Première séance de travail avec les élèves de Caroline. A partir du fichier vidéo IremCaroline-élèves-1-corr.mp4.

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1 Première séance de travail avec les élèves de Caroline. A partir du fichier vidéo IremCaroline-élèves-1-corr.mp4. Énoncé du problème. Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique. Offre A : 1,20 par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site. Offre B : 0,50 par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de Calculer pour chaque offre le prix de 30 morceaux téléchargés par an. 2. a. Exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre A. b.exprimer, en fonction du nombre x de morceaux téléchargés, le prix avec l offre B. 3. Soient f et g les deux fonctions définies par f : x-> 1,2x et g ; x-> 0,5x a. Calculer g(41). b. Trouver un antécédent de 42 par la fonction f. c. Dans le repère orthonormé fourni en annexe et à rendre avec la copie, la représentation graphique de g a été tracée. Représenter dans ce même repère la représentation graphique de la fonction f. 4. a. Lire graphiquement le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. Mettre en évidence cette valeur sur le graphique (pointillés, couleurs). b. Par le calcul, retrouver le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. (Elèves numérotés de droite à gauche sur l écran.) A) (5 15 ) Travail collectif et dialogue concernant la question Int. : Deuxième question petit a. 2. El2 : Donc c est la même chose, vous faites x 3. Int. : Alors offre A, je récris offre A 4. El5 : Oui. 5. El2 : Oui. 6. Int. : S il y en a qui ne sont pas d accord vous dites. 7. El4 : Oui on va bien le dire. 8. El2 : Vous écrivez x euh 9. El1 : Vous faites pareil en fait que pour les calculs, les premiers calculs 10. Int. : Oui. 11. El1 : Sauf que vous remplacez par x en fait. 12. Int. : Je remplace quoi par x? 13. El1 : Par exemple x, le premier ça fait un euro vingt fois 14. El2 : Un euro vingt x non? 15. El1 : Attends, c est euh 16. El5 : Si, si c est un euro vingt x 17. El1 : Un euro vingt fois 18. El5 : Avec 19. Int. : Alors un euro vingt 20. El2 : x

2 21. Int. : Fois 22. El2 : Ou fois x c est pareil, c est la même chose 23. Int. : Et ça c est donc 24. El4 : (inaudible) 25. Int. : Là c est pour A, c est ça? Et pour B B, c est l offre B? 26. El4 : Oui. Vous faites 0,50 fois x plus Int. : D accord. Vous me dites alors pourquoi. 28. El1 : Ben en fait x c est pour remplacer les morceaux téléchargés 29. El2 : Oui. 30. El1 : x en fait c est un nombre indéfini enfin inconnu 31. El2 : Voilà. 32. El1 : On peut le remplacer par 50, 100 par des nombres, ça dépend du nombre de morceaux qu il y a. 33. El2 : Voilà. 34. Int. : D accord, d accord. Donc on met x parce qu on peut mettre plein d autres choses. 35. Plusieurs : Oui, voilà. 36. Int. : C est ça? 37. El3 : Et qu on connaît pas. B) Travail collectif et dialogue concernant la question 3. B.a) À Propos de la signification du schéma f : x->1,2x 38. Int. : Et qu on connaît pas. Ok. D accord, j ai compris. Troisièmement soit f et g les deux fonctions définies par. Alors là il faut me dire ce que ça veut dire parce que là je ne comprends pas du tout. Ce dessin-là enfin ce schéma là. Moi je lis f deux points x une flèche 1,2x. 39. El4 : Ben c est pour chaque morceau téléchargé 40. El1 : Oui mais c es 41. Int. : Mais à quoi ils correspondent tous ces 42. El1 : Par la fonction f 43. El2 : c est l image et l antécédent, c est ça? 44. El1 : Par la fonction f, x est l image de 1,2x en fait. 45. El4 : La flèche en gros ça représente 46. El1 : ça veut dire l image 47. Int. : Donc l image, c est quoi, c est x ou c est 1,2x? 48. El1 : C est la flèche, c est x la flèche. (Elle fait un geste de la main) 49. El2 fait un geste analogue en même temps. 50. El2 : C est x plus votre flèche 51. Int. : Oui 52. El2 : Ensuite 53. El4 : Il y a le résultat 54. El2 : Et après vous avez 55. El1 : C est l antécédent, c est ça? 56. El2 : L antécédent, c est ça?

