Lois de probabilités avec la calculatrice graphique Graph 35+ USB pour le lycée

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1 Lois de probabilités avec la calculatrice graphique Graph 35+ USB pour le lycée Par Benoît Truchetet

2 Ce guide est dédié à Madame Meyniel ancien chef d établissement, mes collègues et anciens élèves du lycée polyvalent privé Albert de Mun (Paris 7 e ) qui m ont permis chacun à leur niveau de me plonger dans l univers des calculatrices CASIO.

3 Ainsi, nous allons voir qu il n est pas forcément évident d avoir une réponse unique et juste! Le paradoxe Sommaire RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE A. ALLUMER ET ÉTEINDRE LA CALCULATRICE...3 a) Allumer la calculatrice...3 b) Éteindre la calculatrice...4 B. ENTRER DANS LE MENU DE SON CHOIX...4 C. METTRE EN FRANÇAIS LA LANGUE DE L INTERFACE DE LA CALCULATRICE...5 D. RÉGLER LE CONTRASTE DE LA CALCULATRICE....6 E. RÉINITIALISER LES DONNÉES PRINCIPALES DE LA CALCULATRICE...7 F. RÉINITIALISER LES MÉMOIRES PRINCIPALES DE LA CALCULATRICE...9 LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES I. LOI BINOMIALE B(n;p)...11 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS...11 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE...12 a) Loi binomiale «simple»...12 b) Loi binomiale «cumulative»...14 c) Loi binomiale «inverse»...17 C. CALCULS À PARTIR DU MENU SUITES...20 a) Loi binomiale «simple»...20 Saisir une suite définie par une formule explicite...21 Saisir la plage du tableau de valeurs...22 Afficher le tableau de valeurs...23 b) Loi binomiale «cumulative»...24 Saisir une suite définie par une formule explicite...24 Saisir la plage du tableau de valeurs...26 Afficher le tableau de valeurs...27 Afficher le tableau de valeurs...27 d) Loi binomiale «inverse»...28 Saisir une suite définie par une formule explicite...29 Saisir la plage du tableau de valeurs...30 Afficher le tableau de valeurs...31 Afficher le tableau de valeurs...31 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME...32 a) Programme : Loi binomiale «simple»...32 b) Programme : Loi binomiale «simple» et «cumulative»...34 c) Programme : Loi binomiale «inverse»...36 II. LOI DE POISSON P(m)...38 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS...38 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE...39 a) Loi de Poisson «simple»...39 b) Loi de Poisson «cumulative»...42 Modélisations c) Loi de et Poisson ruptures «inverse»...45 Ou comment C. CALCULS À avoir PARTIR plusieurs DU MENU SUITES solutions...47 justes mais différentes à un même a) Loi de Poisson «simple»...47 problème. Saisir une suite définie par une formule explicite...48 Saisir la plage du tableau de valeurs...49 Afficher le tableau de valeurs...50 b) Loi de Poisson «cumulative»...51 Saisir une suite définie par une formule explicite...52 Dans ce manuel Saisir dédié la plage à l utilisation du tableau de de valeurs la calculatrice...53 graphique Fx - CG20, j ai voulu mettre en avant divers problèmes Afficher qui permettent le tableau de de valeurs balayer...54 les possibilités techniques et mathématiques de ce formidable outil. Afficher le tableau de valeurs...55 c) Loi de Poisson «inverse»...55 Pour garder une Saisir envie une de suite se définie positionner par une formule personnellement explicite...56 dans les différents exercices, les solutions ne sont que partiellement Saisir la plage formulées. du tableau Il restera de valeurs donc,...57 à charge au lecteur de s approprier les problèmes ainsi Afficher le tableau de valeurs...57 que leurs démonstrations. Afficher le tableau de valeurs...58 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME...59 Le but n est a) pas Programme dans cet : ouvrage Loi de Poisson de proposer «simple» un.... manuel de.... prise..... en.... main de... la... calculatrice ni.59un manuel de résolutions b) mathématiques Programme : Loi de formalisées Poisson «simple mais,» et bien «cumulative de créer»...61 l envie de rentrer dans cette belle aventure qu est la résolution c) Programme d une : question Loi de Poisson mathématique «inverse»...63 ouverte. L idée, dans les différents questionnements que propose cet écrit, reste de susciter l envie et de créer la rupture entre un exercice classique de mathématiques où la réponse exacte est unique voire pré-formaté 1 par des connaissances apprises et digérées.

