PCSI DS 9 physique 10/06/2017

Transcription

1 Durée : 3 heures Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées. Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le barème d'évaluation. Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3; 2/3; 3/3. Ce sujet est constitué de 3 problèmes indépendants. Pompe à chaleur. Ce problème se propose d effectuer l étude thermodynamique d une pompe à chaleur alimentant partiellement le circuit d eau chaude d une maison à partir de l énergie thermique extraite des eaux usées. Le fluide utilisé dans la pompe décrit le cycle correspondant au schéma-bloc décrivant la machine (figure 1) : figure 1 totalement vaporisé à la sortie de l évaporateur EV (point 1), à la température T 1 et la pression P 1, pression de l équilibre liquide - vapeur du fluide à T 1, il pénètre dans le compresseur CP, d où il sort, à l état de vapeur sèche, à la pression P 2 et la température T 2 (point 2) ; le compresseur est parfaitement calorifugé et la transformation réversible ; dans le condenseur CD, il subit un refroidissement isobare jusqu à T 2 température de l équilibre liquide vapeur du fluide à la pression P 2, puis une liquéfaction totale (point 3) menant à un liquide en saturation ; dans le détendeur D, il est détendu et partiellement vaporisé pour pénétrer enfin dans l évaporateur, à la pression P 1 et la température T 1 (point 4). Le détendeur est parfaitement calorifugé et la transformation, irréversible, est isenthalpique (enthalpie invariante). (Détente de Joule-Thomson). Le transfert thermique reçu par le fluide dans l'évaporateur provient d un circuit d eaux usées alors que dans le condenseur, le fluide cède un transfert thermique au circuit d eau chaude de la maison. La vapeur sera considérée comme un gaz parfait. Données numériques : T 1 = 273 K ; P 1 = 2, Pa ; T 2 = 337 K ; P 2. = 12, Pa ; enthalpies massiques de vaporisation du fluide : - à T 1 : L 1 = 206,0 kj.kg -1 ; - à T 2 : L 2 = 163,4 kj.kg -1 ;

2 constante d état des gaz parfaits : R = 8,314 J.K -1 mol -1 ; masse molaire du fluide : M = 86, kg.mol -1 ; masse volumique de l eau liquide : μ e = 1, kg.m -3 ; rapport des capacités thermiques massiques du fluide à pression et à volume constants : γ = C p/c v = 1,177 capacité thermique massique du fluide liquide le long de la courbe de saturation : c = 1,318 kj.kg -1.K On étudie l'écoulement d'un fluide (figure 2) dans une canalisation, en régime permanent (aucune grandeur physique de ce fluide ne dépend explicitement du temps). En amont, l'état du fluide est décrit par sa pression P 1, sa température T 1, le volume massique v 1, l'énergie interne massique u 1, l'enthalpie massique h 1. Les grandeurs correspondantes pour l'aval sont notées P 2, T 2, v 2, u 2 et h 2. On note q e le transfert thermique ou quantité de chaleur massique reçue par une unité de masse de fluide lors de l'écoulement d'amont en aval ; de même on note w i le travail massique reçu, dit utile, ou encore indiqué, autre que celui des forces de pression : ce travail est fourni (si il existe) par les parties mobiles de la machine dans lequel se fait l'écoulement. On note Σ le système ouvert constitué par le fluide contenu dans le volume (V) ; on définit de plus un système fermé Σ, constitué à l'instant t du fluide contenu dans Σ(t) et de la masse élémentaire δm e qui va entrer dans (V) entre les instants t et t + dt. A l'instant t + dt, Σ est donc constitué du fluide contenu dans Σ(t + dt) et de la masse élémentaire δm s qui est sortie de (V) entre les instants t et t + dt. (amont) (V) (aval) figure 2 δm e δm s Dans toute la suite, l'écoulement est supposé horizontal et lent : on négligera d éventuelles variations d énergie cinétique macroscopique ou d énergie potentielle de pesanteur Compléter le schéma précédent en identifiant le système Σ aux instants t et t + dt. Montrer qu'en régime permanent δm e = δm s, noté désormais δm Exprimer le travail massique des forces de pression reçu en amont par la masse δm e = δm s = δm entre les instants t et t + dt, en fonction de P 1, v 1 et δm. Même question pour le travail aval reçu par δm s. Ces travaux constituent des termes de travail de poussée du fluide En appliquant le premier principe de la thermodynamique entre les instants t et t + dt au système fermé Σ, montrer que : Δh = w i + q e 2. Dans un diagramme de Clapeyron massique P = f(v), représenter l allure du cycle décrit par l unité de masse de fluide, en faisant figurer les courbes isothermes T 1, T 2 et T 2 et les pressions P 1 et P 2. T isobares Dans un diagramme entropique T = f(s) (où s est l entropie massique), représenter l allure du même cycle en faisant figurer les courbes isobares P 1 et P 2 et les températures T 1, T 2 et T 2. On fournit ci-contre l allure du diagramme entropique (figure 3). figure 3 s 3. Calculer pour chaque élément de l installation la variation d enthalpie massique du fluide après déterminé la valeur de la température T 2. En déduire l efficacité de la pompe.