3 57. El5 : Oui, c est l antécédent. 58. El2 : C est l antécédent (il garde un doute) 59. Int. : Qu est-ce qui est antécédent, qu est-ce qui est image? 60. El4 : C est le résultat 61. El1 : L antécédent c est le dernier résultat en fait. 62. El2 : Voilà. 63. Int. : C est rigolo parce que anté quand on dit antécédent 64. El1 : Oui c est avant. 65. Int. : C est avant, non? Parce que c est un mot qui veut dire j sais pas moi quand on dit 66. El4 : Ah non c est le x en fait c est l antécédent (Il fait le geste de la flèche ) parce que c est de l autre côté (il fait le geste de la flèche dans l autre sens). L image c est par là (il refait son premier geste) et l antécédent c est par là. 67. El2 : Oh ben d accord. Vous allez 68. Int. : Alors vous dites. Comme ça je le marque. x vous dites que c est? 69. El5 : L image de f. 70. El4 :L antécédent. 71. El2 : L antécédent. 72. Int. : L antécédent? 73. El2 : L antécédent, voilà. 74. El1 : L antécédent de 1,2x. 75. Int. : L antécédent de 76. El1 : 1,2x. 77. Int. : de 1,2x et là comment elle intervient la, on appelle ça une fonction, f? 78. El1 et El2 : Oui. 79. Int. : ça intervient comment dans ce que vous dites là. x est l antécédent de 1,2x 80. El4 : Ben on peut mettre x deux points, non f : x 1,2 x, au lieu d écrire antécédent, on fait la flèche. 81. Int. : D accord. Donc euh x est l antécédent de 1,2x mais ça a un rapport avec la fonction f? 82. El4 : Ben oui. 83. El2 : Oui. 84. Int. : Comment on dirait alors, pour la fonction f, par la fonction f? 85. Plusieurs : Par la fonction f. 86. Int. : Par la fonction f. 87. Int. : Voilà donc, qu est-ce qu on B.b) À Propos de la signification du schéma g : x->0,5x El5 : Et ensuite on doit faire la même chose avec le petit x. 89. Int. : Avec, avec euh, avec l autre fonction, c est ça? 90. El5 : Oui. 91. Int. : Avec g donc?

4 92. El5 : Oui. 93. Int. : Donc j écrirai x est l antécédent de quoi? 94. El4 : 0,5x Int. : Ah oui. D accord. 96. El2 : Voilà. 97. Int. : ça c est par la fonction g donc. 98. El4 : Voilà. 99. El5 : Et à chaque fois au lieu d écrire antécédent on fait la petite flèche. On fait x flèche de 0,5x Int. : Donc on fait g :, c est ça? 101. El5 et El2 : Oui Int : x 0,5x C est donc comme ça El1 : En fait c est pour simplifier. La flèche c est pour simplifier image et antécédent. Image c est la flèche à l envers et quand c est normal, la flèche comme ça c est l antécédent Int. : Alors l image-là, parce que je ne l ai pas noté, quand c était f, l image c était 105. El5 : (elle montre sur ma feuille) Quand c est comme ça c est l antécédent et quand c est de l autre côté c est l image El4 : Non c est le contraire Int. : Mais là, là il n y a pas d image? 108. El4 : (avec un geste vers ma feuille) Si là, c est l image. Quand la flèche est tournée vers la droite, c est l image et dès que c est de l autre côté, c est l antécédent Int. : Donc l image c est quoi au fait là? 110. El4 se lève et montre sur ma feuille El4 : C est la flèche et un demi de x Int. : Ah vous dites que c est la flèche et un demi de x? 113. El4 : Oui El5 : Oui pour bien montrer 115. El4 : Et l antécédent c est x Int. : Oui ça je l ai marqué, c est bon. Et là l image vous diriez que c est 117. El5 : Là l image c est flèche 0,5x, voilà c est comme ça. C) Travail collectif et dialogue concernant le calcul de g(41). C.a) 1 ère phase : on obtient le résultat sans qu ils ne parviennent à dire ce que représente l écriture g(41) 118. Int. : Alors ensuite on nous demande calculer g(41). Alors pareil ça je ne sais pas ce que ça veut dire moi El1 : C est une formule simplifiée en fait. g(41) c est pareil sauf que c est en simplifié en fait 120. El4 : C est pareil que 121. El1 : C est comme f 122. El2 : 41, c est 41 morceaux téléchargés, voilà Int. : Oui, oui, ah d accord.

