P etit pat hw o rk de ombinatoire énumérative Mireille Bousquet-Mélou, CNRS, LaBRI, Bo rdeaux ri.fr/ b ousquet

Transcription

1 Ô Ø ÛÓÖ È Ø Ø ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú Å Ö ÐÐ ÓÙ ÕÙ Ø¹Å ÐÓÙ ÆÊË Ä ÊÁ ÓÖ ÙÜ ØØÔ»»ÛÛÛºÐ Ö º Ö» ÓÙ ÕÙ Ø

2 Ä ÓÑ Ò ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ø Ú ººº ³ ØÕÙÓ ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÑ ÒØ

3 ÇÅÈÌ Ê κ Ä³ ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô ÐØº Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ Ö Öº ÓÑÔØ ÖÐ õø ºÁºÎºØÖº½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø µô ÖÐ ÐÙÐ ÑÓÙØÓÒ º A Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÕÙ A n Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ nô ØØ a n = A n. Ú ÐÙ Ö Ø Ñ Ö Ö Ø Ö ÖÐ ÒÓÑ Ö ÉÙ Ø ÓÒ

4 ÇÅÈÌ Ê κ Ä³ ÖØ ÓÑÔØ Ö Ô ÐØº Ø Ð ÖÐ ÒÓÑ Ö Ö Ö ÒÓÑ Ö Ö ÒÓÑ Ö Öº ÓÑÔØ ÖÐ õø ºÁºÎºØÖº½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø µô ÖÐ ÐÙÐ ÑÓÙØÓÒ º A Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö ÕÙ A n,p Ò Ñ Ð ÑÓÙØÓÒ nô ØØ ØpÓÖÒ a n,p = A n,p. Ú ÐÙ Ö Ø Ñ Ö Ö Ø Ö ÖÐ ÒÓÑ Ö ÉÙ Ø ÓÒ

5 ÒÓÑ Ö ÓÑ Ò ÓÒ p Ð Ñ ÒØ ÔÖ Ô ÖÑ n ÒÓÑ Ö ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð {1,2,..., n} Ý ÒØp Ð Ñ ÒØ C p n n) n! = p p!(n p)! = n(n 1) (n p + 1) p! ÓÙÐ ÓÑ Ò ØÓ Ö ÅÓÒ ÙÖÂÓÙÖ Ò Ä Ó ÒØ ÒÓÑ Ð Ü ÑÔÐ n = 4, p = 2 ( 4 ) = = 6. ( {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}

6 ÈÐ Ò ÜÔÓ ÓÑÔØ ÖÕÙÓ ØÔÓÙÖÕÙÓ ÉÙ³ Ø ÕÙ³ÙÒ ÓÒÒ µö ÔÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ø Ú Ö ÔÖ ÙÚ ÙØÓÑ Ø ÕÙ ³ ÒØ Ø ÐÓ Ð ººº ÙØÓÙÖ Ð³ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ë Ö Ò Ö ØÖ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ºÉÙ ÐÕÙ ÑÝ Ø Ö Ð Ö ÕÙ º ÓÑÑ ÒØÓÑÔØ Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú ÔÔÖÓ Ø Ú Ü ÑÔÐ º ÍÒ ÖÓ µ Ü ÑÔÐ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ØÑ Ö Ò Ð ÕÙ ÖØ ÔÐ Ò

7 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö

8 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ

9 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ØÐ Ó Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÐÝ ÒÑÓÝ ÒÒ º

10 ËØÓ ³ÙÒ Ð Ø Ð Ö Ö Ò Ö Ö Ö

11 ½¾ ¼ ¼ ËØÓ ³ÙÒ Ð Ø Ð Ö Ö Ò Ö Ö Ö

12 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

13 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

14 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö 75

15 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

16 ½¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö 30

17 ½¾ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

18 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

19 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

20 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

21 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

22 ½¾ ¼ ¼ Ö Ö Ò Ö Ö Ö

23 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ØÐ Ó Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÐÝ ÒÑÓÝ ÒÒ º ÔÓ ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÖ Ø ÓÒ ÙÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÑ ÖÓ ÓÔ ÕÙ È Ý ÕÙ Ø Ø Ø ÕÙ ÑÓ Ð Ö Ø Ö Ú ÒØÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÓÑ¹

