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1 OutilsMathematiques-L1-2004/2005-DBrito&GLegaut lapremiereseancedutp,soitlasemainedu22novembre2004 Lesreponsesauxquestions1a7sontarendresurpapierlorsde TPinformatiquen5 d'uneequationdierentielle: Resolutionnumerique 2seancesde3heures Applicationalapropagationdechaleur IntroductionetpresentationduTP egalementuniformet=100cal'instantt=0sjusqu'alaprofondeurz=80 kmaucoursdutemps,pourt>0,leblocmagmatiquechaudvaserefroidir kmdeprofondeurestexhumealasurfaceterrestreonsupposeque ceblocpossedeunetemperatureuniformet=825cacetinstantparallelement,onsupposequelatemperaturesouscebloc(cro^uteterrestre)est Onsedonneleproblemesuivantaresoudre:onsupposequ'auninstant donne(parhypotheset=0s)unblocmagmatiquedegranitede11 parconductionsurces80kmenfonctiondutemps?"ouencore, enfonctiondutempsentrecesdeuxcouches \quelestlechampdetemperaturetenfonctiondutempsetdela aucontactdelacro^utefroidedessousdanscetp,onveutetudierquantitativementcommentsepropagelachaleurenfonctiondelaprofondeuret Laquestionprecisequel'onseposeest:\commentlachaleursepropage profondeursurles80km?" informatique)onintroduiranotammentlanotiondeschemanumeriqueexplicite d'achervosresultatsetdelesrepresentergraphiquement dansunprogrammepascal Danslapartie3,onvousguiderapourl'implementationd'untelschema Enn,danslapartie4,onvousdemanderad'ecrirevotreprojetDelphi, unetelleequationdierentiellenumeriquement(al'aided'unprogramme etlaprofondeurz blemeonaboutiraauneequationdierentielleadeuxvariables,letempst leur,onpresenteral'equationaresoudredanslecasparticulierdenotrepro- Danslapartie2,onpresenteraunedesmethodesautiliserpourresoudre Danslapartie1,apresuneintroductiongeneraleal'equationdelacha- 1

2 1Introductional'equationdelachaleurdans 11Preambuleaucoursdechaleur(modulesL2etL5) {LeconceptdeconductiondechaleurreposesurleprincipededifferencedetemperatureTentredeuxpoints:lachaleuresttoujours Ceconceptnousest\donne"directementparlaloideFourier: conduitedeszonesdehautetemperatureversdeszonesdebasse lacasd'untransfertdechaleurparconduction danslaquelle~qestleuxdechaleurparunitedesurfaceenw/m2 aupointmauntempst,klaconductivitethermiquedumilieuen temperature Wm?1K?1toujourspositive(onyrevientci-dessous)etT(M;t)est lechampscalairedetemperatureaupointmauntempst Cetteloinousditclairementqueleuxdechaleuroutransfert ~q(m;t)=?k??! gradt(m;t) {Parconductiondechaleur,onsous-entendqu'iln'ypasdemouvementdematiere,letranfertdechaleursefaitessentiellementpar gradt(m;t)toujoursoriente dechaleuraupointmesttoujoursorienteverslestemperaturesdecroissantes(orientationduvecteur?k??! verslestemperaturesdecroissantes),end'autretermeslachaleurest toujoursconduitedesmilieuxchaudsverslesmilieuxfroids collisionsatomiques,sansmouvementmacroscopiquedematierepour biendierencierlaconductiondelaconvection(transfertdechaleur avecmouvementdematiere),prenonsunexemplelorsqu'onchaue -soitonn'observepasdemouvementd'eaual'interieurdelacasserole, sentent: unecasseroled'eausuruneplaqueelectrique,deuxcasdeguresepre- {Touslesmateriauxnetransmettentouneconduisentpaslachaleurdela cecas,lachaleuresttransfereeparconvectiondanslevolumed'eau (puiseventuellementevacueedansl'air)uniquementparconduction etdanscecas,lachaleuresttransfereedelaplaqueverslevolumed'eau -soitonobservedumouvementdanslacasserole,l'eaubouillitetdans (puisdansl'air) chaleurquelesmatieresplastiqueslagrandeurcaracterisantletransfertdechaleurdansunmateriauestlaconductivitethermiquek chaleurpardenition, chaleurci-dessous(quiestuncasparticulierdel'equationgeneralede lachaleurdanslequelonneconsiderequedestransfertsdechaleurpar intervenantdanslaloidefourierdansl'equationdediusiondela m^ememaniere,parexemplelesmetauxconduisentbeaucoupmieuxla conduction)c'estladiusivitethermiqueenm2/setnonpasla conductivitethermiquequiintervientpourcaracteriserletransfertde 2