5 124. El2 : Parce que au début vous avez 30 et maintenant là c est marqué El1 : En fait c est fonction x en fait. C est ça. Enfin c est en simplifiant Int. : Donc toi tu dis, au lieu d écrire si je ne simplifiais pas, j écrirais quoi? 127. El4 : (il se lève et montre sur ma feuille) Ce que vous avez écrit avant là, comme ça là El? : On remplace comme ça x par Int. : Donc si je ne simplifiais pas je 130. El1 : ben c est ça mon calcul (???) 131. Int. : Si je ne simplifiais pas j écrirais g deux points 132. El5 : Deux points Int. : El1 : c est ça qu il demande de faire 135. El2 : Oui c est ça El5 : Antécédent de 137. El4 : La flèche 138. Int : Je mets la flèche et là? 139. El5 : fois 0, El1 : 41 fois 0, El5 : 41 fois 0, El2 : El5 : Et c est égal à 55, Int. : Ah parce que toi tu as ton corrigé El5 : Je l ai fait. C. b) 2 ème phase à propos de la signification de l écriture g(41) Int. : Ah d accord. Bon ça d accord, mais c est quoi g(41)? 147. El4 : Mais en fait c est les morceaux achetés Int. : Oui mais qu est-ce que je fais? On me dit, calculer g(41) El4 : Vous l avez 150. Int. : Je mets g(41) 151. El4 : égale Int. : Ah! égale 153. El2 : (il montre le graphique de sa feuille) Oui parce que vous avez déjà votre (???) là g donc c est celle-ci qu il faut calculer El4 : Si ce serait mis f eh ben on aurait fait l autre 155. El5 : Avec l autre 156. Int. : Donc en fait 157. El2 : Il vous demande de calculer le premier Int. : D accord. Là je comprends. Mais si je regarde le dessin qui est là, voilà. Là j ai 55,5. Ça marche ça? 159. El4 : Oui El2 : Ça c est le résultat oui Int. : Et là j ai pareil donc 162. El1 : C est la même chose en fait. g entre parenthèses Int. : C est la même chose que ça?

6 164. El1 : C est la fonction de 41 en fait. g est une fonction Int. : Oui El1 : Sauf que c est pas la même lettre et 41 en fait c est la fonction de 41. Après quand on calcule la fonction de g 41 en fait on va l appeler comme ça ça fait 55,5 et là vous l avez calculé avant El2 : Oui Int. : Donc là je pourrais écrire au bout de la flèche je pourrais écrire g de 169. El4 : Int. : 41 ça va? C est ça, c est bon? 171. El2 : Oui Int. : Donc je pourrais écrire g deux points 41 flèche g(41)? 173. El4 : Voilà. C est la même chose en fait 174. El1 : C est la même chose. En fait les calculs là-bas c est la même chose que g(41) tout seul Int. : D accord. Et là alors ce serait pareil euh, euh 176. El4 : g(x) 177. Int. : Ah ben oui donc ça je pourrais l écrire 178. El4 fait un geste pour indiquer d écrire Int. : Tu me dis 180. El4 : g entre parenthèses x 181. L intervenant écrit El4 : En fait c est la 183. Int. : C est correct ça pour vous? Je peux écrire x : g(x)? 184. El4 : Non. C est en fait c est deux trucs différents mais ça veut dire la même chose El3 : Aïe, aïe, aïe. Un jour où (inaudible) 186. Int. : Ça vous ne l écririez pas? 187. El2 : Non il y a juste celui-ci Int. : Ça mais pas ça El2 : Voilà. 41 fois 0,5 plus 35. Voilà c est l offre B, c est la plus simple Int. : Vous écririez g(41), mais ça vous ne l écrirez pas? 191. El2 : Voilà. Parce que g(41) justement on vous demande de le calculer Int. : D accord El2 : Avec 41 morceaux téléchargés Int. : D accord, donc ça je ne l écris pas El2 : Voilà. D) Travail collectif et dialogue concernant la détermination de l antécédent de 42. D.a) 1 ère phase concernant la signification du graphe d une fonction et ses relations avec les caractéristiques d une fonction : antécédent et image.

7 196. Int. : Ok. Ensuite b), on me demande de trouver l antécédent de 42 par la fonction f El3 : Ben on va regarder sur le graphique 198. El2 : Donc là vous avez votre graphique Int. : Vous allez déjà m expliquer 200. El1 : L antécédent de 42? 201. Int. : Vous allez déjà m expliquer le rapport qu il y a entre le graphique et la fonction parce que pour moi 202. El5 : Ben ici (elle montre l axe des ordonnées) 203. Int. : Ici vous avez des calculs et ici vous avez un dessin. Alors pour moi ça ne veut rien dire. Expliquez moi El5 : (elle montre à nouveau l axe des ordonnées) Ben ici normalement c est les antécédents 205. El4 la regarde sans conviction El3 : C est (??) El5 : (elle montre l axe des abscisses) Et ici ce sont les images, c est ça? 208. El2 : Oui et puis la droite ils vous ont déjà tracée l offre B. Donc vous partez de 35 (il montre sur l axe des ordonnées), c est l offre, c est l abonnement annuel, elle va jusqu à 209. El5 : El1 : El3 : Mais là on nous demande quoi? 212. El5 : El2 : El5 : C est pas 80 non? 215. El4 : Si c est El2 : Oui El3 : L antécédent de El5 : Ah si c est Int. : Attendez là parce que ça va vite, vous allez vite. Toi tu viens de me dire, si j ai bien compris, Là toi tu dis les antécédents 220. El5 : Et ici ce sont les images Int. : Ce sont les images. Donc si je reviens à ce que j ai fait donc ça c est g El5 : Oui ; 223. El1 : Oui Int. : Ce qu on appelle la représentation graphique de g El2 : Oui Int. : Donc si je comprends bien, je retourne à ce qu on a déjà fait comme calcul, le x de g, c est le nombre de fois, c est le nombre de morceaux téléchargés? 227. El2 : Oui Int. : Donc on a fait le calcul pour 41. Alors 41, il est où? 229. El1 : (elle parcourt l axe des ordonnées de son doigt) 41 c est l antécédent alors il faut chercher ici El5 : (Elle montre sur son graphique) le 41 il est là Int. : Oui j ai vu où c était El1 : Le 41 c est sur El2 : Donc justement c est vous qui devez mettre votre croix à 41.