4 LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE LOI NORMALE...65 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS...65 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE...67 a) Calcul de P( a X b)...67 b) Calcul de P( X b)...69 c) Calcul de P(a X )...72 d) Calcul de k connaissant P( k X)...74 e) Calcul de k connaissant P( X k)...77 C. CALCULS À PARTIR DU MENU RUN...80 a) Calcul de P( a X b)...80 b) Calcul de P( X b)...87 c) Calcul de P(a X )...92 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME...98 a) Programme : Loi Normale - P( k X ) et P( X k )...98 b) Programme : Loi normale - P( a X b ) c) Programme : Loi normale inverse INITIATION À LA PROGRAMMATION A. SUPPORTS DE PROGRAMMATION B. BASES DU MODE PRGM a) Accéder au mode programme b) Créer une zone de texte pour saisir un nouveau programme c) Effacer un programme d) Editer un programme e) Copier Coller une partie d un programme f) Éxécuter un programme g) Quitter le mode PRGM et revenir au Menu Principal C. COMMANDES DE BASES a) Afficher un texte Effacer un écran b) Enregistrer une valeur dans une variable et afficher son contenu c) Effacer le contenu d un écran texte D. BOUCLES ET CONDITIONS a) If, Then, IfEnd b) If, Then, Else, If.End c) Lbl, Goto d) For, To, Next e) While, WhileEnd f) Do, LpWhile E. MISES EN PRATIQUES DANS DIFFÉRENTS DOMAINES DES MATHÉMATIQUES a) Programme «Calcul de la distance entre de deux points» b) Programme «Passage à la caisse» c) Programme «ABCD est il un parallélogramme?» d) Programme «Simuler N lancers d une pièce de monnaie non truquée» e) Programme «Simuler N lancers d un dé à six faces non truqué» f) Programme «Jeux du Devin» F. MÉMENTO DES COMMANDES, FONCTIONS ET SYMBOLES UTILISÉS DANS CETTE INITIATION À LA PROGRAMMATION a) Saisie en utilisant une combinaison de touches b) Saisie en utilisant la fonction Catalogue (CATALOG) Méthode Méthode Méthode

5 REGLAGES DE LA CALCULATRICE RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE A. Allumer et éteindre la calculatrice a) Allumer la calculatrice Appuyer sur la touche O pour allumer la calculatrice. 3

6 b) Eteindre la calculatrice Appuyer sur OFF à l aide des touches LO pour éteindre la calculatrice. B. Entrer dans le menu de son choix Application : Entrer dans le menu PROGRAMME A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône de son choix pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche 9 correspondant au numéro en bas à droite de l icône du menu. 4

7 C. Mettre en français la langue de l interface de la calculatrice A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système (System Manager) s affiche. Appuyer sur LANG à l aide de la touche e. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur Français pour le mettre en surbrillance. Appuyer sur SEL à l aide de la touche q. Appuyer sur la touche EXIT pour valider le choix. 5

8 Le menu de l interface est maintenant en français. Appuyer sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire Système. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal. D. Régler le contraste de la calculatrice A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système s affiche. Appuyer sur à l aide de la touche q. 6

9 Pour augmenter le contraste, appuyer plusieurs fois sur la touche $. Pour diminuer le contraste, appuyer plusieurs fois sur la touche!. Pour revenir à l état initial appuyer sur INIT à l aide de la touche q. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal. E. Réinitialiser les données principales de la calculatrice A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système s affiche. Appuyer sur RSET à l aide de la touche y pour réinitialiser la calculatrice ou effacer les mémoires principales. 7

10 Pour réinitialiser les données principales de la calculatrice : Appuyer sur STUP à l aide de la touche q. Appuyer sur q pour valider votre choix. Appuyer deux fois sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire système. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal. 8

11 F. Réinitialiser les mémoires principales de la calculatrice A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système s affiche. Appuyer sur RSET à l aide de la touche y pour réinitialiser la calculatrice ou effacer les mémoires principales. Pour réinitialiser les mémoires principales de la calculatrice : Appuyer sur MAIN à l aide de la touche w. Appuyer sur q pour valider votre choix. 9

12 Appuyer deux fois sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire système. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal. 10

