Un milliard ou Giga s écrit : 10 9 =

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1 CHAPITRE 7 COMPRENDRE LA NOTATION PUISSANCE. Activité 1. Un candidat du jeu «quitte ou double» doit répondre à une série de questions. S il répond correctement à la première question, il gagne 1. Il peut alors repartir avec son gain ou le doubler en répondant à une autre question. Mais s il donne une réponse fausse, alors il repart les mains vides. 1) Quel est le gain associé à 5 bonnes réponses? 10 bonnes réponses? 2) Margaux affirme qu elle a gagné exactement Est-ce possible? 3) Combien faut-il donner de bonnes réponses pour gagner un million d euros? I. PUISSANCE D EXPOSANT POSITIF. Définition : a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif supérieur à 1. Le produit de n facteurs égaux à a se note : a n = a a.. a n facteurs a On lit «a exposant n» ou «a puissance n». n est appelé exposant ou puissance Par convention : a 0 = 1 (avec a 0). a 2 se lit «a au carré» et a 3 se lit «a au cube» Propriété : n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1 : 10 n = = n facteurs 10 Un million ou Méga s écrit : 10 6 = zéros Un Téra s écrit : = zéros n zéros Un milliard ou Giga s écrit : 10 9 = zéros Un Exa s écrit : = zéros Ex 1 : 1) Calculer : ( 4) ( 2) , ( 10) 5 2) Ecrire si possible chaque nombre à l aide d une puissance : 25 ; 81 ; 625 ; 4096 ; 729 ; Ex 2 : Anaïs a oublié le code secret de sa carte Viva Jeune. Le code est un nombre à quatre chiffres et Anaïs se souvient que tous les chiffres sont compris entre 0 et 5. 1) Combien y-a-t-il de combinaisons possibles? 2) Au distributeur, il faut 15 secondes pour entrer une combinaison. Combien de temps faudrait-il à Anaïs pour les tester toutes? Ex 3 : Une vidéo fait le «buzz» sur internet si bien que chaque jour 5 fois plus de personnes que la veille la visionne. Le lundi 5 8 personnes regardent cette vidéo. 1)Combien de personnes ont vu la vidéo la veille? 5 jours auparavant? 2)Combien de personnes verront la vidéos dans 3 jours, dans 1 semaine? Rem : Exprimer aussi les résultats sous la forme d une puissance de 5 II. PUISSANCE D EXPOSANT NEGATIF. Définition : Si a désigne un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif supérieur à 1, alors a n = 1 a n. a n désigne aussi «l inverse» de a A la calculatrice : seconde config 3: arrondi (on tape 3) 1: Fix (on tape 1) Fix: Select 0~9 (on tape 5) On aura alors un résultat décimal arrondi avec 5 chiffres après la virgule. Propriété : n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1 : 10 n = 0, n zéros ( sans oublier la virgule) Un Micron s écrit : 10 6 = 0, Un Nano s écrit : 10 9 = 0, zéros Un Pico s écrit : = 0, zéros 9 zéros Un Femto s écrit : = 0, zéros

2 Ex 4 : 1) Calculer : ( 4) ( 10) ( 5) 4 0,2 3 0, ) Ecrire si possible chaque nombre à l aide d une puissance ,001 0,36 0, Activité 2 : 1) Calculer 345, ; 345, ; 345, ; 345, Que constate-t-on? 2) Calculer 345, ; 345, ; 345, ; 345, Que constate-t-on? III. MULTIPLICATION PAR UNE PUISSANCE DE 10. Ici n est un nombre entier positif supérieur à 1, Pour multiplier un nombre par 10 n, il suffit de déplacer la virgule de n rang vers la droite. Ex : 567, = 567, = Pour multiplier un nombre par 10 n, il suffit de déplacer la virgule de n rang vers la gauche. Ex : 567, = 567,497 0, = 0, Ex 5 : 1) Le rayon d une orange est 0,05 m. La taille d une bactérie est 0, m. Le diamètre d un cheveu fin est 0, m. Le rayon de l atome d hydrogène est 0, m. Donner une écriture de ces nombres en utilisant une multiplication par une puissance de 10. 