8 234. El3 : Non 41 c est 11, regarde bien 41 c est à peine au-dessus 235. El5 : Ah oui, si c est Int. : On avait trouvé 55,5? 237. El1 : Non, c est l inverse??? c est maintenant parce que quand tu regardes 41 ici (elle pointe 41 sur l axe des abscisses) tu montes, tu montes, ça te fait 55, El5 : Ah oui El1 : Les antécédents 240. Int. : Donc là on met les antécédents et 241. El3 : L image c est en haut Int. : Là on met les images El3 : Les images Int. : Et donc ça donne un point là-dessus El2 : Voilà. Vous faites 41 et (il fait monter son doigt parallèlement à l axe des ordonnées) 246. El1 : Vous montez jusqu à ce que vous 247. El2 : Jusqu à 55, El3 : Jusqu à ce que vous croisez la droite 249. Int. : Ah oui d accord 250. El3 : Et vous allez à 251. El1 : Et puis après vous allez à la vert à la 252. El3 : À l horizontale El1 : À l horizontale et puis vous retrouverez votre image 254. Int. : D accord 255. El2 : Et là vous pouvez 256. El4 : Elle sera égale à El3 : 55, El1 : 55, El2 : Et là vous pouvez la tracer,vous passez par l origine comme ça zéro (avec son doigt il dessine la droite passant par ce point et par l origine) et puis vous pouvez tracer une droite Int. : Alors si je comprends bien on avait fait un calcul dans la première question avec El2 : Oui 262. Int. : 30 fois et on avait trouvé que si on téléchargeait 30 fois on payait 50 dans l offre B hein? 263. El2 : Oui Int. : Donc normalement l antécédent à ce moment-là c est? 265. El4 : C est, c est 266. Int. : C est Si je télécharge 30 fois et que je paie 50 l antécédent c est quoi? 267. El4 : Ben, c est Int. : C est 30, c est le nombre de fois où on télécharge 269. El4 : Où on télécharge 270. Int. : Donc si je, donc c est là, c est l antécédent. Voilà. Et si je fais la même chose qu on vient de faire, donc je remonte verticalement 271. El3 : Vous arrivez à Int. : Et donc je dois trouver oui 50. Oui effectivement je trouve 50. Donc à chaque fois que je fais ça j ai un point sur cette droite-là?

9 273. El2 : Oui Int. : Ah c est pour ça qu on dit que c est la représentation graphique de la fonction? 275. El2 : Oui Int. : Ah parce que à chaque fois on est dessus El2 : Oui Int. : D accord, d accord. D.b) 2 ème phase : Construction du graphe de f pour trouver l antécédent de 42. Il passe par l origine. Pourquoi? 279. El4 : Vous vous trouvez que seulement (??)sur des droites El2 : Et maintenant vous avez plus qu à tracer votre droite Int. : Alors qu est-ce qu on me demande là? 282. El? :?? 283. Int. : Trouver l antécédent de 42 par la fonction f. Ah oui c est f là, c est pas g El1 : Oui Int. : Alors comment je fais? 286. El1 : Ben il faut trouver déjà le point enfin un point qui fixe je crois. Enfin il faut, j sais pas expliquer 287. Int. : Prends ton temps El3 : Il va passer par l origine El2 : Oui, oui. Normalement il y a 40 là et 55 (il montre sur son graphique) 290. Int. : Pourquoi vous me dites, pourquoi que Ah vous voulez si je comprends bien, vous voulez tracer aussi la représentation graphique de cette fonction f, c est ça que vous voulez faire? 291. El2 : Oui il faut tracer aussi l offre A, c est ça El1 : Et l offre A elle commence à combien déjà? 293. Int. : Et pourquoi vous voulez que ça passe par zéro? 294. El4 : Parce que c est proportionnel, enfin à chaque musique que vous téléchargez eh ben vous payez un certain nombre El2 : Parce qu elle passe par l origine 296. Int. : Ça veut dire quoi exactement proportionnel? 297. El4 : C est qu elle passe par l origine et que ça fait une droite El1 : L origine c est le point en fait c est le 299. El4 : Le zéro 300. Int. : D accord mais je ne sais pas pourquoi vous me dites que ça passe par l origine, moi je ne vois pas pourquoi El4 : ça se voit (??) 302. Int. : Dis moi alors ce qu il faut que je fasse pour m en apercevoir? 303. Silence