13 I. LOI BINOMIALE B(n;p) LOIS DE PROBABILITES DISCRETES LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES I. LOI BINOMIALE B(n;p) A. Vocabulaire et définitions Loi Binomiale B(n;p) Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n;p) si : l expérience est répétée n fois de manière aléatoire et indépendante, il y a 2 issues possibles : succès avec une probabilité de réalisation de p, échec avec une probabilité de non réalisation q = 1- p. La loi binomiale permet de donner la probabilité P d obtenir k fois le même résultat lorsque l on répète n fois la même expérience. P(X k) C k k n k n p (1 p) Propriétés : E(X) n p V(X) n p (1 p) (X) n p (1 p) 11

14 B. Calculs à partir du Menu STATISTIQUE a) Loi binomiale «simple» Application : Une cible est posée sur un mur. Elle possède deux secteurs : Le centre. L extérieur. La probabilité d atteindre : Le centre est de 0,1. L extérieur est de 0,9. En 10 lancers quelle est la probabilité d atteindre 3 fois le centre? Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l on atteint le centre. Cette VA suit la loi binomiale B(10;0.1) en effet l expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre le centre avec une probabilité de 0.1, ne pas atteindre le centre avec une probabilité de P(X 3) C 0.1 (1 0.1) En 10 lancers la probabilité d atteindre 3 fois le centre est de A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône STAT pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement appuyer sur la touche 2. L éditeur de listes s affiche. Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. 12

15 Appuyer sur BINM à l aide de la touche y pour entrer dans le menu de la loi binomiale. Appuyer sur Bpd à l aide de la touche q. Appuyer sur Var à l aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois ou l on atteint le centre. Cette variable aléatoire suit la loi binomiale B(10;0,1) en effet l expérience est répétée 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - atteindre le centre avec une probabilité de 0,1. - ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0,9. Calculons P(X = 3). Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne que l on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N3l10l0.1l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. 13

16 Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l aide de la touche q pour lancer le calcul. En 10 lancers la probabilité d atteindre 3 fois le centre est d environ b) Loi binomiale «cumulative» Application : Une famille a 6 enfants. Calculer la probabilité pour qu il y ait moins de garçons que de filles. On suppose que la probabilité pour qu un enfant soit un garçon est de 0,5. Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou un enfant est un garçon dans une famille. Cette VA suit la loi binomiale B(6 ;0.5) en effet l expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - L enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. - L enfant n est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu il y ait 0 ; 1 ou 2 garçons. Calculons P( X 2) P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 0) C 0.5 (1 0.5) 0, P( X 1) C 0.5 (1 0.5) 0, P( X 2) C 0.5 (1 0.5) 0, P( X 2) 0, La probabilité pour qu il y ait moins de garçons que de filles est de 0,

17 A partir de l éditeur de listes Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le sous menu des lois de probabilités. Appuyer sur BINM à l aide de la touche y pour entrer dans le sous menu de la loi binomiale. Appuyer sur Bcd à l aide de la touche w. Appuyer sur Var à l aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois ou un enfant est un garçon. Cette variable aléatoire suit la loi binomiale B(6;0,5) en effet l expérience est répétée 6 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - L enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. - L enfant n est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu il y ait 0, 1 ou 2 garçons. Calculons P(X 2). 15

18 Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne que l on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N2l6l0.5l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l aide de la touche q pour lancer le calcul. La probabilité pour qu il y ait moins de garçons que de filles est de 0, ,

19 c) Loi binomiale «inverse» La variable aléatoire X suit une loi binomiale B( 20;0,2 ) Déterminer le nombre k tel que P(X k) 0,6. Soit X une. Cette VA suit la loi binomiale B (20;0,2) Calculons P( X 0) C20 (0, 2) (1 0, 2) 0, , , 6 P( X 0) P( X 1) , C20 (0, 2) (1 0, 2) 0, , , Réponse : P( X 0) P( X 1) P( X 2) 0, C (0, 2) (1 0, 2) , , , P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 0, C (0, 2) (1 0, 2) , , , P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) P( X 4) 0, C (0, 2) (1 0, 2) 0, , , P(X 4) 0,6 17

20 A partir de l éditeur de listes Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le sous menu des lois de probabilités. Appuyer sur BINM à l aide de la touche y. Appuyer sur InvB à l aide de la touche e. Appuyer sur Var à l aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale B( 20;0,2 ) 18

21 Calculons k tel que P(X k) 0,6 Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne que l on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N0.6l20l0.2l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l aide de la touche q pour lancer le calcul. P(X 4) 0,6 19