24 ÍÒÑÓ Ð Ö Ø Ð ÖÖÓÑ Ò Ø ÕÙ Ä ÒÞ Ð ÑÓ Ð ³Á Ò üùò ÐÐ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ººº Ó x ØÙÒÒÓÑ Ö Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø ÙÑ Ø Ö Ùº N ØÓÑ ÓÒ ºx ÓÑÑ Ø ÙØ ÐÙÐ ÖÐ ÓÑÑ Ù Ú ÒØ ÔÓÖØ ÒØ ÙÖØÓÙ Ð ÓÐÓÖ ÔÓ Ð Z(N) =,

25 ÈÓÙÖÕÙÓ ÓÑÔØ Ö ÑÓ Ð Ö Ø º ÈÖÓ Ð Ø ÑÓ Ð Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ô ÒÓÑ Ò ÓÒØ ÒÙ Ô Ö S n ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø Ð ÙÜ ÓÙÒ ºººµ Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ô Ö Ò Ö Ø ÙÖ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò ÐÝ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÓÒÐ Ø ÐÐ ØÐ Ó Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÐÝ ÒÑÓÝ ÒÒ º ÔÓ ÒØ Ñ ÖÓ ÓÔ ÕÙ ÔÖ Ø ÓÒ ÙÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÑ ÖÓ ÓÔ ÕÙ È Ý ÕÙ Ø Ø Ø ÕÙ ÑÓ Ð Ö Ø Ö Ú ÒØÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒØÖ ÓÑ¹ ÈÓÙÖ ÐÙ ÖÐ ØÖÙØÙÖ Ó Ø

26 ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ µ n 3 a n 1 (17n n + 5)(2n + 1)a n + (n + 1) 3 a n+1 = 0 Ê Ð Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò ÓÐÙØ ÓÒ a n = 3 n 1 ÜÔÖ ÓÒ a n = n ( n k k=0 ) 2 ( n + k k )2 a m,n,p = det [( )] m+n m+i j ÑÔÐ Ø ÓÒ 1 i,j p Ú ÐÙ Ø ÓÒ a n κ( ) n n 3/2 Ø Ñ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ a n κ n n 11/32

27 Ú ÐÙ Ø ÓÒ m n 3 a n 1 (17n n + 5)(2n + 1)a n + (n + 1) 3 a n+1 = 0 Ê Ð Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò ÓÐÙØ ÓÒ a n = 3 n 1 ÜÔÖ ÓÒ ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ µ a n = n k=0 ( n k ) 2 ( ) n+k 2 k ÑÔÐ Ø ÓÒ a m,n,p = det [( )] m+n m+i j 1 i,j p n p i=1 j=1 k=1 i + j + k 1 i + j + k 2 a n κ( ) n n 3/2 Ø Ñ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ a n κ n n 11/32

28 ÓÒ ØÙÖ Ñ Ò ÙØÓ¹ Ú Ø ÒØ Ö Ù Ü ÓÒ Ð an κ n n 11/32

29 ÓÒ ØÙÖ an Ñ Ò ÙØÓ¹ Ú Ø ÒØ Ö Ù ÖÖ κ µ n n 11/32

30 Ø Ö Ô n ÓÑÑ Ø Øm Ö Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ µº A(t) = a n t n = n 0 Ë Ö Ò Ö ØÖ Ä Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö Ó Ø A ÓÑÔØ ÐÓÒÐ ÙÖØ ÐÐ Ø a A t a. A(t) = ÀºÏ Ð ÐÓØ Ð Ò ÓÒÛ Û Ò ÙÔ ÕÙ Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÔÐ Ý º Ä Ö Ò Ö ØÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ó Ø A ÓÑÔØ ÐÓÒÐ ÙÖØ ÐÐ n 0 t n a n n! = a A t a a!. A(x, y) = ÈÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð ÔÓ Ð Ø Ö Ñ ÜØ n,m 0 a n,m x n n! ym