10 D.c) 3 ème phase : calcul de l antécédent de 42 par le calcul 304. El4 : Il faut le calculer l antécédent de El2 : La courbe 306. El3 : Mais je crois que ça passera par O, non? 307. Int. : Alors dites voir, comment je fais là? 308. El4 : Il faut le calculer l antécédent 309. El3 : Attends je regarde, c est quelle question? (il s adresse à El2) 310. Int. : Toi tu dis que pour l instant en fait il n y a pas besoin de 311. El3 : Mais puisque c est 42 (il s adresse à El2) 312. El4 : Il n y a pas besoin de regarder sur le graphique il faut juste 313. Int. : De regarder sur le graphique, il faut le calculer El4 : Oui Int. : Bon alors 316. El3 (à El2) : (inaudible) 317. El2 : C est ce que j ai dit tout à l heure Int. : Comment on fait pour calculer? Vous êtes d accord avec ce qu il vient de dire? Lui il dit, pour l instant on laisse tomber le graphique, on fait le calcul El1 : Oui El2 : Oui allez-y oui Int. : On fait le calcul, alors on fait le calcul comment? 322. El1 : Ben c est l antécédent, c est l inverse de ce qu on a fait tout à l heure. C était l image tout à l heure qu on faisait? 323. El4 : Oui El1 : Là c est l antécédent donc la flèche doit être à l envers Int. : Donc là qu est-ce qu on doit faire comme calcul alors? 326. El4 : Ben El1 : Là et c est f pour commencer 328. Int. : Alors je mets? 329. El4 : f deux points 330. El1 : f deux points 331. Int. : Oui 332. El4 : Vous laissez un petit espace et vous mettez la flèche 333. El1 : Non c est 42, El4 : Vous mettez 42. Après vous la mettez à l envers 335. El1 : La flèche elle n est pas comme tout à l heure, elle est à l envers 336. El5 : Elle est de l autre côté la flèche 337. El2 : Vers la gauche Int. : Je mets 42 ici? 339. Plusieurs : Non El4 : Juste devant vous écrivez Int. : Oui El5 : Et la flèche elle est de l autre côté 343. El2 : Vers la gauche Int. : Ah comme ça Plusieurs : Voilà.

11 346. Int. : Ah d accord, d accord. Et là qu est-ce que je vais mettre alors? 347. El1 : Euh. La fonction f c est 348. El5 : Ben c est 1,2x 349. El1 : (Sans conviction) Oui 350. El5 : Non? 351. Int. : C est ce que vous m avez dit 352. El5 : C est 1,2x, si, si El2 : 1,2x 354. Int. : Alors qu est-ce que je fais maintenant? 355. El4 : ben on écrit 1,2x 356. El2 : C est pas 1,20? 357. El1 : C est pareil El4 : C est pareil El2 : C est pareil 360. Int. : Ah mais je mets 1,2x ça ne marche plus puisque j ai mis la flèche dans l autre sens El5 : Après on peut diviser, on peut diviser 42, 42 divisé par 1, Int. : Ah je suis un peu perdue là. Je suis perdue. Alors f? Donc 42 c est l image, c est ça? 363. El5 : Oui El2 : Oui Int. : Donc je mets la flèche dans l autre sens. f je l avais écrit comme ça tout à l heure El1 : Oui El4 : Ça c est l image Int. : Donc en fait ce que j ai mis là, c est ce qui était là El5 : Oui El4 : C est la même chose en fait El1 : Maintenant on doit l inverser El5 : On ne doit pas chercher l image, on doit chercher l antécédent Int. : Alors c est ça qu on cherche, c est ça? 374. El5 : Oui El1 : Avant on cherchait l antécédent, maintenant on cherche l image Int. : Non parce que ils me disent trouver l antécédent El1 : Parce que l image c est la fin du euh, c est la fin du calcul en fait Int. : L image d après ce que vous m avez dit, c était ce bout-là de la flèche El1 : Voilà l image c est ça. Là maintenant on la cherche l image alors qu avant on cherchait l antécédent Int. : Non, non, c est tout de suite qu on cherche l antécédent El1 : Non, on l a Int. : Trouver un antécédent de 42 par la fonction f El1 : Je m embrouille toute seule là El4 : Mais non l image, c est Int. : Mais c est compliqué il faut dire. Moi j ai du mal à vous suivre donc on prend son temps et on réfléchit parce que moi je trouve ça très compliqué.