3 4. Le transfert thermique reçu par le fluide dans l'évaporateur provient d un circuit d eaux usées alors que dans le condenseur, le fluide cède un transfert thermique au circuit d eau chaude de la maison. circuit d eau chaude : - température d entrée : t o = 25 C ; - température de sortie : t = 60 C ; circuit d eaux usées : - température d entrée : t o = 25 C ; - température de sortie : t = 2,0 C ; capacité thermique massique de l eau : c e = 4,185 kj.kg -1.K -1. La réserve en eaux usées est en moyenne d un mètre cube par jour. Quel transfert thermique Q journalier peut-on prélever aux eaux usées? Quel transfert thermique Q journalier peuton fournir au circuit d eau chaude? En déduire, en m 3.h -1 (mètre cube par heure), le débit d eau chaude produite. 5. Déterminer le titre massique en vapeur x v du fluide en sortie du détendeur (point 4). Calculer le transfert thermique q evap reçu par l évaporateur par unité de masse de fluide traversant le dispositif. Comparer q evap à la valeur de variation d enthalpie massique du fluide entre les points 4 et 1 calculée en question 3. En déduire le débit massique D m du fluide dans la machine en fonction de la puissance thermique extraite de la source froide ou cédée à la source chaude de la pompe à chaleur. Calculer numériquement D m dans les conditions envisagées à la question 4. et déterminer la puissance moyenne que va alors consommer la pompe à chaleur au niveau du compresseur. Mesure de l enthalpie de vaporisation du diazote. L azote liquide (terme employé par abus de langage pour le diazote sous forme liquide) est fréquemment employé pour maintenir des systèmes à basse température. Le changement d état étant extrêmement couteux, on peut avec un peu de diazote liquide maintenir une température faible pendant un temps assez long. On se propose dans ce problème de mesurer l enthalpie de vaporisation du diazote liquide et d en déduire le temps pendant lequel la température peut être imposée ainsi (pour un volume de diazote donné). Pour cela, on réalise l expérience suivante : un récipient calorifugé (de type bouteille isolante) contenant une masse de diazote est placée sur une balance mono-plateau électronique. Un thermoplongeur (résistance chauffante), supporté par une potence, plonge dans le liquide. Il est alimenté par une alimentation stabilisée. Un voltmètre et un ampèremètre permettent la mesure de la tension U aux bornes du thermoplongeur, et de l intensité I qui le traverse. On dispose par ailleurs d un chronomètre. On alimente le thermoplongeur et on attend l ébullition. On règle alors U pour avoir une ébullition régulière et lente. À la fin de chaque expérience, il reste du diazote liquide dans le récipient. Lorsque l on déclenche le chronomètre, la balance indique m = 220,12 g. On arrête le chronomètre lorsque la balance indique m = m 30,00 g, et on lit le temps t écoulé. 1. Définir l enthalpie massique de changement d état L v et donner une unité possible. 2. Avec U 1 = 6,00 V et I 1 = 2,083 A, le temps t vaut t 1 = 6 min 23,4 s.