31 = n 0 a n t nº (t) = na n t n 1º n 1 ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ Ú Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐ ÙÖÐ ÓÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ú Ö ¹ Ê Ñ ÖÕÙ Ð Ö ÓÒØÙÒÖ ÝÓÒ ÓÒÚ Ö Ò ØÖ Ø Ñ ÒØÔÓ Ø B(A(t)) ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ A Ö Ú Ð ÓÑÔÐ Ü º A(t) Ë Ö ÓÖÑ ÐÐ ËÓÑÑ ÈÖÓ Ù Ø A(t) + B(t) = (a n + b n )t n n 0 A(t).B(t) = n 0 t n i+j=n a i b j 1 1 A(t) = A(t) n a n 0 ÉÙ ¹ ÒÚ Ö 0 = 0µ = n 0 b n A(t) n a 0 = 0µ

32 ÓÐÙØ ÓÒ A(t) = 1 ÜÔÖ ÓÒ Ð Ö Ò Ö ØÖ 1 t t 2 A(t) = (1 t) 1 ÍÒ Ö ÔÓÒ ÙÜ Ñ Ô ÖØ µ ÓÒ µ (1+t)/(1 t)(1 t+ 1 6t+t 2 ) A(t) = 1 (1 t)(1 t 2 )(1 t 3 )(1 t 4 ) t 3 A(t) 4 + t 2 (3 + 4t)A(t) 3 + t(3 29t + 6t 2 )A(t) 2 + (1 7t + 29t 2 + 4t 3 )A(t) (1 t) 3 = 0 Ð Ö ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ (t 5)A(t) + (7t 2 112t + 1)A (t) + 3t(2t 2 51t + 1)A (t) + t 2 (t 2 34t + 1)A (3) (t) = 0. Ö ÒØ ÐÐ Ð Ò Ö µ

33 a n = n! = n (n 1) 2 1 Ü ÑÔÐ Ð ØÓÖ ÐÐ a n ( n e ) n 2πn ÕÙ Ò n Ë Ö Ò Ö ØÖ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ n a n t n n! = n t n = 1 1 t. Ë Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö n a n t n = t t 2t 2t 1 1 3t 1

34 º ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú ÓÑÑ ÒØÓÑÔØ Ö

35 ËÓ Øn ÆºÍÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ nkô ÖØ ØÙÒk¹ÙÔÐ Øc = (n 1,..., n k ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ³ ÒØ Ö n i {1,2,...}ÔÓÙÖØÓÙØi Øn + + n k = nºä ÔÓ c Øw(c) nº )Ó 1 ËÓ Øa(n)Ð ÒÓÑ Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ nº := (1) (2) (1,1) (3) (2,1) (1,2) (1,1,1) (n 1,..., n k ) ÓÑÔÓ Ø ÓÒÖ ÙÖ Ú { (n1,..., n k 1, n k 1) n (n 1,..., n k 1 ) n a(n) = a(n 1) + a(n 1) k k > 1 = 1

36 Ö Ö Ò Ö 8ÒÓ Ù

37 ½ ¾ Ö Ö ½ ¾ ½ ¾ Æ Ö ÓÑÑ Ø n a n

38 Ö Ö Ò Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú k 1ÒÓ Ù a(n) ½º ØÓÖ Ø ÓÒ nòó Ù a(n) = n 1 k=0 n a(k)a(n k 1) a(0) = 1 kòó Ù