22 C. Calculs à partir du Menu SUITES a) Loi binomiale «simple» Application : Une cible est posée sur un mur. Elle possède deux secteurs : Le centre. L extérieur. La probabilité d atteindre : Le centre est de 0,1. L extérieur est de 0,9. En 10 lancers quelle est la probabilité d atteindre 3 fois le centre? Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l on atteint le centre. Cette VA suit la loi binomiale B(10 ;0.1) en effet l expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre le centre avec une probabilité de 0.1, ne pas atteindre le centre avec une probabilité de P(X 3) C 0.1 (1 0.1) En 10 lancers la probabilité d atteindre 3 fois le centre est de

23 A partir de du menu RECUR Appuyer sur TYPE à l aide de la touche e pour sélectionner le type de suite. Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur a n à l aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite. Saisir la formule explicite : C10 0,1 (0,9) n n 10 n A savoir : 10 Pour obtenir le symbole appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité. Appuyer sur à l aide de la touche e. V 21

24 Appuyer deux fois de suite dd pour revenir à l écran de saisie initiale. Finir la saisie de la formule explicite. A savoir : qm0.1^q$m0.9^ j10-qk Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seul la ligne ou se trouve l expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Start : 0 End : 10 A savoir : 0l10l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. 22

25 Afficher le tableau de valeurs Vérifier à nouveau que seul la ligne où se trouve l expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. En 10 lancers la probabilité d atteindre 3 fois le centre est d environ

26 b) Loi binomiale «cumulative» Application : Une famille a 6 enfants. Calculer la probabilité pour qu il y ait moins de garçons que de filles. On suppose que la probabilité pour qu un enfant soit un garçon est de 0,5. Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou un enfant est un garçon dans une famille. Cette VA suit la loi binomiale B(6;0.5) en effet l expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - L enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. - L enfant n est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu il y ait 0, 1 ou 2 garçons. Calculons P( X 2) P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 0) C 0.5 (1 0.5) 0, P( X 1) C 0.5 (1 0.5) 0, P( X 2) C 0.5 (1 0.5) 0, P( X 2) 0, La probabilité pour qu il y ait moins de garçons que de filles est de 0, A partir de du menu RECUR Appuyer sur TYPE à l aide de la touche e pour sélectionner le type de suite. Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur a n à l aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite. 24

27 Saisir la formule explicite : C6 0,5 (0, 5) n n 6 n A savoir : 6 Pour obtenir le symbole appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité. Appuyer sur à l aide de la touche e. V Appuyer deux fois de suite dd pour revenir à l écran de saisie initiale. Finir la saisie de la formule explicite. A savoir : qm0.5^q$m0.5^ j6-qk Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. 25

28 Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seule la ligne ou se trouve l expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Start : 0 End : 6 A savoir : 0l6l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. 26

29 Afficher le tableau de valeurs Appuyer sur SET UP à l aide des touches Lp Se délacer dans le tableau à l aide du pavé directionnel jusqu à la ligne. L affichage par défaut de cette option est en mode Off. Appuyer sur On à l aide de la touche q pour choisir l affichage des sommes des termes de la suite. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Recursion. Vérifier à nouveau que seule la ligne où se trouve l expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. La probabilité pour qu il y ait moins de garçons que de filles est de 0,

30 d) Loi binomiale «inverse» La variable aléatoire X suit une loi binomiale B( 20;0,2 ) Déterminer le nombre k tel que P(X k) 0,6. Soit X une VA. Cette VA suit la loi binomiale B (20;0,2) Calculons P( X 0) C20 (0, 2) (1 0, 2) 0, , , 6 P( X 0) P( X 1) , C20 (0, 2) (1 0, 2) 0, , , Réponse : P( X 0) P( X 1) P( X 2) 0, C (0, 2) (1 0, 2) , , , P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 0, C (0, 2) (1 0, 2) , , , P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) P( X 4) 0, C (0, 2) (1 0, 2) 0, , , P(X 4) 0,6 28

31 A partir de du menu RECUR Appuyer sur TYPE à l aide de la touche e pour sélectionner le type de suite. Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur a n à l aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite. Saisir la formule explicite : C20 0, 2 (0,8) n n 20 n A savoir : 20 Pour obtenir le symbole appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité. Appuyer sur à l aide de la touche e. V 29

32 Appuyer deux fois de suite dd pour revenir à l écran de saisie initiale. Finir la saisie de la formule explicite. A savoir : qm0.2^q$m0.8^ j20-qk Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seule la ligne ou se trouve l expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Start : 0 End : 20 A savoir : 0l20l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. 30

