 La politique sociale régionale La politique régionale pour les personnes en situation de handicap Cinquième affectation

Plus en détail

Études expérimentale et numérique des transferts de charge dans les matériaux granulaires. Application au renforcement de sols par inclusions rigides.

Études expérimentale et numérique des transferts de charge dans les matériaux granulaires. Application au renforcement de sols par inclusions rigides. Études expérimentale et numérique des transferts de charge dans les matériaux granulaires. Application au renforcement de sols par inclusions rigides. Bastien Chevalier To cite this version: Bastien Chevalier.

Plus en détail

Des Orchestrations de Services Web aux Aspects

Des Orchestrations de Services Web aux Aspects Des Orchestrations de Services Web aux Aspects Cédric Joffroy, Sébastien Mosser, Mireille Blay-Fornarino, Clémentine Nemo Laboratoire I3S (CNRS - UNSA), Bâtiment Polytech Sophia SI 930 route des Colles

Plus en détail

Revue trimestrielle de la Saint-Cyrienne - Janvier 2015 CASOAR N 216 PÔLE VIE PROFESSIONNELLE CARRIÈRE ET RECONVERSION

Revue trimestrielle de la Saint-Cyrienne - Janvier 2015 CASOAR N 216 PÔLE VIE PROFESSIONNELLE CARRIÈRE ET RECONVERSION N 216 Revue trimestrielle de la Saint-Cyrienne - Janvier 2015 CASOAR LE PÔLE VIE PROFESSIONNELLE CARRIÈRE ET RECONVERSION Ü ²» ½ ¼» ¼» ³ ±² ¼K»² ¼»ô» л Ê» Ð ±º» ±²²»» ½±²»»» ½½±³ ¹²» ¼» «¼»«²» ±ºB½» ±«ó»²

Plus en détail

Etude de faisabilité de substituer certains capteurs physiques en capteurs virtuels

Etude de faisabilité de substituer certains capteurs physiques en capteurs virtuels ½» ¼»¼»¾¼¼ Î Ö ÓÒ¾º¼ SARI PROJET SARI - PREDIT 3 Surveillance Automatisée de la Route pour l Information des conducteurs et des gestionnaires RADARR - Livrable n o 1.6 Etude de faisabilité de substituer

Plus en détail

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition

Plus en détail

Richard Lagrange Directeur du Centre national des arts plastiques

Richard Lagrange Directeur du Centre national des arts plastiques -è é. é é, é ôé É é é.,, é é é é.,, -ê à é, é é é ç éé. é éé ç œ,, é - É. é 2010. ç é,. é éé é 2012 é é éé éê é. é é é. = // é,. 38. 13/10/11, 24/11/11 î è é ç, é é., é é é à î é à î, é à è. é à,, ç, -à-.,.,

Plus en détail

Informations générales sur les études supérieures en statistique

Informations générales sur les études supérieures en statistique Informations générales sur les études supérieures en statistique (Programmes 2-194-1-0 et 3-194-1-0) Pierre Duchesne (duchesne@dms.umontreal.ca) Université de Montréal Université de Montréal Montréal,

Plus en détail

J aimerais profiter de cette page pour remercier tous ceux qui, directement ou indirectement, ont contribué à ce que ce travail arrive jusque là.

J aimerais profiter de cette page pour remercier tous ceux qui, directement ou indirectement, ont contribué à ce que ce travail arrive jusque là. ÍÒ Ú Ö Ø ÌÓÙÐÓÙ ÁÁÁ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓØÓÖ Ð ÁÑ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÀÝÔ ÖÑ ÓÐ ÓØÓÖ Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ØÌ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ¹Ö ÔÓÒ ÙÖÐ Ï ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÙÒ ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØÐ ½ ÚÖ Ö¾¼¼ ÓØÓÖ Ø Ð³ÍÒ Ú Ö

Plus en détail

Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass

Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass Sharp interface limit of an Allen-Cahn equation with conservation of the mass Matthieu Alfaro and Pierre Alifrangis, I3M, Université de Montpellier 2, CC051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex

Plus en détail

Formation expérimentale en mécanique des fluides

Formation expérimentale en mécanique des fluides FACULTÉ DES SCIENCES D ORSAY Formation expérimentale en mécanique des fluides Enseignant responsable: Yann BERTHO yann.bertho@u-psud.fr L3 Physique et applications L3 Mécanique Année 014-015 ÅÓ Ð Ø Ä

Plus en détail

Projet Coût total H.T. Taux d'intervention

Projet Coût total H.T. Taux d'intervention CONSEIL REGIONAL D ILE DE FRANCE Article 1 : 2 CP 12-843 Décide de participer au titre du dispositif SESAME au financement de l acquisition d équipements mi-lourds par des laboratoires de recherche franciliens

Plus en détail

Immeuble de rendement à prépondérance locative

Immeuble de rendement à prépondérance locative L immobilier, un investissement sûr! A vendre Immeuble de 10 appartements de 3.5 et 4.5 pièces et d une surface commerciale Prix de vente: CHF 2 900 000.00 Adresse du bien Av. Eugène-Burnand 16 1510 Moudon

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercice Exercices sur les vecteurs ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O () Compléter par un vecteur égal : a) AB = b) BC = c) DO = d) OA = e) CD = () Dire si les affirmations

Plus en détail