39 Ö Ö Ò Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú k 1ÒÓ Ù a(n) ½º ØÓÖ Ø ÓÒ nòó Ù a(n) = n 1 k=0 n a(k)a(n k 1) a(0) = 1 kòó Ù Ë Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö A(t) = n 0 a(n)t n A(t) = 1 + ta(t) 2

40 Ö Ö Ò Ö ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú k 1ÒÓ Ù a(n) ½º ØÓÖ Ø ÓÒ nòó Ù a(n) = n 1 k=0 Ë Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö A(t) = A(t) = 1 + ta(t) 2 n a(k)a(n k 1) a(0) = 1 kòó Ù n 0 a(n)t n A(t) = 1 1 4t 2t ¾ºÊ ÓÐÙØ ÓÒ = n 0 1 ( 2n n + 1 n ) t n ÆÓÑ Ö Ø Ð Òº

41 Ü ÑÔÐ a 0 = 0µ ÍÒ ÓÒ Ó ÒØ A B (a n + b n )t n A(t) + B(t) = n Ø ÓÒÒ Ö Ö Ò Ö ØÖ ÓÖ Ò Ö ÈÖÓ Ù Ø ÖØ ÒA (a, b) = a + b B A(t).B(t) = n t n i+j=n a i b j ËÙ Ø ³ Ð Ñ ÒØ A (a, b,, z) = a + + z 1 1 A(t) = A(t) k k 0 + A(t) = 1 + ta(t)a(t). {ǫ}

42 ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ

43 Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò

44 Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú = + + C(t) = 1 + tc(t) + tc(t) c n = 1 ( 2n + 2 n + 2 n + 1 ) + + t 2 C(t) 2

45 ½ ¾ Ö Ö Ò Ö Ö Ö ËÓ Øa(n, ØA(t, q) = n,k a(n, n! tn qkº k)ð ÒÓÑ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÐÓÒ Ù ÙÖnÑ Ò ÒØkÓÑÔ Ö ÓÒ A ÐÓÖ Ô Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÙÜ ÓÙ ¹ Ö Ö t Ø (t, q) = A(tq, q)2 = 1 1 t. A(t,1)

46 Ö Ô ÔÐ Ò Ö Ø ÕÙ Ø ¾ ½ ½½ ½¼ ½ ½ ½¾ a n,m n ÓÑÑ Ø m Ö Ø G Ë Ö Ò Ö ØÖ Ñ ÜØ 0 (x, y) = n,m 0 = x 1! a n,m x n n! ym + (1 + y)x2 2! + (1 + 3y + 3y2 + y 3 ) x3 3! +

47 ËÓ ÒØA A(x, y) ØB ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖÐ Ö Ô ÔÐ Ò Ö A = xy(1 + B) 2 Ø B(x, = y(1 + A) 2. y)ð Ö ÓÖÑ ÐÐ Òx Øy ÓÒÒ Ô Ö ( M(x, y) = x 2 y xy + y 1 + y (1 + A)2 (1 + B) 2 (1 + A + B) 3 Ä Ë Ö Ô ÔÐ Ò Ö 3¹ÓÒÒ Ü Ø ). B ËÓ ØY M(x, Y ) 2x 2 Y Y (x, y)ð Ö ÓÖÑ ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ ) log ( 1 + Y 1 + y + xy xy = 0. y ( 1 + Y (x, z) ) G 2 (x, y) = x2 Ä Ë Ö Ô ÔÐ Ò Ö 2¹ÓÒÒ Ü Ø z 1 dz. ËÓ ØF F(x, F = xexp y)ð ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ( yf + G 2 x ) (F, y). G 1 (x, y) = du G 0 (x, y) = exp(g 1 (x, y)). Ä Ë Ö Ô ÔÐ Ò Ö ÓÒÒ Ü Ö Ôº Ò Ö ÙÜµ Ø ÐÓÖ x F(u, y) 0 u