3 L'equationgeneraledediusiondelachaleurs'ecrit: ouestlamassevolumiquedumateriauenkg/m3etcpestlaquantite d'energieparunitedemassequ'ilfautfournirpouraugmenterde1c lemilieuconsidere =k Cp (1) T(M;t)n'estpasegala0aupointMUnlaplaciennonnulsignie trainde\diuser",c'estadiresilelaplacienduchampdetemperature quiveutdirequ'ilexistedesderiveespartiellesdusecondordrenonnulles L'equationdediusionnousditqu'auntempstdonne,lechampde danslemilieu:il\diuse"lachaleurausenspropredutermeeneet,si lechampdetemperature,c'estadirereduirelesdierencesdetemperature cartesiennesparailleurs,l'operateurdediusionapoureetd'homogeneiser onlaissediuseruneanomaliedetemperaturedansunmilieu\assezlongtemps",l'etatnalthermiquedumilieuestunetemperatureconstanteeperaturesontnon-nulles(t6=0)suiteauchauage,l'anomaliechaudede blocsurunedesfacesavecunbriquetalanduchauage,ilexisteune anomalieduchampdetemperaturetresfortedanslevoisinagedupointou l'onachaue,ielesderiveesspatialesdesecondordreduchampdetem- toutpoint blocplusfroidetd'autrepartdiusedumetalversl'airenvironnantplus temperaturesurunedesfacesdublocdiused'unepartdanslevolumedu Exemple:Prenonsuncubedecuivrede10cmdec^oteetchauonsle froidsionattendsusammentlongtemps,lachaleurcontinueadiuser jusqu'acequeleblocdecuivreaitretrouveunetemperatureconstante(' temperaturedel'airenvironnant) 3

4 estrapidementdiuseecelaseremarquedansl'equationdediusion:sion sexeuntdanslesecondmembre(tnegatifsilemilieuevacuedela Plusladiusivitethermiquedumilieuestgrandeetpluslachaleur b)ladiusivitethermique diusivited'unboisquelconque:sionchaueunvolumedonnedeboiset estgrand Exemple:Ladiusivitethermiqueducuivreestbienplusgrandequela decuivrealam^emetemperaturepuisonarr^etebrusquementlechauage,la chaleurdiuserabeaucoupplusrapidementducuivreversl'airquedubois cuivrequedanslecasduboisc'estpourcetteraisonquel'onditquele cuivreestunexcellentconducteurthermique Onconstatequec'estlecoecientdediusionthermiquequicontr^ole letransfertdechaleurdansunproblemedeconductionthermique;c'est c)ordredegrandeurdansl'equationdechaleur luiquiquantielavariationdetemperatureenunpointparrapportala Onpeutreecrirel'equationdelachaleursouslaformesuivante: retrouvefaceauneequationdecetypelaplut^otquederesoudrecompletementl'equation(cequipeut^etrefastidieuxetnecessiterunordinateur commedansnotretp),onfaituncalculd'ordredegrandeur:ondit proportionnelleauntempst0ettestproportionnelleaunedierencede nirdesderiveesspatialesdusecondordre)onpeutdoncreecrirel'equation delachaleurenordredegrandeur: )L20 t0/t0=t0 L20/ leurenutilisantlesgrandeurscaracteristiquesdusysteme ordresurletempsdepropagation(ouladistancedepropagation)delacha- thermiquecetterelationestfortutilepourfairedescalculsdepremier Soit:uneanomaliedetemperatureouunchangementdetemperatureT0 (quellequesoitlavaleurdel'anomalie!)mettrauntempsdel'ordredel20= secondes(verierquel20=estbienhomogeneauntemps)pourparcourir Commentutilisercetterelation?dedeuxmanieres: 4