33 Afficher le tableau de valeurs Appuyer sur SET UP à l aide des touches Lp Se délacer dans le tableau à l aide du pavé directionnel jusqu à la ligne. L affichage par défaut de cette option est en mode Off. Appuyer sur On à l aide de la touche q pour choisir l affichage des sommes des termes de la suite. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Recursion. Vérifier à nouveau que seule la ligne où se trouve l expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. P(X 4) 0,6 31

34 D. Calculs à partir du Menu PROGRAMME Pour information, un chapitre est dédié à une initiation à la programmation dans cet ouvrage. a) Programme : Loi binomiale «simple» Ecrire un programme, BINO 1, permettant de calculer dans le cas d une loi binomiale, la probabilité de réussir k épreuves au cours de n épreuves. Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de P à R. A savoir, N, P, K et R Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réalisées que l on stocke dans la variable N. Demander à l utilisateur d entrer la probabilité de succès à une épreuve que l on stocke dans la variable P. Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réussies au cours des N épreuves que l on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à la valeur prise par k k n k Cn p (1 p) en fonction des valeurs de N, P et K saisies. 32

35 Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie. Explication pour réaliser ce programme Code Ecrire un programme, BINO 2T permettant de calculer dans le cas d une loi binomiale, la probabilité de réussir k épreuves au cours de n épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l utilisateur du programme. Le nombre d épreuves réalisées que l on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel non nul. La probabilité de succès à une épreuve que l on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. Le nombre d épreuves réussies au cours des n épreuves que l on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel inférieur ou égal à N. 33

36 b) Programme : Loi binomiale «simple» et «cumulative» Ecrire un programme, BINO 3, permettant de calculer dans le cas d une loi binomiale, la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves. au cours de n épreuves. Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à S. A savoir, N, P, K,R et S. Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réalisées que l on stocke dans la variable N. Demander à l utilisateur d entrer la probabilité de succès à une épreuve que l on stocke dans la variable P. Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réussies au cours des n épreuves que l on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à P( X k) Afficher la variable S correspondant à P( X k) Afficher la variable R correspondant à P( X k) Afficher la variable 1- (R+S) correspondant à P( X k) Afficher la variable 1- S correspondant à P( X k) en fonction des valeurs de N, P et K saisies. 34

37 Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie. Explication pour réaliser ce programme Code Ecrire un programme BINO 4T permettant de calculer dans le cas d une loi binomiale, la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves. au cours de n épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l utilisateur du programme. Le nombre d épreuves réalisées que l on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel non nul. La probabilité de succès à une épreuve que l on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. Le nombre d épreuves réussies au cours des n épreuves que l on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel inférieur ou égal à N. 35

38 c) Programme : Loi binomiale «inverse» Ecrire un programme, BINO 5, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d une loi binomiale, tel que P(X k) m. X est la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ;p). Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à P. A savoir : K,M, N et P. Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réalisées que l on stocke dans la variable N. Demander à l utilisateur d entrer la probabilité de succès à une épreuve que l on stocke dans la variable P. Demander à l utilisateur d entrer la probabilité M tel que P(X K) M. Afficher la variable K correspondant à P(X K) M en fonction des valeurs de N, M et P saisies. Cette valeur est obtenue à l aide de la fonction InvBinomialCD présente dans le catalogue. (Voir partie initiation à la programmation) 36

39 Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie. Explication pour réaliser ce programme Code Ecrire un programme, BINO 6T permettant de déterminer le nombre k dans le cas d une loi binomiale, tel que P(X k) m. X est la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ;p). Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l utilisateur du programme. Le nombre d épreuves réalisées que l on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel non nul. La probabilité de succès à une épreuve que l on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. La probabilité M tel que P(X K) M que l on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. Le nombre d épreuves réussies au cours des n épreuves que l on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel inférieur ou égal à N. 37

40 II. LOI DE POISSON P(m) II. LOI DE POISSON P(m) A. Vocabulaire et définitions Loi de Poisson P(m) La loi de Poisson peut être considérée comme une extension de la loi binomiale, si les 3 conditions suivantes sont vérifiées : n 30 p 0, 1 n p 15 m P(X k) e k! k m Rappel : m= n p Propriétés : E(X) m n p V(X) m n p (X) m n p 38