48 º ÔÔÖÓ Ø Ú ÓÑÑ ÒØÓÑÔØ Ö

49 Ö Ö Ò Ö 8ÒÓ Ù a n = 1 ( 2n n + 1 n )

50 nòó Ù Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò ÑÓØ µ Ý ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÅÓØ Ý n + 1 Ù ÐÐ µ 2n + 1Ô Ñ Ò Ý Ó aaaabbbabbaababb(b)

51 ( 2n Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ý a n = 1 n + 1 n ) = 1 2n + 1 ( 2n + 1 n ) 2n + 1Ô Ñ Ò Ý (2n + 1)a n = ( 2n + 1) n

52 Ö Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ý Ô Ñ ÖÕÙ ( 2n + 1 n ) (2n + 1)a n

53 Ò Ñ ÙÜ ÙÖÖ Ù ÍÒ Ò Ñ Ð ÙÖÐ Ö Ù ÖÖ

54 ÓÒ ØÙÖ Ò Ñ ÙÜ ÙÖÖ Ù an κµ n n 1 ÍÒ Ò Ñ Ð ÙÖÐ Ö Ù ÖÖ

55 Ò Ñ ÙÜ ÙÖÖ Ù ÑÙÐØ ÐÐÙÐ ÖÐ Ú Ò Ò Û Ñ Ø ÒØ ÖÝÓÙÖÒ ØÑ Ö ÝÓÙÓÙÒØ ÇÒ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ñ Ð Ò Ø Ý Ú ÖØ Ò Ñ Ð Ö ØÝÛ Ø Ø ÑØÓÓÐÓÒ º Ì ÒÙÑ Ög ØÓØ ÕÙ Ø ÓÒ ÀÓÛÑ ÒÝ Ö ÒØ Ô Ó ÑÙÐØ ÐÐÙÐ ÖÓÖ Ò Ñ Ò st Ð Ó ÐÐ Ø ÒÙÑ ÖÓ Ð ØØ µ Ò Ñ Ð Ò ØÖ Ö Æ ØÙÖ ÓÖÑÓÙØÓ s Ö ÒØ ÐÐ ºÌ ÛÓÖ Ù ØÓÀ Ê Ê º ºËÌ Í Ê ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒØÓÔ ÖÓÐ Ø ÓÒØ ÓÖÝ ºËÌ Í Ê Ë Ð Ò Ø ÓÖÝÓ Ô ÖÓÐ Ø ÓÒÐÙ Ø Ö

56 ÓÙÖ Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙÜ ÖÖ ØØÖ Ò ÙÐ Ö

57 ½ ¾ Ò Ñ ÙÜ Ö ½ ¾ ½¼ Æ Ö ÓÑÑ Ø n Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙØÖ Ò ÙÐ Ö a n

58 Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙØÖ Ò ÙÐ Ö Æ Ö ÓÑÑ Ø n Ò Ñ ÙÜ Ö ½ ¾ a n ½ ¾ ( 2) = ( 4) = ½¼ = 1 2 ( 6) 3 a Ä ÒÓÑ Ö ³ n ÐÐÙÐ Ø ( 2n n = 1 2 n ) = 1 2 ( 8) 4

59 n = 1 2 ( 2n Ò Ñ ÙÜ Ö ÙÖÖ ÙØÖ Ò ÙÐ Ö a Ä ÒÓÑ Ö ³ n ÐÐÙÐ Ø n ) a n = 1( 2n 2 n Ñ Ò ÒØÔ ÖÙÒÔ ÆÓÖ º Ö ) ÆÓÑ Ö Ñ Ò ÓÖÑ nô ÆÓÖ ØnÔ ËÙ ÓÑ¹ ÈÖ ÙÚ Ø Ú