5 D'apresnotrecalculd'ordredegrandeurl'anomaliedetemperaturedevrait enuntempst0dansunmilieudediusivite l'unedesfacesladiusivitethermiqueducuivrevaut=1:210?4m2=s Soit:uneanomaliedetemperatureouunchangementdetemperatureT0 (quellequesoitlavaleurdel'anomalie!)sepropagerasurunedistancept0 Exemple:Preneztoujoursunblocdecuivrede10cmdec^oteetchauez-lesur unedistancel0dansunmilieudediusivite \atteindre"lafaceopposeducubedecuivreenl20 12L'equationdediusionaresoudre Veriezvous-m^emelapertinencedececalculd'ordredegrandeurenchauffantd'unc^oteetenmettantvotremainsurlec^oteopposedublocdecuivre! =0:12 Dansleproblemeposedansl'enonce,l'equationgeneraledediusionde 1:210?4'88secondes lachaleursereduita: tempst,estladiusivitethermiquedumilieuenm2=spoursimplier l'equationgeneraledediusion(1)etaboutira(2),onafaitl'hypothese qu'iln'yapasdegradientshorizontauxdetemperaturefaisantintervenirles (2) dimensionz(profondeur) dedonneessupplementaires: Pourresoudrecompletementleproblemedublocmagmatique,onabesoin {Lesdiusivitesthermiquesdesdeuxmilieux m2=slorsquelatemperatureensonseinestinferieurea725cet Leblocmagmatiqueaunediusivitethermique=910?7 Question1Quesigniecetteconditiondeuxnulensurface?Dansquelle {Lesconditionslimitesthermiquesduproblemeaz=0etz=80km =4:510?7m2=slorsqueT725C directionestconduitetoutelachaleurprovenantdubloc?estcequecetteconditionestbienrealiste? constantequellequesoitlatemperatureetvaut=8:3310?7m2=s Ladiusivitethermiquedelacro^uteterrestresousleblocest Alaprofondeurz=80km,onsupposequelatemperatureest Onsupposequeleuxdechaleurensurfaceaz=0kmestnul l'onchoisitdesdiusivitesthermiquesdierentesentreleblocetlacro^ute Leproblemeposeestschematisesurlagure1 N:B::Onnepeutpasresoudreanalytiquementceproblemedeslorsque C8t constanteaucoursdutemps,c'estadirequet(z=80km,t)=100 5

6 Noussommescontraintsdanscecasderecouriraunesolutionnumerique (ouinformatique)κ=9 10 q(z=0,t)=0 pour tout t Bloc magmatique, T=825 a t= si Τ< 725, κ = si Τ> km Fig1{Problemearesoudre T=100 a t=0 κ= Croûte terrestre T(z=80,t)=100 pour tout t 80 km temps al'aideduquelnouscalculonsl'evolutiondelatemperatureenfonctiondu 21Presentationduschemaexplicite 2Leschemanumerique Rappelonsl'equationaresoudre Pourresoudreceproblemenousutilisonsunschemanumeriqueexplicite Z Taylord'unefonctionaunevariableautourd'unpoint(voircoursL1) Soit, Nousintroduisonsunschemanumeriqueal'aidededeveloppementsde champt (z+dz)apartirdelavaleurdetaupointzetlesderiveesspatialesdu (3) @z3(dz)3+o(dz4)(4)