12 D.d) 4 ème phase : Retour au tracé du graphe de f et l installation progressive d un dialogue de sourds entre l intervenant et les élèves El2 : Mais pourquoi vous n avez pas fait 41 (il montre avec son doigt sur le graphique en partant de 41 sur l axe des abscisses et en montant parallèlement à l axe des ordonnées), vous avez mis votre point et vous tracez (il montre l intersection de la parallèle à l axe des ordonnées avec le graphe de la fonction). C est ça qu il fallait faire, il me semble Int. : Toi, tu ferais déjà le tracé de f, on va essayer comme ça et on reviendra sur l autre façon après, hein (elle s adresse à El4) 388. El4 : Oui Int. : Parce que peut-être si (inaudible) ça marche aussi. Alors si on fait le tracé de f, alors tu m as dit quoi, je n ai pas bien compris, 41? C est quoi 41? 390. El4 : Non El1 : Non c est El2 : El4 : Ben on trace verticalement comme on l avait fait l autre fois 394. Int. : Mais pour tracer une droite il faut que j ai deux points. Je ne peux pas tracer de droite si je n ai pas deux points El3 : Mais si elle sera pas parallèle, elle passera par O 396. El2 : Non elle n est pas parallèle 397. El3 : Non, non, non puisqu elle est proportionnelle, c est ça? 398. El1 : Mais on ne le sait pas pour le moment qu elle est proportionnelle El2 : Parce que là vous avez votre point sur l offre B, la droite g 400. El3 : Si elle serait proportionnelle 401. El2 : Et vous passez du point à O (avec son doigt il joint un point de son graphique à l origine) et vous coupez Int. : Et oui mais où? 403. El5 : (elle met son doigt sur mon graphique) Elle doit passer par là El3 : Mais c est proportionnel Int. : Je ne sais pas pourquoi moi El3 : (à voix basse pour lui) On sait pas Int. : Qu est-ce que j ai moi pour construire un autre point? parce que bon on a déjà travaillé sur l offre A, f c est l offre a, hein? Qu est-ce qu on a fait comme calcul déjà? 408. El2 : On a fait 409. Int. : (retourne sa feuille) Ah si, dans la première question El2 : Oui Int. : On avait fait un calcul El2 : 1,2 fois Int. : On avait dit, si je télécharge 30 fois, je paie 414. El4 : Int. : 36 je paie 416. El4 : Int. : 36, voilà 418. El4 : Il faut chercher 36

13 419. Int. : Donc là je peux peut-être avoir un point? 420. El4 : Oui El2 : Oui Int. : Alors le point qu est-ce qui, qu est-ce que je mettrai en horizontal et qu estce que je mettrai en vertical? 423. El4 : Dans les antécédents, vous avez déjà le 36, hein c est ça ou c est dans l image? 424. El5 : Non c est dans l antécédent El1 : Non c est image Int. : Donc dans les images je cherche? Est-ce que vous voulez un petit bout de papier pour vous aider? J sais pas? Non vous pouvez le faire oralement ou je vous donne un petit bout de papier? Je vous donne un petit bout de papier. Comme moi j ai tout noté, c est assez facile, mais vous vous n avez rien noté, c est plus difficile Int. : Je vais peut-être vous donner les résultats qu on a déjà. Alors l offre A la première question, 30 téléchargements ont coûté 36. L offre B, 30 téléchargements, ça faisait 50. Vous m aviez dit que pour l offre A on pouvait écrire 1,2x et pour l offre B on pouvait écrire 0,5x Je vous redonne tous les résultats qu on a déjà trouvés? Vous m avez dit qu on pouvait utiliser le schéma f deux points, vous m avez expliqué ce que voulait dire le schéma f : x-> 1,2x et g : x-> 0,5x Vous m avez tout expliqué. Et on avait trouvé que g(41) c était 55,5. Ça marche? 428. El2 : Oui Int. : Alors maintenant on est en train de, on va regarder ton idée. On va essayer de tracer la représentation graphique de f. Alors il me faut deux points. Qu est-ce que je peux avoir comme points? 430. El4 : Ben il y a 36, on a El2 : Oui Int. : Alors 36 à ce moment-là, c est l image ou l antécédent, 36? 433. El5 : C est l antécédent Int. : Tu es sûre que c est l antécédent? 435. El5 : (elle montre sur son graphique) Oui parce que regardes si tu fais ça t as 36, t as le point là et puis tu rejoins El3 : Oui mais ça c est si c est proportionnel Int. : Parce que tout à l heure vous m avez dit 438. El3 : (s adresse à El5) Si, si El4 : (s adresse à El3 et El5) Oui je crois que c est ça Int. : Que si j ai la fonction f 441. El3 : (s adresse à El4) Si c est proportionnel 442. Int : L image vous m avez dit, c est 1,2x et l antécédent c est x El2 : Oui Int. : Et x vous m avez dit, par exemple 30 c est une valeur qu on peut donner à x El2 : Oui c est ça, voilà, c est ça. C est complètement ça El5 : (elle montre son graphique à l intervenant) On est à 30, on compte 1,2,3,4,5,6, on le trace comme ça et après on passe par le sommet El3 : Ça veut dire que c est proportionnel El5 : Voilà