41 B. Calculs à partir du Menu STATISTIQUE a) Loi de Poisson «simple» Application : On suppose que 2% des articles produits par une usine sont défectueux. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux. Réponse : En 10 lancers la probabilité d atteindre 3 fois le centre est de Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où une pièce est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(2) en effet l expérience est répété 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - la pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,02. - la pièce n est pas défectueuse avec une probabilité de 0,98. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n 30 p 0,1 n p 15 en effet , 02 0, Calculons P(X = 3) e P( X 3) ! La probabilité d avoir 3 articles défectueux sur 100 pièces est de 0,18. A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l aide du pavé directionnel sur l icône STAT pour la mettre en surbrillance, Valider à l aide de la touche l. Ou plus rapidement appuyer sur la touche 2. L éditeur de listes s affiche. Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. 39

42 Appuyer sur à l aide de la touche u. Appuyer sur POISN à l aide de la touche q pour entrer dans le menu de la loi de Poisson. Appuyer sur Ppd à l aide de la touche q. Appuyer sur Var à l aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu une pièce est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(2) en effet l expérience est répété 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - la pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,02. - la pièce n est pas défectueuse avec une probabilité de 0,98. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n 30 p 0,1 n p 15 en effet , 02 0, Calculons P(X = 3). 40

43 Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne que l on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N3l2l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l aide de la touche q pour lancer le calcul. La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux est d environ 0,18. 41

44 b) Loi de Poisson «cumulative» Application : On suppose que 1% des ampoules produites par une usine sont défectueuses. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses. Réponse : Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu une ampoule est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(1) en effet l expérience est répétée 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - l ampoule est défectueuse avec une probabilité de 0,01. - l ampoule n est pas défectueuse avec une probabilité de 0,99. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n 30 p 0,1 n p 15 en effet , 01 0, P(X >3) =1 - P(X 3 ) Calculons P(X 3 ). P( X 3) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) e P( X 0) 0, ! 1 1 e P( X 1) 0, ! e P( X 2) 0, ! e P( X 3) 0, ! P(X 3) 0, P(X >3) =1 - P(X 3) 1 0, , 019 La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses est d environ 0,02. 42

45 A partir de l éditeur de listes Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur à l aide de la touche u. Appuyer sur POISN à l aide de la touche q pour entrer dans le menu de la loi de Poisson. Appuyer sur Pcd à l aide de la touche w. Appuyer sur Var à l aide de la touche w. 43

46 Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu une ampoule est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(1) en effet l expérience est répétée 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - l ampoule est défectueuse avec une probabilité de 0,01. - l ampoule n est pas défectueuse avec une probabilité de 0,99. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n 30 p 0,1 n p 15 en effet , 01 0, P(X >3) =1 - P(X 3) Calculons P(X 3). Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne que l on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N3l1l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l aide de la touche q pour lancer le calcul. P(X 3) 0, P(X >3) =1 - P(X 3) 1 0, , 019 La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses est d environ 0,02. 44

47 c) Loi de Poisson «inverse» La variable aléatoire X suit une loi de Poisson P(1). Déterminer le nombre k tel que P(X k) = 0,98. A partir de l éditeur de listes Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur à l aide de la touche u. Appuyer sur POISN à l aide de la touche q pour entrer dans le menu de la loi de Poisson. Appuyer sur InvP à l aide de la touche e. Appuyer sur Var à l aide de la touche w. 45

48 Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson P(1). Calculons k tel que P(X k) = 0,6. Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne que l on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N0.98l1l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l aide de la touche q pour lancer le calcul. P(X 3) =0,98 46

49 C. Calculs à partir du Menu SUITES a) Loi de Poisson «simple» Application : On suppose que 2% des articles produits par une usine sont défectueux. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux. Réponse : En 10 lancers la probabilité d atteindre 3 fois le centre est de Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où une pièce est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(2) en effet l expérience est répété 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - la pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,02. - la pièce n est pas défectueuse avec une probabilité de 0,98. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n 30 p 0,1 n p 15 en effet , 02 0, Calculons P(X = 3) e P( X 3) 0,18 3! La probabilité d avoir 3 articles défectueux sur 100 pièces est de 0,18. 47

50 A partir de du menu RECUR Appuyer sur TYPE à l aide de la touche e pour sélectionner le type de suite. Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur a n à l aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite. Saisir la formule explicite : 2 n e n! 2 A savoir : b2^q$mlgn2nq Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Pour obtenir le symbole factoriel! appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité. Appuyer sur à l aide de la touche q. V 48