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69 Ë Ö Ð Ö ÕÙ A(t)) = 0. P(t, ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð µ Ä Ö ÓÖÑ ÐÐ A(t) Ø Ð Ö ÕÙ ÙÖÉ(t)µ ÐÐ Ø ØÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ P(t, u, A(t, u)) = 0. Ò Ö Ð Ø ÓÒÔÐÙ ÙÖ Ú Ö Ð

70 ÒØÙ Ø ÓÒÓÑ Ò ØÓ Ö Ë Ö Ò Ö ØÖ Ð Ö ÕÙ Ò ØÖ µ ÖÓ ÍÒ Ð ³Ó Ø ÙÒ Ö Ò Ö ØÖ Ð Ö ÕÙ Ó Ø ÓÒØÙÒ Ø Ò Ø ÓÒ ³Ó Ø Ñ Ñ ØÝÔ ÔÐÙ Ô Ø Ø º ØÖÙØÙÖ Ð Ö ÕÙ Ð Ñ ØØ ÒØÙÒ Ö ÔØ ÓÒÖ ÙÖ Ú ÙÖÐ ÓÒ¹ = ǫ + A(t) = 1 + ta(t) 2

71 Ñ Ò Ò ÙÒ Ñ ¹ÔÐ Ò ÔÔÖÓ Ö ÙÖ Ú = + + C(t) = 1 + tc(t) + tc(t) c n = 1 ( 2n + 2 n + 2 n + 1 ) + + t 2 C(t) 2

72 ÉÙ ÐÕÙ ÑÝ Ø Ö Ð Ö ÕÙ

73 S(u, v, t) := i,j,n a(i, j, n)u i v j t n Ñ Ò Ò ÙÒÔÐ Ò Ò i j a(i, j, n) ÈÓÙÖÕÙÓ S(u, v; t) Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ËÓ Øū = ( ) 1/2 ( ) 1/2 1 2t(1 + ū) + 1 4t 1 + 2t(1 ū) t 1/u Ø v = nô 1/vº ÐÓÖ S(u, v; t) = 1 t(u + ū + v + v). ÈÓÙÖÕÙÓ S i,j (t) := n a(i, j; n)t a(1,0;2n + 1) = C 2n+1, a(0,1;2n + 1) = 4 n C n, a( 1,1;2n) = C 2n... n Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙ i Øj C n = 1 ( 2n) = n + 1 n n Ñ ÒÓÑ Ö Ø Ð Ò

74 Å Å¼ ÖÒ Ö ¼ ÒÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ ÃÖ Û Ö Æ Ö Ù Ò Ð Q(t) := a(n)t n n Ñ Ò ÃÖ Û Ö Ò ÙÒÕÙ ÖØ ÔÐ Ò a(n) nô ÈÓÙÖÕÙÓ Q(t) Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ ËÓ ØW= t(2 Q(t) = 2 (1/W 1) 1 W 2 1 3t + W 3 1 t. )º ÐÓÖ a(i,0;3n + 2i) = ÈÓÙÖÕÙÓ a(i,0; 4 n (2i + 1) n) Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò Ò ÒØ Ò(i,0) Ø¹ Ð ÑÔÐ ( 2i )( 3n + 2i (n + i + 1)(2n + 2i + 1) i n )

75 ÌÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ³ÙÒÔÓÐÝ ÓÒ ½ ¾ ¾ A(u; t) = i,n a(i, n)u i t n ½ a(i, n) ÈÓÐÝ ÓÒ iø nøö Ò Ð ËÓ ØU U(t) ÈÓÙÖÕÙÓ A(u; = t + O(t 2 )ØÕºU t) Ø¹ ÐÐ Ð Ö ÕÙ = A(u; t) = 1 2 ( u t 1 t + 2U ( u 3º ÐÓÖ U 1 ) 1 4uU 2 /t ). ÈÓÙÖÕÙÓ a(i, a(i + 2,2n + i) = n) Ø¹ Ð ÑÔÐ 2 n (2i + 1) (n + i + 1)(2n + 2i + 1) ( 2i )( 3n + 2i i n )