7 T T(t+dt) T(t) Question2EcrirecedeveloppementdeTayloraupointT(z-dz)Additionner Fig2{LavaleurdelatemperatureTautempst+dtestbaseesurla @taupointtlavaleurdetautempst+dtestegalea dt expressioncomposeedet(z+dz),t(z-dz),t(z),dz lavaleurdetautempstplusdtquemultiplielecoecientdirecteurdela Apartirdecetteegalite,reutiliserl'equation(3)pournalement tangentedetautempst,aunepetiteerreurpresdel'ordrededt2 O t t+dt t informatiquepourresoudrel'equationdelachaleur C'estleschemanumeriquequenousallonsutiliserdansnotreprogramme dz2 #dt(5) (t+dt)solutiondel'equationdelachaleur(2)apartird'unepart calculeaupointmalaprofondeurzlatemperaturetautemps delatemperatureautemps(t)enmetd'autrepartduchampde temperatureauxpointsvoisinsdem(enz+dzetz-dz)autemps illustresurlagure3 tceschema,faisantintervenir4pointsounoeuds(voirplusloin),est d'autresschemasnumeriques,lesschemasimplicitesparexemple) explicitementduchampdetemperatureautemps(t)(cen'estpaslecas Ceschemaestditexplicitecarlatemperatureautemps(t+dt)depend 7

8 T(z,t+dt) t+dt 3CommentimplementeruntelschemanumeriquedansunprogrammePascal apartirdelavaleurdetenzautempst,delavaleuraupointz-dzautemps Fig3{LavaleurdelatemperatureTaupointzautempst+dtestobtenue tetdelavaleurenz+dzautempst t dz t Procedonsparetapes: z Etape1:L lage T(z-dz,t) T(z,t) T(z+dz,t) derniertempstchoisipournotrecalculc lageestschematisesurla profondeurzde0a80kmetenordonneesletempsapartirdet=0jusqu'au quent,ondenitunmaillagecouvrantledomaineentempsetenespace oul'onveutcalculerlasolution;c'estundomaineoul'onaenabscissela Lechampdetemperaturescalairequel'onchercheacalculerdependdu gure4:enabscisse,onalaprofondeurzavecnz+1pointstelquenzdz (dzetantladistanceentredeuxpointsdumaillage,appelelepasd'espace) tempsetdel'espace,soitt(z;t)unefonctiondedeuxvariablesparconse- appliqueleschema(5),onprogressed'unpoint(ounoeud)dansladirection dumaillage,appelelepasdetemps)=tsecondes,ladureetotaledenotre =80kmCelafaitdoncNzintervallesEnordonnees,onaletempstavec Nt+1pointstelqueNtdt(dtetantl'intervalledetempsentredeuxpoints desvaleursduchamptautempst=0(axedesabscissessurlagure4)a schemaexplicite(5)achaqueiterationentempsdansnotrecalcullorsqu'on Ilfautbiencomprendrequedansnotrecalculoncommencerapardonner (Ot)surlagure4 calcul chaqueprofondeurz,puisenappliquantleschemaachaquepasdetemps, Enchaquepointounoeuddumaillage,oncalculelatemperatureal'aidedu onprogresseradeligneenlignedansnotr lage,verst>0 Ladeuxiemeetapeconsisteainitialisertouteslesvariablesdenotreprobleme(parinitialiser,onentenddonnerdesvaleursauxvariablesavantde commenceracalculer)onecritdonclechampdetemperatureentoutpoint del'espaceautempst=0s(commeonl'avudansl'etape1)etdepluson z=80kmcesconditionslimitessontdetailleessurlagure4 specielesconditionslimitessurlesbordsdenotr lage,i:e:enz=0et Etape2:Initialisation 8