51 Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seul la ligne ou se trouve l expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Nous pouvons nous limiter au calcul des 11 premières valeurs. Start : 0 End : 10 A savoir : 0l10l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. 49

52 Afficher le tableau de valeurs Vérifier à nouveau que seul la ligne où se trouve l expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. La probabilité pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux est d environ 0,18. 50

53 b) Loi de Poisson «cumulative» Application : On suppose que 1% des ampoules produites par une usine sont défectueuses. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses. Réponse : Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu une ampoule est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(1) en effet l expérience est répétée 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - l ampoule est défectueuse avec une probabilité de 0,01. - l ampoule n est pas défectueuse avec une probabilité de 0,99. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées : n 30 p 0,1 n p 15 en effet , 01 0, P(X >3) =1 - P(X 3 ) Calculons P(X 3 ). P( X 3) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) e P( X 0) 0, ! 1 1 e P( X 1) 0, ! e P( X 2) 0, ! e P( X 3) 0, ! P(X 3) 0, P(X >3) =1 - P(X 3) 1 0, , 019 La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses est d environ 0,02. 51

54 A partir de du menu RECUR Appuyer sur TYPE à l aide de la touche e pour sélectionner le type de suite. Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur a n à l aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite. Saisir la formule explicite : 1 n e n! 1 A savoir : b1^q$mlgn1nq Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Pour obtenir le symbole factoriel! appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité. Appuyer sur à l aide de la touche q. V 52

55 Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seule la ligne ou se trouve l expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Nous pouvons nous limiter au calcul des 11 premières valeurs. Start : 0 End : 10 A savoir : 0l10l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. 53

56 Afficher le tableau de valeurs Appuyer sur SET UP à l aide des touches Lp Se délacer dans le tableau à l aide du pavé directionnel jusqu à la ligne. L affichage par défaut de cette option est en mode Off. Appuyer sur On à l aide de la touche q pour choisir l affichage des sommes des termes de la suite. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Recursion. Vérifier à nouveau que seule la ligne où se trouve l expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. 54

57 Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. P(X 3) 0, P(X >3) =1 - P(X 3) 1 0, , 019 La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses est d environ 0,02. c) Loi de Poisson «inverse» La variable aléatoire X suit une loi de Poisson P(1). Déterminer le nombre k tel que P(X k) = 0,98. Soit X une. Cette VA suit la loi de Poisson P (1). Calculons e P( X 0) 0, ! 0, ,98 Réponse : P( X 0) P( X 1) 1 1 e 0, ! 0, , , , ,98 P( X 0) P( X 1) P( X 2) 2 1 e 1 0, ! 0, , , , ,98 P( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3) e 0, ! 0, , ,981 0,981> 0,98 P(X 3) 0,98 55

58 A partir de du menu RECUR Appuyer sur TYPE à l aide de la touche e pour sélectionner le type de suite. Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur a n à l aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite. Saisir la formule explicite : 1 n e n! 1 A savoir : b1^q$mlgn1nq Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Pour obtenir le symbole factoriel! appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité. Appuyer sur à l aide de la touche q. V 56

59 Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seule la ligne ou se trouve l expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Nous pouvons nous limiter au calcul des 11 premières valeurs. Start : 0 End : 10 A savoir : 0l10l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Afficher le tableau de valeurs Appuyer sur SET UP à l aide des touches Lp 57

60 Se délacer dans le tableau à l aide du pavé directionnel jusqu à la ligne. L affichage par défaut de cette option est en mode Off. Appuyer sur On à l aide de la touche q pour choisir l affichage des sommes des termes de la suite. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Recursion. Vérifier à nouveau que seule la ligne où se trouve l expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. P(X 3) 0, P(X >3) =1 - P(X 3) 1 0, , 019 La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses est d environ 0,02. 58

61 D. Calculs à partir du Menu PROGRAMME Pour information, un chapitre est dédié à une initiation à la programmation dans cet ouvrage. a) Programme : Loi de Poisson «simple» Ecrire un programme, POISS 1, permettant de calculer dans le cas d une loi de Poisson P( m ), la probabilité de réussir k épreuves. Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à R. A savoir : K, M et R Demander à l utilisateur d entrer le paramètre m de la loi de Poisson que l on stocke dans la variable M. Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réussies que l on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à la valeur prise par m n e n! m en fonction des valeurs de M et K saisies. 59