2) Il existe plusieurs types de globules blancs dont les lymphocytes (taille : m) et les monocytes (taille : 0,017 mm). Comparer la taille de ces 2 globules. Ex 6 : Il s est vendu en 2011 environ 352 million d ordinateur personnel. Le virus «SOBIG.F» est un virus qui se propage par mail. Au début un seul ordinateur est infecté. Cette infection donne lieu le lendemain à l infection de 20 ordinateurs infectés qui à leur tour infectent chacun le lendemain 20 autres ordinateurs, et ainsi de suite. Combien faut-il attendre de jours pour que tous les ordinateurs vendu en 2011 soient infectés? (On fera l hypothèse qu un ordinateur infecté n infecte ensuite que le jour suivant) Activité 3 : 1) Calculer sous la forme d une puissance ; ( 3) 7 ( 3) 4. Que constate-t-on? 5 6 2) Calculer sous la forme d une puissance ; Que constate-t-on? 3) Calculer sous la forme d une puissance ; ( 3) 4 ( 2) 4. Que constate-t-on? 4) Calculer sous la forme d une puissance (4 2 ) 3 ; (3 2 ) 4 ; (5 3 ) 4. Que constate-t-on? IV. REGLE DE CALCUL. Ici a et b désignent des nombres relatifs non nul et m et n des nombres entier positif supérieur à 1, Propriété 1 : a m a n = a m+n Pour calculer le produit de deux puissances d un même nombre, on calcule la somme des puissances. Propriété 2 : an = am n am Pour calculer le quotient de deux puissances d un même nombre, on calcule la différence des puissances. Propriété 3 : a m b m = (a b) m Pour calculer le produit de deux nombres à la même puissance, on calcule le produit des 2 nombres et on garde la même puissance. Propriété 4 : (a n ) m = a m n Pour calculer la puissance d une puissance, on calcule le produit des 2 nombres et on garde la même puissance.

3 Ex 7 : 1)Exprimer sous la forme d une puissance A = B = ) A quoi correspond un milliard de milliards? un million de millions? 3) A quoi correspond un millième de micron? un micron de micron? un milliardième? un millionième de milliardième? 4) Les scientifiques français utilisent l «échelle longue» des nombres dans laquelle un billion est égal à mille-milliards, un billiard est égal à mille-billions, un trillion est égal à mille-billiards, un trilliard est égal à mille-trillions. Ecrire ces nombres avec une puissance de 10. 5) La vitesse de la lumière est m/s. Montrer que la distance parcourue par la lumière en 1 an est environ 9, m. Cette distance est appelée «année-lumière». Ecrire cette distance en km, et lire ce nombre. 6) Le diamètre de notre galaxie est de 100 mille années-lumière. La distance entre une étoile et le centre de la galaxie est de 9, km. Cette étoile appartient-elle à notre galaxie? 7) Une tête possède en moyenne cheveux. Sachant qu il y a 6 milliards de terriens, donne un ordre de grandeur du nombre de cheveux sur terre. 