9 t Nt condition limite condition limite en temperature en temperature en z=0 km en z=80 km q(0,t) = 0 o T(80,t) = 100 C pout tout t pout tout t Question3Pourquoiest-ilfondamentald'apresleschemanumeriqueutilisede (Nz+1)pointsounoeuds Fig4{MaillageentempsetenespaceC lagecomporte(Nt+1) sedonnerdesconditionslimitessurlepremierpointdumaillage 3 dt 2 1 detemperatureencespoints? sionvoulaitcalculeravecleschemaexplicitelavaleurduchamp z=0etledernierpointz=80km?aquelproblemeseheurterait-on Nz t=0 0 z Etape3:Applicationduschema dz z=0),etaudernierpointdumaillageenz(puisqu'onaconsidereunevaleur Pourladerniereetape,onappliqueleschemaexpliciteatouslespointsdela grilleexceptesaupremierpointdumaillageenz(puisqueleuxestnulen etentempsquisatisfontlarelationdt<12(dz)2 les3etapesdecritesci-dessus constantedetencepointaucoursdutemps) Remarque:pourlastabiliteducalculondoitprendredespasenespace Lagure5donnel'algorithmeautiliserdansnotreprogrammebasesur Question4JustierpourquoiunuxnulensurfacerevientaecrireT[0,t]=T[1,t] 8tdansl'algorithmedelagure5Endeduirepourquoiilestinutiledecalculerlavaleurduchampdetemperatureenz=0 Question5EcrireenPascalleprogrammeassocieal'algorithmedelagure 5 9

10 CHOISIR DEFINIR ECRIRE Nz, le nombre de point du maillage en z Nt, le nombre d iteration pour le calcul en temps -->cela fixe (dt) et (dz) tels que (dt) < (1/2)/(dz)**2 un tableau T[z,t] / x couvre [0Nz] / t couvre [0Nt] T[z,0] = 825 pour z [011] T[z,0] = 100 ailleurs T[Nz,t] = 100 quel que soit t Etapes 1 et 2 t=0 T[0,t] = T[1,t] OUI T[z,t] < 725 NON t=t+dt kappa= kappa= z=z+dz calculer T[z,t+1] z>11 NON Etape 3 Fig5{AlgorithmedeprogrammationduTP5 OUI kappa= calculer T[z,t+1] pour z [1180] 10 NON t>nt OUI FIN

11 41Lesobjetsduprogramme 4ProgrammationduprojetDelphi {UnobjetMenu(objetMainMenu)aveclapossibilitedeQUITTER, {UnobjetMemooul'onvaacherlesparametreschoisisetlesresultats Nousutilisons3objetsdansleprogramme: {UnobjetImage(danslabibliothequeSupplement)ouserontrepresentesgraphiquementlesresultatsducalculadierentstemps ducalcul(ajouterl'optionscrollbardansl'inspecteurd'objetpour pouvoirregardertoutelafen^etrememoenvertical) CALCULER,DESSINER Share 42Programmationdel'algorithmesousDelphi 421Programmationdesetapes1et2 Remarque:Vouspouvezregarderunexempledecorrigedanslerepertoire Question6Quelleestalorslavaleurmaximalededtpermised'apreslaconditiondestabiliteduschemanumerique?(Prenezladiusivitedela Pourcommencer,onchoisitunpasdz=1km=1000mdetellesorte quenz=80sil'oncouvreundomainede80kmdeprofondeur(nzdz=80 cro^utepourcecalcul) km)l lageenzcomportedonc81points Question7Trouverapproximativementcombiendetempsdoit\durer"notre calculpourquelachaleurdublocmagmatiqueaiteuletempsde diuserjusqu'alaprofondeurz=80km,graceauncalculd'ordre vosreponsesauxquestions6)et7)!!) secondes!!),nz=80,nt=3000sicelacorrespondapproximativementa EndeduireNtbasesurledtdelaquestion6) degrandeuraveclavaleurdeladiusivitedelacro^uteterrestre etl'epaisseurtotalecommelongueurcaracteristique(l0=80km) -unedeclarationdevariablesglobales -unedeclarationdeconstantesglobales Leprogrammeauraclassiquement: (Onpourraprendreparexemple,dz=1000,dt=15000ans(aconvertiren endroitdanslacheobjetpourlafaireappara^tredansl'unitepascal), X=profondeur(z),Y=temperatureT(z,t)etoudierentescourbesT(z,t) (procedurerepresentantlesresultatsdel'integrationnumeriquesurungraphe Tform1:Quitter1Click(pourquitterleprogramme),Tform1:Calcul1Click dureexecuteedeslandelacompilation,double-cliquezan'importequel (procedureaprogrammeravecleschemaexplicite),tform1:dessin1click -4procedures:Tform1:create(initialisation;remarque:c'estuneproce- 11