62 Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie. Explication pour réaliser ce programme Code Ecrire un programme, POISS 2T permettant de calculer dans le cas d une loi de Poisson P( m ), la probabilité de réussir k épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi de Poisson que l on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre strictement positif. Le nombre d épreuves réussies que l on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel positif ou nul. 60

63 b) Programme : Loi de Poisson «simple» et «cumulative» Ecrire un programme, POISS 3, permettant de calculer dans le cas d une loi de Poisson P( m ), la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves. Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à T. A savoir : K, M, R, S et T. Demander à l utilisateur d entrer le paramètre m de la loi de Poisson que l on stocke dans la variable M. Demander à l utilisateur d entrer le nombre d épreuves réussies que l on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à P( X k) Afficher la variable S correspondant à P( X k) Afficher la variable R correspondant à P( X k) Afficher la variable 1- (R+S) correspondant à P( X k) Afficher la variable 1- S correspondant à P( X k) en fonction des valeurs de M et K saisies. 61

64 Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie. Explication pour réaliser ce programme Code Ecrire un programme POISS 4T permettant de calculer dans le cas d une loi Poisson P( m ), la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi de Poisson que l on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre strictement positif. Le nombre d épreuves réussies que l on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel positif ou nul. 62

65 c) Programme : Loi de Poisson «inverse» Ecrire un programme, POISS 5, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d une loi de Poisson P( m ) tel que P(X k) n. Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à N. A savoir : K, M, et N. Demander à l utilisateur d entrer le paramètre m de la loi de Poisson que l on stocke dans la variable M. Demander à l utilisateur d entrer la probabilité N tel que P(X K) N. Afficher la variable K correspondant à P(X K) N en fonction des valeurs de M et N saisies. Cette valeur est obtenue à l aide de la fonction InvPoissonCD présente dans le catalogue. (Voir partie Initiation à la programmation) 63

66 Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie. Explication pour réaliser ce programme Code Ecrire un programme, POISS 6T, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d une loi de Poisson P( m ) tel que P(X k) n. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi de Poisson que l on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre strictement positif. La probabilité N tel que P(X K) = M que l on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est comprise entre 0 et 1. 64

67 LOI DE PROBABILITE CONTINUE LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE LOI NORMALE LOI NORMALE A. Vocabulaire et définitions Loi Normale N (m ; ) Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale N (m ; ) de paramètres m et lorsque sa densité de probabilité est le fonction f définie sur par : -1 x-m ( ) 2 ( x) 1 f ( x) e ( x) 2 Remarques : Soit X la variable aléatoire suivant la loi normale N (m ; ). 2 2 E(X) = m, V(x) = et ( X). La variable X qui suit la loi normale de paramètre m et est appelée variable aléatoire gaussienne. La loi normale ou loi de Laplace-Gauss est un exemple d'une variable aléatoire continue. Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d'être entre deux valeurs réelles a et b est l'aire du domaine limité par la courbe représentative d'une certaine fonction f, que l'on appelle densité de probabilité, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. avec (x) 0 P( a X b) b f ( x) dx a 1 x m ( ) 2 f x dx et 1 2 ( x) f ( x) e ( x) 2 f, ( ) 1 65

68 La loi normale centrée réduite N (0 ;1) Théorème : Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (m ; )alors la variable aléatoire: X m T suit la loi normale centrée réduite N (0 ;1). Ce résultat test important car il permet de limiter l étude des lois normales à celle de la seule loi normale centrée réduite N (0 ;1)., dont la densité de probabilité a pour représentation graphique la courbe ci-dessous. Propriétés : P( T a) P( T a) ( a) P( T a) P( T a) 1 ( a) ( a) P( a T b) P( a T b) ( b) ( a) P( a T a) P( a T a) 2 ( a) 1 (a>0) 66

69 B. Calculs à partir du Menu STATISTIQUE a) Calcul de P( a X b) Application : Lors d un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La moyenne est de 12 et l écart type est de 2. Calculer la probabilité pour qu un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12. Soit X la VA représentant la note de l étudiant. Elle suit la loi Normale N (12 ;2) Réponse : Pour calculer P[7 X 12], nous devons avant tout nous «ramener» à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant X M le changement de variable suivant : T P[7 X 12] = P[ T ] 2 2 P[7 X 12] = P[ 2.5 T 0] P[7 X 12] = P[7 X 12] La probabilité pour qu un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est d environ 0,4938. A partir de l éditeur de listes Appuyer sur DIST à l aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur NORM à l aide de la touche q pour entrer dans le sous menu de la loi de normale. 67