8) Un cœur humain effectue environ 5000 battements par heure. Calculer le nombre de battements effectués en 1 jour, en une année, dans une vie de 80 ans. 9) La masse d un atome de carbone est égale à 1, kg. Les chimistes considèrent des paquets contenant 6, atomes (1 mole). Calculer la masse en grammes d une mole d atome de carbone 10) Dans une bande dessinée de science-fiction intitulée «Prométhée», j ai pu lire «il y a dix mille milliards de milliards de gouttes d eau dans les océans. C est aussi le nombre de grain de sable sur terre mais aussi le nombre de planètes habitables dans l univers». Que représente ce nombre en puissance de 10. On peut lire sur internet que «20 gouttes d eau correspondent à environ 1 ml». D après une étude parue en 1921, il est écrit que le volume total des océans est estimé à 1370,323 km 3. Ce qu a indiqué l auteur de la bande dessinée est-il réalise pour le nombre de gouttes d eau? V. PRIORITE DE CALCUL. Dans une expression sans parenthèses, on effectue : D abord les puissances, Ensuite les multiplications et les divisions, Enfin les additions et les soustractions (en respectant l ordre des calculs) Ex 8 : 1) Calculer A = B = C = D = ( ) 1 12 E = F = 5 (5 3 5 ) 2) Simplifier les écritures en donnant les étapes : G = 5, (10 4 ) 1 H = 8,1 4,2 (106 )

4 Activité 1. 1) 1 bonne réponse rapporte 1. 2 bonnes réponses rapportent 2. 3 bonnes réponses rapportent 2 2 = 2 2 = 4. 4 bonnes réponses rapportent = 2 3 = 8. 5 bonnes réponses rapportent = 2 4 = 16...A la calculatrice, on tape 2 x 4 10 bonnes réponses rapportent = 2 9 = 512 2) On fait des essais successifs 2 14 = (15 bonnes réponses) 2 15 = ( 16 bonnes réponses ). Il n est donc pas possible de gagner exactement ) On fait des essais successifs 2 19 = (20 bonnes réponses) 2 20 = (21 bonnes réponses) Donc il faut donner 21 bonnes réponses. Ex 1 : 1) 5 3 = = = = 243 ( 4) 2 = ( 4) ( 4) = = 5 5 = 25 Attention le moins n était pas dans la parenthèse et reste devant le 5 2 = 5 5 ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = = = = ,2 4 = 0,2 0,2 0,2 0,2 = 0,00160 A la calculatrice, on tape 0,2 x = A la calculatrice, on tape 10 x 9 (compter le nombre de zéro) ( 10) 5 = ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) = A la calculatrice, on tape 10 x 5 2) 25 = 5 2 ; 81 = 9 2 ; 625 = = 25 2 ; Attention 25 2 ( 25) 2 = = 2 12 ;729 = 3 6 ; = 10 7 ( on compte le nombre de zéro) Ex 2 : 1) Il y a 6 possibilités pour le choix de chaque chiffre. A chaque fois qu on rajoute un chiffre on multiplie le nombre de possibilités par 6. Donc au total 6 4 = 1296 possibilités. 2) = Il faut donc secondes pour faire tous les codes = Il faut donc 324 minutes. 324 = Il faut donc 5h24 min pour faire tous les codes. Ex 3 : 1) La veille 5 fois moins de personnes ont vu la vidéo donc 58 = = 5 7 = Si on refait de même pour 5 jours auparavant : 8 = = On peut remarquer que : 58 = = 5 3 = 125 2) Dans 3 jours il y aura = 5 8 = On peut remarquer que : = = 5 8 Dans une semaine (7 jours), il y aura = 5 12 = personnes qui auront vu la vidéo. Ex 4 : 1) 5 3 = 1 = = 1 = 1 0, ( 4) 2 = 1 ( 4) = 1 = 1 = 0,04 ; ( 10) 3 = 1 ( 10) = 1 = 0, , On souligne la partie qui se répète indéfiniment. ( 5) 4 = 1 = 0,0016 A la calculatrice, on tape 5 x ( 5) ,2 3 = 1 0,2 3 0,008 0,04 5 = 1 0, = 0, ) ,001 = 10 3 (la puissance est 3 car il y a 3 zéros dans le nombre) 0,36 = 0,6 2 0, = 10 8 (la puissance est 8 car il y a 8 zéros dans le nombre) Activité 2 : 1) 345, = 345,12 10 = 3451,2 ; 345, = 345, = ; 345, = 345, = ; 345, = 345, = On constate qu on déplace la virgule vers la droite d autant de rang qu il y a de puissance de 10. 2) 345, = 345,12 0,1 = 34,512 ; 345, = 345,12 0,01 = 3,451 2 ; 345, = 345,12 0,001 = 0, ; 345, = 345,12 0, = 0, On constate qu on déplace la virgule vers la gauche d autant de rang qu il y a puissance de 10 (sans le signe moins).