14 449. El3 : Mais c est ce qu il a dit tout à l heure Int. : Mais je ne comprends pas du tout pourquoi ça passe par 50 là. (elle montre sur le graphique de El5). Je ne comprends pas pourquoi tu as pris ce point là El5 : Parce que regardez, dans les antécédents on garde le 36 (elle montre l axe des abscisses) 452. Int. : Oui mais ton image elle est où alors? Si l antécédent c est 36, l image c est quoi? 453. El3 : (à voix basse, pour lui) C est du chinois Int. : Qu est-ce que tu as dit? 455. El3 : C est du chinois Int : C est du chinois? 457. El5 : Ah là là je m embrouille toute seule là. D. e) 5 ème phase : Tentative de l intervenant de légitimer le passage du graphe de f par l origine Int. : Non mais on va bien comprendre au bout du compte. J ai un peu de mal, moi aussi mais. J ai une idée, je réfléchis en même temps que je parle. Je me dis la fonction f elle correspond à l offre A. Et vous m avez dit que pour l offre A, si on considère que x ça représente le nombre de fois où on télécharge, c est ça? 459. El1 et El2 : Oui El? Non x c est les morceaux Int : C est les morceaux 462. El2 : Téléchargés Int. : Du coup l image c est 1,2 fois x, vous m avez dit. (elle montre à tous son papier) 464. El4 : Oui, oui, c est ça Int. : ça marche? 466. El4 : Oui Int. : Il a déconnecté lui (El3) 468. El2 : Il a disjoncté Int. : Allez, reconnecte toi El2 : Court-circuit là Int. : Rebranche Int. Et comme x voilà c est le nombre de morceaux téléchargés, 473. El2 : Oui Int. : Je me dis, eh ben, si je n en télécharge aucun de morceaux, 475. (court silence et désarroi) 476. El3 : Ça reviendrait à zéro El1 : Ça ne sert à rien Int. : Je ne vais rien payer El2 : Ben non 480. Int. : Pour l offre A, mais pour l offre B?

15 481. El5 : Si il y aura comment ça s appelle? l abonnement Int. : Voilà El4 : Oui mais pour l offre A 484. Int. : Ça c est pour l offre B, mais pour l offre A il n y a pas d abonnement El1 : Ah ben oui El2 : Pour l offre A tu paieras rien et pour l offre B tu paieras de toute façon l abonnement Int. : Si je donne à x, je vais continuer mon raisonnement comme vous me l avez expliqué, 488. El2 : Ça fera 1,20 fois zéro Int. : Voilà. Si je donne à x la valeur zéro, j ai le droit? 490. El5 : ben oui Int. : Donc si c est zéro, c est l antécédent, l image c est 1,2 fois x, c est zéro, donc l image, c est zéro El2 : Zéro oui Int. : Si l antécédent, c est zéro, l image c est zéro, vous êtes d accord avec ça? 494. El3 : Oui Int. : Moi c est ce que je comprends d après ce que vous m avez dit. Donc effectivement 496. El4 : Il devrait passer par l origine Int. : Ce point-là il est sur la représentation de f. Tu suis là aussi El1 : Non El2 : Parce que 500. Int. : Ben explique lui parce qu elle ne comprend pas pour qu on puisse continuer El1 : Non, non, non. Je vais comprendre après El2 : (il se lève pour poser son doigt sur le graphique de l intervenant) moi au départ je l aurais mis à, vu que celle-là c est (il montre le point de l ordonnée à l origine du graphe de g) 503. El5 : Regarde, l offre B elle commence par El2 : Là c est l abonnement annuel et là il n y a aucun abonnement, on ne paie pas en plus, donc c est zéro Int. : Voilà El5 : Donc ça passe par zéro, d accord. D.f) 6 ème phase : Le dialogue de sourds est installé Int. : Donc là je me dis ça va, j ai un point. Maintenant il faut que j en aie un deuxième. Donc là je me dis, on avait vu quand il y avait 30 morceaux téléchargés et on avait trouvé que ça coûté 36. Alors je me dis eh bien je peux donner à x la valeur 30 puisque x c est, ça correspond au nombre de morceaux téléchargés. Vous êtes bien d accord ave ça? 508. El2 : Oui Alors s engage un dialogue de sourds entre les élèves et l intervenante qui va durer longtemps (entre et ). Les énoncés des uns seront à nouveau saisis réellement par les autres à partir du moment où l intervenante arrivera à un acte dont ils se souviennent et qui consiste à lire la valeur de l antécédent de