4 (a) Définir un système et établir un bilan énergétique approprié faisant intervenir l enthalpie massique de vaporisation de l azote notée L v et les données de l énoncé. (b) Calculer l enthalpie massique de vaporisation de l azote. 3. On souhaite utiliser le diagramme log P h fourni afin de comparer la valeur obtenue par l expérience avec celle tabulée. En expliquant votre démarche (reprendre sommairement le diagramme si nécessaire) déterminer : (a) la température d ébullition de l azote liquide à pression atmosphérique (P0 = 1 bar) ; (b) l enthalpie massique de changement d état à pression atmosphérique ; (c) les coordonnées P-T du point critique. (d) est-il possible, à température ambiante, d augmenter suffisamment la pression pour liquéfier le diazote (ou azote liquide) dans l air? Justifier à l aide de l allure du diagramme P-T de l azote (non fourni). 4. La différence entre la valeur obtenue à l aide du diagramme et celle obtenue à l aide de la première expérience est tellement grande qu il est nécessaire de prendre en compte les fuites thermiques lié au caractère non parfaitement isolant des parois. Pour cela, on réalise une seconde expérience, avec U 2 = 9,00 V et I 2 = 2,000 A, le temps t vaut t2 = 4 min 43,7 s, pour la même différence de masse m = m 30,00 g. La puissance de fuite P fuite dépendant généralement de la différence de température entre l intérieur et l extérieur du récipient, elle sera considérée identique dans les deux expériences. (a) Écrire à nouveau le bilan énergétique en tenant compte de P fuite. (b) Calculer l enthalpie massique de vaporisation de l azote et comparer avec la valeur lue sur le diagramme. (c) Calculer la puissance de fuite P fuite. (d) En déduire le temps au bout duquel 2,0 L de diazote liquide se seront entièrement évaporés si on n alimente pas la résistance chauffante. On donne la masse volumique du diazote liquide : μ a = 807,0 kg/m 3.

5 Un tour en ballon Le référentiel d étude (référentiel terrestre) est galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et on prendra g = 9,8 m.s -2. L air atmosphérique est considéré comme un gaz parfait de masse molaire M = kg.mol -1. On prend l axe (Oz) vertical ascendant. Son origine est prise au niveau du sol. On donne la constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K 1.mol 1. Au niveau du sol, la température de l air est T o = 290 K, sa pression est P o = 1bar, sa masse volumique est µ o = 1,3g.L 1. 1) Selon le modèle standard, on admet que dans la troposphère, partie de l atmosphère comprise entre 0 et 11 km, la température vérifie la relation : T( z) = To ( 1 az) avec a = 22, m 1. Etablir la relation liant la pression et l altitude. On posera : g. M α =. R. a. T o 2) Quelle est l expression de µ a (z), masse volumique de l air à l altitude z? 3) Un ballon, de volume maximal V max = 1000 m 3, est partiellement gonflé au sol avec un volume V o = 500 m 3 d hélium. La masse totale de l enveloppe et de la nacelle est m = 500 kg. L enveloppe est munie d une soupape qui assure l équilibre mécanique et thermique entre l hélium et l air extérieur. L hélium est lui aussi considéré comme un gaz parfait. a) Montrer que la densité de l hélium par rapport à l air : d = µ He µ a est constante lors de l ascension. On donne la masse molaire de l hélium : M He = 4, kg.mol -1. Calculer d. b) On appelle force ascensionnelle la somme des forces extérieures s exerçant sur le ballon, en mouvement rectiligne le long de l axe Oz. Déterminer l expression de cette force au sol, en fonction de m, g, d, V o et µ o. c) A quelle condition le ballon s élève-t-il? Calculer numériquement la force ascensionnelle au sol. Exprimer le volume V(z) au cours de l ascension tant que V (z) < V max. Exprimer puis calculer numériquement l altitude «maximale», z max, lorsque le volume atteint sa valeur maximale. Quel est le rôle de la soupape?