5 Ex 5 : 1) Le rayon d une orange est 0,05 = 5 0,01 = m. On peut aussi écrire 0,05 = 50 0,001 = m La taille d une bactérie est 0, = 2 0, = m, qui s écrit aussi 0,2 10 5, mais aussi 0, mais aussi Il y a donc plusieurs écritures possibles. Le diamètre d un cheveu fin est 0, = 4,4 0, = 4, m. Le rayon de l atome d hydrogène est 0, = 5, m. 2) La taille des lymphocytes est : m et celle des monocytes est : 0,017 mm = 0,017 0,001 m = 1,7 0,01 0,0001 m= 1,7 0, m= 1, m On a alors 1, = 0, < 0, = D où la taille des monocytes est la plus petite. Ex 6 : Si on calcule la somme des ordinateurs infectés : Le premier jour, il y en a : 1 Le deuxième jour, il y en a : = 21. Le 3 ème jour : = = 421 Le 4 ème jour : = = Le 5 ème jour : = = Le 6 ème jour : = = Le 7 ème jour : = = Le 8 ème jour : = = Le 8 ème jour on dépasserait alors les ordinateurs vendus en Activité 3 : 1) = = = 5 10 = ( 3) 7 ( 3) 4 = = = ( 3) 11 = ( 3) 7+4 Pour calculer le produit de deux puissances d un même nombre, on calcule la somme des puissances ) = 625 = 5 4 = ; 75 = 1 = = Pour calculer le quotient de deux puissances d un même nombre, on calcule la différence des puissances 3) = = = 30 4 = (5 6) = = = ( 3) 4 ( 2) 4 = = = 6 4 = (( 3) ( 2)) 4 Pour calculer le produit de deux nombres à la même puissance, on calcule le produit des 2 nombres et on garde la même puissance. 4) (4 2 ) 3 = 16 3 = = 4 6 = (3 2 ) 4 = = 3 ( 2)+( 2)+( 2)+( 2) = 3 8 = (5 3 ) 4 = = 5 12 = 5 ( 3) ( 4) Pour calculer la puissance d une puissance, on calcule le produit des 2 nombres et on garde la même puissance Ex 7 : 1)A = = = = = 2 62 B = = = = ) Un milliard de milliards correspond à = = 10 18, donc à 1 Exa. Un million de millions correspond à = = 10 12, donc à 1 Téra. 3) Un millième de micron correspond à = = 10 9, donc à 1 Nano Un micron de micron correspond à = = 10 12, donc à 1 Pico Un milliardième correspond à 10 9, donc à 1 Nano Un millionième de milliardième = = 10 15, donc à 1 Femto 4) un billion est égal à mille-milliards donc à = = donc à 1 Téra. Un billiard est égal à mille-billions donc à = = Un trillion est égal à mille-billiards donc à = = donc à 1 Exa. un trilliard est égal à mille-trillions donc à = = 10 21

6 5) La vitesse de la lumière est m/s. Dans un 1 an, il y a = secondes. En 1 an la lumière parcourt donc mètres ce qui représente 9, mètres donc 9, km donc environ 9, ( ou 9,5 Téra km) 6) Le diamètre de notre galaxie est de 100 mille années-lumière soit environ , km, ce qui représente : , = 9, = 9, = 9, Le «rayon» de la galaxie est donc environ 9, = 4, km 9, < 4, donc l étoile est bien situés dans la galaxie. 7) Une tête possède en moyenne cheveux soit 10 5 cheveux. 6 milliards représente de terriens représente terriens. Le nombre de cheveux sur terre sera donc environ = = = Un ordre de grandeur du nombre de cheveux sur terre est 600 Téra 8) Un cœur humain effectue environ 5000 battements par heure soit Dans 1 journée, il y a 24 heures donc = = battements par jour. Dans une année, il y a 365 jours donc = = 4, ce qui représente : 4, = battements dans une année. Si bien que dans une vie de 80 ans, il y a 80 4, = 350, = 3, Cela représente 3, c'est-à-dire battements (environ 3,5 milliards) dans une vie. 9) La masse d un atome de carbone est égale à 1, kg. Les chimistes considèrent des paquets contenant 6, atomes (1 mole). La masse d une mole est donc 6, , = 11, Cela représente 11, kg 11,98378 gramme. Voilà pourquoi aux approximations près on lit que la masse molaire de l atome de Carbone est 12 g dans le tableau périodique des éléments. 10) Dix mille milliards de milliards représente = = «20 gouttes d eau correspondent à environ 1 ml» donc 1 goutte d eau correspondent à 0,05 ml. Le volume des océans serait donc de ,05 = = ml. Cela représente : = L= dm 3 = m 3 = km 3 = km 3 Cela représente encore km L auteur a donc donné ici un résultat 364 fois plus grand que ce que propose l estimation du résultat de l étude parue en Ex 8 : 1) A = = = 9 B = = = 262 C = = = = 208 D = ( ) 1 12 = ( ) 1 12 = = = 141 E = = = = 510 F = 5 (5 3 5 ) = 5 (125 5 ) = = 600 2) G = 5, (10 4 ) = 5, = = = = H = 8,1 4,2 (106 ) = 34, = 34,