16 42 sur le graphique de f, puis acceptera de faire le calcul qui consiste à diviser 42 par 1,2 sans leur demander la raison d être à ce calcul. D.g) 7 ème phase : Calcul de l antécédent de 42 par la fonction f Int. : Donc on va reprendre ton idée, on va calculer l antécédent de la fonction f sur le graphique donc El2 : Oui Int. Voilà. Alors l antécédent, si je reprends ce que j avais écrit, c est ici El2 : Oui Int. : Et donc 42 c est là. Donc qu est-ce que je fais? je vais voir 42, c est ça? 515. El4 : Après vous allez horizontalement et vous verrez Int. : (elle dessine la parallèle à l axe des abscisses d ordonnée 42) Voilà. Et après je redescends verticalement, c est ça? 517. El5 : Oui Int. : Je ne suis pas sûre que ça va être d une grande précision. Moi je ne suis pas très soignée dans mes dessins. D après mon dessin je trouve El2 : Non 520. Int. : Non 33? C est pas ça? 521. El2 : Non parce que normalement on doit trouver cinquante 522. El5 : Mais c est après qu on trouve Int. : Alors par le tracé de f je trouve. Et si, on peut faire un calcul. On va reprendre ton idée, toi ton idée c était un calcul. On verra si mon tracé est propre ou pas. Comment on fait par le calcul? 524. El5 : On fait 42 divisé par 1,2, ça doit faire 32 normalement El1 : Non 526. El4 : Ça fait 35 normalement Int. : Toi tu dis, eh bien ça y est, tu as trouvé le calcul alors El5 : On a El2 : Elle est où la calculette? 530. El5 : 42 divisé par 1,2 est égal à 32 ou 35? E) (42 28 ) Travail et dialogue pour résoudre la question 4.a Int. : On en est au d). Lire graphiquement le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes. Alors qu est-ce qu on fait là? Mettre en évidence cette valeur sur le graphique El2 : (inaudible) vous l avez fait El5 : Ben on l a fait El2 : (inaudible) vous l avez fait Int. :D accord. Alors c est quoi les points où le 536. El1 : C est là où elles se croisent en fait Int. : Ah oui, bien sûr, parce que en réalité ici c est les prix El2 : Puisque 35 c est l abonnement annuel

17 539. Int. : D accord, d accord. Donc ce qu on nous demande sur le graphique, tout le monde est d accord? 540. El1 : Oui, oui El5 : Oui Int. : T es d accord? Tu as reconnecté là? 543. El3 : Oui Rires 545. Int. : Pas vraiment Int. : Donc finalement d après mon graphique qui n est peut-être pas très précis, je trouve que 549. El2 : 36 non? 550. Int. : Ah non. Moi je trouve qu il faut qu il y ait eu 45 morceaux téléchargés et on paie El3 : Encore cinq minutes 552. Int. : Qu est-ce que je mets là, qu est-ce que je rédige? Ils sont tous en train de regarder l heure en se disant ça va bientôt sonner. Alors sur le graphique je trouve, j ai dit? 553. El5 : 60 et Int. : oui j ai trouvé 555. El5 : 60 et Int. : Ah non moi je trouve 45 morceaux El4 : Ben ça veut dire que c est 45 et 60, c est ça... F) (47 15 ) Travail et dialogue pour résoudre la question 4.b Int. : Comment on peut le retrouver par le calcul? Qu est-ce qu on peut faire comme calcul? 559. El4 : Ben les calculs qu on(inaudible). Ça veut dire 1,2x 560. Int. : Alors toi tu proposes donc par le calcul, tu dis on fait 1,2x et après qu est-ce que tu ferais? 561. El4 : Ben après on multiplie par, ben non, ben c est ça, non? 562. El? : Ouah 563. Int. : On va regarder sur le graphique là hein? En fait euh la droite qui passe par O c est donc la représentation graphique de f et donc là l image f(x) on l obtient en faisant 1,2 fois x. Vous êtes d accord avec ça? D après ce que vous m avez dit El2 : Oui El4 : Ben c est ce que je viens de dire Int. : Et g on l obtient en faisant 0,5x Vous êtes d accord? Voilà. Et nous on voudrait savoir donc, on le voit sur la figure, on voudrait calculer donc à quel moment on est là El2 : Oui Int. : Donc à quel moment le prix payé est le même hein? 569. El2 : Oui El3 : (il montre avec ses mains que les droites se coupent)

18 571. Int. : Bon. Or si j ai bien compris, 572. El3 : Ben on le connaît, c est là où ils se croisent Int. : Oui, oui mais on l a vu sur le graphique. On voudrait le faire par le calcul maintenant pour être sûr parce qu on dessine mal El4 : Soixante 575. El3 : Il faut faire une équation El2 : Oui il faut faire une équation Int. : Oui il faut faire une équation voilà 578. El3 : L équation c est l offre A égale l offre B Int. : Il faut que le prix correspondant à l offre A soit égal au prix correspondant à l offre B. Les prix c est les images 580. El2 : Ah mais en fait c est l offre A est égale à l offre B Int. : Oui 582. (sonnerie) 583. Int. : On se dépêche de finir ça. Alors mon idée c est que. On a ça qui doit être égal à ça, vous êtes d accord? 584. El2 : Oui El1 : Ça veut dire qu on doit faire 586. Int. : Donc moi je dirais. Vas-y, dis voir ton idée. Moi je dirais que 1,2x c est la même chose que 587. El4 : 0, El2 : 0,5x + 35, oui c est ça, c est exactement ça El3 : C est ce qu on a fait Int. : Et puis après 591. El3 : On calcule l équation El5 : (Elle fait un calcul sur la calculatrice)