12 sontdessineesadierentstempsdecalcult,voirparagraphe43) choixdedzetdtenfonctionducriteredestabilite proceduretform1:create,enparticulierl'initialisationdutableaut[,]etle dedessin)lesautrest^achesdesetapes1et2seronteectueesdansla serontdesvariableslocalesouglobales(avousdevoir,penseralaprocedure entreesespaceettemps,attentionauxdimensionsdutableau),dt;dz;;z;t NzetNtserontrentreescommeconstantes,T[,](tableaudereelsadouble programmeconvertissantuneanneeensecondesand'allegerlaprogrammation etacherlesvaleursdedtetdzchoisies Remarque:Ilserainteressantdedeniruneconstanteglobaledansle Rajouteruntitredanslafen^etreMemo\Refroidissementparcontact" 422Programmationdel'etape3 auntableaut[i,n]tn+1 Ecrirelesbouclesenzettduschemanumerique onremplitletableaut[,]aveclesvaleursdelatemperatureauxdierentes Leschemanumerique(5)peutsereecrireennotationindicielleadaptee profondeursetauxdierentstemps Enecrivantcesbouclesetenderoulantleschemanumeriqueexplicite, S'assurerdu\boncomportement""ducalculenachantl'evolutiondeT[,]acertainesvaleursdezdansl'objetMemo(S'inspirer del'exempledecorrectiondansshare) i=tn i+"tn i+1?2tn dz2 i+tn i?1#dt utiliserlasyntaxesuivante: valeursdutableaut[,]pourtoustettouszsontstockeesdanslamemoire dutableaut[,]etaacherleurscontenusdansmemoeneet,toutesles del'ordinateurdeslandelaboucledecalcul(c'estl'avantagedestableaux) Delphi:Pourselectionnercertainesvaleursdansuneboucle,vouspourrez Remarque:Realisercetachagerevientaselectionnercertainesvaleurs end; begin commandepascal; fori:=0to100doifiin[10,20]then 12

13 431Representationdansl'objetImagedesprolsdetemperature 43RepresentationdesresultatsdansunobjetImage dessindutp4,dansl'ordre: -denirdes\vecteursunitaires"pourl'axedesabscissesetdesordonnees -denirlatailledel'image,hauteur,largeur,introduiredesmarges Laprocedurequevousallezprogrammerseratresprochedelaprocedurede phiquementvosresultats CommedansleTP3etleTP4,ilvousestdemandederepresentergra- typetrect -dessinerleproldetemperatureinitialautempst=0 -dessinerdesprolsadierentstempsdecalculenutilisantlesvaleursdu lescommandesbrushcolor:=clyellow;fillrect(r);ourestrunrectanglede -dessinerlesgraduationssurlesaxes -titredelagure -colorierleblocmagmatique(voirexempledansshare)avecparexemple 44Representationdansl'objetImagedesmaximade tableaurempliesdanslaproceduredecalcul fondeurdonneeenfaisantvarierletempsrepresenterlesmaximaavecdes rectanglesrougesachaquez faudraecrireunebouclerecherchantlavaleurmaximaledet[,]aunepro- lesmaximadetemperatureachaqueprofondeurz>11kmpourcelail EcrireuneboucledanslaprocedureDessin1clickdestineearepresenter temperaturepourchaqueprofondeurz 13

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